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立教大集中講義2004.7
銀河の力学構造と自己重力多体系の
非線形現象
郷田直輝(国立天文台)
1
講義目次
§0 はじめに
§1 宇宙の階層構造
§2 階層構造の形成
§3 自己重力多体系の力学構造と基礎概念
§4 基礎方程式((無衝突)ボルツマン方程式)
§5 重力熱的破局及び宇宙の進化とエントロピー
§6 無衝突ボルツマン方程式の平衡解
§7 緩和と力学構造
§8 カオス的遍歴と緩和~新しい統計力学の構築に向けて~
セミナー:JASMINE(赤外線位置天文観測衛星)計画と銀河系の
力学構造の構築
2
★スケジュール
AM(10:30~12:00) PM1(13:30~15:00) PM2(15:30~17:00)
7/7(水)§0,§1,§2,
§3
9(金)
§6
§4
§5
§7(前半)
セミナー
(16:00~17:00)
14(水)
§7(後半)
§8
3
★参考書
基礎的なもの
○Binney&Tremaine: Galactic Dynamics, Princeton
(○Binney&Merrifield: Galactic Astronomy, Princeton)
○Saslaw: Gravitational Physics of Stellar and
Gravitational System, Cambridge
○加藤正二:天体物理学基礎論、後藤書房
4
その他(各トピックス)
○重力熱的破局、宇宙の進化とエントロピー
杉本大一郎:「宇宙の終焉」、ブルーバックス、講談社
○宇宙の進化とエントロピーについて
杉本大一郎:「いまさらエントロピー?」、丸善
○銀河について
家 正則:「銀河が語る宇宙の進化」、培風館(1992)
○力学系に関して
丹羽敏雄:「力学系」、紀伊国屋書店(1981)
丹羽敏雄:「数学は世界を解明できるか」、中公新書(1999)
○ハミルトン系のカオスに関して
相沢洋二・原山卓久:「カオスを視る」、別冊・数理科学 1998年10月号
小西哲朗:「大自由度ハミルトン系」、数理科学 1999年8月号
A.J.Lichtenberg&M.A.Lieberman: Regular and Stochastic Motion
Springer-Verlag(1983)
○エルゴード性、KSエントロピーについて
中野藤生・服部眞澄:「エルゴード性とは何か」、パリティ物理学コース、
丸善(1994)
○カオス的遍歴に関して
金子邦彦・津田一郎:「複雑系のカオス的シナリオ」、朝倉書店(1996) 5
★単位について
○出席+レポートの総合点
*レポート問題:講義の終了後に出題
6
§0.はじめに
宇宙の階層構造:広大なスケールに渡り様々な天体
が存在
★物理ーーー>天体の構造形成、天体現象
★“宇宙”ーーー>物理学:地上の実験室系では
見られない現象
特に、自己重力多体系の物理: 緩和過程、力学
構造
7
§1.宇宙の階層構造
中性子星
大きさ(cm)
質量(太陽質量)
密度(g/cm3)
地球
太陽
銀河
銀河団
超銀河団
106
109
1011
1022
1025
1
10-6
1
1011
1014
1015
5
1.4
10-24
10-28
10-29
1015
1026
8
★自己相似性
階層構造毎の運動は、ほぼ相似的。
もちろん、厳密には全く異なる。
9
§2.階層構造の形成
2-1重力不安定性
○広大なスケールに渡る:密度で44桁!
○自己相似的な運動
“自己重力がなせるわざ”
★重力
実際的に長距離力
スケールフリー
10
補足:自然界の構造
大きさvs密度の図を参照
★重力ーーー>縦系列を形成
cf. 星や銀河の典型的なサイズ
重力以外の物理過程(“力”)が関与
11
池内 了著「宇宙と自然界の成り立ちを探る」(サイエンス社)
12
★重力不安定性による構造形成
(標準的シナリオ)
自己重力で固まろうとする
◎密度ゆらぎ(むらむら)が重力不安定性で成長
密
度
場所
*ちょっとした密度の高いところが成長して銀河などに進化
していく
密度の高いところ
銀河
銀河団
超銀河団
集団化
集団化
13
★宇宙進化過程での構造形成シナリオの概観
14
§3.自己重力多体系の力学構造と基礎概念
個々の天体の力学構造と形成過程は?
*力学構造: “平衡状態”での重力ポテンシャルの形や
粒子の分布(密度、速度、エネルギー)
“単純な”系である自己重力系を考える
3-1 自己重力多体系
系の構成粒子(天体)が、お互いの万有引力によって運動
し、束縛されている系
これらの系での力学構造を中心に今後考える
(詳細な形成過程は考えない)
15
★階層的集団化による銀河形成シナリオ:複雑な物理過程
16
3-2 太陽系の力学構造
惑星運動
ニュートン力学
○2体問題: 解析的に解ける(ケプラー運動)
○実際の太陽系:“多体”問題
*しかし、太陽が惑星に比べて十分重い
摂動法
3体問題:ラプラス、ポアンカレ・・・幾何学的、測度論的
手法の確率
複雑な軌道を描く場合あり
“カオス”
“カオス研究へ”
17
太陽系:
・楕円軌道も実際には他の惑星からの重力を受け
て複雑に変化
・非常に高い確率で太陽系は壊れない
しかし、壊れる可能性はゼロではない
★では、銀河などの多体系は?
大自由度系
・球状星団・・・・・・105個の星
・銀河・・・・・・・・・・1011個の星+ダークマター
どうなっているか?
18
3-3 基礎概念
I ビリアル平衡と力学的時間尺度
N体系:運動方程式

