確率的在庫モデル - LOG OPT HOME

ロジスティクス工学
第４章
確率的在庫モデル
サプライ・チェインの設計と解析
第３章
在庫管理とリスク共同管理
pp.53-58 スイカ紡の事例を読んでおくこと！
東京海洋大学
久保幹雄
なぜ在庫管理は大事なのか？
• 「サプライ・チェインの設計と管理」p.48の事例参照
デル社やIBMなどの失敗の例
• 日本国内の大手スーパーの倉庫における平均在
庫は，
食料品で２週間から４週間
非食料品でその倍！
• さらに．．．
最近の製品ライフサイクルの短縮と多品種化（顧客
ニーズの多様化）
在庫管理の２大法則
• 在庫管理の第１法則
予測は常に外れる！(在庫保持の第１要因）
• 在庫管理の第２法則
在庫は集約するほど（１ヶ所で管理するほど）少な
くなる！（リスク共同管理）->安全在庫配置モデル
で詳述
在庫保持の他の要因として．．．
• まとめて運ぶ（作る）方が安くできるため（規模の経済性）
->経済発注量（経済的ロットサイズ）モデルで詳述
• 注文してから商品が届くまでの時間（リード時間）の不確実性
•季節変動に対処するため（夏のジュースの缶は春頃から在庫
を貯めないと間に合わない）
経済発注量モデルの例
研究室のビール在庫
某研究室ではビールを冷蔵庫で適切に管
理することが義務づけられている．ビールは
新鮮さが第一だの先生のモットーにより，１
日あたりのビールの劣化は，１本あたり 10円
で，発注は近所のコンビニに出前を頼むので
１回あたり３００円かかる．また，研究室には
大酒のみが多いため１日に１０本のペースで
消費されるものとする．最適な（研究室費を
無駄にしない）発注方策を考えよ．
経済発注量モデル
発注量
需要
在庫
サイクル時間
時間
最適経済発注量の公式
• 発注固定費用＝３００円/回
• 需要の平均＝１０本/日
• 在庫費用＝１０円/本・日
2 固定費用 需要量
最適発注量
在庫費用
2  30010
最適発注量 
 24.5
10
経済発注量（Economic Ordering
Quantity ：EOQ)モデル
• d (個/日): １日あたりの品目の需要量
• Q (個): 発注量（変数）
[生産現場ではロットサイズ]
• K (円): 発注１回あたりの固定費用
[生産現場では段取り費用]
• h ( 円/(日・個) ）: 品目１個あたり・１日あたりの在庫保管
費用
目的：
無限期間における最適な（発注費用＋在庫保管費用を
最小にする）発注方策（いつ，どれだけ発注するのか）を
決める．
条件：
品切れは許さない．
注文した品目はすぐに（リード時間0で）到着する．初期在庫は 0
在庫レベル
d：傾き＝－需要のスピード
Q
h×面積
サイクル時間 (T 日) = [
]
T 日間の総費用 = 発注費用 +在庫保管費用
=
f(Q)= １日あたりの費用 =
時間
EOQモデル
• 最小化 f(Q)
– ∂f(Q)/∂Q =
– ∂2f(Q)/∂Q2 =
– f(Q) は [ ] 関数.
