INTRODUCCIÓN
Un aspecto central en el estudio y desarrollo del pensamiento algebraico es el poder expresar, de
manera compacta y eficiente, una gran variedad de ideas matemáticas inmersas tanto en la misma
disciplina como en otros contextos. Esto permite que con ideas algebraicas se puedan estudiar
diferentes clases de relaciones entre objetos matemáticos, entre las que destacan las funciones. El
álgebra es útil para abordar y analizar una gran cantidad de problemas usando propiedades de
manera adecuada.
El uso de alguna computadora (software) o calculadora graficadora puede ser de utilidad para los
estudiantes en el planteamiento de conjeturas y como herramienta para graficar, visualizar y
entender el significado de ciertas relaciones matemáticas. En particular se recomienda el uso de
la "hoja de cálculo" como herramienta, para que el estudiante desarrolle conceptos del álgebra tales
como la búsqueda de patrones, funciones y modelación. Por supuesto, su uso depende de la
disponibilidad de estos instrumentos y de los materiales de apoyo que el profesor pueda recibir y
generar durante su práctica.
ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS
El estudio de esta asignatura se organiza alrededor de cuatro temas o ejes fundamentales. Aun
cuando cada eje se presenta por separado, es importante mencionar que éstos siempre aparecen
conectados y relacionados en la práctica de promover el desarrollo del pensamiento algebraico; por
ejemplo, las actividades que se mencionan en cada uno de los ejes, generalmente abordan temas de
varios de ellos. Además, en las actividades se ilustran algunas estrategias como el uso de
tablas, diagramas, gráficas y fórmulas que los estudiantes deben emplear continuamente en sus
experiencias de aprendizaje.
Las actividades que se presentan son vistas como ejemplos tipificados que los maestros pueden
utilizar para llevar a cabo el estudio; se trata de que se tomen como punto de referencia para
construir o diseñar otros tipos de problemas o extensiones. En cada bloque se identifica un conjunto
de contenidos que el maestro debe atender durante la aplicación de las actividades; se pretende que
los recursos matemáticos y las estrategias adquieran sentido o emerjan durante el proceso de
solución de las actividades.
ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
La idea de problematizar el estudio de la disciplina
Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme en
un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la disciplina,
es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el estudiante,
constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se presentan de
cierto modo. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de problemas o
preguntas con los cuales el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una
serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta perspectiva, el
estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilidades y
rediseñar o formular nuevos problemas.
Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un espacio
de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta comunidad, la
actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a resolver los problemas
o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación. Analizar la pertinencia de
los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos son actividades que ayudan a
construir y mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel del maestro es seleccionar y
presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. En tal
sentido, es importante que tenga en consideración los conocimientos y habilidades con que cuentan
los estudiantes.
1
EVALUACIÓN
Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los
contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro grandes
categorías:
•
El desempeño actitudinal del participante (portafolio)
•
El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje (actividades desarrolladas)
•
El diseño del curso (alcance de los propósitos)
•
El desempeño del maestro estudiante durante las clases presenciales (dominio de los
contenidos)
En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del maestro estudiante, como: la
disposición hacia la integración como miembro del grupo, la apertura hacia compartir ideas y juicios;
apertura ante las tareas de aprendizaje; tolerancia a las opiniones de los demás; su participación en
actividades de trabajo colaborativo; entre otras.
En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente
programa de Los números naturales y sus relaciones, como; la capacidad de análisis y síntesis, las
habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, entre otras.
En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos de
vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas no solo
del maestro estudiante, sino también de los profesores frente al despliegue de la disciplina, este
apartado, debe considerar algunas subcategorías como: la declaración de intenciones por parte del
facilitador, si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases, si presenta los propósitos
generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de conocimiento, habilidades y
actitudes; si las actividades están directamente relacionadas con los propósitos implícitos y
explícitos; si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que implique al alumno estudiante
como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, y todos aquellos aspectos que el
docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la reorientación y planificación de
actividades que tengan mayor consistencia.
Finalmente, en el último aspecto sugerido, es conveniente incorporar reflexiones que tiendan a
evaluar la asistencia y participación del maestro alumno, como: si las tareas solicitadas se realizan
en tiempo y forma; si el maestro alumno asiste a la clase presencial con los materiales analizados
previamente; si escucha las presentaciones y opiniones de sus compañeros; si hace contribuciones
en las discusiones que se generen en el grupo, si tiene dominio sobre la información que discute; si
sus aportaciones tienen el carácter de novedosos y relevantes en las discusiones generadas; si sus
argumentos e ideas son presentadas con la lógica proposicional, etcétera.
Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al docente como al maestro
estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las reorientaciones
pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.
PROPÓSITOS GENERALES
Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes
normalistas:
1. Utilicen herramientas algebraicas para resolver problemas en diversos contextos.
2. Adquieran elementos de tipo didáctico que les permitan analizar situaciones adecuadas para
los alumnos de educación secundaria.
3. Adquieran elementos para analizar las dificultades con que tropiezan los alumnos de
secundaria en el estudio del álgebra.
2
BLOQUE I
LA OBSERVACIÓN, GENERALIZACIÓN Y FORMALIZACIÓN DE PATRONES
TEMAS
1.
2.
3.
4.
Procesos de generalización.
Expresiones algebraicas y sus operaciones.
Diagramas, tablas y gráficas.
Uso de variables.
El estudio de la aritmética elemental se enfoca, generalmente, al tratamiento de relaciones
numéricas; en dicho estudio, un paso importante es la generalización de tratamientos aritméticos a
procesos algebraicos. En la búsqueda de patrones, el álgebra aporta una herramienta importante: el
empleo de símbolos que permiten identificar y explotar relaciones o casos generales.
Los procesos de generalización permiten extender el rango de razonamiento o comunicación más
allá de los casos considerados; es decir, el individuo identifica y expone propiedades comunes de los
casos analizados que van más allá de las situaciones mismas. En este proceso, el estudiante enfoca
su atención a detectar patrones, procedimientos, estructuras y relaciones entre los casos
particulares en donde se distingue el uso de algún lenguaje simbólico.
Las actividades que se presentan muestran aspectos relevantes relacionados con el desarrollo del
pensamiento algebraico de los estudiantes; en la mayoría éstas ilustran la relación entre varias
representaciones. La idea es que el maestro formule otras actividades y motive a los estudiantes
para que ellos mismos presenten situaciones parecidas o introduzcan algunos cambios en las ya
formuladas.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
•
SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.
— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
•
Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de
las matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica.
ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN
Conviene que el tratamiento del bloque de trabajo precise algunos aspectos del pensamiento
algebraico a través de “los distintos usos de la variable”, es decir, a). Como número, como incógnita
y relación funcional, ver siguiente esquema:
Número
PERMITE DESCUBRIR
LAS RELACIONES Y
PATRONES PARA LA
OPERATIVIDAD DE LAS
EXPRESIONES
POLINOMIALES
Incógnita
PERMITE DESCUBRIR LAS
REGULARIDADES Y
PATRONES PARA ENCONTRAR
EL VALOR DE LA LETRA
COMO:
2b - 3
3
2
2m - 3m + 4m - 8
5x - 4x = 3x + 8
DONDE:
x=-4
Relación
Funcional
PERMITE DESCUBRIR
LA DEPENDENCIA E
INDEPENDENCIA DE DOS
SERIES NUMÉRICAS
COMO:
m
n
1
2
3
4
5
6
3
5
7
9
11
13
DONDE:
n = 2m + 1
3
Para observar las regularidades y patrones, puede solicitar a los profesores estudiantes el llenado de
la siguiente tabla:
Nombre del
municipio
Extensión
del Estado
territorial
de
Chihuahua
Se lee
Not.
Not.
Not.
desarrollada exponencial algebraica
Y advierta la relación que guarda con los distintos usos de la variable, es decir, como número, como
incógnita y como relación funcional
ACTIVIDADES SUGERIDAS
Actividad 1.
Cuatro estudiantes llegan puntuales al curso de pensamiento algebraico. Cada uno saluda de mano
a los otros. ¿Cuántos saludos de mano ocurren? Después llega otro estudiante, después otro,
etcétera, y todos realizan el mismo procedimiento que sus predecesores. ¿Cuántos apretones de
mano se realizan en total, cuando han llegado 25 estudiantes? ¿Cuál es la expresión algebraica que
permite encontrar el número de apretones de mano para cualquier número n de estudiantes?
Los estudiantes pueden trabajar en equipos en las fases de entendimiento de la situación. En
particular, pueden simular la actividad y empezar a registrar el número de apretones a través de los
medios que ellos consideren pertinentes. El maestro puede ayudar a orientar y controlar el trabajo
de los estudiantes. Su papel incluye plantear preguntas que permitan a los estudiantes organizar y
analizar el trabajo de manera sistemática. Por ejemplo, después de que los estudiantes resuelven el
problema, el maestro puede presentar tres formas de representar la información relevante del
problema y los estudiantes deben analizar y contrastar las ventajas que ofrecen estas maneras de
organizar la información.
En la figura siguiente aparece una representación gráfica de la información relevante del problema.
4
Con esta construcción se tienen algunos elementos que ayudan a lograr un mejor entendimiento de
la situación. La tabla que aparece más abajo permite identificar un patrón entre los casos
particulares que se ilustran con la figura. También permite identificar el patrón de comportamiento
del caso general, con lo que se pueden contestar las preguntas planteadas.
