Variables aleatorias

Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Estad´ıstica Aplicada y C´alculo Num´erico
(Grado en Qu´ımica)
Valeri Makarov
Dept. de Matem´
atica Aplicada, U.C.M.
10/02/2015 – 29/05/2015
F.CC. Matem´aticas, Desp. 420
http://www.mat.ucm.es/⇠vmakarov
e-mail: [email protected]
Valeri Makarov: Estad´ıstica Aplicada y C´
alculo Num´
erico (Grado en Qu´ımica)
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Cap´ıtulo 4
Variables aleatorias y distribuciones de
probabilidad
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Variables aleatorias
Una variable aleatoria viene de un experimento aleatorio.
Denotaremos con may´
usculas las variables (por ejemplo X ) y
con min´
usculas sus valores concretos
X puede tomar diferentes valores:
x 2 (a, b)
Sucesos
I
A: X = x1
I
B: X  x1
I
C: x1 < X  x2
Querremos calcular la probabilidad
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Funci´on de distribuci´on
Definamos una funci´on:
F (x) = P(X  x)
F (x) se llama la funci´
on de distribuci´
on de X
Ejemplo: Experimento con un
dado
F (x) puede tener saltos. Los
puntos siempre “entran por la
izquierda”
Funci´
on de distribuci´on:
1
0.8
0.6
F(x)
F (x) es la probabilidad de que
la variable X tome un valor
menor o igual a x.
0.4
0.2
0
−1
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0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Propiedades de F (x)
1. 0  F (x)  1
2. F (x) es creciente (es decir F (x1 )  F (x2 ) si x1 < x2 )
3. l´ımx! 1 F (x) = 0 l´ımx!1 F (x) = 1
A
B
¿C´omo calcular P(x1 < X  x2 )?
Representamos sucesos:
A = (X  x1 ) B = (X  x2 )
C = (x1 < X  x2 ) = B
B
A
A=B \A
P(B \ A ) = P(B) + P(A )
P(B [ A ) = P(B) + 1
P(x1 < X  x2 ) = F (x2 ) + 1
F (x1 )
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P(A)
1 = F (x2 )
P(S)
F (x1 )
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Variables discretas
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Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria discreta X s´
olo puede tomar valores
discretos (numerables):
X 2 {x1 , x2 , x3 , . . .}
x1 < x2 < x3 · · ·
Funci´on de probabilidad:
pi = P(X = xi )
X
pi = 1
i
Podemos hacer un diagrama de barras an´alogo al diagrama de
frecuencias relativas (recordemos: pi = l´ım fi .)
F (x) es una funci´on escalonada
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Variables discretas
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Esperanza matem´atica
Sea X 2 {x1 , . . . , xn } una variable aleatoria discreta con las
probabilidades p1 , . . . , pn
La media aritm´
etica o esperanza matem´atica de X es:
µX = E [X ] =
n
X
xi p i
i=1
Si n = 1, entonces suponemos que la serie es convergente.
Comparar con la media muestral (de tama˜
no m):
x(m) =
n
X
i=1
xi fi (m)
)
µX = l´ım x(m)
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m!1
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Variables discretas
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Varianza de variable aleatoria
Si medimos Y = aX + b tenemos:
µY = E [Y ] = E [aX + b] =
n
X
(axi + b)pi = aE [X ] + b = aµX + b
i=1
Varianza de X
2
= V [X ] =
n
X
(xi
µX ) 2 pi
i=1
Es decir
2
= E [(X
µX )2 ] = E [X 2 ]
2
Y
= a2
µ2X
2
X
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Variables aleatorias continuas
La funci´on de distribuci´
on F (x) de una variable continua aleatoria
tambi´en es continua.
La probabilidad de
encontrar X entre x1 y x2 :
1
P(x1 < X < x2 ) = F (x2 ) F (x1 )
x 2 ! x1
F(X)
Observaci´
on: Si
0.8
0.6
0.4
0.2
Entonces
0
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
X
P = F (x2 )
F (x1 ) ! 0
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Densidad de probabilidad
F (x + ✏)
✏!0
✏
De las propiedades de F (x):
1.
f (x) 0
f (x) = l´ım
F (x)
= F 0 (x)
0.4
0.35
0.3
2.
P(x1  X  x2 ) =
x2
f (x)dx
x1
3.
Z
f(X)
0.25
Z
0.2
0.15
0.1
0.05
1
f (x)dx = 1
0
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
X
1
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Momentos
Esperanza
µ = E [X ] =
Varianza
2
= V [X ] =
Z
1
(x
Z
1
xf (x)dx
1
µ)2 f (x)dx = E [X 2 ]
µ2
1
Momentos centrales de orden k
Z 1
(x
k =
µ)k f (x)dx
1
Sesgo:
3/
3;
Curtosis:
4/
4
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Distribuci´on binomial
Experimento aleatorio: observamos si ocurre o no un determinado
suceso A.
Ejemplo: Lanzamiento de una moneda. A - cara.
Variable binomial: X (variable aleatoria discreta) - n´
umero de
´
existos en n pruebas independientes.
P(A) = p
¿C´omo calcular P(X = k)?
