物性物理学：ミクロからマクロへ 要素： 原子、電子： 質量、電荷、スピン、軌道、、 要素間の相互作用：クーロン相互作用 アボガドロ数：６×１０２３ = 100億×60兆 >（地球人口）×（一人の細胞数）～４×１０２３ 細胞 – 器官 – 個体 – 民族 – 人類 要素の性質から想像もできないような新奇さ、多様さが発現 （例）水素や酸素 ⇔ 川を流れる水や氷、水蒸気の性質 電子 ⇔ 光学的性質：透明な物質、光沢のある物質 電気的性質：絶縁体、電気伝導体、超伝導体、誘電体 磁気的性質：強磁性体、反強磁性体 複雑さと多様性の源泉 ― 相互作用と量子性 ― ★相互作用 互いに相互作用しない多粒子系の熱平衡状態は 密度一様で構造のない単調な世界であり、退屈である 相互作用→ 例 万有引力 → 星の発生、宇宙の構造形成 クーロン相互作用 → 液体や固体への凝縮、 化学反応、生体反応 競合、相乗効果、せめぎあい→不均一と構造形成、多様性 局所的にエントロピーの減少する領域の発生 相転移の結果生じる秩序状態（固体・液体・気体相転移、 さまざまな構造の固体、磁性、超伝導） 複雑さと多様性の源泉 ― 相互作用と量子性 ― ★量子性 粒子としての性質と波としての性質； 二重性 シュレーディンガー方程式 ハミルトニアン 運動エネルギー 相互作用エネルギー 不確定性原理 運動エネルギーと相互作用エネルギーの競合 相転移 ー相互作用による新たな性質発現の典型ー 例：気体、液体、固体の間の相転移 液相・気相転移 1次相転移 → 臨界点 水の例 218気圧 374℃ 密度 液体 気体 気体 密度感受率 等温圧縮率 臨界点： 圧縮率の発散 わずかな圧力変化が 大きな密度変化を引き起こす 応答とゆらぎ 密度感受率、圧縮率 ⇔ 密度ゆらぎ ゆらぎ 外場に対する応答 非平衡状態での反応 ⇔ 平衡状態での空間相関 揺動散逸定理 気相液相転移臨界点： 密度ゆらぎの相関が長距離に及ぶ 臨界蛋白光 (critical opalescence) アインシュタイン、スモルコフスキー、オルンシュタイン、ゼルニケ 原子の存在の根拠の一つ 液相気相転移と二元合金相分離 圧 力 液体 （A-rich) 液体 （A-rich) 沸点 急冷 臨界点 気体 （B-rich) 温度 気体 (B-rich) 二元合金（A-B alloy) 高温で溶かして一様に混ぜ合わせた ２種類の金属を冷やす Fe-Ni、Sn-Pb（はんだ）など もう一つの相転移の例：磁気転移 電子スピン：磁化 m = 0 の無秩序状態(常磁性相)から が揃う m ≠ 0 の秩序状態(強磁性相、磁石) への相転移 密 度 磁 化 m 液体 対応 常磁性 強磁性 気体 Tc 温度T 臨界点 相違点： 合金、液相気相転移； 粒子数保存 →相分離による2相共存 秩序形成と対称性の破 れ 高温 エントロピーの利得 F = E - TS 自発的対称性の破れ 低温 強磁性秩序 または エネルギーの利得 対称性の破れとランダウの現象論 ランダウの現象論 自由エネルギー密度 f を マクロ変数である磁化mの解析関数であると仮定する 上下反転の対称性から、f はmの偶関数 a 2 b 4 f (m) m m ...... 2 4 a a0 (T Tc ) Tc ：相転移温度（臨界温度） a0 , b 温度によらない正定数 m m0 T Tc 強磁性 0 L. Landau (1908-1968) a m m0 0 b Tc T 常磁性 熱平衡 自由エネルギー最小の状態 T Tc 相転移をミクロな模型であらわす：イジング模型 結晶格子点i上に配位したスピンSiが ±1というどちらかの値を持つ H J Si S j イジング模型 i, j 強磁性イジング模型でのエネルギー イジング模型の平均場近似 H J Si S j i, j 平均場近似 まわりのスピンからの相互作用の効果を 均して取り入れ、ゆらぎを無視する Nz H J [ Si S z S 2 i 2 z 最近接格子点の数 ( Si S )( S j S )] 平均場 N m S Si / N i, j i 1 1 2 1 4 f (m) F / N am bm 2 4 ランダウ現象論 4 Jz T Jz ( Jz ) a , b と等価 3 2 k BT 3(k BT ) 気体液体相転移 普遍性クラス 強磁性転移 液体 磁 場 Tc ｘ 温度 臨界点 気体 見かけ上全く異なった相転移が同じ構造を持つ イジング模型の強磁性 ⇔二元合金の相分離 ⇔液相気相転移 対称性の破れ方、励起、 ゆらぎの発散の仕方、臨界指数 によって、多彩な相転移は 同一の普遍性クラス 少数の普遍性クラスに分類される 臨界指数 普遍性クラスは臨界指数によって特徴付けられる 同じ普遍性クラスに属する相転移は 同じ臨界指数を持つ 臨界指数の例：γ 圧縮率の発散のしかた 1 2 1 4 イジング型のランダウ自由エネルギー f ( m) am bm 2 4 イジング型の臨界指数 磁場中 イジング模型 2次元 平均場 3次元 近似 | T Tc | 7 / 4 1. 24 1 臨界点 m | T Tc | 1/ 8 0. 325 1/ 2 1 m | h | 15 気相 4. 8 3 液相 平均場近似からのゆらぎを 考慮した正しい臨界指数も 同じ普遍性クラスであれば 互いに同じ値を持つ 空間次元が低いほど平均場近似からずれ、 ゆらぎの効果が大きくなる 異なる普遍性クラス イジング対称性；上向きと下向きの2種類の対称性の破れ 離散的な対称性の破れ H J Si S j i, j Siがベクトル 平面内任意の方向を向くことができる → XY模型 立体角任意の方向 →ハイゼンベルク模型 連続的な対称性 の破れ 連続対称性の破れの ほうがゆらぎが大きい 臨界指数の異なる、別の普遍性クラス 相転移は少数の異なる普遍性クラスで分類される まとめ 物質の性質が多様なのは、原子の種類が多いからではな く、（1）要素（原子や電子）の間の相互作用 （２）量子力学 的効果があるからである 相互作用が生み出す多様性さの典型は相転移である 液相気相転移の臨界点のような相転移臨界点では、わず かな外場に対する応答が発散し、ゆらぎの空間相関が長 距離におよぶ（例：液相気相転移の臨界点での臨界蛋白 光） 多くの相転移は「自発的な対称性の破れ」を引き起こす 対称性が破れる相転移の本質はランダウの現象論や平均 場近似によって、ゆらぎを無視する範囲で理解できる 液相気相転移、2元合金の相分離、イジング模型の磁気転 移は相転移の構造が等価になっている 相転移は少数の普遍性クラスによって分類され、同じ普遍 性クラスに属する相転移は見掛けが全く違っても同じ臨界
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