Núm. de
maestros
Nuevos saludos
4
ss
6=1+2+3
5
4
10 = 1 + 2 + 3 + 4
6
5
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
7
6
21= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
25
24
21= 1 + 2 + 3 +… + 24 = 25(24/2) = 150
N
n-1
n(n-1)/2
Total, otra forma
Otra forma de representar este problema es por medio de un arreglo matricial donde 1 representa
un saludo y 0 sin saludo (nadie se saluda a sí mismo).
A
B
C
D
.
N
A
0
1
1
1
.
1
B
1
0
1
1
.
1
C
1
1
0
1
.
1
D
1
1
1
0
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
N
1
1
1
1
.
0
En la matriz se observa que si fueran N amigos, entonces se tendrían N2 - N saludos. Se observa
que en la diagonal solamente aparecen ceros e indican que aquí no hay saludo. Hay N ceros sobre la
diagonal, y como los saludos en la mitad de abajo de la diagonal son los mismos que la de arriba (es
lo mismo que Juan salude a Pedro o que Pedro salude a Juan), entonces la cantidad total de saludos
será: (N2 - N)/2
Actividad 2.
Resolver los problemas del tema 14 para tercer grado del Fichero de actividades didácticas.
Actividad 3.
Regularmente, a principios del año escolar los estudiantes tienen que comprar varios útiles
escolares. José decide comprar cuadernos que cuestan $25.00 y plumas de $15.00. Se plantea la
idea de hacer una tabla donde se muestren las diferentes combinaciones de estos artículos y el
precio que tiene que pagar por ellos. Empieza a llenar una tabla como la siguiente:
5
9
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
8
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
7
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
6
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
5
ss
ss
ss
ss
ss
200
ss
ss
ss
4
60
ss
ss
ss
ss
185
ss
ss
ss
3
45
ss
ss
ss
ss
170
ss
ss
ss
2
30
55
80
105
130
155
ss
ss
ss
1
15
40
65
90
115
140
ss
ss
ss
0
0
25
50
75
100
125
150
ss
ss
ss
0
1
2
3
4
5
ss
ss
ss
Los estudiantes pueden trabajar individualmente y después en equipos para discutir cada una de las
siguientes preguntas. La idea central es identificar los distintos caminos que les ayuden a llenar la
tabla y las formas de representarlos. Además, se sugiere que los estudiantes formulen problemas o
situaciones similares.
Describe la forma en que José ha llenado las casillas. ¿Es ésta la única forma de llenarlas?
Completa la tabla y explica los cálculos que utilizaste para obtener la información de cada casilla.
Describe lo que significa cada término de la expresión 25x + 15y = 320 en relación con lo que José
compra.
Observa la expresión 25x + 15y = 182. Si x y y representan el número de cuadernos y plumas
respectivamente, entonces la parte del lado izquierdo de la igualdad es múltiplo de 5 (¿por qué?).
Como 182 no es múltiplo de 5, entonces no existen dos valores enteros que cumplan la igualdad.
Explica este hecho en términos de los cuadernos, plumas y el precio.
Determina para qué cantidades entre 200 y 300 (en pesos) es posible comprar una cantidad exacta
de cuadernos y plumas.
Actividad 4.
Un papel importante en el uso de las variables es que funcionan como herramientas para expresar
generalizaciones matemáticas. Se sugiere que los estudiantes expresen algunos resultados y
observaciones de sus experiencias con números como actividad que les permita paulatinamente
transitar de la aritmética al álgebra. ¿Qué ocurre si el triple de un número a es el doble de ese
mismo número? ¿Se puede decir que la suma de dos números impares será necesariamente par o
impar?
Existen muchos fenómenos que el estudiante puede discutir donde aparece el concepto de variable.
Por ejemplo, puede observar que el costo (variable) que se reporta en una máquina despachadora
de gasolina es una función (lineal) de la cantidad de gasolina que sale de la bomba (se sugiere que
6
los estudiantes formulen una función que relacione la cantidad de gasolina con el costo.) Otro
componente importante en el análisis de las expresiones con variables es la interpretación que
puedan admitir dentro de algún contexto. Por ejemplo, la expresión: a/(a + 1) con a un entero
positivo es susceptible de ser interpretada como:
Un valor particular, por ejemplo, 3/4 cuando a = 3.
Una expresión algebraica.
Un conjunto de valores 1/2, 2/3, 3/4, etcétera.
Una fracción que se acerca a 1 cuando se aumenta el valor de a.
Es importante que el estudiante identifique y exprese diversos tipos de patrones. Por ejemplo, en la
secuencia 4, 6, 8, 10, 12, …, se observa un patrón de crecimiento que puede ser expresado como
pn+1 = p n + 2 y donde p1 = 4 que se identifica con una idea central de crecimiento aritmético. Esta
idea es base para el análisis de fenómenos que se comportan en forma lineal.
Otras ideas centrales son el crecimiento geométrico y el crecimiento exponencial que pueden servir
de marco para que los estudiantes detecten patrones, formulen expresiones algebraicas que les
permita predecir, controlar y entender la situación.
Argumentos geométricos también desempeñan un papel importante en la búsqueda de expresiones
generales. ¿Puede encontrar la relación entre la suma 1 + 3 + … + (2n - 1) (números impares) y la
siguiente figura?
Actividad 5.
Resolver los problemas que se plantean en el tema 7 del Fichero de actividades didácticas de
segundo grado.
BLOQUE II
EL ESTUDIO DE LAS FUNCIONES Y RELACIONES
TEMAS
1. Concepto de función.
2. La idea de variación y sus diferentes representaciones.
3. Clasificación de funciones.
Las funciones y relaciones pueden ser expresadas a través de múltiples sistemas de representación
y también ser la base para explorar diversos problemas. Por ejemplo, en el estudio del crecimiento
de población, los alumnos pueden representar una función que describa el fenómeno vía una tabla,
una gráfica o una fórmula. Una cierta transformación geométrica se puede representar a través de
una matriz. Las definiciones recursivas de funciones son de utilidad para analizar fenómenos en
varios contextos.
El concepto de función puede abordarse a partir del análisis de cantidades que cambian con el
tiempo (peso, temperatura, precios, etcétera) y estableciendo sus representaciones gráficas. La idea
de función involucra el uso de múltiples formas de representación (lista, tabla, gráfica, fórmula) y un
proceso que permite generalizar. ¿Qué es lo que tienen en común todas estas instancias?
7
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
•
SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.
— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
•
Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de
las matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica.
ACTIVIDADES SUGERIDAS
En las actividades siguientes se sugiere que los alumnos se organicen en grupos pequeños y
discutan la "calidad" de los argumentos en cada una de las respuestas. En todos los casos es
importante que los estudiantes valoren la posibilidad de utilizar múltiples representaciones que les
permitan analizar el comportamiento de la situación desde al menos tres ángulos diferentes: una
tabla o lista ordenada, una gráfica y una fórmula. Además, resulta importante que la información
que aparezca en las representaciones se interprete en términos del fenómeno o situación bajo
estudio. Al final de la discusión grupal, es conveniente que el maestro promueva una discusión
global con todo el grupo donde los estudiantes puedan conocer y contrastar el trabajo de todos los
equipos o grupos pequeños. Se recomienda que los estudiantes desarrollen el hábito de buscar otras
conexiones de la situación en estudio o de formular problemas relacionados.
Actividad 1.
Realizar los siguientes ejercicios sobre porcentaje.
I.
Si el precio de un artículo se reduce en un 40% inicialmente y, más tarde, a este nuevo precio
se le aumenta un 40%, ¿cómo es el último precio que se obtiene?:
a) Éste muestra un incremento comparado con el precio original.
b) Éste muestra una reducción con respecto al precio original.
c) Éste no muestra ninguna variación comparada con el precio original.
¿Qué significa calcular el porcentaje de cierta cantidad?
¿Cómo es la cantidad a la que se le aumenta el 40% comparada con la cantidad inicial?
Estas son algunas preguntas iniciales que pueden ayudar a identificar los elementos
importantes de la situación.
El precio original se reduce en un 40%. La cantidad que después se aumenta es un 40% del
nuevo precio. Como el nuevo precio es menor que la cantidad original, entonces el resultado
muestra una reducción con respecto al precio original. (El aumento es una cantidad menor
que la de la reducción inicial). En términos cuantitativos, se observa que:
La reducción del 40% equivale a multiplicar el precio original por .6.
Aumentarlo en un 40% equivale a multiplicar este nuevo precio por 1.4.
Realizar las dos operaciones es equivalente a multiplicar (.6)(1.4) = .84.
Esto significa que el precio original tuvo una reducción neta de un 16% del precio original
d) En una papelería el precio de lista de un cuaderno es $10.00.
El primer día que aparece a la venta reducen su precio en un 40%.
El segundo día se incrementa el precio del primer día en un 40%.
El tercer día, se reduce el precio del segundo día en un 40%.
Esta acción se repite cada día por un periodo prolongado.
Representar la información de tal manera que fácilmente se puedan leer las variaciones del
precio del cuaderno durante las dos primeras semanas
8
Una representación podría ser una tabla como la siguiente:
PI
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10 6 8.4 5.04 7.06 4.23 5.93 3.56 4.98 2.99 4.18 2.51 3.51 2.11 2.95
Con los valores de la tabla se puede construir una representación gráfica:
¿Cómo se obtuvieron los valores de la tabla?