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Casos particulares
I
n=1
Posibles valore de X : {0, 1}
P(X = 1) = P(A) = p
I
P(X = 0) = P(A) = 1
p
n = 2 Posibles valores de X : {0, 1, 2}
P(X = 0) = P(A \ A) = P(A)P(A) = (1
p)2
Aqu´ı hemos usado la independencia de resultados de
experimentos: P(C |B) = P(C )
P(X = 1) = P((A \ A) [ (A \ A)) = 2P(A)P(A) = 2p(1
p)
P(X = 2) = P(A \ A) = P(A)P(A) = p 2
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Distribuci´on binomial
Caso general:
1. Se hace n experimentos aleatorios.
2. X = ”n´
umero de ´exitos”. (entonces n X fracasos)
3. ¿Cu´al es la probabilidad de que X = k?
P(X = k) =
donde
✓
n
k
◆
=
n!
k!(n k)!
✓
n
k
◆
p k (1
p)n
k
es el coeficiente binomial:
1
121
1331
14641
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Media y varianza de la variable binomial
1. Observaci´on (para 8n):
n
X
P(X = k) =
k=0
n
X
k=0
n!
p k (1
k!(n k)!
p)n
k
=1
2. Por definici´on:
µ = E [X ] =
n
X
kP(X = k) =
k=0
µ = pn
n
X
k=1
n
X
k=1
k n!
p k (1
k!(n k)!
(n 1)!
pk
(k 1)!(n k)!
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1
(1
p)n
p)n
k
k
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Variables discretas
Cambio: k
Media:
Var. Discretas Indep.
1 = i, n
µ = pn
1=m
m
X
i=0
) n
m!
p i (1
i!(m i)!
k=m
p)m
i
i
= pn
Varianza (de forma an´aloga):
E [X 2 ] = n2 p 2 + np(1
2
= E [X 2 ]
µ2 = np(1
p)
p)
Variables binomiales denotaremos:
X ⇠ Bin(n, p)
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Problema 3: Calcula la funci´
on de probabilidad para X = ”n´
umero
de caras al lanzar moneda 3 veces”. Dos casos: p = 0,5 y p = 0,6.
Soluci´
on: Es una variable binomial con n = 3:
X ⇠ Bin(n, p) = Bin(3, p)
Posibles valores X 2 {0, 1, 2, 3}. La funci´
on de probabilidad:
P(X = 0) =
3!
p 0 (1 p)3
0!(3 0)!
P(X = 2) = 3p 2 (1
X
Moneda equilibrada:
Moneda cargada:
0
= (1 p)3 ; P(X = 1) = 3p(1 p)2
p);
0
0,125
0,064
P(X = 3) = p 3
1
0,375
0,288
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2
0,375
0,432
3
0,125
0,216
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Distribuci´on de Poisson
λ = 1.5
Una variable aleatoria discreta:
X 2 {0, 1, 2, 3, . . .}
0.5
con la funci´on de probabilidad
probabilidad
0.4
0.3
0.2
k
P(X = k) = e
k!
>0
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
Expresa la probabilidad de k eventos en un tiempo fijo si estos
eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son
independientes del tiempo discurrido desde el u
´ltimo evento.
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Variables discretas
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Distribuci´on de Poisson es el caso l´ımite de la distribuci´
on
binomial. Si n es grande, entonces
X ⇠ Poi( ) ⇡ B(n, /n)
Comprobemos que es una distribuci´
on
1
X
P(X = k) = e
k=0
1
X
k=0
k
k!
=e
e =1
Esperanza
E [X ] = e
1
X
k
k=1
k
k!
=e
1
X
k=1
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k 1
(k
1)!
=
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Varianza
E [X 2 ] = e
1
X
k2
k=1
k
k!
"
=
Finalmente:
2
=e
E [X ] + e
1
X
k
(k
k 1
1)!
k=1
1
X
m=0
= V [X ] = E [X 2 ]
m
m!
#
=
=e
1
X
(m + 1)
m!
m
m=0
2
+
E [X ]2 =
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Problema 10: Una sustancia radiactiva emite, de media, una
part´ıcula ↵ cada 1,94 s. Sea X = “el n´
umero de part´ıculas
emitidas por segundo”.
a) ¿Qu´e tipo de distribuci´
on de probabilidad sigue X ?
k
P(k; ) = e
k!
b) La probabilidad de que se emita al menos una part´ıcula en 1s
P(X
1) =
1
X
k=1
k
e
k!
=1
P(X = 0) = 1
e
Ahora
E [X ] =
= 1/1,94 ⇡ 0,515
)
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P(X
1) ⇡ 0,40
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Distribuci´on normal
Se llama la distribuci´on normal o distribuci´
on de Gauss o Gaussiana
µ = −2 σ = 1.5
Una variable aleatoria continua:
0.25
X 2 ( 1, +1)
con la densidad de probabilidad
f(x)
0.2
0.15
0.1
1
f (x) = p
e
2⇡
(x
µ)2
2 2
>0
0.05
0
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
x
La denotaremos: X ⇠ N(µ, )
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Variable normal est´andar
Supongamos que tenemos X ⇠ N(µ, ). Definimos otra variable
aleatoria:
X µ
Z=
⇠ N(0, 1)
A partir de las caracter´ısticas de Z podemos hallar las de X
✓
◆
x1 µ
P(X < x1 ) = P Z <
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Problema 13: El di´ametro de los tubos d sigue una distribuci´on
normal con µ = 950 mm y = 10 mm. ¿Cu´al es la probabilidad de
que un tubo escogido al azar tenga d 960 mm?
d ⇠ N(950, 10)
P(d
960) =?
