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社会的選択
• 様々な個人がるとき、社会のありえる状態の
うち、社会全体、どんな状態をどんなふうに選
ぶのがいいか、考える
• 「アローの不可能性定理」・・・難しい
投票のパラドックス
1
2
3
x
y
z
y
z
x
単純多数決では、
xは、yに２対１で勝ち、
yは、zに２対１で勝ち
zは、xに２対１で勝つ
z
x
y
ボルダのルール
• 各人の順位の和、
小さい順
4+1+1=6,1+2+2=5,2
+4+4=10,3+3+3=9
で
y>x>w>z
wとz を除くとx>y
1
2
3
y
x
x
z
y
y
w
w
w
x
z
z
社会的選好
• 複数個人の選好の組から、選好(社会の)へ
の関数
• 選好は、反射律・推移律・完備性を持つ二項
関係
反射律
推移律
完備性
x± x
x ± y, y ± z  x ± z
x ± y or x ± y
アローの不可能性定理
(Arrows Impossibility theorem)
•
•
•
•
以下の条件を満たす社会的選好は存在しない
(1)選択対象が3以上あるとき、
(2)全員一致を尊重し(パレート原理)
(3)どんな個人の選好の組み合わせに対しても、
社会的選択が可能で、 (定義域の非限定性)
• (4)二つの対象の社会的選好はその二つの対象に
対する各個人の選好のみによる。(非関連対象か
らの独立の条件、情報の効率性)
• (5)特定の個人の選好と完全に一致しない(非独裁
性)
選択対象が3以上あるとき
• 二つなら単純多数決がいい
定義域の非限定性
• 単峰的な選択では、投票のパラドックスは、
おこらない
• 中位投票者が勝つ
• 二次元では、投票のパラドックス
z
が起こる例は、容易に書ける。
y
x
アローの不可能性定理の解説
f :± 1 ..... ± n ± S
写像の性質
選択対象が3のとき
x yz
x
x
y
z
z
y
xy
xz
z
y
y
x
z
yz
x
y
z
z
x
x
y
x
y
yz
xz
z
y
x
z
xy
のペアがn組与えられ
ると一つ決まる
非関連対象からの独立の条件、情報
の効率性
写像の数を大幅に減らす
T  3, n  3
2197
13
 3
 2.15548506 10

27 3
2447
 4.4342648824304 10
38
パレート原理
x ± 1 y, x ± 2 y......, x ± n y  x ± S y
x ± 1 y, x ± 2 y......, x ± n y
&x
i
yx
S
y
アローの定理の証明
ペア(x,y)に決定力を持つグループ
i  G, x
i
yx
S
y
決定力を持つグループ=すべてのペア(x,y)に
決定力を持つ
決定力を持つ個人の存在=独裁者の存在
領域拡大の補題
• 一つのペアについて、決定力を持つグループ
は、決定力を持つ
G :  x, y について、決定力を持つ
G
NotG
x
a± x y± b
a ± x, y ± b
S
a
NotG
G:(x,y)に決定力を持つ
y
 y±S b
x S b
a±S x
G
領域の非限定により取れる
任意
パレート
推移律
パレートと推移律
S
b
b
非対象領域からの独立
a
S
b
G : 任意の a, bについて、決定力を持つ
(支配)グループ縮小の補題
• 二人以上からなる決定力を持つグループがあれば、
そのグループに含まれるより小さい決定力を持つグ
ループがある。
決定力があるGをG1とG2に分ける
G1
G2
Other
x
S
x,y
xfy
xfy
any
y,z
any
zfy
any
z,x
xfz
any
any
領域の非限定だ
けでなく、ここで
対象が3つ以上
あることを使う
z  G1は、 x, zに決定力を持つ
領域拡大の
 G1は、決定力を持つ
z±S xz±S x
Lemma使う
S
y
Gが支配力を持つ＋
推移律
 G2は、 z, y に決定力を持ち決定力を持つ
アローの定理の証明
パレートにより、全員は、支配力を持つので、
(支配)グループ縮小の補題を繰り返すと一人まで落ちる。

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