共分散構造分析と同値モデル前川研ＰＤ村山航 Contents  SEM 入門  同値モデルについて     Stelzl (1986) Mayekawa (1994) Lee & Hershberger (1990) Raykov & Penev (1999) 共分散構造分析 (structural equation 適合度 model; SEM) とはパス図（モデル） χ2(1) = 0.041 RMSEA = 0.00 SRMR = 0.003 a21 = 0.43** 睡眠時間 x1 分散共分散行列（データ）疲労感 x2 a32 = 6.27** 業績 x3 疲労業績睡眠睡眠 4.64 疲労業績 2.00 12.1 3.24 20.3 466.2 N = 252 解の推定メカニズム（１）  変数の測定方程式をモデルから立てる  内生変数を外生変数によって表現解の推定メカニズム（２）  モデルの分散・共分散を母数で構造化解の推定メカニズム（３）  標本分散・共分散にもっとも近づくように，母数を推定する（最尤法などで） ⇒ ５つのパラメータに対し６つの方程式 ⇒ 自由度１推定結果標本分散・共分散行列と非常に近い ⇒ モデルへの適合がよい一般的表現（RAM) とする。するととなる。すなわちこのとき，v の共分散構造はあとは， ⇒ ただしとして最適化：観測変数：外生的潜在変数：内生的潜在変数：潜在変数の誤差：観測変数の誤差補足事項  SEM では観測されない変数（潜在変数）を扱うこともできる。知能社交性数唱  迷路語彙友人外向笑顔共分散行列ではなく，相関行列を分散共分散行列とみなして分析もできる睡眠疲労業績 ※ 標準誤差などの推定が不正確になることがある睡眠 1 疲労 0.52 1 業績 0.26 0.52 1 共分散構造分析の強み  適合度に基づいたモデル間比較ができる意欲意欲努力成績意欲努力 1 0.56 1 0.19 0.38 努力成績成績 Which is better? （相関行列からも推測可能） 1 努力意欲成績 Plausible な因果モデルをデータから選ぶことができる！？ Contents  SEM 入門  同値モデルについて     Stelzl (1986) Mayekawa (1994) Lee & Hershberger (1990) Raykov & Penev (1999) 同値モデル (equivalent model)とは  異なるモデルであるにも関わらず，適合度がまったく同じであるモデル：２つのタイプ    ある特定のデータにのみ同値になるモデル群どのようなデータに対しても同値になるモデル群：以後はこちらを扱うデータの情報だけではモデルの違いを識別できない，ということ。具体例（１）  ２変数の場合  “相関は因果関係を意味しない”をＳＥＭで解消できる？意欲成績意欲成績どちらも適合はパーフェクト。統計的にどちらがよいかを区別できない同値モデル具体例（２）  ３変数の場合 a21 = 0.43** 睡眠時間 x1 疲労感 x2 a32 = 6.27** χ2(1) = 0.041 業績 x3 同値モデル睡眠時間疲労感 x1 x2 a12 = 0.62** a32 = 6.27** 業績 x3 χ2(1) = 0.041 “寝ていないから疲れて業績が悪い”のか“疲れているから寝ていないし業績も悪い”のか区別できない飽和モデル  飽和モデル (saturated model)   モデル上のどの２変数も直接のパスでつながっている。飽和モデルは常に完全フィットを示す：同値モデル A A C B A C B C B （重回帰モデル）同値モデルのインパクト     研究者が立てた因果モデルとまったく同じ程度 plausible なモデルが他にもある可能性こうしたモデルは，まったく因果の方向が逆かもしれない (for a review, MacCallum et al., 1993) モデル構築時に，どのような同値モデルがあるのか，その上でなぜこのようなモデルにするのかを説得的に示す必要性 “SEMは因果モデルか”：同値モデルの可能性をすべて排除した上ならば，ある程度因果は主張可能。同値モデルの見つけ方  基本的な方法の提唱   より包括的・分かりやすい方法を提唱    Stelzl (1986) Lee & Hershberger (1990), Hershberger (1994) Mayekawa (1994) 同値モデルかどうかの判別方法を提案  Raykov & Penev (1999) Stelzl (1986) の方法   逐次 (recursive) モデルにのみ適用可能基本的なアイディア     SEM のモデル構築は“パスを引かない”制約を置くこと “パスを引かない”ということは，その変数間の偏相関係数を０と制約したことと等しい従って，パスがない変数間の偏相関の構造を壊さないモデルはすべて等値モデルである準備：パスモデルを以下の形で表現    全変数を（逐次モデルの）上位－下位の順に並べるパスがない変数間には線を引く（ほぼ）すべての逐次モデルはこの形で表現可能例 A 元モデル Stelzl の表現 B E C A D B C D E 同値モデル作成のルール  Rule