• Q* =
• f(Q* )=
スイカ紡の例:Excelによる計算1
販売（需要）量確率
9000 処分利益変動費
固定費
利益
利益期待値
8000
0.11 1000000
20000
720000
100000
200000
22000
10000
0.11 1125000
0
720000
100000
305000
33550
12000
0.27 1125000
0
720000
100000
305000
82350
14000
0.22 1125000
0
720000
100000
305000
67100
16000
0.19 1125000
0
720000
100000
305000
57950
18000
0.1 1125000
0
720000
100000
305000
30500
1 利益
293450
=125*MIN($D$1,$B2) =20*MAX($D$1-B2,0)
=D2+E2-F2-G2
•サプライ・チェインの設計と管理 p.53 事例水着の生産
•Excelファイル Fig3-3.xls 参照
•生産開始の固定費用１０万ドル
•１着あたり８０ドル
•シーズン中の販売価格１２５ドル/着
•売れ残り処分費２０ドル/着
スイカ紡の例:Excelによる計算2
確率
0.11
0.11
0.27
0.22
0.19
0.1
1
8000
28600
28600
70200
57200
49400
26000
260000
9000
22000
33550
82350
67100
57950
30500
293450
サプライ・チェ
インの設計と
管理 p.53 事例
水着の生産
Excelファイル
Fig3-4.xls 参照
10000
15400
38500
94500
77000
66500
35000
326900
11000
8800
31900
106650
86900
75050
39500
348800
12000
2200
25300
118800
96800
83600
44000
370700
13000
-4400
18700
102600
106700
92150
48500
364250
14000
-11000
12100
86400
116600
100700
53000
357800
15000
-17600
5500
70200
103400
109250
57500
328250
16000
-24200
-1100
54000
90200
117800
62000
298700
17000
-30800
-7700
37800
77000
106400
66500
249200
400000
350000
300000
250000
200000
系列1
150000
100000
50000
0
0
5000
10000
15000
20000
25000
18000
-37400
-14300
21600
63800
95000
71000
199700
初期在庫の影響
Excelファイル Table3-2.xls
販売（需要）量確率
8000
0.11
10000
0.11
12000
0.27
14000
0.22
16000
0.19
18000
0.1
生産する場合
1
生産しない場合
•
•
•
5000
13750
13750
33750
27500
23750
12500
125000
225000
6000
18700
18700
45900
37400
32300
17000
170000
270000
サプライ・チェインの設計
と管理 p.53 事例水着
の生産
初期在庫のまま：５０００
着（生産しない場合）
225000+5000×80
12000着まで（生産する
場合）
370700 +5000×80
7000
23650
23650
58050
47300
40850
21500
215000
315000
8000
28600
28600
70200
57200
49400
26000
260000
360000
9000
22000
33550
82350
67100
57950
30500
293450
393450
10000
15400
38500
94500
77000
66500
35000
326900
426900
11000
8800
31900
106650
86900
75050
39500
348800
448800
12000
2200
25300
118800
96800
83600
44000
370700
470700
13000
-4400
18700
102600
106700
92150
48500
364250
464250
14000
-11000
12100
86400
116600
100700
53000
357800
457800
15000
-17600
5500
70200
103400
109250
57500
328250
428250
500000
450000
400000
350000
300000
250000
200000
系列1
系列2
150000
100000
50000
0
0
5000
10000
15000
