5. アルゴリズムと計算量 -

情報科学(5)
アルゴリズムと計算量
1
復習: 問題解決とアルゴリズム
(cf. 「情報」6.1.1)
• コンピュータによる問題解決ではアルゴリズ
ムが重要になる
アルゴリズムプログラム
いきなりプログラムを書くことはまれ
問題
モデル
※問題:
例: 銀行
オンラインシステム
コンピュータにやらせたいこと全般
計算問題から、長期間のサービスまで
※モデル: 問題を抽象化したもの
2
アルゴリズムとは
• 9世紀の数学者al-Khwarizmiの名に因む
• 問題を解くための手順
答えが出るかどうか分から
ないものはアルゴリズムと
有限の手順で答えを出すものは言わない。cf.
コラッツ予
想
曖昧さが(あまり)ない
特定のプログラミング言語に依らない
コンピュータに実行させるとは限らない
• 問題の例
「整数xが素数かどうかを判定する」
「整数xとyの最大公約数を求める」
3
アルゴリズムの役割
• 時間やメモリに関する性質を考えることができる
 良し悪しが分かる
→ 計算量 (後述)
• 具体的な問題と独立して考えることができる
 問題における細かな点を無視して、解法の重要な点だけ
を考える
 異なる問題も同じアルゴリズムで解ける場合がある
• 具体的なプログラムと独立して考えることができる
 プログラムにおける細かな点を無視して考えられる
 特定のプログラミング言語に依らない
4
1つの問題に
複数のアルゴリズムがあり得る
• アルゴリズムが違えば計算時間も変わる
• プログラミング・テクニックによる速度の違いよりも大きいこと
が多い
• 例: 高速フーリエ変換 (CooleyとTukeyが1965年に再発明)
 周期関数を周波数成分に分解する
アルゴリズム
• 単純な方法では成分数Nの2乗に
比例する時間がかかるところを、
このアルゴリズムではN×log(N)に
比例する時間で済ませられる
 類似アルゴリズムである離散コサイ
ン変換は、音声や映像の圧縮・信号
処理などに幅広く使われている
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5
アルゴリズムによる
実行時間の違い
• アルゴリズムによる計算時間の違いを実際の
プログラミングによって調べる
• 問題とアルゴリズム:
平方根の計算: 数え上げ/二分法/ニュートン法
――すでに見た
フィボナッチ数: 定義通り/数え上げ/行列
最大公約数: 単純なもの/ユークリッドの互除法
整列: 単純ソート/併合ソート/ビンソート
6
フィボナッチ数の計算
• 問題: フィボナッチ数列のx番目の数を求める
フィボナッチ数列: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
x番目をfxと書くと fx =fx−1 + fx−2 となる数列
ただし f0 = f1 = 1
• アルゴリズム
定義通りに計算する方法
0から順に数え上げる方法
行列を用いる方法
15
Ruby
定義通りに計算する
フィボナッチ数
• 定義:
 x番目をfxと書くとき
 fx =fx−1 + fx−2
 ただし f0 = f1 = 1
• fxをメソッドfib1(x)
にすればよい
• 計算時間は?
def fib1(x)
if x==0 || x==1 then
1
else
fib1(x-1)+fib1(x-2)
end
end
16
0から順に数え上げる
フィボナッチ数の計算
考え方:
• 状態: (i,fi,fi+1)
• 初期値: (0,1,1)
• 遷移: (i, fi, fi+1)
→ (i+1, fi+1, fi+fi+1)
• 終了条件:
i=xになるまで
例:
(0,1,1) →
+1
+
(1,1,2) →
+1
+
(2,2,3) →
(3,3,5) →
(4,5,8) →
(5,8,13) →
(6,13,21) →
(7,21,34) →...