Día
Precio
Precio (otra representación)
1
10(.6)
10 (.6) = 6
2
10(.6)(1.4)
10 (.84)
3
10(.6)(1.4)(.6)
6 (.84)
4
10(.6)(1.4)(.6)(1.4)
10 (8.4)2
5
10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)
6 (.84)2
6
10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)
10 (.84)3
7
10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)
6 (.84)3
8
10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4) 10(8.4)4
Analizando la tabla donde se indican los cálculos, se puede plantear la tarea de representar el precio
para el caso en que el número de días sea par y para cuando sea impar.
9
II. El precio inicial es $10.00 y cada dos días es multiplicado por (.6)(1.4) = .84. Si el número n de
días es par, el precio será multiplicado por (.84) un total de n/2 veces. De aquí que la fórmula
sea:
Precio después de n (n par) días = ($10.00)(.84)n/2.
III. Si el número n de días tomando como punto de partida $10.00, es impar, entonces el número de
días comenzando con $6.00 será n-1 el cual es par. Aquí el precio $6.00 se multiplica cada dos
días por (1.4)(.6) = .84. Este es el mismo factor que el caso anterior, pero con un precio
diferente $6.00.
El resultado es que el precio de $6.00 será multiplicado por (.84) un total de (n-1)/2 veces.
El modelo será:
Precio después de n (n impar) días = (6.00)(.84)(n-1)/2
Otra pregunta: si decides comprar un par de zapatos que tiene un 12% de descuento y al
pagarlos, el encargado de la caja plantea: ¿qué prefieres, que primero te haga el descuento del
12% del precio y después te aumente el IVA o primero te cargo el IVA y después te hago el
descuento? Respalda tu respuesta con un argumento claro.
Actividad 2.
Cuando José cumplió 9 años, su padre le ofreció darle cierta cantidad de dinero cada año. Le ofreció
que escogiera una opción de las siguientes dos ofertas:
I.
José recibiría $1000.00 en su cumpleaños nueve; $1100.00 en su siguiente cumpleaños;
$1200.00 en el siguiente y así sucesivamente. Es decir, José recibiría un regalo de $1000.00 y
después se incrementaría en $100.00 cada año.
II. José recibiría $1.00 en su cumpleaños 9. Después, en su siguiente cumpleaños recibiría $2.00,
en el siguiente $4.00, el siguiente $8.00 y así sucesivamente. Es decir, recibiría inicialmente
$1.00 y cada año duplicaría la cantidad del previo.
¿Qué plan le recomendarías a José? Argumenta tu respuesta.
10
Edad
Plan I
Plan II
9
$1,000
$1
10
$1,100
$2
11
$1,200
$4
12
$1,300
$8
13
$1,400
$16
14
$1,500
$32
15
$1,600
$64
16
$1,700
$128
17
$1,800
$256
18
$1,900
$512
19
$2,000
$1,024
20
$2,100
$2,048
21
$2,200
$4,096
22
$2,300
$8,192
23
$3,400
$16,384
Se recomienda que el estudiante exprese gráficamente el comportamiento de la
información. Además, escribir y discutir representaciones algebraicas como f(n) = 2n y f(n) = 1000
+ (n-1)100.
Actividad 3.
Resolver las actividades del tema 17 del Fichero de actividades didácticas de segundo grado.
Actividad 4.
La tecnología puede ser un recurso importante que permite a los estudiantes examinar la
información relevante de un problema desde distintos ángulos. En esta actividad se emplea el
software “Cabri geometre” para analizar el comportamiento de parámetros importantes a partir de
su representación gráfica y numérica. El lado AC de un triángulo se divide en tres segmentos
congruentes AD, DE, y EC. ¿Qué se puede decir de los tres ángulos que se forman en el vértice B?
Se observa que los tres ángulos nunca son congruentes.
11
Actividad 5.
Otro ejemplo donde los estudiantes tienen oportunidad de analizar casos particulares y plantear una
generalización y formalización tanto de las dimensiones de las figuras como de la cuantificación de
atributos perímetro y área es: las figuras representan tres familias de rectángulos con medidas
particulares. ¿Cuáles son las dimensiones del elemento enésimo de cada familia? Calcula el área y
perímetro para algunos casos particulares de cada familia. ¿Qué se puede decir del valor del área
del enésimo rectángulo de cada familia? ¿Es posible identificar a partir de qué rectángulo de alguna
de las familias el área o el perímetro es mayor que los otros correspondientes rectángulos? ¿Cuándo
el área y el perímetro son los mismos?
Representación gráfica de los perímetros correspondientes:
12
Representación gráfica de las áreas correspondientes
¿Qué se puede decir del comportamiento del perímetro y área de las familias de rectángulos a partir
de las gráficas anteriores?
Actividad 6.
Resolver las actividades del tema 1 y del tema 3 del Fichero de actividades didácticas de tercer
grado.
BLOQUE III
ESTRUCTURAS Y TRANSFORMACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
TEMAS
1. Transformación de expresiones algebraicas.
2. Significado del algoritmo de la división.
3. Representación algebraica de procesos aritméticos.
13
Una meta importante en el estudio del álgebra es que el estudiante trabaje problemas y relaciones a
través de generalizaciones y procedimientos en forma sistemática. La organización del álgebra
alrededor de estructuras implica discutir cómo funcionan los sistemas: ¿qué propiedades de un
sistema permiten que las fracciones se operen o combinen, o que las ecuaciones se resuelvan? El
poder de las matemáticas radica en abstraer y generalizar las propiedades comunes de un sistema y
aplicar o extender esas ideas a otros. Por ejemplo, el entendimiento de la estructura de los enteros,
permite buscar y reconocer estructuras similares en otros sistemas. Las propiedades de las
operaciones que se definen en la estructura permiten realizar una serie de transformaciones en las
expresiones, que pueden ser de utilidad en el manejo y entendimiento de relaciones
matemáticas. Una idea central en el proceso de transformar expresiones algebraicas es que el
estudiante encuentre el sentido al utilizar diversas expresiones algebraicas. Dos aspectos resaltan
en el entendimiento de cómo y cuando las representaciones simbólicas deben ser usadas para
representar relaciones:
a) generalizaciones y pruebas, que a simple vista parecen ser invisibles o estar escondidas; y
b) habilidad para manipular y leer expresiones simbólicas como dos aspectos complementarios para
resolver problemas algebraicos.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
•
SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.
— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
•
Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de
las matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica.
ACTIVIDADES SUGERIDAS
Actividad 1.
Realizar las actividades del tema 6 del Fichero de actividades didácticas de segundo grado.
Actividad 2.
Realiza las operaciones correspondientes en cada una de las expresiones de la izquierda para que se
transformen en las expresiones de la derecha. En cada caso identifica los valores de A, B, C, D y E.
Reescriba la expresión
En esta forma
-2(x + 3(x – 2(x + 1)))
A(X + B)
A=
B=
-3(x – 2)2 + 4
C + X(B + AX)
A=
B=
C=
AX +B
(CX +D)(EX + D)
A=
B=
C=
D=
E=
4X - 3 + 8X + 4
- X - 3 2X - 3
Escriba el valor de
El maestro puede pedir a los alumnos que procedan a llenar la tabla anterior y expliquen sus
procedimientos. También puede pedirles que la extiendan, de manera que se incluyan diversas
operaciones algebraicas.
14
Actividad 3.
Significado del algoritmo de la división.
Generalmente cuando se trabajan las expresiones algebraicas se da mucha atención a los símbolos y
reglas sintácticas para manipularlas y poca atención al posible significado que pueda otorgársele a
determinadas representaciones. Uno de los algoritmos más útiles es el algoritmo de la división, el
cual se presenta usualmente sin ningún referente que ayude a entender su significado. La idea
geométrica de este algoritmo, que se remonta a Euclides, puede ser de utilidad para que los
estudiantes identifiquen las ideas claves y sentido de los pasos que se realizan en este proceso. Se
inicia con una representación geométrica.
Sea b un número mayor que cero, sobre el eje numérico se ubican puntos a una distancia b y
también se ubica un punto de referencia, cero. Estos puntos se localizan como múltiplos enteros de
b y se representan como en el caso de los números enteros sobre la recta numérica pero con un
cambio de escala.
Cualquier número estará situado entre dos de estos números consecutivos o será uno de ellos. Si qb
(con q un número entero) es el punto más cerca a la izquierda del punto a, entonces se tiene la
siguiente representación:
Ahora restando qb se tiene:
0 < a – qb < b, si r = a – qb se tiene una interpretación geométrica del algoritmo de la división: el
segmento b cabe q veces en el segmento a y sobra un segmento de longitud r. Es decir, si se fija un
número real b > 0, entonces para cualquier número real a, existe un único entero q (cociente) y
número real r (residuo), 0 < r < b, tal que a = qb + r.
Los estudiantes verificarán el significado de este algoritmo para algunos casos particulares de a y b.
Con b = 10, y a = 5297, ¿cuáles son los valores de r y q? Con b = 1.5 y a = 145.65, ¿cuáles son los
valores de r y q? Con b = 4/5 y a = 103/7, ¿cuáles son los valores de r y q?