生産をした場合の利益が225000以上なら生産する！
20000
安全在庫量決定のための手法
（固定費用がない場合）
• リード時間（L）：発注してから製品が到着するま
でにかかる時間（ここでは，時間は連続的で，い
つでも発注できるものとする）
• 顧客の需要は不確実（正規分布と仮定）
平均 AVG (Averageの略），標準偏差 STD
(Standard Deviationの略）
• 1日・製品1単位あたりの在庫保管費用（h）
• 在庫切れの確率を1ーα以下にする．（αはサービ
スレベル）
•サプライ・チェインの設計と管理 p.58 事例秋葉原無線
平均と標準偏差と正規分布
• 平均：確率変数の和を個数で割った値
• 分散：平均からの差の２乗和を個数で割った値
• 不偏分散（標本の場合に使う）：平均からの差の２乗和を
（個数ー１）で割った値（「サプライ・チェインの設計と管
理」p.99）
• 標準偏差：分散の平方根
• 和の公式：
• 正規分布 N(0,1) の面積がサービスレベル
（α）になる値->安全在庫係数（z）
• Prob（リード時間内の需要
≧L×AVG+z×STD×√L) =1ーα
サービスレベルと安全在庫係数
サービスレベル
安全在庫係数
累積正規分布関
数の逆関数
90
1.29
91
1.34
92
1.41
93
1.48
1.282
1.341
1.405
1.476
94
1.56
95
1.65
1.555 1.645
96
1.75
99
2.33
99.9
3.08
1.751 1.881 2.054 2.326
3.09
3.5
3
2.5
安全在庫係数
2
累積正規分布関数の逆
関数
1.5
1
0.5
0
90
95
100
98
2.05
Excelファイル Table3-2.xls
=NORMSINV(B1/100)
85
97
1.88
105
発注点
• 在庫がある量（発注点）になったら注文
• 在庫ポジション（手持ち在庫＋すでに発注された
がまた届いていない製品の総量）
が発注点未満なら，発注点になるように注文！
• 発注点の決め方
リード時間内の平均需要量＋在庫切れがおきな
いことを保証するための在庫量（安全在庫量）
•サプライ・チェインの設計と管理 p.58 事例秋葉原無線
秋葉原無線の例
• リード時間 2週間
• サービスレベル 97％->安全在庫係数=[ ]
• １週間(1月は4.3週とする）あたりの需要の平均
値＝[ ]
• １週間あたりの需要の標準偏差＝[ ]
• 発注点＝[
]；それは何週間分か？ =[
]
=STDEV(B2:M2)
月
販売量
9
10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8 平均
標準偏差
200 152 100 221 287 176 151 198 246 309 98 156 191.1667 66.53479
エクセルファイル Table3-3.xls
=AVERAGE(B2:M2)
安全在庫量決定のための手法 (s,S)方策
（固定費用がある場合）
• 発注固定費用（K）->経済発注量モデル
（経済的ロットサイズ・モデル）で発注量Q
を決定
• 在庫ポジションが発注点（s）未満なら
S =max{リード時間内の需要量の平均,Q}
+安全在庫量
まで在庫ポジションを増やすように発注
•サプライ・チェインの設計と管理 p.58 事例秋葉原無線
秋葉原無線の例（固定費用あ
り）
• 固定費用（K）は4500ドル
• 卸値250ドル，年間在庫保管比率18％
（年は52週と仮定）
->１週間あたりの在庫費用=[
]
• 発注量（Q）は経済発注量モデル（経済的ロットサ
イズ・モデル）より
Q= [ 公式 ] = [
]
• 補充目標量（目標在庫ポジション）（S）=[
]
安全在庫量決定のための手法 (s,S)方策
（リード時間が変動する場合）
• リード時間が正規分布
平均（AVGL），標準偏差（STDL）
さらに大きい安全在庫量が必要
発注点s  AVG  AVGL  z AVGL STD2  AVG2  STDL2
• 注意：おととい発注した製品より，昨日注
文した製品の方が早く到着する可能性が
ある！（これは非現実的）
•サプライ・チェインの設計と管理 p.58 事例秋葉原無線
練習問題 4-1
• 秋葉原無線の例題で，リード時間の平均
が2週間，（１週間あたりの）標準偏差が
32.08であるときの発注点（s）と補充目標量
（目標在庫ポジション）（S）を求めよ．
• また，リード時間が確定的である場合と比
べるとどうか考察せよ．
１段階モデル
ロジスティクス工学 pp.63-68 , 4.1節
モダンな安全在庫決定のための方式の導出！
各期 t=1,2… において
発注量 q[t]
小売店
顧客
在庫量 I[t]
需要量 D[t]
タイミング（離散時間モデル）
リード時間 L
t期の期末に発注された商品は t+L+1期の期首に到着
（いつでも発注できる(s,S)方策のときの連続時間モデル
とは，定義が異なることに注意！）
2)
需要D[t]
発生
t期
t+1期
t+2期
１）t-L-1期に 3)需要予測 F[t+1]
発注した
4)発注 q[t]
商品到着
t+3期