I    パスのない結果変数を境に“境界”を引く境界で区切られたブロック「内」で変数を入れ替えると，同値モデルができる（交換可能である）境界をまたがないなら，線でつながる変数は交換可能交換可能 A 交換「不可能」 B… E… I… K…… 変数交換可能 P… V 変数交換可能変数交換可能例１ A A B C D B E C C B A D E E A D B C E D 例２ A A B C D B E C A D C B E E A D D C E B  Rule II  A ある隣接する変数が，同一の変数（群）から “パスがない”とき，その隣接変数は交換可能 B… E… I… M N… …V 変数交換可能例 A A B C D B E C A B C E E D A D B C D E その他のルール（今回は例なし）  Rule III    ある変数 M がそれより上位のすべての変数からパスを受けているとき上位のある変数 E からのパスを除去し，代わりに E と M に誤差相関を仮定しても等価モデルである Rule IV   ある隣接する変数 M と N がある（M が上位）。 N にパスがない変数すべてが，M にもパスがないとき， M と N の間のパスを除去し，変わりに M と N に誤差相関を仮定しても等価モデルである。まとめと限界  逐次モデルで等価モデルを生成するためのルールを，偏相関の観点からはじめて整理して提唱なお，これらのルールは生成された新たなモデルに繰り返し適用可能（以降のルールも同様）潜在変数間の関係にも適用可能必要条件ではないが十分条件  難点      かなり分かりにくい：ランクの変更という形でモデル生成パスが複雑になるほど適用の難しさが増す Mayekawa, Hershberger のルールへ Mayekawa (1994) の方法  パス図そのものから同値モデルを簡易に見つける方法を提唱逐次モデルで誤差相関がない場合のみ適用可能  ２つの鍵概念    Exogenous set of variables (EXSV)：その群内ではお互いにパスが引かれているが，群外からはパスが入ってこない変数群。外生変数群 Symmetric set of endogenous variables (SSENV)：群内のどの変数も，群外の同じ変数（のセット）からパスを受けている変数群。   例 EXSV A B C D SSENV Rule  EXSV，もしくは SSENV 内でパスを入れ替えて同値モデルを作成する。その新たな EXSV, SSENV をもとの変数群と置き換えると，全体のモデルも同値モデルのままになる。具体例残り２つは各自でオリジナル 1 1 2 2 5 5 3 4 3 4 1 2 1 2 EXSV 5 5 3 4 3 4 ３変数の場合４変数の場合（１）４変数の場合（２）４変数の場合（３）４変数の場合（４）まとめ      適用が容易で分かりやすいルール双方向矢印（相関）がある場合は，片側矢印に置き換えてから潜在変数間の関係にも適用可能繰り返しの適用が可能 Stelzl (1986) の rule I, rule II を包括   Rule I: EXSV, SSENV で説明可能 Rule II: SSENV で説明可能 Lee & Hershberegr (1990) の方法  非逐次モデルにも適用可能：Limited block recursiveness のもとで有効     パス図を先行ブロック，焦点ブロック，後続ブロックの３つのブロックに分ける（先行もしくは後続ブロックはなくてもよい）ブロック間は逐次モデルである必要性焦点ブロック内は逐次モデルである必要性残りの部分は非逐次モデルでも構わない e 基本ルール X P e Q  Y “Replacing rule”     R 焦点ブロックに適用「X -> Y のパスがあるとき，Y に影響を与える変数が X に影響を与える変数を包括しているか同じとき，X と Y の直接パスを誤差相関に置き換えても同値モデルになる。」その逆も適用可能（誤差相関を直接のパスに置き換える）。繰り返しの適用が可能重要な派生ルール  Replacing rule より導かれる，重要な派生ルール  焦点ブロックにおいて，Y に影響を与えている変数が，X に影響を与えている変数と同じとき，X と Y の間のパスは向きを変えても全体モデルが同値モデルになる。   X -> Y を誤差相関に置き換えてさらに replacing rule を適用先行ブロック（他の変数群からのパスがない変数群）が飽和モデル (just identification block; JID block) のとき，その先行ブロックのどのパスを入れ替えても，もしくは誤差相関に置き換えても，全体モデルが同値モデルになる  先行ブロックを焦点ブロックとみなす。JID ブロックの変数はどの変数からもパスがないので，replacing rule が適用可能になる。例 Locke et al. (1984) ７に影響を与えている変数が６に影響を与えている変数を包括している（≠同じ）ので，誤差相関に置き換え可能。