Actividad 4.
En un triángulo rectángulo el perímetro mide 70 unidades de longitud y la suma de los cuadrados de
los lados es 1682. Determine las longitudes de los tres lados.
En una primera fase los estudiantes pueden discutir en equipo las ideas o conceptos fundamentales
relacionados con triángulos. ¿Qué es un triángulo? ¿Qué es lo que caracteriza un triángulo
rectángulo? ¿Cómo se calcula el perímetro o área de un triángulo?, etcétera. Posteriormente, estos
mismos equipos pueden proponer caminos de solución a todo el grupo. De forma individual, los
estudiantes pueden intentar resolver el problema a partir de las sugerencias de los equipos.
Finalmente, en una discusión global, se invita a que un estudiante presente su respuesta al
problema. El maestro identifica los conceptos e ideas importantes que aparecen durante el proceso
de solución.
Una figura ayuda a entender los datos:
Se tiene que el perímetro vale 70, esto es a + b + c = 70. También que la suma de los cuadrados
de los lados es 1682. Es decir, a2 + b2 + c2 = 1682. Como se trata de un triángulo rectángulo
también se cumple el Teorema de Pitágoras, es decir, a2 + b2 = c2.
15
Con esta información se tiene que 2c2 = 1682, de donde c2 =
1682
2
= 841=, de aquí c vale 29.
Utilizando la ecuación a + b + c = 70 y el valor de c se tiene que:
a + b = 41 (al sustituir el valor de c en la ecuación del perímetro)
a2 + b2 = 841; ahora, despejando b de la primera (b = 41 – a) y sustituyendo su valor en esta
última ecuación se tiene: 2a2 – 82a + 1681 = 841, la cual se reduce a
a2 – 41a + 420 = 0
(a – 20)(a – 21) = 0
Con esta información se tiene que las medidas de los catetos del triángulo rectángulo son 20, 21 y
con hipotenusa igual a 29. Para comprobar las condiciones que tienen que cumplir, se tiene que 20
+ 21 + 29 = 70 (la condición del perímetro). Además, 202 + 212 + 292 = 400 + 441 + 841 = 1682.
Esto verifica la justifica la validez del procedimiento.
Actividad 5.
Dimensiones y área de un rectángulo.
Considere cualquier rectángulo: ¿qué le ocurre a su área si una de las dimensiones se incrementa en
un 10% y la otra disminuye en un 10%?
Sin realizar operaciones se sugiere que los estudiantes presenten algunas respuestas. Después se
pueden analizar algunos ejemplos particulares. En una discusión con todo el grupo se pueden
plantear algunas preguntas. ¿Cómo organizar la información que se obtenga al analizar algunos
casos particulares? ¿Una tabla? ¿Qué elementos se deben mostrar en esta tabla? ¿Qué se observa
en la tabla?
Largo (a) Ancho (b) Área Inicial
1.1a
.9b
Nueva Área Diferencia
60
40
2400
66
36
2376
24
40
60
2400
44
54
2376
24
90
80
7200
99
72
7128
72
80
90
7200
88
81
7128
72
100
50
5000
110
45
4950
50
Se observa que siempre que se disminuye una dimensión en un 10% y se aumenta la otra en un
10% el área inicial del rectángulo disminuye. Para cada caso se puede saber el valor de la diferencia
entre las áreas correspondientes. Por ejemplo, para la primera fila se tiene que de 2400 el área se
reduce a 2376, lo que significa que el área se reduce en un 1%, ya que 2400 – 2376 = 24
Usando una representación algebraica, la pregunta se puede traducir como:
Si a y b son las dimensiones, entonces, para calcular la nueva área se tendría que: (1.1)a x (.9)b =
(1.1)b x (.9) a = .99(ab)
El área siempre disminuye, además se observa que disminuye un 1% (discutir aquí las ventajas o el
poder de la representación algebraica).
El resultado es independiente del orden en que se seleccione la dimensión que se incremente o
disminuya.
16
BLOQUE IV
EL USO DE MODELOS PARA REPRESENTAR Y ENTENDER RELACIONES CUANTITATIVAS
TEMAS
1. Tratamiento de la información al resolver problemas.
2. Formulación de modelos para analizar el comportamiento de una situación.
El poder de los modelos radica en que permiten estudiar fenómenos o situaciones a través del uso
de diversas representaciones. Las representaciones algebraicas de la situación o fenómeno que se
modela es una manera efectiva de analizar la información y parámetros relevantes. En este proceso,
los estudiantes pueden explotar sus experiencias previas y recursos algebraicos en la búsqueda de
soluciones de problemas particulares. Las actividades que aquí se presentan involucran varios
aspectos importantes que los estudiantes deben atender durante el proceso de solución. Un primer
momento incluye el entendimiento de la situación o problema. Aquí es necesario identificar la
información relevante que permita caracterizar o establecer relaciones entre parámetros de la
situación. Una segunda fase es intentar representar la información a través de distintos medios que
permitan analizar la información desde distintos ángulos. Esta fase está ligada a la adopción de un
modelo que permita analizar el comportamiento de la situación.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
•
SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.
— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
•
Rojano, T. y S. Ursini (1997), Enseñando álgebra con hojas electrónicas de cálculo, Grupo
Editorial Iberoamérica.
ACTIVIDADES SUGERIDAS
Actividad 1.
Resuelva el problema de la página 319 del Libro para el maestro.
Actividad 2.
Un alumno en la clase de educación física se lastima una rodilla. El médico de la escuela le receta
una medicina anti-inflamatoria (tabletas) para reducirle la hinchazón. El médico le explica al
paciente la frecuencia en que se tomará las tabletas y como actuará la tableta en su organismo.
1. La dosis en cada suministro será de 16 unidades (cantidad de sustancia activa)
2. Cuando el paciente recibe un suministro de medicamento, su organismo inmediatamente inicia
un proceso para asimilar las 16 unidades, y este proceso culmina 10 minutos después. Es decir,
10 minutos después del primer suministro, el cuerpo del paciente habrá asimilado la cantidad
total de sustancia activa que le fue suministrada.
3. Al momento que el organismo del paciente asimila el total de la sustancia activa que le fue
suministrada, se inicia un proceso de eliminación del medicamento.
4. Cuando la cantidad máxima de medicamento previa a un suministro se ha reducido a la mitad,
tiene lugar el siguiente suministro, en este momento se inicia un aumento de la cantidad de
sustancia activa en el organismo del paciente. Para este medicamento en particular, la reducción
se logra cada 4 horas a partir del suministro. Por ejemplo, el segundo suministro tendrá lugar
cuando la cantidad de sustancia activa sea de 8 unidades (la mitad de 16), lo cual ocurrirá
después de cuatro horas de haber recibido el primer suministro.
5. El paciente recibirá varios suministros durante el tratamiento.
¿Cómo se comporta la cantidad de sustancia activa en el organismo del paciente? Por ejemplo,
¿cuánto medicamento tendrá el paciente después de dos días de tratamiento?
17
Los estudiantes, trabajando en grupos pequeños o en forma individual representarán la información
usando diferentes formas. Por ejemplo, el uso de una tabla puede ayudar a detectar el
comportamiento de ciertas relaciones entre los datos a partir de un análisis cuantitativo. Un camino
para determinar las entradas de la tabla es tratar de incluir las "formas de asignación" que
determinan la cantidad de sustancia activa en el cuerpo del paciente en diferentes momentos.
Suministro
(núm.) cada
4 horas
Horas transcurridas
al momento del
suministro
Cantidad de
sustancia activa en
el organismo en el
momento de cada
suministro
Cantidad de sustancia
activa en el
organismo, 10
minutos después de
cada suministro
1
0
0
16
2
4
8
24
3
8
12
28
4
12
14
30
5
16
15
31
6
20
15.5
31.5
7
24
15.75
31.75
8
28
15.875
31.875
9
32
15.9375
31.9375
10
36
15.96875
31.96875
La información de la tabla ilustra algunos aspectos de cómo varía la cantidad de sustancia activa en
el organismo después de que el paciente ha recibido cierto número de suministros. De hecho, nos
permite observar una tendencia de la cantidad de medicamento en el cuerpo del paciente.
Los datos de la tabla, en su representación gráfica, confirman de manera visual el comportamiento
que se había observado en los números. Se nota que después de cierto suministro la cantidad de
18
sustancia activa se mantiene en un intervalo con un valor mínimo y máximo. Se puede decir que la
cantidad no pasa cierto límite para no producir efectos colaterales en el paciente, pero para que
surta efecto tiene que estar por arriba de cierta cantidad.
En la construcción de la tabla se detecta cierta regularidad en la forma en que se comporta la
cantidad de sustancia activa en el cuerpo del paciente. ¿Cómo describir esas regularidades en forma
algebraica? Una forma es reescribir los valores de la tabla de tal manera que las operaciones se
dejen indicadas. Esto se ilustra en la siguiente tabla:
Suministro
número
Cantidad de sustancia activa en el organismo
al momento de cada suministro
1
0
2
0 + 16 = 16
2
2
3
16 + 16
2
2
4
= 16 +2 x 16
22
=
5
=
6
=
Se observa que en el suministro n > 2, la cantidad de sustancia es la que había en el suministro
anterior, n -1, más 16; todo dividido entre dos.