17
Ruby
0から順に数え上げる
フィボナッチ数の計算
def fib2(x)
i=0; fi=1; fi1=1
while i < x
i = i+1
f2 = fi+fi1
fi = fi1
fi1 = f2
end
fi
end
(i,fi,fi+1)に対応
i=xになるまでの繰り返し
(i,fi,fi+1)から
(i+1,fi+1,fi+2)を作る
f2が必要な理由は何
か(考えてみよ)
i=xになったときのfiが答え
• 計算時間は?
18
行列を用いるフィボナッチ数の計算法
(1)
• (fx+1, fx)をベクトルだと思うと
 f x1  1 1  f x 

  


 f x  1 0 f x1 
x
x
1 1   f1  1 1  1
    
  
 
1 0  f 0  1 0 1
という関係がある
20
行列を用いるフィボナッチ数の計算法
(2)
x
 f x1  1 1  1
x 1

  
    Q  
1
 f x  1 0  1
• Qxを高速に計算する方法はあるか?
• Q2x=(Qx)2という関係を利用する
例: Q16=(Q8)2=((Q4)2)2=((Q2)2)2)2
――
2乗を4回
( x  0)
E
 x/2 2
x
Q  (Q )
( x is even)
Q(Q x1 ) ( x is odd)

21
Ruby
行列を用いる
フィボナッチ数の計算法 (3)
def power(q,n)
E
単位行列
 x/2 2
if n==0 then
x
)
偶数ならば真 Q  (Q
E
Q(Q x1 )
elsif is_even(n) then

square(power(q, n/2))
else
行列の自乗
mat_x_mat(power(q, n-1), q)
end
行列×行列
end
行列×ベクトル
Q行列
( x  0)
( x is even)
( x is odd)
(1,1)ベクトル
def fib3(n)
mat_x_vec(power(Q, n), F01).y
end
ベクトルの第2成分のとり出し
※この色の定義は
省略されている
22
フィボナッチ数の計算:
アルゴリズムの違い
fib(7)
fib(8)
• 定義通り
fib(10)
fib(9)
fib(7)
fib(8)
fib(7)
• 数え上げ
fib(6)
fib(6)
fib(5)
fib(6)
fib(5)
fib(6)
fib(5)
fib(4)
(0,1,1)
(1,2,1)
(2,3,2)
(3,5,3)
(4,8,5)
(5,13,8)
• 行列を使う
100
Q100
80
60
Q50
40
20
Q24
Q25
0
Q6
Q12
Q3
Q2
Q1
-0.5
Q0
23
最大公約数の計算
• 問題: xとyの最大公約数を求める (x<yとする)
応用例: 公開鍵暗号系において大きな素数から
鍵を生成する際に用いられる
xやyは約500ビット(=約150桁)の数
• アルゴリズム
単純: 1,2,...,xでxとyを割り切る最大数を見つける
ユークリッドの互除法
24
Ruby
•
単純な
最大公約数の計算
アルゴリズム: 1,2,...,xでyを割り切る最大の数を見つける
def gcd_simple(x,y)
nがxとyの約数のときtrue
n = x
while !common_divisor(n,x,y)
n = n - 1
end
n
end
25
ユークリッドの互除法
• アルゴリズム:
小さい方で大きい方を割った余りで大きい方を置
き換える
gがxとyの最大公約数ならxと(y mod x)の最大公
約数もgになるという性質を利用
• 考え方:
「0とyの最大公約数」 = y
「xとyの最大公約数」= 「zとxの最大公約数」
ただしzはyをxで割った余り
26
Ruby
ユークリッドの互除法
• 考え方:
「0とyの最大公約数」 = y
「xとyの最大公約数」
= 「zとxの最大公約数」
ただしzはyをxで
割った余り
def euclid(x,y)
if x == 0 then
y
else
euclid(y % x, x)
end
end
27
整列 (sorting)
• 問題: n個のデータを大きさ順に並べる
(単純化): n個の整数を小さい順に並べる
 色々な場面で使われる
 データの「下ごしらえ」としても使われる
例: 検索を高速化するために整列しておく
• データ数は、時として非常に大きくなる
 「全学生の氏名を学生証番号順に表示」
 「『今日の料理』という言葉を持つページを信頼度順に表
示」
28
整列アルゴリズム
とても沢山ある
• 単純整列法: 1番小さいものを見つけ、2番目に小さ
いものを見つけ、...