t+4期
t+L+1期（L=3)に
商品到着
需要の確率過程
• 平均 d
• 需要過程の不安定性を表すパラメータ a (0<a<1)
• t期における誤差 e[t], t=1,2,…
D[1]= d+e[1]
D[t]= D[t-1] -(1-a) e[t-1] +e[t], t=2,3,…
テキストでは
D1  d  1
Dt＝Dt 1  (1   ) t 1   t , t  2,3,
Excelによる図示
d=100,a=0.9,e[t]=[-10,10]の一様乱数
A
１需要量 D[t]=D[t-1]-(1-a)e[t-1]+e[t]
２
92.50207999
３
97.95128683
４
98.18900674
５
108.4135819
99.5439356
６
92.32458517
７
B
e[t]
-7.497920006
-1.298921166
-0.93130914
9.386396971
-0.421889065
-7.599050589
C
a
0.9
0.9
0.9
0.9
0.9
0.9
=100+B2
=RAND()*(-20)+10
=A2-（１－C2）*B2+B3
=C3
パラメータaを変えたときの需要量
a=0.9
需要量 D[t]=D[t-1]-(1-a)e[t-1]+e[t]
120
100
80
需要量 D[t]=D[t-1](1-a)e[t-1]+e[t]
60
40
20
91
82
73
64
55
46
37
28
19
10
1
0
パラメータaを変えたときの需要量
a=0.5
需要量 D[t]=D[t-1]-(1-a)e[t-1]+e[t]
120
100
80
需要量 D[t]=D[t-1](1-a)e[t-1]+e[t]
60
40
20
91
82
73
64
55
46
37
28
19
10
1
0
パラメータaを変えたときの需要量
a=0.1
需要量 D[t]=D[t-1]-(1-a)e[t-1]+e[t]
120
100
80
需要量 D[t]=D[t-1](1-a)e[t-1]+e[t]
60
40
20
91
82
73
64
55
46
37
28
19
10
1
0
練習問題 4-2
• パラメータaを色々変えた場合のグラフ
• 得られた観察と実際の需要の関係につい
て考察せよ．
• 需要過程を指数平滑法で予測せよ．
（ツール/分析ツール/指数平滑法）
減衰率をどのように設定したときが，最も
誤差が少ないか？考察せよ．
発注量 q[t]
• 需要予測 (指数平滑法）
F[1]=d
F[t]=a D[t-1] + (1-a) F[t-1], t=2,3,…
テキストでは
dˆ  d
1
dˆt＝Dt 1  (1   )dˆt 1 , t  2,3,
• t期の期末に，t期の需要量 D[t]と次期との予測
値の差 F[t+1]-F[t]をリードタイム（L）＋１倍したも
の和を発注
q[t]=D[t]+(L+1) (F[t+1]-F[t]) ,t=1,2,…
ただし q[t]=d, t<=0を仮定
予測量と発注量の図
a=0.5
1080
1060
1040
1020
1000
需要量 D[t]=D[t-1]-(1-a)e[t-1]+e[t]
980
F[t]
960
q[t]
101
97
93
89
85
81
77
73
69
65
61
57
53
49
45
41
37
33
29
25
21
17
13
9
5
1
940
期末在庫量 I[t]
• 在庫量の保存式
期末在庫量=
前期の期末在庫量-需要量＋到着した商品の量
I[0]=安全在庫量
I[t] =I[t-1] –D[t] +q[t-L-1],t=1,2,…
Excelによる図示 2
A
1
2
3
4
5
6
7
8
需要量
D[t]=D[t-1](1-a)e[t1]+e[t]
993.1913284
1004.405119
992.9290505
B
C
e[t]
D
a
-6.8086716
7.80945476
-7.5713411
F[t]
0.5
0.5
0.5
1000
996.5956642
1000.500392
E
L
F
G
q[t]
I[t]
1000
1000
1000
1000
100
3 982.9783209 106.8087
3 1016.119301 102.4036
3 981.5720389 109.4745
=C7*A6+(1-C7)*D6
=A6+(E6+1)*(D7-D6)
=G5-A6+F2
101
97
93
89
85
81
77
73
69
65
61
57
53
49
45
41
37
33
29
25
21
17
13
9
5
1
在庫量の変化 a=0.5
I[t]
160
140
120
100
80
I[t]
60
40
20
0
練習問題 4-3
• パラメータaを色々変えた場合の予測量，
発注量，在庫量のグラフ
• パラメータaと安全在庫量の関係について
考察せよ．
需要量と予測値の関係
D[1]  F[1]  e[1]
F[t ]  D[t ]  e[t ]  (1  a)(F[t  1]  D[t  1]  e[t  1])
D[t ]  F[t ]  e[t ], t  1,2,3,...
