公共経済学(06,06,16) 投票のパラドックスと中位投票者モデル2 8.1 比例所得税の下での多数決投票 【想定1】 各個人（投票者）は公共財を供給するための 財源は比例所得税で調達されるとともに、そ の税率は財政収支が均衡するように決定さ れることを知っている。 【想定２】 公共財の供給水準は各個人（投票者）の間で 多数決投票によって決定される。 3人の個人（投票者） P=低所得者（poor） M=中位所得者（median） R=高所得者（rich） Yi＝個人iの所得（i=P, M, R） YA=YP+YM+YR：各個人の所得の合計 =総所得 私的財と公共財の価格 私的財の価格＝１ 公共財の価格＝p p=1 （0<G<YA） : 供給曲線 p 1 YA G (8-1) 財政収支の均衡と所得税率 t=所得税率 t･YA=歳入 G=歳出 t･YA=G : 財政収支の均衡条件 ⇒ t=G/YA : 所得税率の決定式 (8-2) (8-3) 租税価格 t･Yi=個人iの租税負担額 pi=個人iの租税価格 ⇒ pi･G=t･Yi (8-2)のG=t･YAを代入 ⇒ pi=Yi /YA :租税価格 (8-4) 同一の限界便益関数 pi=pid(G) : 個人iの限界便益関数(逆需要関数) ＾d d pi (G)=p (G) [i=P, M, R] (8-5) 問題8-1 各個人の公共財に対する需要関数が一致す る[すなわち(8-5)が成立する]ための条件 は？ 最後に（時間が残ったら）説明する。 問題8-2 Gi=個人iの公共財の需要量 とおくとき、 GP>GM>GR を示しなさい。 問題8-2 YP<YM<YR pi=Yi /YA [(8-4)] ⇒ pP<pM<pR 問題8-2 pi G 問題8-2 pi ＾ d(G) pi =p G 問題8-2 pi 図示するため に＾を付ける。 ＾pP<p ＾ M<p ＾R ⇒ ＾ d(G) pi =p p＾R p＾M p＾P G 問題8-2 pi ＾ d(G) pi =p p＾R p＾M p＾P GP G 問題8-2 pi ＾ d(G) pi =p p＾R p＾M p＾P GM GP G 問題8-2 pi ＾ d(G) pi =p p＾R p＾M p＾P GR GM GP G 問題8-2 pi ＾ d(G) pi =p p＾R p＾M p＾P GR GM GP G 問題8-2 pi ＾ d(G) pi =p GR < GM<GP p＾R p＾M p＾P GR GM GP G 問題8-3 個人PのGP, GM, GRに関する選好順位を求め なさい。 問題8-3 ＾ d(G) pP =p pP GPのときの消費者余剰＝? GMのときの消費者余剰＝ GRのときの消費者余剰＝ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ GR Ⅵ GM GP G 問題8-3 ＾ d(G) pP =p pP GPのときの消費者余剰＝Ⅰ+Ⅱ+･･･+Ⅵ GMのときの消費者余剰＝ GRのときの消費者余剰＝ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ GR Ⅵ GM GP G 問題8-3 ＾ d(G) pP =p pP GPのときの消費者余剰＝Ⅰ+Ⅱ+･･･+Ⅵ GMのときの消費者余剰＝? GRのときの消費者余剰＝ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ GR Ⅵ GM GP G 問題8-3 ＾ d(G) pP =p pP GPのときの消費者余剰＝Ⅰ+Ⅱ+･･･+Ⅵ GMのときの消費者余剰＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ+Ⅴ GRのときの消費者余剰＝ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ GR Ⅵ GM GP G 問題8-3 ＾ d(G) pP =p pP GPのときの消費者余剰＝Ⅰ+Ⅱ+･･･+Ⅵ GMのときの消費者余剰＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ+Ⅴ GRのときの消費者余剰＝? p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ GR Ⅵ GM GP G 問題8-3 ＾ d(G) pP =p pP GPのときの消費者余剰＝Ⅰ+Ⅱ+･･･+Ⅵ GMのときの消費者余剰＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ+Ⅴ GRのときの消費者余剰＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅳ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ GR Ⅵ GM GP G 問題8-3 選好順位 投票者 第1位 第2位 第3位 個人P ? ? ? 個人M 個人R 問題8-3 選好順位 投票者 第1位 第2位 第3位 個人P GP GM GR 個人M 個人R 問題8-3 個人RのGP, GM, GRに関する選好順位を求 めなさい。 問題8-3 GPのときの消費者余剰＝ ＾ d(G) pR =p pR GMのときの消費者余剰＝ GRのときの消費者余剰＝？ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅶ Ⅳ Ⅴ GR Ⅷ Ⅵ GM Ⅸ GP G 問題8-3 GPのときの消費者余剰＝ ＾ d(G) pR =p pR GMのときの消費者余剰＝ GRのときの消費者余剰＝Ⅰ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅶ Ⅳ Ⅴ GR Ⅷ Ⅵ GM Ⅸ GP G 問題8-3 GPのときの消費者余剰＝ ＾ d(G) pR =p pR GMのときの消費者余剰＝？ GRのときの消費者余剰＝Ⅰ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅶ Ⅳ Ⅴ GR Ⅷ Ⅵ GM Ⅸ GP G 問題8-3 GPのときの消費者余剰＝ ＾ d(G) pR =p pR GMのときの消費者余剰＝Ⅰ- Ⅶ GRのときの消費者余剰＝Ⅰ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅶ Ⅳ Ⅴ GR Ⅷ Ⅵ GM Ⅸ GP G 問題8-3 GPのときの消費者余剰＝？ ＾ d(G) pR =p pR GMのときの消費者余剰＝Ⅰ- Ⅶ GRのときの消費者余剰＝Ⅰ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅶ Ⅳ Ⅴ GR Ⅷ Ⅵ GM Ⅸ GP G 問題8-3 GPのときの消費者余剰＝Ⅰ- (Ⅶ+Ⅷ+Ⅸ) ＾ d(G) pR =p pR GMのときの消費者余剰＝Ⅰ- Ⅶ GRのときの消費者余剰＝Ⅰ p＾R p＾M p＾P Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅶ Ⅳ Ⅴ GR Ⅷ Ⅵ GM Ⅸ GP G 問題8-3 選好順位 投票者 第1位 第2位 第3位 個人P GP GM GR ? ? ? 個人M 個人R 問題8-3 選好順位 投票者 第1位 第2位 第3位 個人P GP GM GR GR GM GP 個人M 個人R 問題8-3 個人MのGP, GM, GRに関する選好順位を求 めなさい。 問題8-3 選好順位 投票者 第1位 第2位 第3位 個人P GP GM GR 個人M ? 個人R GR GM GP 問題8-3 選好順位 投票者 第1位 第2位 第3位 個人P GP GM GR ? ? ? ? GM GP 個人M 個人R GM GR 問題8-3 選好順位 投票者 第1位 第2位 第3位 個人P GP GM GR GP GR GR GP GM GP 個人M 個人R GM GR 問題8-4 • 多数決投票均衡を求めなさい。 （記号の復習） 選択肢ｘと選択肢ｙについて多数決を行ったと きにｘが選択されることをｘMｙと表す。 問題8-4 GpMGM or GMMGP ? 個人Pは？に投票 個人Mは に投票 個人Rは に投票 ⇒ 問題8-4 GpMGM or GMMGP ? 個人PはGPに投票 個人Mは に投票 個人Rは に投票 ⇒ 問題8-4 GpMGM or GMMGP ? 個人PはGPに投票 個人Mは？に投票 個人Rは に投票 ⇒ 問題8-4 GpMGM or GMMGP ? 個人PはGPに投票 個人MはGMに投票 個人Rは に投票 ⇒ 問題8-4 GpMGM or GMMGP ? 個人PはGPに投票 個人MはGMに投票 個人Rは？に投票 ⇒ 問題8-4 GpMGM or GMMGP ? 個人PはGPに投票 個人MはGMに投票 個人RはGMに投票 ⇒ 問題8-4 GpMGM or GMMGP ? 個人PはGPに投票 個人MはGMに投票 個人RはGMに投票 ⇒ ？ 問題8-4 GpMGM or GMMGP ? 個人PはGPに投票 個人MはGMに投票 個人RはGMに投票 ⇒ GMMGP 問題8-4 GpMGM or GMMGP ? 個人PはGPに投票 個人MはGMに投票 個人RはGMに投票 ⇒ GMMGP 問題8-4 同様にして GRMGM or GMMGR ? ⇒ GMMGR GPMGR or GRMGP ? ⇒ ？？？ 問題8-4 以上より GMMGPかつGMMGR ⇒ ？は多数決投票均衡である。 問題8-4 以上より GMMGPかつGMMGR ⇒ GMは多数決投票均衡である。 問題8-4 以上より GMMGPかつGMMGR ⇒ GMは多数決投票均衡である。 また、GPとGRは多数決投票均衡ではない。 8.2 多数決投票均衡と効率性 • 多数決投票均衡で決定される公共財の水準 GMが効率的な公共財の水準G*と比較して過 大になるか過小になるかを所得分布との関 連で検討しよう。 • 中位投票者と中位投票者モデルとは？ 問題8-5 • 選択肢GP, GM, GRを並べる順序のなかで単 峰型順序は？ • 問題8-3の表 ⇒ 選好順位が第3位にならない選択肢は？ ⇒ GM ⇒ 単峰型順序は？ ⇒ (GP, GM, GR) と (GR, GM, GP ) 中位投票者とは？ 中位投票者 とは 各投票者の最も望ましい選択肢を 単峰型順序に並べたときに、 中央の選択肢が最も望ましい投票者 のことである。 中位投票者モデルとは？ 中位投票者モデル とは 多数決投票均衡 ＝中位投票者の最も望ましい選択肢 となるモデルである。 