• 併合整列法:
• ビン整列法:
• クイック整列法: (名前だけ)
29
単純整列法
• 方法:
列の中で最小の数を見つけ、それを順に置き、
列から取り除く
• 考え方:
「aを整列した列」 =
空
(aは空)
minに「a’を整列した列」をつなげた列
(aは非空)
ただしminはa中の最小の数、
a’はaからminを取り除いた列
30
Ruby
単純整列法
# aのi番目とj番目を交換
def swap(a,i,j)
ai = a[i]; aj = a[j]
a[i] = aj; a[j] = ai
end
# aのi番目以降の最小の要素を見つけ、
# その添字を返す
def find_minimum(a,i)
min_value = a[i] # 暫定最小値
min_index = i
# その添字
for j in (i+1)..(a.size-1)
if a[j] < min_value then
min_value = a[j]
# 新たな最小値
min_index = j # を発見した
end
# 場合
end
min_index
# 添字を返す
end
# 本体: 先頭から順に最小要素を移動
def sort(a)
for i in 0..(a.size-1)
min_index =
find_minimum(a,i)
swap(a, i, min_index)
end
a
end
31
Ruby
def sort(a)
n = a.size
for i in 0..n-1
for j in i+1..n-1
def random(n)
if a[j] < a[i]
a = Array.new(n)
w = a[i]
for i in 0..n-1
a[i] = a[j]
a[i] = rand(n)
a[j] = w
end
end
a
end
end
end
a
end
33
Ruby
def sort(a)
n = a.size
for i in 0..n-1
for j in i+1..n-1
def random(n)
if a[j] < a[i]
a = Array.new(n)
a[i],a[j] =
for i in 0..n-1
a[j],a[i]
a[i] = rand(n)
end
end
end
a
end
end
a
end
34
併合整列法
未整列
整列済
• 方法:
 1つの列を2つに分ける操作を繰り返し、長さ1になるまで
続ける
 分けた列をそれぞれ併合してゆき、1つの列になるまで続
ける
• 部分問題:
 整列済の2つの列を併合する
 1つの列を2つに分ける
35
併合整列法: 整列済の列の併合
• 方法:
 2つの列の先頭を比べ、小さい方を取って並べる
 どちらかが空になるまで続ける
• 考え方:
「leftとrightを併合した列」 =
left
(rightが空)
right
(leftが空)
l::「leftの後ろとrightを併合した列」
(l<r)
r::「leftとrightの後ろを併合した列」 (それ以外)
ただしleft,rightの先頭をl,rとする
36
併合整列法: 列を2つに分ける
• 方法:
 列の奇数番目を右の列、偶数番目を左の列に並べてゆく
• 考え方:
「lを分割してleft,rightに加えたもの」 =
left, rightが分割
(lが長さ0)
「空を分割して(x1をleftに加えたもの),
(lが長さ1)
rightに加えたもの」
「l’を分割して(x1をleftに加えたもの), (それ以外)
(x2をrightに加えたもの)に加えたもの」
ただしlの先頭、2番目、それ以降をx1,x2,l’とする
37
併合整列法
• 方法:
 列を分割して、それぞれを併合整列したものを併合する
• 考え方:
「lの整列」=
l
(lの長さが0または1)
「lを分割して『空』,『空』に加えたもの」
(それ以外)
「lを分割してleft,rightに加えたもの」 =
「「leftの整列」と「rightの整列」を併合」
(lが長さ0)
「空を分割して(x1をleftに加えたもの),
(lが長さ1)
rightに加えたもの」
「l’を分割して(x1をleftに加えたもの),
(それ以外)
(x2をrightに加えたもの)に加えたもの」
ただしlの先頭、2番目、それ以降をx1,x2,l’とする
木構造を使う方法もある
38
Ruby
併合整列法(木を作る)
Tree = Struct.new(:left, :right)
def divide(a,i_min,i_max)
if i_min == i_max
a[i_min]
else
mid = (i_min+i_max)/2
Tree.new(divide(a,i_min,mid),
divide(a,mid+1,i_max))
end
end
39
divide([3,1,4,1,5,9],0,5)
9
4
3
1
1
5
40
divide([3,1,4,1,5,9],0,5)
divide(a,0,5)
divide(a,0,2)
divide(a,3,5)
