絡み目の不変量カウフマンブラッケト多項式

絡み目の不変量
カウフマンブラケット多項式
の効率的な実装
平成13年2月7日(水)
5497033 澤木俊明
5497038 加藤正朗
概要
結び目とはゴムのように伸び縮みする輪のようなもので、
結び目理論とは絡まった輪を切らずにほどくことができる
かどうか？というようなことを考える学問です。
?
結び目が自明な結び目か？
（絡まった輪をほどけるか）
二つの結び目が同じであるか？
（二つの絡まった輪の一方を
もう一方と同じ形にできるか）
これらの問題は結び目理論
の基本的なテーマである。
今回の成果
ある結び目理論に関連する問題を解くプログラム制作
目次




結び目・絡み目の定義
絡み目の不変量
カウフマンブラケット多項式
今回制作したプログラムについて
結び目の定義
3
結び目（ Knot ）： R 内の多辺形（閉じた折れ線）
2
自明な結び目： R 内の多辺形と同型なもの
位相同型を与える同相写像
3
全同位変形
R 内で自分自身を横切らないでひもを動かすようなこと
（ ambient
isotopy ）
二つの結び目が同じとは？
一方から他方へ全同位変形可能
全同位変形
R3
結び目
同じ結び目
自明な結び目
絡み目の定義
絡み目
（ Link ）
複数の結び目の輪が絡んでできたもの
絡み目の一つでホワイトヘッド絡み目
と呼ばれているものである。これは二
本の輪（２つの成分）からできている。
注
R3
結び目は１成分の絡み目
射影図
射影図：結び目を平面に射影した図
正則射影：多重点が横断的に交わっている二重点のみの射影図
~
ダイアグラム：正則射影に交叉の情報を与えたものであり L で表す
正則射影
絡み目
射影
×
〇
R
3
R
2
ダイアグラム
ライデマイスター移動
絡み目
A
全同位変形
絡み目
B
射
影
射
影
ダイアグラム
A
ダイアグラム
B
?
ライデマイスター移動（ Reidemeister move ）
二つのダイアグラムが同じ絡み目を表すかど
うかを判定するための道具
ライデマイスター移動にはⅠ、Ⅱ、Ⅲ の三
つの移動がある
ライデマイスター移動Ⅰ
ルールⅠ
ライデマイスター移動Ⅱ
ルールⅡ
ライデマイスター移動Ⅲ
ルールⅢ
両者間を移り合う
ライデマイスター移動の
有限列が存在
二つのダイアグラムが
同じ絡み目を表す
A と B が同じ絡み目の
ダイアグラムとすると
ダイアグラム
A
ライデマイス
ター移動
順序？回数？
ダイアグラム
B
二つダイアグラムが互いに移り合うことが可能でもそ
の順序や回数を得るアルゴリズムは知られていない。
絡み目の不変量
絡み目の不変量
（ invarinat ）
同じ絡み目に対して必ず同じ値を持つもの.
絡み目の不変量（以下、不変量）が異なれば
少なくとも同じ絡み目とはいえない。
例えば、左の絡み目の閉曲線の本数が
３であるということは不変量である。
右の絡み目の閉曲線の本数も３である。
しかし、この二つは違う絡み目である。
このように、閉曲線の本数は絡み目を区別するのにはあまり適さない。
多項式不変量
ジョーンズ多項式
（ Jones
polynomial
）
ジョーンズ多項式
有向絡み目の多項式不変量のひとつ
~
~
-3ω( L )
( -A )
~
<L>
カウフマンブラケット多項式（ < L > ）
に乗算することによって
ジョーンズ多項式を得る。
カウフマンブラケット多項式
（ kauffman bracket
polynomial ）
~
< L > : カウフマンブラッケト多項式
~
この多項式自体は不変量ではないが、ω( L ) と組み合わせることによって
Jones多項式が得られる。
ライズ
（ writhe ）
Jones多項式を求めるために有向絡み目
の交
~
点のパラメータを計算したもので、ω( L ) で表す。
目標
我々はジョーンズ多項式という有向絡み目の不変量
を求めるために必要なカウフマンブラケット多項式を
計算するプログラムの制作を最終目標とした。
ここからはカウフマンブラケット多項式を求める
ために必要な処理や手順を紹介して行きたいと
思います。
不変量（ジョーンズ多項式）を
求めるには
絡み目
立体から平面へ
ダイアグラム（射影図）
有向にし、ライズ
を計算する
~
ω( L )
図をグラフに
置きかえる
ダイアグラムのグラフ
カウフマンブラケット
多項式
ジョーンズ多項式
ステートを使い
グラフを数値化
ダイアグラムのグラフ
ダイアグラムの交差部分の上下の情報をグラフの辺に加え
射影図を二色に塗り分け、非有界な領域を含まない色の各
領域に一点ずつ点を取りグラフの頂点とします。それらの点
る。グラフの辺に注目したとき、辺を時計回りに回し、上を通
を交差する部分を通るように結びグラフの辺とします。
るダイアグラムに重なれば、＋。逆ならば、－。
－
－
－
＋
－
グラフの詳細
V : 頂点の集合
G = ( V , E , sgn )
