分子動力学（Molecular Dynamics）の原理

分子動力学
（Molecular Dynamics）
の原理
計算物性研究室
坂下浩史
（Sakashita Hirofumi）
アウトライン
分子動力学とは？
 運動方程式
 差分
 Verlet法
 レナード・ジョーンズポテンシャル
 量子力学への招待

分子動力学とは？
原子一つ一つの位置や運動をNewtonの運
動方程式を解くことで求める。
モンテカルロ法
原子が右に行くのか左にいくのか、力学的に予測
される確率にしたがって、運動を決めていく。


d r (t )
mi
  f ij
2
dt
j
2
分子i から分子ｊにかかる力
簡単のため
2
d r
m 2  F (r , t )
dt
fij
運動方程式を解く！
d2r
m 2  F (r , t )
dt
２階の微分方程式は１階の連立微
分方程式に書き直すことができる。
簡単のため、一次元運動で考える
dx
v
dt
dv
F

dt
m
数値計算を行うために、差分化を行う
差分をやる（復習）
dx xn 1  xn

dt
⊿ｔ
dx
v
dt
dv F

dt m
微分を近似する
ｘ n1  xn ｖｎ ⊿ｔ
xn1  xn  v⊿ｔ
F
vn 1  vn  ⊿ｔ
m
Euler法と呼ばれる
Verlet法
r(t)は分子の位置とする。
r(t+⊿t）、r(t-⊿t)をTaylor展開する
d r (t ) 2 d 2 r
3
ｒ (t  ｔ )  r (t )  ｔ



((

t
))
2
dt
2 dt
これら２式の和・差を取る
d r (t ) 2 d 2 r
3
ｒ (t  ｔ )  r (t )  ｔ



((

t
))
2
dt
2 dt
(t ) 2 F (t )
ｒ (t  ｔ )  r (t )  ｔ v 
 ((t 3 ))
2
m
(t ) 2 F (t )
ｒ (t  ｔ )  r (t )  ｔ v 
 ((t 3 ))
2
m
F (t )
r (t  t )  r (t  t )  2r (t )  (t )
 ((t 3 ))
m
2
r(t  t )  r(t  t )  2t v(t )  ((t 3 ))
F (t )
r (t  t )  2r (t )  r (t  t )  (t )
m
1
v(t ) 
r (t  t )  r (t  t )
2t
2
Verlet法のアルゴリズム
Verlet法のアルゴリズム
エネルギーの保存条件をクリア
よいアルゴリズムであることが言える。
分子動力学でよい結果を生み出すには
周期境界条件を設定、圧力、温度を考慮した式
レナード・ジョーンズのポテンシャルとは？

d r (t )
mi

2
dt
2


f ij
j
斥力


 (r )  4 [( )  ( ) 6 ]
r
r
引力
12
量子力学はどこで使うの？
分子の動きをあつかう
Schrodinger方程式
水素原子核の質量は、電子の２０００倍近く
Newton運動方程式への近似が可能
第一原理への招待
量子力学は分子間に働く力に関わる。
各原子の電子の状態を計算
原子間ポテンシャルのうち、原子核同士のクーロン相互作用以外は
電子が関わってくる。
まとめ
分子動力学は、Newtonの運動方程式を数値
解析したもの。
 より正確なシミュレーションをするときには、よ
り正確な分子間ポテンシャルが必要。
（量子力学の必要性）

おしまい

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