divide(a,0,1) divide(a,2,2) divide(a,3,4) divide(a,5,5)
4
9
divide(a,0,0) divide(a,1,1) divide(a,3,3) divide(a,4,4)
3
1
1
5
41
Ruby
def merge(left,right)
merged = Array.new()
while left.size > 0 ||
right.size > 0
merged.push(
if right.size == 0
left.shift
elsif left.size == 0
right.shift
elsif
left[0]<right[0]
left.shift
else
right.shift
end
)
end
merged
end
併合整列法
(木を併合する)
def merge_tree(tree)
if tree.instance_of?(Tree)
merge(merge_tree(tree.left),
merge_tree(tree.right))
else
[tree]
end
end
def merge_sort(a)
merge_tree(divide(a,0,a.size-1))
end
42
Ruby
a = [3,1,4,1,5,9]
a.push(2)
a.shift
def merge(left,right)
merged = Array.new()
while left.size > 0 ||
right.size > 0
if right.size == 0
x = left.shift
elsif left.size == 0
x = right.shift
elsif left[0]<right[0]
x = left.shift
else
x = right.shift
end
merged.push(x)
end
merged
end
43
Ruby
merge([1,3,4],[1,5,9])
merged: []
left: [1,3,4]
right: [1,5,9]
def merge(left,right)
merged = Array.new()
while left.size > 0 ||
right.size > 0
if right.size == 0
x = left.shift
elsif left.size == 0
x = right.shift
elsif left[0]<right[0]
x = left.shift
else
x = right.shift
end
merged.push(x)
end
merged
end
44
Ruby
merge([1,3,4],[1,5,9])
merged: [1]
left: [1,3,4]
right: [5,9]
def merge(left,right)
merged = Array.new()
while left.size > 0 ||
right.size > 0
if right.size == 0
x = left.shift
elsif left.size == 0
x = right.shift
elsif left[0]<right[0]
x = left.shift
else
x = right.shift
end
merged.push(x)
end
merged
end
45
Ruby
merge([1,3,4],[1,5,9])
merged: [1,1]
left: [3,4]
right: [5,9]
def merge(left,right)
merged = Array.new()
while left.size > 0 ||
right.size > 0
if right.size == 0
x = left.shift
elsif left.size == 0
x = right.shift
elsif left[0]<right[0]
x = left.shift
else
x = right.shift
end
merged.push(x)
end
merged
end
46
Ruby
merge([1,3,4],[1,5,9])
merged: [1,1,3]
left: [4]
right: [5,9]
def merge(left,right)
merged = Array.new()
while left.size > 0 ||
right.size > 0
if right.size == 0
x = left.shift
elsif left.size == 0
x = right.shift
elsif left[0]<right[0]
x = left.shift
else
x = right.shift
end
merged.push(x)
end
merged
end
47
Ruby
merge([1,3,4],[1,5,9])
merged: [1,1,3,4]
left: []
right: [5,9]
def merge(left,right)
merged = Array.new()
