確率･統計Ⅰ

確率･統計Ⅱ
第1回
統計とは
1. 例題紹介
2. 母集団と標本
3. 標準化と正規分布の復習
［例題］母平均の推定
[1] 約8000世帯の収入の平均と標準偏
差を調べたところ、それぞれ703万円、
410万円であった。
このデータを正規母集団 N(μ,σ) から
の無作為標本と考えて、母平均μの
95%信頼区間を求めよ。
［例題］母平均の推定
8000世帯の平均収入が703（万円）、
標準偏差が410（万円）だから、
n  8000, x  703, s  410
したがって母平均μの95%信頼区間の
上限・下限は、
［例題］母平均の推定
下限 = x  z0.025
s
410
 703 1.96
n
8000
 703  8.98  694 .0
上限 = x  z0.025
s
410
 703 1.96
n
8000
 703  8.98  712 .0
統計とは
1. 例題紹介
2. 母集団と標本
3. 標準化と正規分布の復習
母集団と標本
母集団 … 我々が知りたいと思う集団
全体
標本 …… 母集団について推測を行う
ために抽出される一部
n 個の要素を抽出するとき、大きさ n の標本
という。
母集団と標本のとらえ方
1. 母集団の要素（がもつ値）は、定
まった「分布」をしている。
2. 標本は、母集団の分布を確率分布
としてもつ確率変数である。
母集団分布の平均・分散を、それぞれ
母平均・母分散という。
母集団と標本に対する仮定
1. 母集団の要素数は、事実上無限
と考える。
2. 標本は、無作為抽出される。
このとき、標本 X1, X2, …, Xn は、
i.i.d. となる。
標本に関する概念
母平均をμ, 母分散をσ2 とすると、
各標本 Xi について
これは標本の平均！
E(Xi)=μ, V(Xi)=σ2
これは確率変数！
X1  X 2    X n
X 
n
を、標本平均と呼ぶ。
統計とは
1. 例題紹介
2. 母集団と標本
3. 標準化と正規分布の復習
確率変数の標準化
確率変数 X の平均 E(X)=μ, 分散 V(X)=σ2 と
するとき、
X 
*
X 

（Xの標準化）
とおくと、 E(X*)=0, V(X*)=1 となる。
（問） E(X*)=0, V(X*)=1 となることを確かめよ。
正規分布
確率密度関数が次の式で与えられ
る確率分布を、平均μ, 分散σ2の正規
分布 N(μ,σ2) という：
f ( x) 
1
e
2 

x   2

2 2
（問）これが確かに確率分布であることを確かめよ。
正規分布のグラフ
標準正規分布 N(0,1)
f ( x) 
1
e
2
0.4
x2

2
0.3
左右対称
0.2
0.1
一般 N(μ,σ2)
f ( x) 
1
e
2 
-3
-2
-1
σ

x   2

2 2
1
変曲点
2
σ
x =μ
最大値
変曲点
3
x
標準正規分布の確率の値
 2.58  1.96
1
0
0.68
0.95
0.99
1
 1.96
 2.58
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