i i
m x   i
x
N
( ij )

 ,   1,2,3 : i  1,2,  , N  (1)
( j i )
重力ポテンシャル

( ij )
 j i
 Gm m x  x
i
j
1
i
x をかけて、粒子で和をとる。
 (ij)
i i i
i
x i     (2)
i m x x  (i
x
, j i )
(1)式に
19
(2)式の右辺:ポテンシャルエネルギーテンソル
W
i
j
i
x
(
x

x


)
i
( ij )
i
j 
   x i    Gm m   3  (3)
x
( i , j i )
x j  xi
(3)式を変形(iとjを交換しても対称:同じものを足して2で割る)
W
j
i
j
i
(
x

x
)(
x

x
1



)
i
j
  G m m
 j i 3
2 ( i , j i )
x x
上式はαとβについて対称。従って、(2)式の右辺も対称。
i i i
m
 x x 
i


2
d
1 I
1
i
i i
i i




m
x
x

x
 2K  (4)

 
 x 
2
2
2 dt
20
Virial定理
2
1 d I
 2 K  W    (5)
2
2 dt
ここで、 I 

 m x x , K
i
i
i
1
i i i
  m x x 
2
(5)のtraceをとるーーー>scalar virial tensor
I  2K  W
i
1
i i 2
i
j j
I   m x , W   Gm m / x  x  GM 2 / 2 R,
2
i j
1
i 2
K   m x  1 MV 2
2
2
21
○Virial平衡
2 K W  0
GM
V 
R
2
力学的時間尺度
 R 

tc (crossingtime) R / V  
 GM 
1

 tdyn
( dynamicaltime)
G
3
1
2
22
3-4 衝突系と無衝突系
(I)衝突系
重力散乱による2体緩和
2
テスト粒子が  V  になるタイム
スケール
0.04N
tr 
tc
lnN / 2
N:粒子数
t c :crossing
time
★2体散乱による効果が、考えている時間までに十分
効いている系のことを衝突系とよぶ
例:球状星団 tr  108 yrs  1010 yrs  宇宙年齢
衝突系
球状星団の力学進化:重力熱的カタストロフィー
“比熱”が負
23
(II)無衝突系
2体散乱の効果が、考えている時間までに十分に
効いていない系
例:楕円銀河 tr  10 yrs  10 yrs  宇宙年齢
無衝突系
17
10
楕円銀河は、星とダークマターからほとんど成る
無衝突自己重力多体系と見なせる
24
★二体散乱による緩和時間の導出
   G(m1  m2 )
tan  
v 2b
2
ψ
v
b
m2
m1
v

 2 sin( )
v
2
○velocity(v、v+dv)、impact parameter(b,b+db)をもっている
星の時間dtでの散乱の回数
2bf (v, t )vdtdbdv
25
○mean square velocity change
v 2  平均回数
v  v小角度散乱、 m1  m2 ( m)
v
4Gm
16G 2 m 2
2

   2  v  
v
vb
v 2b 2
velocitychangeは、
v 2  2bf (v, t )vdtdbdv
11
 32G m
f (v)dtdbdv平衡系を考える 
vb
2
2
 dtdbdvを考える
26