El comportamiento que se presenta en la tabla se puede escribir como:
Con esta última expresión se pueden verificar los datos que se obtuvieron en la primera tabla
respecto a la cantidad de sustancia en el organismo del paciente después de cada
suministro. También se observa que 10 minutos después del n-ésimo suministro, el cuerpo del
paciente habrá acumulado la cantidad que tenía en ese momento, más la que acaba de ser
asimilada (16 unidades). Si esta cantidad la denotamos por An, entonces también se puede obtener
una expresión para esta cantidad:


An = Cn + 16 = 16 1 −
1 

2 n −1 


+ 16  2 −
1 

2 n −1 
Es claro que la representación algebraica ofrece ciertas ventajas comparada con las otras
representaciones. Por ejemplo, con la ayuda de las expresiones algebraicas resulta fácil calcular la
cantidad de medicamento en cualquier suministro.
19
Tarea de extensión.
En la situación anterior cambie la dosis que es suministrada a r unidades y conteste las mismas
preguntas.
Actividad 3.
Una situación que incluya solamente atributos matemáticos también puede ser modelada a partir de
algún software dinámico que permita explorar el comportamiento de sus parámetros importantes.
Por ejemplo, ¿cuál es el rectángulo con mayor área de todos aquellos que tienen el mismo
perímetro? Es una pregunta que se puede abordar a partir de una representación dinámica que
permita establecer conexiones y examinar el comportamiento o variación continua del área.
En la figura se observa el valor del área (tabla) de varios rectángulos con perímetro fijo y estos
valores se pueden identificar en la gráfica de la función que representa el área. Esto permite
visualizar dónde se encuentra el rectángulo con mayor área.
20
MATERIAL
DE
APOYO
21
22
FICHERO DE ACTIVIDADES
DIDÁCTICAS
INTRODUCCIÓN
El
Fichero
de
actividades
didácticas.
Matemáticas. Educación secundaria es un
material de apoyo, dirigido a los maestros de
este nivel educativo, en el que se sugieren
actividades de estudio para realizarlas con los
alumnos.
Para el diseño de las actividades se
consideraron, como punto de partida, el
enfoque didáctico para el estudio, la
enseñanza
y
el
aprendizaje
de
las
matemáticas, diversos problemas que se
proponen en el Libro para el maestro.
Matemáticas.
Educación
secundaria,
la
propuesta presenta en la Secuencia y
organización
de
contenidos
y
algunas
sugerencias de otros materiales que se
consultaron. El fichero consta de 18 fichas por
cada grado, las cuales representan una base
sólida
para
que
los
profesores
de
matemáticas, a partir de su experiencia,
puedan incorporar otras fichas y organicen el
trabajo con sus alumnos de manera creativa e
interesante durante el año lectivo.
El enfoque didáctico actual revalora el trabajo
profesional del maestro, en tanto que su labor
no se limita a transmitir información y calificar
el desempeño de los alumnos, sino que
implica
también
analizar
situaciones
relacionadas con los contenidos, organizar
secuencias que favorezcan la evolución de los
procedimientos de los alumnos, plantear
problemas, socializar diferentes estrategias de
solución y evaluar diferentes aspectos del
proceso de estudio. La realización de las
actividades que se proponen en el fichero
favorece la práctica de estas tareas, de
manera que este material de apoyo es una
contribución más para la actualización del
maestro.
Con base en su creatividad, el profesor puede
modificar, enriquecer y llevar a cabo en su
salón de clases las actividades propuestas, a
partir de las cuales podrá planear otras
situaciones que aborden los contenidos
señalados en los programas de estudio.
Estructura de las fichas
Cada ficha inicia con un recuadro en el que se
anotan los propósitos, los contenidos y, en
algunos casos, el material. Los dos primeros
se tomaron de la propuesta oficial de
Secuencia y organización de contenidos. Por lo
genera, las fichas constan de dos o tres
actividades después de las cuales se sugieren
algunas variantes. En cada actividad se
describen las indicaciones que el profesor
debe dar inicialmente a los alumnos.
Posteriormente se mencionan algunos posibles
procedimientos para resolver las situaciones,
aunque es muy probable que los alumnos
generen otros. Es importante que el profesor
favorezca la confrontación de las diferentes
alternativas que proponen los alumnos, al
margen de que conduzcan o no al resultado
correcto.
Sugerencias metodológicas para trabajar
con las fichas
Cada uno de los problemas que se presentan
en las fichas ha sido seleccionado para que los
alumnos lo resuelvan con sus propios medios.
Los procedimientos que se describen son
únicamente un apoyo para que el profesor
tenga oportunidad de prever lo que se espera.
En ocasiones, sólo después de que los
alumnos hayan resuelto los problemas,
conviene agregar alguna información.
Antes de trabajar con una ficha es
conveniente que el profesor la lea y resuelva
los problemas que se plantean. Seguramente
se le ocurrirán nuevas preguntas que ayuden
a enriquecer la actividad.
Conviene dar el tiempo suficiente para que los
alumnos resuelvan los problemas, de acuerdo
con los conocimientos, destrezas y habilidades
que posean.
Es necesario que mientras los alumnos
intentan resolver los problemas, el profesor
observe
atentamente
el
trabajo
que
desarrollan, y que analice las conjeturas, las
estrategias, los conocimientos que ponen en
juego y el tipo de errores que cometen. Esto
le permitirá apreciar lo que saben hacer y, en
función de esto, dar sugerencias, hacer
preguntas para profundizar en los temas o
quizás plantear otros problemas. Este trabajo
también aportará elementos que le ayuden a
evaluar de manera formativa y continua.
Cuando la mayoría de los alumnos termine, el
profesor debe animar a los equipos para que
expliquen sus conjeturas, estrategias y
resultados. Hay varias maneras de lograr que
esta fase de la actividad provoque interés, en
lugar de que se convierta en una carga
repetitiva y monótona. Por ejemplo, cuando
haya resultados distintos conviene anotarlos
23
en el pizarrón y animar a los alumnos a
averiguar cuáles son los correctos.
Para culminar las actividades, el profesor debe
hacer las precisiones necesarias, ya sea para
formalizar los conocimientos generados por
los alumnos, dar a conocer un procedimiento
más o aclarar posibles confusiones.
Es posible que los alumnos no estén
acostumbrados a trabajar en equipos, ni a
expresar o escuchar puntos de vista, pero si
de manera sistemática se crea un ambiente de
libertad y respeto, así como de autonomía en
el trabajo, en poco tiempo se notará una
actitud muy positiva hacia el estudio de las
matemáticas.
Los alumnos tienen la última palabra en
cuanto al interés que despierten las
actividades. Ojala que esta material anime a
los profesores a elaborar otras fichas, así
como a compartir experiencias con otros
compañeros o compañeras, después de llevar
a cabo las actividades con los alumnos.
24
PRIMER GRADO
TARJETAS NUMÉRICAS
Tema 1: Números naturales: lectura y
escritura, orden y comparación, adición y
sustracción
Propósito
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones
mediante
la
solución
de
problemas diversos.
Contenidos
Lectura, escritura, orden y comparación de
números naturales.
Material
Seis tarjetas de cartulina de 7 cm. x 4 cm. por
alumno.
Enseguida, los representantes de equipo
escribirán en el pizarrón (con cifras) los
números hallados. Pida a los alumnos que
determinen cuál es el número de menor valor
y cuál el de mayor.
Si analizan los resultados escritos en el
pizarrón notarán que existen doce números
diferentes que pueden formarse.
Ocho millones
seis mil tres
Tres millones
ocho mil seis
Seis mil ocho
millones tres
Ocho millones
tres mil seis
Tres millones
seis mil ocho
Seis mil tres
millones ocho
Seis millones
ocho mil tres
Ocho mil seis
millones tres
Tres mil ocho
millones seis
Seis millones
tres mil ocho
Ocho mil tres
millones seis
Tres mil seis
millones ocho
1. Organice al grupo en equipos de cuatro
alumnos y pídales que preparen, por
alumno, cinco tarjetas como las que se
muestran.
Luego escriba en el pizarrón el siguiente
problema:
Es probable que algunos equipos no
encuentren todos los números que se pueden
escribir con estos cinco nombres. Promueva
un análisis colectivo para ver que equipos
encuentren más números distintos y cuáles
tienen sentido y cuáles no.
Esta actividad permite que los alumnos
exploren, conjeturen, validen ante sus
compañeros la escritura y lectura de números,
así como la comparación y el orden de los
mismos. Además se inician en el trabajo con
técnicas de conteo, aunque éstas no se hagan
explícitas.
De los doce números el de mayor valor es:
8 006 00 003
Y el de menor valor:
3 006 008
2. Pida a los alumnos que, nuevamente por
equipos, reúnan las cinco tarjetas de la
actividad 1 y agreguen una sexta con la
palabra ciento(s). Enseguida comente:
Encuentren la mayor cantidad posible de
números que puedan formarse combinando de
diferentes maneras las seis tarjetas y
escríbanlos en su cuaderno con letra y
número. Al finalizar veremos qué equipo
encontró más números y cuál encontró el
mayor y menor posible.
Aclare que los paréntesis indican que pueden
usar el singular ciento o el plural cientos.
Resulta interesante que al agregar la tarjeta
con la palabra ciento(s) el número de
combinaciones
posibles
aumenta
considerablemente. Por esta razón conviene
establecer un tiempo límite para la actividad o
bien establecer algunas restricciones como,
por ejemplo, encontrar los mayores a mil
millones o los menores a diez millones.