µ = 950 σ = 10
1
P=p
2⇡
P(X > 960) = 0.16
0.04
Resoluci´
on:
Normal
P > 960
Z
0.035
1
e
(x
µ)2
2 2
dx
960
o usando la normalizada:
Z = X 10950
Z 1
z2
1
P=p
e 2 dz ⇡ 0,16
2⇡ 1
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
900
910
Valeri Makarov: Estad´ıstica Aplicada y C´
alculo Num´
erico (Grado en Qu´ımica)
920
930
940
950
960
970
980
990
1000
x
Dept. de Matem´
atica Aplicada, U.C.M.
Variables discretas
Valeri Makarov: Estad´ıstica Aplicada y C´
alculo Num´
erico (Grado en Qu´ımica)
Var. Discretas Indep.
Dept. de Matem´
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Variables discretas
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erico (Grado en Qu´ımica)
Var. Discretas Indep.
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Aproximaci´on de variables binomiales
Supongamos que X es una variable aleatoria binomial con n
p
X ⇠ Bin(n, p) puede ser aproximada por Y ⇠ N(np; np(1
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alculo Num´
erico (Grado en Qu´ımica)
1:
p))
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Variable binomial:
X ⇠ Bin(n, p)
Fijamos n = 10 p = 0,3
X
µX = np = 3
p
= np(1 p) ⇡ 1,4491
Entonces X aproximamos por
n = 10 p = 0.3;
Binomial
Normal
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Y ⇠ N(3; 1,4491)
µ = 3 σ = 1.4491
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Cada valor k de X es la marca de clase de Y de clase
(k 1/2, k + 1/2]
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alculo Num´
erico (Grado en Qu´ımica)
Dept. de Matem´
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Variables aleatorias m´
ultiples
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Variables bidimensionales discretas
En un experimento aleatorio observamos varias (dos) variables:
X
e
Y
Las dos variables consideradas juntas: (X , Y ) forman una variable
bidimensional.
Variable discreta:
X 2 {x1 , x2 , x3 , . . .}
Y 2 {y1 , y2 , y3 , . . .}
Probabilidad del par (xi , yj ):
pij = P((X = xi ) \ (Y = yj ))
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Suma de dos variables
Definamos:
S =X +Y
Ahora la probabilidad:
X
P(S = sk ) =
P((X = xi ) \ (Y = yj ) tal que xi + yj = sk )
ij
Esperanza (E [·] es lineal)
µS = E [S] = E [X + Y ] = E [X ] + E [Y ] = µX + µY
Varianza
2
S
= E [(S
E [(Y
µS )2 ] = E [(X
µY )2 ] + 2E [(X
µY )2 ] = E [(X
µX + Y
µX )(Y
µY )] =
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alculo Num´
erico (Grado en Qu´ımica)
2
X
+
2
Y
µX )2 ]+
+2
XY
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Variables discretas independientes
Variable suma:
S =X +Y
Covarianza: (variables independientes)
XY
=0
Por lo tanto:
Media:
µS = µX + µY
Varianza:
2
S
=
2
X
+
2
Y
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Teorema central del l´ımite
Sean X1 , X2 , . . . , Xn variables aleatorias independientes con las
medias {µk }nk=1 y varianzas { k2 }nk=1
Entonces la variable aleatoria
Z=
n
X
Xk
k=1
tiende a tener la distribuci´
on normal (n ! 1) Z ⇠ N(µZ ,
µZ =
n
X
µk
2
Z
=
k=1
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erico (Grado en Qu´ımica)
n
X
Z)
con
2
k
k=1
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Variables discretas
Var. Discretas Indep.
Ejemplo (teorema central): Antes ya hemos visto que:
p
Bin(n, p) ⇡ N(np, np(1 p))
Fundamento: X ⇠ Bin(n, p) es la suma de n variables
Y ⇠ Bin(1, p)
p = 0.2 µ = 0.2 σ2 = 0.16
n = 3 µ = 0.6 σ2 = 0.48
1
0.6
0.8
0.5
µY = 0⇤(1 p)+1⇤p = p
0.6
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
2
Y
= p(1
p)
Del teorema:
0.1
0
0
0
1
0
2
1
2
3
2
n = 8 µ = 1.6 σ = 1.28
n = 20 µ = 4 σ = 3.2
0.5
0.25
0.4
µX = np
0.2
0.3
0.15
0.2
2
X
0.1
= np(1
p)
0.1
0
0.05
0
1
2
3
4
Valeri Makarov: Estad´ıstica Aplicada y C´
alculo Num´
erico (Grado en Qu´ımica)
5
6
7
0
0
5
10
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