絡み目の不変量 カウフマンブラッケト多項式

絡み目の不変量
カウフマンブラケット多項式
の効率的な実装
平成13年2月7日(水)
5497033 澤木 俊明
5497038 加藤 正朗
概要
結び目とはゴムのように伸び縮みする輪のようなもので、
結び目理論とは絡まった輪を切らずにほどくことができる
かどうか?というようなことを考える学問です。
?
結び目が自明な結び目か?
( 絡まった輪をほどけるか )
二つの結び目が同じであるか?
( 二つの絡まった輪の一方を
もう一方と同じ形にできるか )
これらの問題は結び目理論
の基本的なテーマである。
今回の成果
ある結び目理論に関連する問題を解くプログラム制作
目次




結び目・絡み目の定義
絡み目の不変量
カウフマンブラケット多項式
今回制作したプログラムについて
結び目の定義
3
結び目( Knot ) : R 内の多辺形 ( 閉じた折れ線 )
2
自明な結び目 : R 内の多辺形と 同型 なもの
位相同型を与える同相写像
3
全同位変形
R 内で自分自身を横切らないでひもを動かすようなこと
( ambient
isotopy )
二つの結び目が同じとは?
一方から他方へ全同位変形可能
全同位変形
R3
結び目
同じ結び目
自明な結び目
絡み目の定義
絡み目
( Link )
複数の結び目の輪が絡んでできたもの
絡み目の一つでホワイトヘッド絡み目
と呼ばれているものである。これは二
本の輪(2つの成分)からできている。
注
R3
結び目は1成分の絡み目
射影図
射影図 : 結び目を平面に射影した図
正則射影 : 多重点が横断的に交わっている二重点のみの射影図
~
ダイアグラム : 正則射影に交叉の情報を与えたものであり L で表す
正則射影
絡み目
射影
×
〇
R
3
R
2
ダイアグラム
ライデマイスター移動
絡み目
A
全同位変形
絡み目
B
射
影
射
影
ダイアグラム
A
ダイアグラム
B
?
ライデマイスター移動 ( Reidemeister move )
二つのダイアグラムが同じ絡み目を表すかど
うかを判定するための道具
ライデマイスター移動 にはⅠ、Ⅱ、Ⅲ の三
つの移動がある
ライデマイスター移動Ⅰ
ルールⅠ
ライデマイスター移動Ⅱ
ルールⅡ
ライデマイスター移動Ⅲ
ルールⅢ
両者間を移り合う
ライデマイスター移動の
有限列が存在
二つのダイアグラムが
同じ絡み目を表す
A と B が同じ絡み目の
ダイアグラムとすると
ダイアグラム
A
ライデマイス
ター移動
順序?回数?
ダイアグラム
B
二つダイアグラムが互いに移り合うことが可能でもそ
の順序や回数を得るアルゴリズムは知られていない。
絡み目の不変量
絡み目の不変量
( invarinat )
同じ絡み目に対して必ず同じ値を持つもの.
絡み目の不変量( 以下、不変量 ) が異なれば
少なくとも同じ絡み目とはいえない 。
例えば、左の絡み目の閉曲線の本数が
3 であるということは 不変量 である。
右の絡み目の閉曲線の本数も 3 である。
しかし、この二つは違う絡み目である。
このように、閉曲線の本数は絡み目を区別するのにはあまり適さない。
多項式不変量
ジョーンズ多項式
( Jones
polynomial
)
ジョーンズ多項式
有向絡み目 の 多項式不変量 のひとつ
~
~
-3ω( L )
( -A )
~
<L>
カウフマンブラケット多項式( < L > )
に乗算することによって
ジョーンズ多項式 を得る。
カウフマンブラケット多項式
( kauffman bracket
polynomial )
~
< L > : カウフマンブラッケト多項式
~
この多項式自体は 不変量ではない が、ω( L ) と組み合わせること によって
Jones多項式 が得られる。
ライズ
( writhe )
Jones多項式 を求めるために 有向絡み目
の交
~
点のパラメータを計算したもので、ω( L ) で表す。
目標
我々は ジョーンズ多項式 という有向絡み目の不変量
を求めるために必要な カウフマンブラケット多項式 を
計算するプログラムの制作を最終目標とした。
ここからは カウフマンブラケット多項式 を求める
ために必要な処理や手順を紹介して行きたいと
思います。
不変量(ジョーンズ多項式)を
求めるには
絡み目
立体から平面へ
ダイアグラム(射影図)
有向にし、ライズ
を計算する
~
ω( L )
図をグラフに
置きかえる
ダイアグラムのグラフ
カウフマンブラケット
多項式
ジョーンズ多項式
ステート を使い
グラフを数値化
ダイアグラムのグラフ
ダイアグラムの交差部分の上下の情報をグラフの辺に加え
射影図を二色に塗り分け、非有界な領域を含まない色の各
領域に一点ずつ点を取りグラフの頂点とします。それらの点
る。グラフの辺に注目したとき、辺を時計回りに回し、上を通
を交差する部分を通るように結びグラフの辺とします。
るダイアグラムに重なれば、+。逆ならば、-。
-