0
1
v f (v)dv  n v
1
,
b2
b1
 b2 
db
 ln 
b
 b1 
cut - off : b2  R 系のサイズ

大角度散乱はまれ  b1  大角度散乱が効くスケ ール
   90 散乱のimpactparameterとする
2Gm
2Gm
 
tan   1  2  b  2
vb
v
4
 b2 
 Rv2 
,
以上より、 ln   ln
 2Gm 
 b1 
Gm N
virial平衡を使うと、 v 2 
,
R
 b2 
N
従って、 ln   ln 
2
 b1 
 v
以上より、 
 v
2

N
  32G 2 m 2 nv3 ln t
2

27
緩和時間
v
 1となる時間 t r 
v
3
v
tr 
2 2
32G m n ln N
2
3 3
3
v R
4

nm
R

M 
を使う
2
3
24G m M ln N
2
0.04N

tc  v 2  Gm N を使う ,
R
N
ln
2
tc  R
v
 

 

 


28
§4.基礎方程式((無衝突)ボルツマン方程式)
流体: 局所熱平衡<<力学的時間<<大局的平衡
*場所の関数のみで記述可能
恒星系:力学的時間<<局所熱平衡~大局的熱平衡
*場所と運動に独立に依存(6次元位相空間)
◎(確率)分布関数or位相密度関数で記述
 
f ( x, v , t )
*密度分布との関係

 
3
  x    d vf ( x , v )
29
★無衝突系:その系で、考えている時間尺度では、衝突項が効かない場合
位相空間のある点から別の点へジャンプはなく、スムーズに動い
て、位相空間での“流体”は質量保存する。
従って、分布関数は、“流れ”にそって保存する。
 


 
df
f


  fw  0, w   x , v 
dt
t
w

d





  x  0 
 * 流体:
dt
t
x


 
f
 f

 v  f     0(CBE)
t
x
x x
ポアッソン 方程式
 
3
=4 G =4 G  d v f ( x , v )
 
30
★衝突系
f  
 f  f 
v  f     
t
x
x x  t coll
 f 
  : 衝突項
 t  coll
衝突項による時間変化の項が、平均ポテンシャルに
よる時間変更の項より、十分小さい場合は、無衝突系
とみなすことができる。
31
★BBGKY方程式からの導出
N体系:6N次元位相空間(Γ空間)
分布関数:
 

f w1 , w2 ,  , wN , t  :

N   
6
6
6
3
3
 f w1 , w2 ,  , wN , t d w1    d wN  1,: d w  d x d v ,
N 
Liouville's T heorem
 
df
f

  
dt
t
 1  x
(N )
(N)
N
 (N )
f


dx  
 

dt  v
 (N)
f


dv  


dt  
f ( N ) N   f ( N )  f ( N ) 

  v   
 0
t
x
x v 
 1 
32
★Liouville’s Theoremの証明
Liouvilleの定理:ハミルトニア
ン形式の力学方程式に
従う系に対して、位相 体積は、系が運動する ときは
一定に保たれる。つま り、

G0
dp0 dq0   dpdq   (1)
Gt
あるいは、無限小の位 相体積素片に対して次 式が成り立つ。
dp0 dq0  dpdq   (2)


ここで、 p 0 , q 0 は、初期時刻 t0での位相点で、 G0はそれを含む
領域。また、時刻 tにおいて、位相点は領 域Gtに移るとする。
33
(1)式の右辺を変形すると 、
  p, q 
0
0
dpdq

dp
dq
Gt
G0  p 0 , q 0


となる。そこで、ヤコ
よい。つまり、
  p, q 
 1 - - - (3)
0
0
 p ,q

ビアンが 1となることを証明でき
れば

先ず、次の関数行列式 の性質を用いる。



 
  p, q 
 p ' , q '   p, q 


   (4)
0
0
0
0
'
'
 p ,q
 p ,q  p ,q



ただし、 p ' , q 'は、任意の時刻 t 'での運動量と座標の値 である。
34
t0と t 'を一定とみなして、こ
の等式を tで微分する:
d   p, q 
 ( p ' , q ' ) d   p, q 

0
0
dt  p , q
 p 0 , q 0 dt  p ' , q '






t 'は任意だから、微分し た後で t '  tと置ける。
ヤコビアンの中の主対 角成分の項だけが残り
次式が得られる:
d   p, q 
 ( p, q )