E : 辺の集合
sgn : ダイアグラムの
｛＋ , －｝パラメータの集合
＋
＋
sgn = ｛＋１ , －１ , ＋１｝
－
G
｜V ( G )｜ : G の頂点の数
｜E ( G )｜ : G の辺の数
ステート
ステート
（ state ）
グラフの辺に任意に｛＋１ , －１｝
情報を与えたもの
ステートを s 、
S
｛＋１ , ＋１ , ＋１｝
注ステートの集合を S で表
す。
辺が３本の場合
｛＋１ , ＋１ , －１｝
｛＋１ , －１ , ＋１｝
｛＋１ , －１ , －１｝
＋
＋
( 辺の本数 )
2
－
｛－１ , ＋１ , ＋１｝
｛－１ , ＋１ , －１｝
｛－１ , －１ , ＋１｝
G
｛－１ , －１ , －１｝
sG の作り方
グラフ（ G ）のパラメータとステートを
対応させて｛＋ , －｝情報が一致する
辺を有効にしたグラフ
ステートグラフ
（ sG ）
s
=
sgn
sG の E
( Es )
sgn = ｛＋１ , －１ , ＋１｝
＋＋
＋－
－
－
G
sG
s = ｛＋１ , －１ , －１｝
sG = ( V , Es )
カウフマンブラケット多項式
～
< L > = ∑ T(s)
s∈S
μ(s)
T(s) = A
2
－2
(－A －A )
β(s) － 1
μ(s) : ステートの和
例
s = ｛＋１、－１、＋１｝
μ(s) = １－１＋１ = １
β（ｓ）
β(s) = a + b
a : sG の閉路をなくすために取らなくては
ならない辺の最小本数
b : sG のコンポーネント数
a=2
b=2
β(s) = 2 + 2 = 4
sG
全域森の辺の数 = ｜V ( sG )｜ – コンポーネント数
｜V ( sG )｜ – 全域森の辺の数 = コンポーネント数 = b
｜E ( sG )｜－全域森の辺の数
= sG が閉路を持たないようにするために
取り除かなければならない最小辺数 = a
全域森
β(s) = a + b
｜V ( sG )｜ = 6
｜E ( sG )｜ = 6
全域森の辺の数 = 4
a=6－4=2
b=6－4=2
sG
カウフマンブラケット多項式の例
G = ( V , E , sgn ) =
－
－
－
ステートは辺に対応してできる以下では簡単のため
s (＋１ , ＋１ , －１) などを
＋
－
s = (＋＋－)
＋
と表す
＋
＋
s = (＋＋＋)
＋
s = (＋－－)
＋
＋
S ＝
－
－
－
s = (＋＋－)
－
－
s = (－＋－)
＋
＋
＋
－
＋
＋
s = (－－＋)
s = (＋－＋)
－
－
－
＋
－
－
s = (－－－)
s = (－＋＋)
＋
－
－
－
－
－
s = (－－－)
μ（s）= －３
β（s）= １＋１＝２
－
－
－３
T(s) = A
=A
－
－２
(－A －A )
２－１
－５
+A
－
＋
s = (＋＋＋)
－１
２
＋
＋
－
μ（s）= ３
T(s) = A
３
β（s）= ３＋０
2
－2
(－A －A )
－１
3
= A + 2A + A
7
3 －１
－
－
＋
－
s = (＋＋－)
μ（s）= １
β（s）= ２＋０
＋
－
－
－
＋
T(s) = A
＋
s = (＋－＋)
１
－２
２
(－A －A )
３
－１
= －A －A
－
－
－
－
－
＋
s = (－＋＋)
＋
－
３
－１
T(s)×3 = －3A －3A
２－１
－
－
＋
－
s = (＋－－)
μ（s）= －１
β（s）= １＋０
－
－
－
－
－
T(s) = A
－
－１
s = (－＋－)
= A
＋
２
(－A －A )
－１
－
－
－
－
＋
s = (－－＋)
－
－
－2
T(s)×3 = 3A
－１
１－１
～
∑ T(s)
s∈S
－５
－１
３
= A ＋ 2A － A ＋ A
７
G = ( V , E , sgn )
－
－
のカウフマンブラケット多項式
－
－５
－１
３
= A ＋ 2A － A ＋ A
７
プログラム
ダイアグラムのグラムをテキストファイルに変換
ダイアグラムのグラフ G を構築
テキストを読み込む
（隣接リスト）
全ての s に対して以下を実行
S に対し G より sG を構築・格納
~
~
<L>=<L>+T(s)
sG に対して深さ優先探索
T ( s ) を求める
カウフマンブラッケト多項式
発表者 : 澤木俊明
PowerPoint製作 : 加藤正朗
Resume製作 : 澤木俊明
Program製作 : 澤木俊明、加藤正朗
Knot グループ
澤木俊明、加藤正朗
Specal Thanks : スポーツグループ
終わり
質問タイム
~
有向絡み目のダイアグラム L
-
+
+
+
+ 1 + 1 + 1 - 1 - 1 = 1
w( L ) = 1
+
-

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