-
-
+
-
グラフの詳細
V : 頂点の集合
G = ( V , E , sgn )
E : 辺の集合
sgn : ダイアグラムの
{+ , -}パラメータの集合
+
+
sgn = {+1 , -1 , +1}
-
G
|V ( G )| : G の頂点の数
|E ( G )| : G の辺の数
ステート
ステート
( state )
グラフの辺に任意に{+1 , -1}
情報を与えたもの
ステートを s 、
S
{+1 , +1 , +1}
注 ステートの集合を S で表
す。
辺が3本の場合
{+1 , +1 , -1}
{+1 , -1 , +1}
{+1 , -1 , -1}
+
+
( 辺の本数 )
2
-
{-1 , +1 , +1}
{-1 , +1 , -1}
{-1 , -1 , +1}
G
{-1 , -1 , -1}
sG の作り方
グラフ( G ) のパラメータ と ステート を
対応させて{+ , -}情報が一致する
辺を有効にしたグラフ
ステートグラフ
( sG )
s
=
sgn
sG の E
( Es )
sgn = {+1 , -1 , +1}
++
+-
-
-
G
sG
s = {+1 , -1 , -1}
sG = ( V , Es )
カウフマンブラケット多項式
~
< L > = ∑ T(s)
s∈S
μ(s)
T(s) = A
2
-2
(-A -A )
β(s) - 1
μ(s) : ステートの和
例
s = {+1、-1、+1}
μ(s) = 1-1+1 = 1
β(s)
β(s) = a + b
a : sG の閉路をなくすために取らなくては
ならない辺の最小本数
b : sG のコンポーネント数
a=2
b=2
β(s) = 2 + 2 = 4
sG
全域森 の辺の数 = |V ( sG )| – コンポーネント数
|V ( sG )| – 全域森の辺の数 = コンポーネント数 = b
|E ( sG )| - 全域森の辺の数
= sG が閉路を持たないようにするために
取り除かなければならない最小辺数 = a
全域森
β(s) = a + b
|V ( sG )| = 6
|E ( sG )| = 6
全域森の辺の数 = 4
a=6-4=2
b=6-4=2
sG
カウフマンブラケット多項式の例
G = ( V , E , sgn ) =
-
-
-
ステートは辺に対応してできる以下では簡単のため
s (+1 , +1 , -1) などを
+
-
s = (++-)
+
と表す
+
+
s = (+++)
+
s = (+--)
+
+
S =
-
-
-
s = (++-)
-
-
s = (-+-)
+
+
+
-
+
+
s = (--+)
s = (+-+)
-
-
-
+
-
-
s = (---)
s = (-++)
+
-
-
-
-
-
s = (---)
μ(s)= -3
β(s)= 1+1=2
-
-
-3
T(s) = A
=A
-
-2
(-A -A )
2-1
-5
+A
-
+
s = (+++)
-1
2
+
+
-
μ(s)= 3
T(s) = A
3
β(s)= 3+0
2
-2
(-A -A )
-1
3
= A + 2A + A
7
3 -1
-
-
+
-
s = (++-)
μ(s)= 1
β(s)= 2+0
+
-
-
-
+
T(s) = A
+
s = (+-+)
1
-2
2
(-A -A )
3
-1
= -A -A
-
-
-
-
-
+
s = (-++)
+
-
3
-1
T(s)×3 = -3A -3A
2 -1
-
-
+
-
s = (+--)
μ(s)= -1
β(s)= 1+0
-
-
-
-
-
T(s) = A
-
-1
s = (-+-)
= A
+
2
(-A -A )
-1
-
-
-
-
+
s = (--+)
-
-
-2
T(s)×3 = 3A
-1
1-1
~
∑ T(s)
s∈S
-5
-1
3
= A + 2A - A + A
7
G = ( V , E , sgn )
-
-
のカウフマンブラケット多項式
-
-5
-1
3
= A + 2A - A + A
7
プログラム
ダイアグラムのグラムをテキストファイルに変換
ダイアグラムのグラフ G を構築
テキストを読み込む
( 隣接リスト )
全ての s に対して以下を実行
S に対し G より sG を構築・格納
~
~
<L>=<L>+T(s)
sG に対して深さ優先探索
T ( s ) を求める
カウフマンブラッケト多項式
発表者 : 澤木俊明
PowerPoint製作 : 加藤正朗
Resume製作 : 澤木俊明
Program製作 : 澤木俊明、加藤正朗
Knot グループ
澤木俊明、加藤正朗
Specal Thanks : スポーツ グループ
終わり
質問タイム
~
有向絡み目のダイアグラム L
-
+
+
+
+ 1 + 1 + 1 - 1 - 1 = 1
w( L ) = 1
+
-