0
0
dt  p , q
 p0 , q0




 p i qi 
i  p  q     (5)
i 
 i
35
ところで、運動方程式 は、
dqi H dpi
H

,

   (5)
dt pi dt
qi
で与えられるので、こ
p i qi

0
pi qi
れを使うと、
従って、
d   p, q 
 0、すなわち、ヤコビア
0
0
dt  p , q


ンは時間に依存しない 。
初期条件
 ( p, q )
 p0 , q0


=1を使って、ヤコビ
アン (3)式が実際に1に
t t0
等しいことが確かめら
れる。
36
Liouvilleの定理から、分布関数 は位相軌道に沿って
一定である。
事実、系を表す点が位 相空間を運動するとき 、位相点
の数は不変:
f  p, q, t dpdq  f ( p ' , q ' , t ' )dp' dq'
Liouvilleの定理から、 dpdq  dp' dq'なので、
f  p, q, t   f ( p ' , q ' , t ' )
すなわち、 fは位相軌道に沿って一 定である。 Q.E.D
37
◎BBGKY Hierarchy
Liouville's T heorem
df ( N ) f ( N ) N   f ( N )  f ( N ) 

  v   
   0    (1)
dt
t
x
x v 
 1 
38
◎1体分布関数に関する方程式



(N) 
6
6
f w1 , t    f w1 , w2 ,  , wN , t d w2    d wN
6
6
(1)式の両辺に d w2    d wNの操作を行う。
(1)
 f (1) 
f (1) 
( w1 , t )  v1   w1 , t 
t
x1
1 f
6
6
 
 d w2    d wN  (2)
x1 v1
(N )
    ; 
 
GM
  
x  x
39
◎(2)式の導入の際の注意点

○第1項:単純に f w1 , t の定義より明らか
 3
(N )
○第2項:  f / x d x  0  2,3,  , N を使う

 一般的に x  で、 f ( N )が十分に速くゼロに近 づく。
 3
(N )
○第3項:  f / v d v  0  2,3,  , N を使う

v  で、 f ( N )が十分に速くゼロに近 づく。
 一般的に (1)




40
f


は、 w1 ,  , wNに関して対称。
(N )
よって、 (2)式の右辺は、
12 f
6
6
( N  1)  
 d w2    d wN
x1 v1
(N )
2体分布関数:



( 2) 
(N) 
6
6
f w1 , w2 , t    f w1 , w2 ,  , wN d w3    d wN
従って、(2)式は、
f (1)  f (1)
12 f ( 2 ) 6
 v1    ( N  1)  
 d w2    (3)
t
x1
x1 dv1
41
2体分布関数を1体分布 関数の積で書ける部分 (無相関)と
相関に関わる部分に分 けて記述する。

 
( 2) 
(1) 
(1) 
f ( w1 , w2 , t )  f ( w1 , t ) f ( w2 , t )  g ( w1 , w2 , t )
ここで、 f  Nf (1)とおくと、
 f
f 
w1 , t   v1  
t
x1

( N  1) f 

6

 w1 , t     12 f ( w2 , t )d w2
N v1
x1
12 g  
6
 N ( N  1)    w1 , w2 , t d w2    (4)
x1 v1
42
次に、


6
3
3
 12 f (w2 , t )d w2   12 f (w2 , t )d x2 d v2

  1 3 

 G   ( x2 , t ) x1  x2 d x2    x1 
と、 N  1  N - 1  Nを使うと結局、 (4)式は、
 f  f
f  
x , v , t   v       
t
x x v
g    
  1  3  3 
2
 N Gm   x , v , x2 , v2 , t       d x2 d v2  (5)
v
x2  x  x2 
43
(5)式の右辺:衝突項に相当
(2体相関に関する項)
*この項が無視できれば、無衝突ボルツマン方程式
(CBE)に帰着
◎gを知るためには、3体分布関数が必要。
3体を知るためには、4体が必要。
さらに、・・・・・・:Hierarchy!
結局、N体分布な関数が必要。
*解くためには、どこかで打ち切る。
44
★CBEの解法
I.Dynamics
○directに解く数値計算
一般には、6次元+1次元(時間)の計算で困難(対称性
があり、変数が少数の場合は、可能)
位相分布を粗野化し、その代表を質点で近似
(N体近似): N体計算
○Jeans方程式(+仮定)に帰着し、解く
○平衡解の周りの摂動計算
II.平衡解(定常解)
Jeansの定理を用いる(後で解説)
45
★Jeans方程式の導出
◎Stellar-hydrodynamics equations
CBEの両辺にv v v をかけて速度積分を行 う
l m n
i j k
(モーメント方程式)
f 3
l m n  f
3
 v v v t d v   vi v j vk v  x d v
 l m n f 3 
   vi v j vk  d v  0,    (1)
x
v
l m n
l m n
3
 vi v j vk   vi v j vk fd v    (2)
l m n
i j k
46
◎0次のモーメント:連続の式
  v 
   0    (3)
t
x
*導出上の注意:
 f 3   f 3 
f 3 
 t d v   v  x d v  x   v d v  0    (4)
○第1項:単純に、定 義により、 (3 )式の第1項は明らか。
3
= fd v
 1  3
○第2項: v   v f d v を使う