Algunos números que construirán los alumnos
son los siguientes:
Encuentren todos los números que puedan
obtenerse combinando las cinco tarjetas y
anótenlos en su cuaderno en orden de menor
a mayor, con letra y con número.
Los equipos empezarán a explorar las
diferentes
maneras
en
que
pueden
combinarse las tarjetas para escribir números
que tengan sentido, por ejemplo:
Los alumnos podrán constatar que esta
actividad da lugar a combinaciones con
25
números del orden de los cientos de miles de
millones, por ejemplo:
Éste es el número más grande que se puede
formar
con
las
seis
tarjetas.
Puede
organizarse una competencia para ver qué
equipo lo encuentra. Se sugiere que usted no
valide las respuestas para que sean los
alumnos quienes decidan cuál de los números
propuestos por cada equipo es el mayor.
Mientras los estudiantes exploran el problema,
observe sus acciones, cuestiónelos sobre la
figura que están obteniendo y anímelos a
continuar. Una vez que la mayoría haya
terminado, confronte las diversas formas de
solución.
VARIANTE
En vez de palabra, en las tarjetas pueden aparecer números.
Por ejemplo:
Además de hallar las combinaciones posibles y el número de
mayor valor, los alumnos pueden buscar el de menor valor, los
números pares, los nones, los divisibles entre 5, entre 3,
etcétera.
DANDO TUMBOS
Tema 2: Dibujos y trazos geométricos
Propósito
Practicar trazos geométricos. Desarrollar la
imaginación espacial.
Contenidos
Utilización de la regla graduada, compás y
escuadras en la reproducción y trazo de
diseños, patrones y figuras geométricas.
Familiarización con el vocabulario y los trazos
geométricos. Cálculo de áreas.
Material
Juego de geometría, una caja en forma de cubo
y colores.
1. Organice al grupo en equipos de cinco
integrantes y dibujen en el pizarrón la
figura que se muestra en el planteamiento
del problema. Explique a sus alumnos que
la actividad consiste en encontrar y
colorear diseños geométricos.
Luego plantee el siguiente problema:
Hay que girar y trasladar una caja en forma
de cubo de tal forma que en el primer
movimiento la artista DC quede en la parte
superior, en el segundo quede a la derecha,
luego abajo, después a la izquierda y así
sucesivamente. Observen la trayectoria que
sigue el punto B en cada movimiento. Dibujen
la trayectoria y remárquenla con color.
Comparen las figuras que obtuvieron.
26
Una estrategia de solución puede ser que
recorten un cuadrado de papel o cartulina
para representar la cara de la caja y lo hagan
girar sobre una recta marcando con puntos la
trayectoria del punto B.
Otra estrategia de solución puede ser que los
alumnos utilicen directamente escuadra y
compás,
considerando
que
todas
las
trayectorias están formadas por arcos de
circunferencia debido a que la caja gira en
todos los casos en función de una de sus
aristas.
Lo importante es considerar las soluciones que
aporten los estudiantes, sólo a partir de ellas
introduzca
los
términos
geométricos
apropiados tales como circunferencia, centro,
radio, ángulo, arista, puntos u otros que
surjan.
2. Una vez obtenida la figura básica al
trasladar el punto B, dibújela en el
Pizarrón y pida a los estudiantes que la
reproduzcan varias veces en su cuaderno
sobre una línea recta utilizando su juego
geométrico y la coloreen a su gusto.
Cuando la mayoría haya terminado pida
que algunos estudiantes pasen al frente a
mostrar su diseño y comenten cómo
obtuvieron la figura.
Lo importante es que a partir de las
estrategias de reproducción, introduzca y
precise la idea de regularidad o patrón
geométrico, y que confronte las diversas
maneras de utilizar las escuadras y el compás.
4. Pida a los alumnos que calculen el área de
la figura básica que se obtiene en la
actividad 2.
VARIANTES
3. Una vez clarificada la idea de patrón o de
regularidad geométrica escriba en el
pizarrón este problema:
Suponiendo que la caja siguiera dando tumbos
en línea recta. ¿En qué posición quedará el
letrero de la caja en el décimo tumbo? ¿Y en
el centésimo tumbo? ¿Y en el milésimo primer
tumbo?
Indíqueles que individualmente intenten
resolver el problema de la manera que
quieran y después comparen y comenten sus
resultados en el equipo. Finalmente deben
elegir el procedimiento que consideraron más
adecuado. Cuando la mayoría haya terminado,
un representante de cada equipo pasará al
frente a explicar su estrategia de solución. Por
ejemplo, un equipo pudo haber observado que
en las diferentes orientadores del letrero
existe una regularidad numérica; el letrero
está a la derecha en los tumbos 2, 6, 10…
Dependiendo del tiempo y las condiciones del grupo, proponga
a los alumnos otras variantes de estas actividades aumentando
el nivel de complejidad.
1.
2.
3.
¿Qué camino sigue el punto medio de la arista AB? Hagan
lo mismo que en las actividades 1, 2, 3 y 4.
¿Qué camino sigue el centro de la cara ABCD? Hagan lo
mismo que en las actividades 1, 2, 3 y 4.
Construyan un pentágono regular. Investiguen la
trayectoria que describe el punto medio de uno de sus
lados al rotarla a lo largo de una línea recta.
¿QUÉ TAN CERCA?
Tema 3: Números naturales:
multiplicación
Propósito
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones. Utilizar la calculadora como auxiliar
en la resolución de problemas y practicar cálculo
mental y la estimación de resultados.
Contenidos
Practicar la estimación, el cálculo mental de
resultados y los algoritmos, así como el uso de
la calculadora.
Material
Calculadora.
Otro equipo pudo haber representado la
regularidad utilizando los puntos cardinales:
En ambas estrategias se puede apreciar que
cuando el letrero está a la derecha aparecen
múltiplos de cuatro más dos: 4, 8, 12…
De tal manera que para saber la posición del
décimo tumbo de la caja basta dividir 10 entre
cuatro y ver el residuo, con lo que se
determina que 10 es múltiplo de cuatro más
dos, y por tanto el letrero está a la derecha.
1. La actividad se realiza entre pares de
equipos de cuatro alumnos cada uno.
Solicite a dos alumnos (A y B), de dos
equipos, que pasen al frente con su
calculadora. Después explique la actividad.
A propone a B que estime el resultado de una
multiplicación de cantidades de dos dígitos y
que la anote en el pizarrón; por ejemplo
18x73.
Mientras B hace su estimación, A resuelve con
la calculadora la operación (18x73=1314). Si,
por ejemplo, B considera que el resultado es
1400. a efectúa con la calculadora la resta
1400 – 1314= 86; esta diferencia se traduce
en puntos a favor de A, quien propuso la
operación.
Enseguida se invierten los papeles, es decir,
ahora es B quien propone una multiplicación y
A quien lleva a cabo la estimación; en este
caso la diferencia entre el resultado exacto de
la multiplicación propuesta y la estimación se
27
considerará como puntos a favor de B.
Después de que cada equipo proponga cinco
operaciones, gana el que obtiene más puntos.
Una vez ejemplificada la actividad, los
alumnos la realizarán por pares de equipos
(uno contra otro).
Al inicio del juego las estimaciones de los
alumnos estarán alejadas del resultado
exacto, pero seguramente en el transcurso del
juego afinarán sus estrategias para estimar.
Para hacer sistemático el desarrollo de la
estimación pregunte a un alumno o al equipo
cómo procedió. Si lo considera conveniente,
primero los miembros de cada equipo pueden
comentar entre sí sus estrategias y después
los equipos que se enfrentarán pueden
comparar sus procedimientos. Posteriormente
los equipos pueden comentar con todo el
grupo la o las estrategias que siguieron para
hacer su estimación; algunas estrategias
posibles son:
Primero se redondea y luego se multiplica, es
decir:
Seguramente para estimar la cadena 23 + 78
x 37 algún equipo procederá como sigue:
23 + 78 x 37 = 20 + 80 x 30 = 100 x 30 = 3
000
También sucederá que una vez hecha la
estimación se proceda a comprobar el
resultado utilizando una calculadora que
respete la jerarquía de las operaciones; se
obtendrá:
23 + 78 x 37 = 2 909
Esta situación puede aprovecharse para
mostrar la necesidad de usar los paréntesis a
fin de que las expresiones no se presten a
diferentes interpretaciones, de manera que la
operación se escriba (23 + 78) x 37, para
indicar que primero debe hacerse la suma, o
bien 23 + (78 x 37) si se quiere hacer primero
la multiplicación.
Algunos alumnos pueden estimar 23 + (78 x
37) como se indica a continuación.
Redondean
operan:
todas
las
cantidades
y
luego
18 x 73 = 20 x 70 = 1 400
23 + (37 x 78) = 20 + (40 x 80) = 3 220
Primero se redondea, se opera y luego se
compensa, esto es:
En otros equipos sólo redondean los números
que intervienen en la multiplicación:
18 x 73 = 20 x 70 = 1 400; 1 400 + 18 = 1
418.
23 + (37 x 78) = 23 + (40 x 80) = 3 223
Agregan 18 porque disminuyen en 3 a 73 y
aumentan sólo en 2 al 18.