展開式
t 1
D[t ]  d  a e[k ]  e[t ]
k 1
D[t ]  F[t ]  e[t ]
F [t  1]  aD[t ]  (1  a ) F [t ]

F [t ]  ae[t ]

t
d  a  e[k ]
k 1
在庫量の展開式
I [t ] 

I [t  1]  D[t ]  q[t  L  1]
t
t  L 1
k 1
k  L
I [0]   D[k ] 
 q[k ]
 I [0]  ( D[t ]    D[t  L])  ( L  1) F [t  L]

I [0]  ( D[t ]  F [t  L])    ( D[t  L]  F [t  L])

I [0]  (e[t ]  ae[t  1]    ae[t  L])
 (e[t  1]  ae[t  2]    ae[t  L])    (e[t  L])
L
I [t ]  I [0]   e[t  k ](1  ka)
k 0
在庫量の理論式
• e[t]：平均０，標準偏差σの正規分布
• 期待値
E ( I [t ])  I [0]
• 標準偏差
STD( I [t ])  
L
 (1  ka)
2
k 0
a L(2 L  1)
  L  1 1  aL 
6
2
安全在庫量
• z：安全在庫のためのパラメータ
a 2 L(2 L  1)
I [0]  z L  1 1  aL 
6
• a=0のとき（定常分布） I [0]  z L  1
• a=1のとき（ランダムウォーク：酔歩）
( L  1)(L  2)(2L  3)
I [0]  z
6
練習問題 4-4
• 以下のzの表をもとに，種々のaとzに対して
実験して，在庫切れが起きないか確認せ
よ．
• aを色々変えたときのI[0]とLの関係をグラ
フにして調べよ．E.g.,どんなときに関数は
凹関数になるか？
サプライ・チェインにおける在庫管理
• サプライ・チェインの設計と管理 p.69,3.5節参照
小売業者
エシェロンリード時間（２週間）
供給業者
倉庫
（秋葉原無線）
倉庫のエシェロン在庫
ポジション
倉庫の
エシェロン在庫量
多段階モデル（例として２段階）
ロジスティクス工学 pp.68-71 , 4.2節
各期 t=1,2… において
リード時間L2
リード時間L1
メーカー
発注量 q2[t]
小売店
顧客
在庫量 I2[t]
在庫量 I1[t]
需要量 D1[t]
第２段階の需要量 D2[t]
＝発注量 q1[t]
= 需要量+リード時間×（予測の差）
= D1[t]+(L1+1) (F1[t+1]-F1[t])
第２段階の需要量の展開式(1)
D2[t]=D1[t]+(L1+1) (F1[t+1]-F1[t])
t 1
D1[t ]  d  a1 e1[k ]  e1[t ]
k 1
t
F1[t  1]  d  a1 e1[k ]
k 1
t 1
D2[t ]  d  a1 e1[k ]  (1  L1a1)e1[t ]
k 1
第２段階の需要量の展開式(2)
t 1
D2[t ]  d  a1 e1[k ]  (1  L1a1)e1[t ]
k 1
a1
a2 
1  L1a1
t 1
e2[t ]  (1  L1a1)e1[t ]
D2[t ]  d  a 2 e2[k ]  e2[t ]
k 1
第１段階と
同じ形！
第２段階の在庫量
L2
I 2[t ]  I 2[0]   e2[t  k ](1  ka2)
k 0
L2
a1
 I 2[0]   (1  L1a1)e1[t  k ](1  k
)
1  L1a1
k 0
L2
 I 2[0]   e1[t  k ](1  ( L1  k )a1)
k 0
E( I 2[t ])  I 2[0]
STD( I 2[t ])  
L2
 (1  ( L1  k )a1)
k 0
2
情報分散型の場合の在庫量
STD( I1[t ])  
L1
 (1  ka1)
2
k 0
STD( I 2[t ])  
L2
 (1  ( L1  k )a1)
k 0
の和に比例した（ｚに依存）在庫量
2
情報中央集権型の場合の在庫量
• 第１段階の在庫＋第２段階の在庫の和（エシェ
ロン在庫） EI[t] をメーカーがコントロール
• Ｌ１＋Ｌ２(=EL)のリード時間（エシェロンリード時
間）
STD( EI[t ])  
EL
 (1  ka1)
2
k 0
メーカー
小売店
リードタイムL1+L2
顧客
練習問題 4-5
• ２段階モデルのシミュレータをExcelで作成
せよ．
• 発注量の鞭効果を確認せよ．
• 在庫量の標準偏差は理論式と一致するか
確認せよ．
• 一般のi段階の場合の理論式を作成せよ．

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