我々のモデルは中位投票者モデル 問題8-4 ⇒ 多数決投票均衡はGM ＝ 個人Mの公共財の需要量 問題8-5 ⇒ 個人Mが中位投票者 以上より、我々のモデルは中位投票者モデルである。 所得分布 － Y＝YA/3 : 平均所得水準 なお、YA ＝YP+YM+YRである。 YM=中位所得者Mの所得水準 所得分布 所得分布 ① YP=400, YM=500, YR=1500 と ② YP=400, YM=900, YR=1100 で現実に近そうな分布はどっち？ － 平均所得Yはどちらも同じで？ － Y＝800 問題8-6 － YM＜Y ⇒ GM＞G* であることを示そう。 まず、 － YM＜Y ⇒ 3×YM＜YA ⇒ pM＝YM/YA＜1/3 である。 (＊) 問題8-6 次に、 p=pd(G) : 逆集計需要関数 pd(G)=pPd(G)+pMd(G)+pRd(G) =3×p＾ d(G) である。したがって、 問題8-6 pi, p ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p = = ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p = G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p G サミュエルソン条件: pd(G)=ps(G) 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p G* G サミュエルソン条件: pd(G)=ps(G) 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p 1/3 G* G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p － YM <Y 1/3 G* G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p － YM <Y (＊) pM <1/3 ⇒ 1/3 G* G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p － YM <Y pM <1/3 ⇒ 1/3 pM G* G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p － YM <Y pM <1/3 ⇒ 1/3 pM G* GM G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p － YM <Y pM <1/3 ⇒ 1/3 pM G* GM G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p － YM <Y pM <1/3 ⇒ 1/3 pM G*<GM G* GM G 問題8-6 ＾ d(G) ： 集計需要曲線 p=pd(G)=3×p pi, p p=1 : 供給曲線 1 ＾ d(G) ： 個別需要曲線 pi=p － YM <Y pM <1/3 ⇒ 1/3 pM G*<GM G* GM G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi Yi Ci =ui –v(G) pi G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi Yi Ci =ui –v(G) pi Gi G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi Yi Ci =ui –v(G) pi Gi G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi Yi Ci =ui –v(G) pi Gi –v’(Gi) G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi Yi Ci =ui –v(G) pi Gi –v’(Gi) G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi Yi Ci =ui –v(G) pi=v’(Gi) pi Gi –v’(Gi) G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi Yi Ci =ui –v(G) pi=v’(Gi) pi Gi –v’(Gi) G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi ＾pd(G) =v’ (G)と置けば Yi Ci =ui –v(G) pi=v’(Gi) pi Gi –v’(Gi) G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi ＾pd(G) =v’ (G)と置けば Yi Ci =ui –v(G) ＾ d(Gi) pi=p pi=v’(Gi) pi Gi –v’(Gi) G 問題8-1（時間が残っていたら） Ci Ci+piG=Yi ＾pd(G) =v’ (G)と置けば Yi Ci =ui –v(G) ＾ d(Gi) pi=p pi=v’(Gi) pi Gi –v’(Gi) G
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