○第3項:発散定理に より、表面積分に置き 換えられ、

v  で fは十分に速くゼロに近 づくとしている。
47
◎1次のモーメント:運動方程式


 v l 
  vk vl



 0    (5)
t
xk
xl
k
ここで、 velocitydispersion tensorを次のように定義する 。
 kl2  vk  vk vl  vl   vk vl  vk vl
これを用いると (5)式は、 連続の方程式 も用いて
次のように変形される
。


vl
vl
   kl2

   vk
 

   ( 6)
t
xk
xl
xk
k
48
◎(5)式の導出上の注意:
f 3
f 3 

f 3 
 vi t d v   j vi v j x j d v  j x j  vi v j d v  0    (7)
○第1項: viの定義より (5)式の第1項は明らか
○第2項: vi v j 
1


 vi v j f d v より、 (5)式の第2項は
3
明らか。
vi
f 3 
3
○第3項:  vi
d v  
f d v   ij 
v j
v j
を使う。
49
★この(6)式が、Jeans equationsと呼ばれる。

vl
vl
 kl2


   vk
 

t
xk
xl k xk
k

○流体のオイラー方程式と大体同じ形。
左辺は、平均の流れに沿ってみた平均速度の
Lagrange微分。
右辺第1項は、重力
右辺第2項は、圧力の相当。
ただし、流体と違い一般的には非等方なテンソル
50
*  を知るためには、次の高次のモーメント方程式が
必要。したがって、このvelocity dispersion tensorに
何らかの仮定を与えて解くことを行う。
2
kl
51
★衝突系:フォッカープランク方程式
ボルツマン方程式
df
  f 
dt
衝突項を考える。
  6

 w, wd wdt : 6次元位相座標wにある星が dtの


間にw  wに散乱される確率とす ると、

 


 
 3 
 f     w  w, w f w  w   w, w f wd w

 


 w  w, w f w  w 
6
 

 


 w, w f w
 w, w f w   wi
wi
i 1
 

1 6
2
 w, w f w  O(w3 )
  wi w j
2 i , j 1
wi w j
52
結局、衝突項は、次のようになる。


 f wDwi 
 f   
i 1 wi
6



1

 
f wDwi w j  ,
2 i , j 1 wi w j
  3 
Dwi    wi  w, wd w
6
2
以上の衝突項で与えられるボルツマン方程式が、
フォッカープランク方程式
53
★フォッカープランク方程式の変形
恒星系への応用:
(a)Orbit-averaged approximation
星の数が大
encounterは効かない
速く変動する変数とそうでないものを分離
位置空間で、平均
作用変数のみの関数
(b)Local approximation
encounterはある、一点xで起こるとする
衝突項は、速度だけの関数
54
§5.重力熱的破局及び宇宙の進化とエントロピー
I.重力熱的破局(Gravothermal Catastrophe)
自己重力系の“熱力学”
“常識”とは違う
◎通常:T1>T2の場合
Q
T1
T2
T
55
★熱力学第2法則:
閉じた系(断熱系)
dS  0
 S1 
 S 2 
U1  
U 2
 ( S1  S 2 )  
 U1 
 U 2 
エネルギー保存則: U1  U 2  0
1  S 
温度:  