2. Organice al grupo en equipos y comente
que para esta actividad también se
requiere una calculadora. Aclare que se
enfrentarán pares de equipos. Explique:
Los equipos van a hacer estimaciones
combinadas de resultados de multiplicaciones,
sumas y restas. El equipo que proponga las
operaciones debe anotar la cadena de
operaciones, por ejemplo:
23 + 78 x 37, o bien 23 – 78 x 37
El equipo que propuso las operaciones anotará
como puntos a su favor la diferencia entre el
resultado exacto y el estimado por el equipo
contrario.
Después de cinco rondas, gana el equipo que
obtiene más puntos.
Al igual que en la actividad 1, es conveniente
que observe y cuestione a los equipos o
alumnos
para
que
expliquen
los
procedimientos utilizados para estimar.
En otros equipos redondean a cantidades que
pueden operarse mentalmente:
23 + (37 x 78) = 23 + (35 x 80) = 23 + (2
800) = 2 823
3. Comente que para realizar esta actividad
utilizarán la calculadora y que de nueva
cuenta van a trabajar entre pares de
equipos; después explique:
Un equipo propone un número terminado en
ceros, por ejemplo, 1300. El otro equipo debe
estimar una multiplicación de dos o de tres
factores de manera que al efectuar las
operaciones el resultado se aproxime al
número dado.
La diferencia entre el número dado y el
resultado de las multiplicaciones se adjudica
como puntos a favor al equipo que propuso el
número.
Para realizar esta actividad, los alumnos
pueden utilizar diferentes estrategias; por
ejemplo, para 1300 es posible que se den
soluciones como las siguientes:
1 300 = 700 x 2
1 300 = 600 x 2
28
1 300 = 800 x 2
1 300 = 10 x 10 x 10
1 300 = 100 x 13
En el desarrollo de esta actividad los alumnos
se darán cuenta de que siempre es posible
encontrar factores que den el resultado
exacto. En el caso del ejemplo, pueden
obtenerse a partir de multiplicaciones como
las siguientes:
puede cubrirse así: para cubrir las
decenas, se utilizan 7 rectángulos de 9
cm. x 1 cm., con lo cual restan 7 cuadritos
para llegar al número 70; utilizando otro
rectángulo de 9 cm. x 1 cm. se completan
las decenas hasta 70, y sobran 2
cuadritos. En consecuencia, el número 72
se cubre con 8 rectángulos de 9 cm. x 1
cm.
1 300 = 100 x 13
1 300 = 10 x 10 x 13
VARIANTES
Las actividades se realizan entre pares de equipos:
1.
2.
3.
Un equipo propone multiplicaciones como 23 x 45 x 72 y el
otro equipo hace la estimación del producto.
Un equipo propone multiplicaciones como (23 + 36) x (45
+ 72) y el otro equipo hace la estimación.
Un equipo dice: al multiplicar 27 sor otro número resultó
950, ¿qué número es el que multipliqué por 27?
En cada una de las variantes, la diferencia entre el resultado
exacto y el estimado se anotan como puntos para aquel equipo
que haya propuesto la operación.
MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Tema 4: Números naturales: división,
múltiplos y divisores
Propósito
Enriquecer el significado de los números
naturales. Uso de la calculadora.
Contenidos
Problemas para que los alumnos exploren la
relación entre múltiplos y divisores.
Material
*Calculadora, cuadrados de 20 cm. x 20 cm.,
rectángulos de 20 cm. x 2 cm., cuadrados de
2 cm. x 2 cm. y rectángulos de 18 cm. x 2
cm
1. Organice el grupo en parejas y después
explique la siguiente situación:
a) Representen con el material cantidades de
tres cifras y dos cifras como las
siguientes: 345, 178, 99, 38, 36, 17, 72…,
como se indica:
¿Qué clase de números se pueden cubrir con
los rectángulos de 9 cm. x 1 cm.? Encuentren
una regla que les permita decir cuándo un
número se puede cubrir sin necesidad de
representarlo con material.
La idea central es que los alumnos observen
que al cubrir una centena, ésta siempre se
puede cubrir con 11 rectángulos de 9 cm. x 1
cm. y sobra un cuadrito; asimismo al cubrir
una decena también sobra un cuadrito.
Lo anterior llevará a los alumnos a tomar en
cuenta el número de cuadritos que sobran y
ver si estos pueden ser cubiertos con los
rectángulos de 9 cm. x 1 cm.; por ejemplo, al
cubrir con rectángulos el número 345, sobran
3 cuadritos (uno de cada centena); 4
cuadritos (uno de cada decena) y 5 cuadritos,
lo que hace un total de 12 cuadritos. De estos
sólo se pueden cubrir 9, por lo que 345 no se
puede cubrir con los rectángulos de 9 cm. x 1
cm.
Proponga varios números y solicite a los
alumnos que hagan un registro de aquellos
que se pueden cubrir, de esta manera al
analizarlos podrán responder a la última
pregunta.
Es posible que algunos alumnos consideren
que los números que se pueden cubrir son los
múltiplos de 3. Para mostrar que no es cierto,
solicite que propongan varios múltiplos de 3
para que observen que esto no siempre es
correcto, aunque sí sucede que todo número
que es divisible entre 9 también es divisible
entre 3.
Finalmente, si es que los alumnos no pueden
expresar la regla que permite saber cuándo un
número es divisible entre 9, oriéntelos para
que lo hagan entre todo el grupo.
b) Utilizando rectángulos de 9 cm. x 1 cm.,
traten de cubrir los recuadros, rectángulos
y cuadrados pequeños que representa
cada número; por ejemplo, el número 72
El mismo problema puede plantearse para que
los
alumnos
encuentren
la
regla
de
divisibilidad entre 3, con la variante siguiente:
determinar qué clase de números pueden
cubrirse con rectángulos de 3 cm. x 1 cm.
29
2. Organice al grupo en equipos de cuatro
alumnos. Comente que van a utilizar una
calculadora para resolver la siguiente
situación:
c) Consideren
números
con
cualquier
cantidad de dígitos. Dividan a cada uno de
estos números entre 2. ¿Qué características
tienen los números cuyo residuo es cero al
dividirse entre 2?
d) Consideren
números
con
cualquier
cantidad de dígitos. Dividan a cada uno de
estos números entre 5 ¿Qué características
tienen los números cuyo residuo es cero al
dividirse entre 5? Encuentren una regla que
les permita saber cuándo un número es
divisible entre 5.
*si no es posible disponer del material, esta
actividad puede llevarse a cabo proponiendo
que la realicen con dibujos.
Cuando la mayoría de los equipos haya
formulado sus reglas, anótelas en el pizarrón,
analice con el grupo las diferencias y en caso
necesario verifique si son correctas o no.
Otros alumnos se darán cuenta de que si
dividen 512 entre 8 obtienen el lugar en el
que está colocado ese múltiplo de 8. Puede
aprovechar esta situación para hacer la
relación entre múltiplo y divisor.
La última pregunta lleva a los alumnos a la
idea de mínimo común múltiplo. En este
momento no se pretende que los alumnos lo
obtengan mediante la descomposición en
primos, sino a partir de una lista de los
múltiplos de cada uno de los números. Si lo
considera conveniente, puede proponer otros
pares de números que tengan ciertas
relaciones; por ejemplo, que uno sea múltiplo
del otro, que sean primos relativos, etcétera.
VARIANTE
Puede proponer a los alumnos la siguiente actividad:
Digan si las afirmaciones siguientes son falsas o verdaderas. En
cada caso den ejemplos que confirmen o contradigan su
respuesta.
a)
b)
3. Con la misma organización de la actividad
2, plantee a los alumnos los siguientes
problemas:
e) Si consideran números que son divisibles
entre 2 y también son divisibles entre 3,
¿entre qué otro número también son
divisibles esos números?
f)
Si consideran números que son divisibles
entre 3 y también son divisibles entre 5,
¿entre qué otro número también son
divisibles esos números?
g) Si consideran números que son divisibles
entre
2,
entre
3
y
entre
5
respectivamente, ¿entre qué otro número
también son divisibles esos números?
c)
d)
e)
Si un número es divisible entre 2, también es divisible
entre 4.
Si un número es divisible entre 3, también es divisible
entre 9.
Si un número es divisible entre 9, también es divisible
entre 3.
Cualquier múltiplo común de 3 y 5 es divisible entre 15.
El menor múltiplo común de dos números siempre se
obtiene multiplicando dichos números.
GEOMETRÍA CON PAPEL
Tema 5: Figuras básicas y ángulos
Propósito
Explorar las propiedades de las figuras.
Apropiarse gradualmente del vocabulario
básico de la geometría.
Contenidos
Actividades y problemas que lleven a utilizar
las definiciones y a trazar figuras básicas. Uso
de escuadras para verificar perpendicularidad
y paralelismo.
Material
Dos hojas blancas tamaño carta, escuadras y
compás (por alumno)
1. Organice el grupo en equipos de cinco
alumnos y coménteles que en esta
actividad realizarán trazos geométricos
con sólo doblar hojas de papel. Luego
escriba el siguiente problema en el
pizarrón:
Para responder las preguntas de los incisos c)
y d), los alumnos pueden multiplicar (con la
calculadora o con lápiz y papel) el número 8
por otros números hasta dar con el 64, y
después multiplicar éste por 6 para obtener el
múltiplo que se pide.