ただし，パスの向きは変えられない 1 3 4 5 6 2 JID なので，パスの向きを変更可能同じ変数群からパスを受けているので，パスの向きが変更可能（もしくは誤差相関に置き換え可能） 7 まとめ      シンプルで非逐次モデルにも適用可能なルール Stelzl (1986) のルールを包括している Mayekawa (1994) のルールも包括？潜在変数間の関係にも適用可能 Hershberger (1994)：因子分析モデルにおける reversed indicator rule を提唱（今回は扱わない） Raykov & Penev (1999) の方法  同値モデルである必要十分条件を記述基本的に，同値モデルを生成するルールではない２つのモデルが同値モデルかを判別するのに便利  Luijben (1991) も必要十分条件を提唱     しかし，ヤコビアン行列を計算する必要があり，面倒くさい Raykov の方法の方が，より計算しやすい（それでも面倒だが）。  Rule の概略  モデル１とモデル２がある。モデル１のパラメータからモデル２のパラメータを一意に求める関数 g が存在するとき，この２つのモデルは同値モデルである。例 e3 e2 Model 1 睡眠時間 x1 a21 疲労感 x2 a32 業績 x3 Model 2 睡眠時間 x1 e*1 a*12 疲労感 x2 a*32 業績 x3 e*3 Model 1 と Model 2 は同値モデルか?（we expect they are) Model 1 と２の構造方程式と置いて，モデル１のパラメータをモデル２のパラメータ変換で表現できるか（もしくはその逆）をチェック結果 Model 1 のパラメータが， Model 2 のパラメータで一意に表現できた！ Model 1 のパラメータを知るだけで，Model 2 のパラメータを知ることができる Model 1 と Model 2 は同値モデルまとめ    同値モデルを判別する方法を提供同値モデルの生成には向かない（不可能ではないけれど，，，）計算は，やはり意外に大変総合考察  同値モデルの検討は非常に重要   現在のパスモデルと同じくらい説得的なモデルが存在することになる。同値モデルに対処するには     先見的な知識・理論道具的変数の利用次のスライドで説明高次のモーメントの使用 Rakov (1997)：多母集団分析で集団間に等値制約を課すと，等値モデルでも適合度に違いが出ることを示す参考文献     Hershberger, S. L. The specification of equivalent models before the collection of data. In A. Von Eye and C. C. Clogg (Eds.), Latent variables analysis (pp. 68-108). Thousand Oaks, CA: Sage. Lee, S. & Hershberger, S. L. (1990). A simple rule for generating equivalent models in covariance structure modeling. Multivariate Behavioral Research, 25, 313-334. Luijben, T. C. W. (1991). Equivalent models in covariance structure analysis. Psychometrika, 56, 653-665. MacCallum, R. C., Wegener, D. T., Uchino, B. N., & Fabrigar, L. R. (1993). The problem of equivalent models in applications of covariance structure analysis. Psychological Bulletin, 114, 185-199.     Mayekawa, S. (1994). Equivalent path models in linear structural equation models. Behaviormetrika, 21, 79-96. Rakov, T. (1997). Equivalent structural equation models and group equality constraints. Multivariate Behavioral Research, 32, 95-104. Rakov, T. & Penev, S. (1999). On structural equation model equivalence. Multivariate Behavioral Research, 34, 199-244. Stelzl, I. (1986). Changing a causal hypothesis without changing the fit: Some rules for generating equivalent path models. Multivariate Behavioral Research, 21, 309-331.