Collatz予想の変形について白柳研究室５５０８０９４藤田純平研究背景と目的 Collatz予想は1937年にLothar Otto Collatz教授によって提唱された予想である。本研究では、Collatz予想、Collatz予想の変形の規則性に興味を持ったので、数式処理システム Maple14を用いて、Collatz予想の変形に関する現象を観測し、規則性を発見する。また、それによって、Collatz予想に対する解決の糸口を探る。 Collatz予想 Collatz予想とは、任意の自然数nについて 𝑛 𝑖𝑓 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑2 𝑓 𝑛 = 2 3𝑛 + 1 𝑖𝑓 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑2 という操作を繰り返すと、有限回で１に到達するであろうという予想である。 1→4→2→1→4→2→1 このようなものがサイクルである。 Collatz予想の変形 Collatz予想の変形として次を考えると、 𝑛 𝑖𝑓 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑2 𝑝 𝑓 𝑛 = 𝑞𝑛 + 𝑟 𝑖𝑓 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑2 有限回である数でサイクルに到達する、あるいは発散するであろうという予想である。本実験ではCollatz予想の類似を調べるため p=2,r=1を固定する。qを円周率πと自然対数の底eに変えて、精度桁を10桁の近似値とする。フローチャート Yes 数決定１判定 No qn+1をする No 偶数判定 Yes n/2をする No サイクル判定 Yes 終了実験結果 πn+1の切り上げ πn+1の四捨五入 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 1 2 2 3 1 3 1 1 2 1 2 2 2 1 2 10 2 3 2 4 3 2 1 2 3 4 10 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 20 2 5 3 3 2 2 4 2 3 3 20 2 3 1 2 2 2 3 4 2 2 30 2 4 1 6 2 4 3 7 4 7 30 2 2 4 4 2 2 2 2 2 5 40 2 8 3 2 3 3 3 9 2 7 40 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1.最終的に１になる 2.17を含むサイクルになる 3.23を含むサイクルになる 4.61を含むサイクルになる 5.67を含むサイクルになる 6.86を含むサイクルになる 7.35274509370を含むサイクルになる 8.645を含むサイクルになる 9.47を含むサイクルになる 1.最終的に1になる 2.19→61→193→608→304→152→76 →38→19のサイクルになる 3.42を含むサイクルになる 4.43を含むサイクルになる 5.35274509370を含むサイクルになる実験結果２ πn+1の切り下げ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 2 1 2 10 1 2 1 3 2 1 1 4 2 1 20 1 3 2 1 1 1 3 4 2 2 30 1 3 1 2 4 2 2 1 2 2 40 1 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1. 最終的に１になる 2.11を含むサイクルになる 3.42を含むサイクルになる 4.17を含むサイクルになる実験結果３ en+1の四捨五入 0 en+1の切り下げ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 10 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 10 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 20 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 20 2 3 2 3 1 1 1 3 2 3 30 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 30 2 3 1 3 1 1 1 3 1 3 40 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 40 2 1 3 3 2 3 3 1 1 1 1.最終的に１になる 2.58→29→80→40→20→10→5→15 →42→21→58のサイクルになる 1.最終的に１になる 2.5を含むサイクルになる 3.23を含むサイクルになる考察 • 本実験では一つあたりの計算時間をかなり要したためあまり多くの結果を得ることができなかった。 • πでは四捨五入と切り上げにおいて同じ 35274509370を含むサイクルを見つけることができた。これにより、この数が数学的な意味合いを持つと推測される。 • また、本実験では発散するものが出なかったが、他の論文などから３から遠ざかるほど発散するものが多くなると推測される。まとめと今後の課題 • 今後の課題としてはqの種類を増やしたり、n の範囲をもっと大きなものにすることで新たなサイクルの発見をする。 • また、一つしかサイクルのなかった四捨五入e について、更に実験を繰り返して他のサイクルがあるか、または、同サイクルしか存在しないかを探る。 • また、本実験をする際に、パソコンを並列処理させて時間を短縮させる必要がある。