while left.size > 0 ||
right.size > 0
if right.size == 0
x = left.shift
elsif left.size == 0
x = right.shift
elsif left[0]<right[0]
x = left.shift
else
x = right.shift
end
merged.push(x)
end
merged
end
48
Ruby
merge([1,3,4],[1,5,9])
merged: [1,1,3,4,5]
left: []
right: [9]
def merge(left,right)
merged = Array.new()
while left.size > 0 ||
right.size > 0
if right.size == 0
x = left.shift
elsif left.size == 0
x = right.shift
elsif left[0]<right[0]
x = left.shift
else
x = right.shift
end
merged.push(x)
end
merged
end
49
Ruby
merge([1,3,4],[1,5,9])
merged: [1,1,3,4,5,9]
left: []
right: []
def merge(left,right)
merged = Array.new()
while left.size > 0 ||
right.size > 0
if right.size == 0
x = left.shift
elsif left.size == 0
x = right.shift
elsif left[0]<right[0]
x = left.shift
else
x = right.shift
end
merged.push(x)
end
merged
end
50
def merge_tree(tree)
if tree.instance_of?(Tree)
merge(merge_tree(tree.left),merge_tree(tree.right))
else
[tree]
end
end
9
4
3
1
1
5
merge_tree(divide([3,1,4,1,5,9],0,5))
51
merge_tree(divide([3,1,4,1,5,9],0,5))
9
4
3
1
1
5
52
merge_tree(divide([3,1,4,1,5,9],0,5))
[1,1,3,4,5,9]
[1,3,4]
[1,5,9]
[1,3]
[1,5] [9]
[4]
[3] [1]
[1] [5]
53
Ruby
時間の計測
begin
t = Process.times.utime
sort(random(1000))
Process.times.utime - t
end
54
ビン整列法
• 考え方
頻度分布(ヒストグラム)を作る
各値の頻度だけ値を並べる
頻度→
←
←
値
値
添字→
添字→
55
ビン整列法
1. 大きな配列を用意
し、全て0にしておく
2. 列の各要素xにつ
いて、配列のx番目
を1増やす
3. 配列を順に調べ、x
番目がnならばxをn
個並べる
93146431394873312
0123456789
0000000000
0123456789
0315301112
11123333344467899
56
Ruby
ビン整列法
結果を格納する配列
値の出現回数を数える
全ての値vに
ついて
def rebuild(a,counts)
i=0
小さい順に
配列を出現回数で再構成
def count_occurences(a)
counts = Array.new(Max, 0)
for i in 0..(a.size-1)
counts[a[i]] =
counts[a[i]]+1
end
counts
aの全要素に
end
ついて
a[i]の出現
回数を増やす
配列を返す
再構成される配列の添字
for v in 0..(Max-1)
for k in 0..(counts[v]-1)
a[i] = v
i = i+1
vの出現回数だけ
end
end
end
aにvを書き込む
def bin_sort(a) 配列aの整列
rebuild(a,
count_occurences(a))
aをaの
a
end
出現回数で
再構成
57
課題: アルゴリズムによる速度差の
実測
• 平方根・整列の複数のアルゴリズムに対応し
たプログラムを作り、速度の違いを調べる
平方根の場合: x/δの大きさによって時間がどう
変化するかをグラフを描いてみる。1秒間に何回
計算できるかで比べよ。
整列の場合: ランダムな列を作り、それを整列さ
せてみよ。列の長さで時間がどう変化するかをグ
ラフを描いてみる。
• グラフから、実行時間を予測する式を推定せ
よ
58
計算量
• これまで見てきたように、アルゴリズムによってプロ
グラムの実行時間は大きく変わり得る
• プログラムを作らずに、良いアルゴリズムを選ぶに
はどうすればよいか?