T  U U , N
1 1
  ( S1  S 2 )    U1  0
 T1 T2 
T1  T2ならば、 U1  0となる。内部エネルギ
ーは
温度が高い方から低い 方へ移動。
56
★比熱は正:熱をもらえば温度が上がり、失えば
下がる。
従って、T1は下がり、T2は上がる。結局、一定の温度T
となり落ち着く。
ところが、・・・・・
57
★自己重力系は比熱が“負“
例 ガス球
圧力(内部エネルギー)で
支えられている。
*中心から内部エネルギーを
外へ移動
圧力が下がる
T2
T1
自己重力で縮む(断熱圧縮)
中心部の方が温度が上がる。
温度差がさらに生じて熱がさらに移動。
“暴走”
58
★本質的理解:孤立系の場合
Virial平衡
2T+W=T+E=0
T=-E
内部エネルギーEを下げる
温度(運動エネルギーT)が上がる。
59
★球状星団を考える
(衝突)恒星系:本来は、ボルツマン方程式
*しかし、本質は、ガス球での理解と同じ
“平衡状態”:等温球
静水圧平衡の式
dP
GM
 2
dr
r
P  kT( T : 一定)
   const.
(内側)
断熱壁
ρc
ρe
  r 2
境界は外圧(Pe)で支える必要あり
(ビリアル平衡:2T+W=3PeV)
60
★平衡曲線(リニアシリーズ)
-E
709
ρc/ρ e
密度比が709を超えると不安定。熱的破局を起こす。
61
★エントロピーは?
S 
Q
T
, Q1  Q, Q2  Q 
1 1
S  S1  S 2    Q
 T2 T1 
T1  T0  T1 , T2  T0  T2 
 T1  T2 
Q
T02
T1  T2  0  S  0
エントロピーは増大!
62
★自己重力系
エントロピーは増大(熱力学第2法則)
しかし、‘通常’の系とは違って、温度分布や
物質分布は一様にならずに非一様化!
63
★熱的破局のその後
破局は止められるか?
実際の系
発散することはない
中心付近:密度大
近接連星生成
熱源となる! 安定化
*星の中の構造と同等
◎その後の進化
Gravothermal Oscillationなど
参考:天文月報1989年10月号:稲垣省五
「留守番時代に入った球状星団の力学進化の研究」
64
II.宇宙の進化とエントロピー
宇宙はなぜ進化できるのか?
“進化”とは:
生物学:ある生物が何代もの世代交代を繰り返すうちに、突
然変異などを含む変化で違った外観や機能を持つ
別の種族に変わっていくこと。
天文学:構造が次第に出来てくる変化のこと。
例.星の進化ーー>星の一生
宇宙は実際、進化している
(だからこそ、なぜ“進化”できるのかと問える)
ビッグバンーーー>宇宙の階層構造
65
★では、なぜ進化できるのか?
現在のような多様な構造
(生物や人類までいる)
実はよく考えると“不思議”
★なぜ、不思議なのか?
物理学ーーー>エントロピー増大則
宇宙の進化は、一見この法則に矛盾
*Gravothermal Catastrophe:
自己重力系では、エントロピーは増大しても、温度
や密度が非一様化することが可能。
構造ができることは分かったが、ではなぜそれが
66
維持できたり、さらに進化できるのか?
★エントロピー増大則
◎地上での実験
閉じた容器(断熱とする)
気体の拡散
気体の混合
温度の一様化(等温化)
左右に分かれ秩序立っている
温度
金属の棒
温度
温度
乱雑になっている
温度
温度が一様
この逆は、経験的に起こることはない!
非可逆過程
67
★高温ーーー>低温へ熱が移動
熱力学第2法則
◎原子の世界で見ると
次第に乱雑な運動が拡がっていく
◎分子の運動の平均化
全体の分子の乱雑な運動
エントロピーが増加
*孤立系(断熱系)
○エントロピーが増加する
○エントロピーが最大の状態ーー>
グローバルにはもはや変化無し
熱平衡状態
68
(補足)なぜ、非可逆なのか?
★ミクロな過程:可逆
例:電光掲示板(各々の電球がでたらめに点滅)
文字(秩序状態)
無秩序化
ほぼ一様化
元に戻れる確率は非常に小さい。
電球の数が多くなればなる程小さくなる
(分子~10の23乗個)
69
