補間法 - ビジネス

６．フーリエ変換
工学上の問題は，
周期的な性質をもつものが多い。
そこで，
実験データを三角関数の級数に当てはめて
解析することも多い。
ちょっと横道にそれて
ジャン・バティスト・ジョゼフ・フーリエ男爵ってどんな人？
1768年3月21日，フランスのオセール生まれ。
［業績］
固体内における熱伝導に関する研究から
熱伝導方程式を導き、
これを解くためにフーリエ解析の手法を
提唱した。
1768/3/21 - 1830/5/16
Jean Baptiste Joseph Fourier
６．１フーリエ変換
（１）フーリエ変換（Fourier transform）とは
時間信号を f (x) とすると，フーリエ変換 F (x) は

F ( x)   f ( x) exp( jt )dt

で定義される。ここで， t ：時間， ：各速度，
j ：虚数単位（ j  1 ）である
（２）離散的フーリエ変換
ＤＦＴ（discrete Fourier transform）
しかし，
コンピュータでは，連続量，無限量を扱うことができない
時間に関して連続的な信号を g (x) し，この信号を標本化して
得られるデータを gn とする。
gn は離散的信号（discrete signal）と呼ばれる。
（２）離散的フーリエ変換
ＤＦＴ（discrete Fourier transform）
gn のＤＦＴの定義
N 1
Gk    g nexp 2 nk j N , (k  0,1,, N  1)
n 0
ここで， N ：データ数， j ：虚数単位（ j  1 ），
Gk , gn ：複素数である。
表記を簡単化するために…
次のような置き換えを行うことが多い。
WN  exp 2 j N 
WN は，回転因子，ひねり係数（twiddle factor）
などと呼ばれる。
回転因子を使って…
ＤＦＴの定義は，次のように簡単化される。
N 1
Gk    g nWNnk , (k  0,1,, N  1)
n 0
（３）逆ＤＦＴ
IDFT（inverse discrete Fourier transform）
IＤＦＴの定義
1 N 1
g n   Gk WNnk , (k  0,1,, N  1)
N k 0
ここで， N ：データ数， j ：虚数単位（ j  1 ），
Gk , gn ：複素数である。
（４）ＤＦＴ，ＩＤＦＴのプログラム
①領域の宣言
Public Const Max = 100
Public Type Complex
実部 As Double
虚部 As Double
End Type
Public X(Max) As Complex
Public Y1(Max) As Complex
Public Y2(Max) As Complex
‘ 領域サイズ
‘ 複素数のデータタイプ宣言
‘ 元データ
‘ DFTの結果を格納する
‘ IDFTの結果＝元データ
②必要な複素数演算の定義
（ＶＢＡに複素数演算がない）
Public Function ExpJ(A) As Complex
ExpJ.実部 = Cos(A)
ExpJ.虚部 = Sin(A)
End Function
Public Function Add(A As Complex, B As Complex) As Complex
Add.実部 = A.実部 + B.実部
Add.虚部 = A.虚部 + B.虚部
End Function
Public Function Mult(A As Complex, B As Complex) As Complex
Mult.実部 = A.実部 * B.実部 - A.虚部 * B.虚部
Mult.虚部 = A.実部 * B.虚部 + A.虚部 * B.実部
End Function
Public Function SetC(R, I) As Complex
SetC.実部 = R
SetC.虚部 = I
End Function
Public Function DivR(A As Complex, R) As Complex
DivR.実部 = A.実部 / R
DivR.虚部 = A.虚部 / R
End Function
③データ設定
■予め波形データの
実数部をＢ２～Ｂ１０２（１０１個）
虚数部をＣ２～Ｃ１０２（１０１個）
に設定しておく。
Private Sub データ設定()
With Worksheets("Sheet1")
For K = 0 To Max
X(K).実部 = Val(.Cells(K + 2, 3))
X(K).虚部 = Val(.Cells(K + 2, 4))
Next
End With
End Sub
④結果設定とボタンのＣｌｉｃｋイベントハンドラ
Private Sub 結果設定()
With Worksheets("Sheet1")
For K = 0 To Max
.Cells(K + 2, 5) = Y1(K).実部
.Cells(K + 2, 6) = Y1(K).虚部
.Cells(K + 2, 7) = Y2(K).実部
.Cells(K + 2, 8) = Y2(K).虚部
Next
End With
End Sub
Sub ボタン1_Click()
データ設定
DFT
IDFT
結果設定
End Sub
⑤ＤＦＴ
■繰返し回数が，MAX2であることに注意
（計算量 O(N2)と表現する）
Private Sub
For K = 0
Y1(K) =
For N =
Y1(K)
DFT()
To Max - 1
SetC(0, 0)
0 To Max - 1
= Add(Y1(K), Mult(X(N), _
ExpJ(-6.28318530717959 * N * K / Max)))
Next
Next
Y1(Max) = Y1(0)
End Sub
⑥ＩＤＦＴ
■この計算量もＯ(N2)であることに注意。
Private Sub
For K = 0
Y2(K) =
For N =
Y2(K)
IDFT()
To Max - 1
SetC(0, 0)
0 To Max - 1
= Add(Y2(K), Mult(Y1(N), _
ExpJ(6.28318530717959 * N * K / Max)))
Next
Next
For K = 0 To Max - 1
Y2(K) = DivR(Y2(K), Max)
Next
Y2(Max) = Y2(0)
End sub
色々な波形で確認してみよう
（５）結果の確認
DFT
IDFT
（６）色々な波形のフーリエ変換
上段が元データ，下段がフーリエ変換結果である。
（三角波）
（余弦波）
（連続パルス波）
（正弦波）

Download Report