→計算量
 アルゴリズムが答えを出すのに必要とする資源の見積り
 資源 = 計算時間や記憶容量
 通常はおおまかな式(オーダー, O)で見積り比較する
←それでも充分
60
計算量の求め方
1. 各演算、関数呼び出し、判断、分岐をそれ
ぞれ「1回の計算」とする
2. 入力の引数 x に対する計算回数の式を求
める（xに依存した式になる）
3. 定数を消し、主要な項だけを残す (計算量
のオーダー)
※3を前提にすると1, 2は厳密でなくともよくなる
実際、整列では比較回数だけを考えたのと
同じになる（ビン整列法は例外）
61
計算量の求め方:
数え上げによる平方根
• n が sqrt(x)/δ になるまで繰り返しをする
• 1回あたりの計算は乗算×2、比較、分岐、関
数呼出 →
計5回の計算
• 約 5 sqrt(x)/δ 回の
計算
• 定数5を消して
計算量は
O(sqrt(x)/δ)
62
計算量の求め方:
二分法による平方根
• (high−low)はx, x/2, x/4, x/8, ... x/2n と変化
• x/2n < δ になれば繰り返しは止まるので
約log2(x/δ)回で止まる
• 1回あたりの計算は
定数回なので、
• 計算量は
O(log(x/δ))
63
計算量を求める: フィボナッチ数
• 問題: n番目のフィボナッチ数
定義通り ― O(yn) （y=(1+sqrt[5])/2)
数え上げ ― O(n) 100
行列 ― O(log n)
80
60
40
20
0
0
20
40
n
64
Ruby
定義通りに計算する
フィボナッチ数
fib1(x)の計算時間 =
fib1(x-1)の計算時間 +
fib1(x-2)の計算時間 +
定数
def fib1(x)
if x==0 || x==1 then
1
else
fib1(x-1)+fib1(x-2)
end
end
フィボナッチみたい？
→ 黄金比
65
多倍長整数のfibの場合...
•
•
•
•
fib(n)の値はnに対して指数的に大きくなる。
fib(n)の桁数はnに比例して大きくなる。
多倍長整数の足し算の時間は桁数nに比例。
多倍長整数の掛け算の時間は桁数nに対して、
 n*n 素朴なアルゴリズム
 n*(log n)*(log log n) 最高速アルゴリズム
• fibの計算時間
 fib2(n)  n*nに比例
 fib3(n)  n*n*(log n) 素朴
 n*(log n)*(log n)*(log log n) 最高速
66
計算量を求める: 整列アルゴリズム
問題: k以下の整数の長さnの列を整列
• 単純整列法 ― O(n2)
• 併合整列法 ― O(n log n)
• ビン整列法 ― O(n + k)
n
10
n2
100
n logn
33
664
9,966 132,877
1.7E+06 2.0E+07 2.3E+08 2.7E+09 3.0E+10
n +k
110
200
1,100
100,100 1.0E+06 1.0E+07 1.0E+08 1.0E+09
100
1,000
10,000
100,000 1.0E+06 1.0E+07 1.0E+08 1.0E+09
10,000 1.0E+06 1.0E+08 1.0E+10 1.0E+12 1.0E+14 1.0E+16 1.0E+18
10,100
(k = 100の場合)
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時間計算量と空間計算量
• いままでの計算量は「計算回数」に注目していた
→ 時間計算量という
• 配列やリストのようなデータ構造を使う場合は、必
要とする記憶領域の大きさも問題となる
 例: データ数の2乗の記憶領域が必要なアルゴリズムが
あったとき、データ数が109個(1G個)あったら?
• 「全てのデータの組」について表を作る場合
• webページの総数は100億(= 1010)以上と推定されている
→ 空間計算量
• 考え方は時間計算量と同様
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空間計算量の例
• 併合ソート
 データ個数 n の2倍 →
O(n)
• ビンソート
 データ範囲の幅 k と
データの個数 n の大き
い方 → O(k+n)
 範囲が狭い場合のみ使
える
未整列
整列済
93146431394873312
0123456789
0000000000
0123456789
0315301112
11123333344467899
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課題: 計算量と実測値の対応
• 紹介したアルゴリズムの計算量のオーダーを
求めてみよ
• プログラムの実行時間の実測値と対応がと
れているかを確認せよ
• 対応がとれない場合は、理由を考えよ
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