★エントロピー増大則を宇宙全体に適応
◎ボルツマン
宇宙の“外”には宇宙はないーー>宇宙は孤立系
宇宙全体のエントロピーは増大
ーー>宇宙は熱平衡状態に向かっている
温度の分布も物質の分布も一様になってしまうはず
宇宙は熱的死へ
しかし、 現在の宇宙:多様、秩序
むしろ、昔の宇宙(ビッグバン)
熱平衡状態ーーー>多様な構造
進化
矛盾しているのでは? “不思議”
◎本当に矛盾しているのか?
◎なぜ、多様な構造が生まれうるのか?
70
なぜ、“進化”できるのか?
★エントロピー増大則とは一見矛盾 なぜか?
★適応可能か?
◎エントロピー増大則ーー>断熱系に関しての法則
○宇宙は断熱系か?
“宇宙全体”ーー>“地平線”が広がっている
(見える宇宙は広がっていく)
そこで、仮想的な一部分を考える
*宇宙全体に比べれば十分小さいが、十分多くの銀河を含むほどは
大きい。
*境界は宇宙膨張と共に膨張
ーーー>正味の熱の出入りはない
なぜならば、もしあれば、その部分系は特別
ーーー>一様性に反する
このような断熱系を考えることは可能。
しかし、各々の天体は孤立していない
ーー>開放系(外に開いた系)
天体は周りの空間にエネルギーを捨てることができる
71
★エントロピーを捨てる
T0: 周りの空間温度
<
放出される
T1:表面温度
熱量δQ1
熱伝導
流入する
<
(<0)
T2:底部の温度
熱量δQ2(>0)
例:鉄板の定常的な熱の流れ
○定常 δQ1=ーδQ2
○エントロピーの増加
δS=δQ/T
(温度の逆数に比例)
72
○熱の出入りによるエントロピー
の増加
δSe= δQ1/T1+δQ2/T2
=(-1/T1+1/T2)δQ2
*δQ2>0
*もしT2>T1ーー>1/T1>1/T2
ーーー>δSe<0!
外からもらうエントロピーより多くのエントロピーを外部に捨て
ている
負のエントロピー(ネゲントロピー)を喰った
○全体のエントロピー
δS=δSe+δSi(内部での熱伝導という非可逆過程)
定常ーー>変化しないーー>エントロピーも変化無し
δS=0ーー>δSe=ーδSi
非可逆過程によって発生するエントロピーをちょうど同じ割合で外界に
捨てている
73
ーー>温度が一様にならずに定常を保っている
★大気への応用
大気はなぜ水蒸気
で飽和していないのか?
太陽
~6000K
熱輻射(可視光)
温度小
大気
水や二酸化炭素が吸収
~300K
温度大
赤外線放射
海
ーー>鉄板の例と同じ
下から熱せられ、温度の低い上層部から熱を捨てている
もし、太陽が低温で赤外線を放射または高温で紫外線を放射
ーーー>大気の頂上で熱を吸収
ーーー>大気は水蒸気で飽和。大気の温度分布は一様
ーーー>生命体はなかったであろう
74
★生物
生物も熱平衡状態から離れた状態
ネゲントロピーを喰っている
食物の
エントロピー
排泄物の
エントロピー
エントロピー小
(原子や分子の並び方が
規則的)
エントロピー大
植物の光合成:太陽光線(高温)のエントロピーの低さを物
質に固定する機構
75
★天体(星)
核反応
熱伝導
空間へエントロピーを
捨てている
定常ーー>熱伝導によるエントロピー
=核反応というネゲントロピー源
重力エネルギーの解放
天体(自己重力系)ーー>エネルギー源を
内包している
76
進化=部分系のエントロピーが減少する変化のこと。
しかも、一様化という常識的熱平衡状態とは逆の方
向に向かうもの
全体では、エントロピーは減少はしない
77
★宇宙は熱的死には至らない
宇宙の中の閉じた系のエントロピーが増えても、その系は実
験室系で見られる系とは異なって、物質分布や温度分布は
一様にならない。むしろ、非一様、多様性が発現
★理由
(1)自己重力の作用により部分系にエネルギー流入(星なら
ば、核反応)
廃熱を外部に捨てるーー>系のエントロピーは下げられる
自己重力系はそのエネルギー源を自己の中に内包
78
(2)廃熱、すなわち非可逆過程の進行によって発生
したエントロピーの捨て場としての空間が十分にある
空間の温度が小<--宇宙の膨張
ますます膨張ーー>温度が下がる
ーー>捨て場は常に確保
宇宙の膨張こそが進化の源泉
79