Práctica 2

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E.T.S. INGENIER´IA INFORMATICA
´ Y SISTEMAS
I.T.I. GESTION
´
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ALGEBRA
LINEAL - SEGUNDA PRACTICA
1
Sistemas de ecuaciones lineales
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales Ax = b. Para resolverlo con MATLAB introducimos
la matriz de coeficientes ampliada, construy´endola de la forma C=[A b]. Utilizando el comando de
MATLAB rref(C) obtenemos un sistema reducido, equivalente al primero, m´as f´acil de resolver.
Si el sistema de ecuaciones lineales es homog´eneo,Ax = 0, se resuelve de la misma forma, pero
partiendo de la matriz de los coeficientes.
EJERCICIO 1
Reducir y resolver, siempre que sea posible, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:




x1




− x2 + 3x3 − x4 = 0
a) x1 + x2 −





 x1




x1







 2x1
c)


x1







 3x1




x1







 2x1
e)















x1







 2x1
x3
b)
+ x4 = 0



3x1







 4x1
− x2 + 2x3 + x4 = 0
+
x2
+ 2x3 = 1
+
x2
−
x3




x1




= 5
+ 3x2 +
x3
= 6
+
x3
= 4
d)
2x1







+
+ x3
+
x2
=
3
− x3 + x4 =
5
2x2 − x3 + x4 = −1
−
x2
− x3
= −1
+ 3x2 + 4x3 + 5x4 = 0
+ 4x2 + 5x3 + 6x4 = 0
+ 5x2 + 6x3 + 7x4 = 0
+ 2x2 +
x3
− 3x4 =
1
+ 3x2 −
x3
+ 2x4 =
3
2x1 +
x2
+ 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
x2
− 6x3 +
x4
= −1
2
Dependencia e independencia lineal de vectores
EJERCICIO 2
Determinar si los conjuntos siguientes son libres o ligados.
a) S = {v1 , v2 , v3 }, v1 = (4, 2, 1), v2 = (−2, 3, 1), v3 = (2, −11, −4)
b) S = {v1 , v2 , v3 }, v1 = (3, 1, 2), v2 = (−1, 1, 3), v3 = (7, 1, 1)
EJERCICIO 3
Dados los vectores v1 = (1, −1, 2, 4), v2 = (0, 2, 1, 1), v3 = (3, 1, 0, 2) determinar si el vector
v = (11, −1, 3, 13) es combinaci´on lineal de v1 , v2 , v3 ; si lo es, dar expl´ıcitamente dicha combinaci´on.
EJERCICIO 4
a) Encontrar las coordenadas del vector v = (−1, 8) respecto de la base B = {(1, 1), (−1, 2)}.
b) Encontrar las coordenadas del vector v = (1, 0, 0, 1) respecto de la base:
B = {(1, 1, 0, 1), (0, 1, 2, 1), (1, 2, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}.
3
Operaciones con variedades lineales
EJERCICIO 5
a) Consideremos R5 y las variedades lineales L1 y L2 generadas por los vectores columnas de las
matrices
A1 y A2 respectivamente.
Hallar una
base de L1 +
L.
 2



 1


 −1



A1 = 
 2



 3


−3
3
2
5 
 −7 3





4 1
8 







A2 =  −13 1 −9 







 −18 1 14 




8 


1 −2 

−6
3
−9
3
4 −12 −1


14 



18 



−19 1
14
15
b) Consideremos R5 y las variedades lineales L1 y L2 dadas por:




81x1




+ 103x2 + 4x3 + 12x4 + 20x5 = 0
L1 =  73x1 +

99x2
− 4x3 +
8x4
+ 12x5 = 0




 22x1 + 26x2 + 4x3 + 4x4 + 8x5 = 0



 −13x1 − 49x2 + 30x3 + 16x4 + 16x5 = 0
L2 = 

 −7x1
+ 29x2 −
6x3
− 32x4 + 16x5 = 0
Hallar unas ecuaciones impl´ıcitas de L1 ∩ L2 .

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