30
En la primera hoja marquen dos puntos
cualesquiera, A y B. Sólo con dobleces
construyan un rectángulo cuya base sea el
segmento AB.
Se sugiere dejar en completa libertad a los
alumnos para que exploren el problema
mientras usted observa el trabajo del grupo.
Cuando la mayoría haya terminado, pasará al
frente un miembro del equipo que haya
encontrado el resultado y explicará a sus
compañeros cómo procedieron. Cabe esperar
más de un procedimiento.
Una condición necesaria para esta actividad es
saber trazar rectas perpendiculares por medio
del doblado de papel. Es posible que algún
equipo haya encontrado la siguiente manera
de hallar perpendiculares sólo con dobleces:
b) Se dobla a.C. atrás por A para marcar una
perpendicular.
c) Se dobla por
perpendicular.
B
para
marcar
otra
d) Se dobla para marcar la bisectriz del
ángulo A. Se deshace este doblez y se
marca la bisectriz del ángulo B.
En este caso puede aprovechar la situación
para explicar la idea de perpendicularidad y
ángulo recto, así como el uso de escuadras
para comprobar que los dobleces que han
quedado marcados son perpendiculares.
Mientras
los
alumnos
explican
los
procedimientos que utilizaron es conveniente
que pregunte si la figura encontrada es
realmente un rectángulo y en su caso
comprobarlo (a los alumnos se les puede
ocurrir, por ejemplo, hacerlo con ayuda de
escuadra).
e) Se desdobla toda la hoja. El cuadrado cuya
diagonal es AB queda marcado como se
muestra en la figura.
Cabe señalar que este problema tiene muchas
soluciones (rectángulos con base AB y
diferentes alturas).
Nótese que esta construcción permite explorar
los conceptos bisectriz y diagonal así como
algunas
propiedades
del
cuadrado. Es
necesario insistir en que las soluciones
propuestas por los alumnos (correctas o
erróneas) serán las que guíen la introducción
de conceptos.
Éste puede ser el momento para precisar lo
que son rectas paralelas, rectángulo y algunas
de sus propiedades y características.
Si se proponen otras soluciones habrá que
analizar los términos, nociones, conceptos,
etcétera, que se pueden retomar o introducir.
2. Para la segunda hoja, indique:
Marquen dos puntos cualesquiera (A y B) y
hagan los dobleces necesarios para encontrar
un cuadrado cuya diagonal sea el segmento
AB.
El tratamiento de este problema es el mismo
que en la actividad anterior.
Los alumnos pueden cometer distintos errores
entre los que se encuentran el trazar a ojo las
figuras) lo que sería equivalente, por ejemplo,
al trazar paralelas sin un procedimiento que
garantice que son paralelas), que los dobleces
no se hayan hecho con precisión, o bien que
siguiendo incluso una secuencia correcta no se
llegue al resultado esperado, en este último
caso usted debe animar a sus alumnos a
obtener con mayor precisión las figuras.
Existen varias formas para hallar el cuadrado;
a continuación se muestra una de ellas:
a) Se dobla el papel hacia atrás para marcar
la recta que pasa por A y por B. las letras
deben quedar a la vista.
31
VARIANTES
1.
2.
Puede solicitar a los alumnos que, con sus instrumentos de
geometría, reproduzcan las figuras que encontraron con
dobleces.
Cada alumno describe por escrito la secuencia que siguió
para construir alguna de las figuras y uno de sus
compañeros lleva a cabo la construcción siguiendo sus
pasos. Debe verificarse que, efectivamente, se obtiene la
figura deseada. De no ser así, se debe discutir en dónde
estuvo la falla (en las instrucciones o en la ejecución de las
mismas).
EL CORREDOR
Tema 6: Números decimales: Lectura y
escritura, orden y comparación, adición y
sustracción
Propósito
Contenidos
Material
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones mediante la solución de problemas
diversos. Utilizar la calculadora como un auxiliar
en la solución de problemas.
Orden y comparación de números decimales.
Acotación de un número decimal entre dos
naturales y entre dos números con una cifra
decimal. Adición y sustracción de números
decimales.
Calculadora (opcional).
1. Organice al grupo en equipos de tres
alumnos y proponga que resuelvan el
siguiente problema:
Si a algún equipo se le ocurre considerar un
número cualquiera, pero que esté entre los
intervalos especificados, la respuesta no
puede desecharse como incorrecta.
Por ejemplo:
3.5 km. el lunes + 3 km. el martes = 7.5 km.
O bien:
4 km. el lunes + 3.1 km. el martes = 7.1 km.
Ambas pueden ser correctas. Éste será un
buen ejemplo de problemas en los cuales la
solución no es única. Lo que se debe cuidar es
que, cuando los alumnos pasen a confrontar
sus
resultados,
argumenten
ante
sus
compañeros que su respuesta es factible.
Para saber entre qué números está el total,
posiblemente a uno o más equipos se les
ocurra sumar los límites que se están dando y
razonen así:
Lunes 3.4 km. y 4.1 km.
Martes 2.9 km. y 3.2 km.
Entonces lo que corrió lunes y martes corrió
en total una distancia de entre 6.3 km. y 73
km. Lo cual es correcto.
Una forma de validar esta respuesta es
comparándola con la de otros equipos.
También se pueden dar algunos ejemplos
tomando números entre los intervalos
señalados para los días lunes y martes.
Por ejemplo:
Carlos
es
un
corredor
que
entrena
diariamente; no sabe de manera exacta
cuántos kilómetros corre, pero según cree:
El lunes corrió ente 3.4 km. y 4.1 km.,
El martes entre 2.9 km. y 3.2 km.,
Y el miércoles entre 3.1 km. y 3.8 km.
Contesta:
a) Si sumas lo que corrió el lunes y el
martes, ¿entre qué números estará el
total?
b) Y si sumas lo que corrió los tres días,
¿entre qué números estará el total?
Dé tiempo suficiente para que los alumnos
comenten en equipo, hagan conjeturas, traten
de hallar la respuesta a la pregunta a) y
encuentren los intervalos que se piden en las
dos preguntas.
Para la pregunta a), los equipos notarán que
existen varias respuestas correctas, debido a
los datos con los que se cuenta.
32
Una vez comentada la solución a la pregunta
a), la pregunta b) constituye una extensión de
la anterior y es casi seguro que los alumnos
propongan que deben sumarse los límites
dados para los tres días. La respuesta es:
(3.4 km. + 2.9 km. + 3.1 km.) y (4.1 km. +
3.2 km. +3.8 km.)
Por lo tanto, la distancia que corrió en los tres
días está entre:
9.4 km. y 11.1 km.
Durante el desarrollo de esta actividad,
además de que el alumno explora, conjetura y
argumenta sus respuestas, se practica la
acotación de números decimales, así como el
orden, la comparación y el algoritmo de la
suma de este tipo de números.
2. Nuevamente organizados en equipos,
invite a sus alumnos a responder la
siguiente pregunta, tomando como base
los datos de la actividad 1.
¿Entre qué números estará la diferencia de lo
que corrió Carlos el lunes con respecto a lo
que corrió el martes?
Como los alumnos se basan en los datos de la
actividad 1 quizá crean que la diferencia está
entre:
(3.4 km. – 2.9 km.) y (4.1 km. – 3.2).
Es decir: 0.5 km. y 0.9 km.
Bastará un ejemplo para demostrar que el
razonamiento anterior es falso. Ayude a los
alumnos a descubrirlo.
Por ejemplo, si suponemos que el lunes corrió
4 km. y el martes 3 km. (ambos números
están en los intervalos de los datos) tenemos
que:
¿CÓMO ES Y DÓNDE ESTÁ?
Tema 7: Representación gráfica
Propósito
Contenidos
Material
Explorar algunas propiedades de las figuras.
Apropiarse gradualmente del vocabulario básico
de la geometría.
Iniciación al plano cartesiano. Coordenadas de
un punto en el primer cuadrante.
Geoplano y ligas (por alumno).
1. Organice al grupo en parejas o en equipos
de cuarto y proponga la siguiente
actividad:
Uno de ustedes construirá en su geoplano un
polígono irregular de más de cuatro lados e
indicará, por escrito, la manera de construir la
figura para que, sin verla, su compañero la
reproduzca exactamente y en la misma
posición en otro geoplano. Al finalizar la
construcción compararán ambos polígonos. No
se aceptan polígonos donde la liga se cruce,
por ejemplo:
La diferencia (1km.) no se encuentra en el
intervalo de 0.5 km. y 0.9 km.
Una vez que se haya demostrado que la
respuesta anterior no es correcta, dé más
tiempo a los alumnos para que sigan
explorando la solución.
Un buen razonamiento es el siguiente: si
primero supongo que el lunes corrió el menor
número de kilómetros (3.4) y el martes el
mayor (3.2 km.), restando ambos números
encontramos la diferencia mínima (p.2 km.);
de la misma manera, si suponemos que el
lunes corrió el mayor número de kilómetros
(4.1 km.) y el martes el menor (2.9 km.)
hallamos la diferencia máxima (1.2 km.).
La diferencia que se pide está entre los
números 0.2 km. y 1.2 km.
VARIANTE
La misma actividad resulta interesante si se piden no sólo
sumas y diferencias sino también productos, cocientes y
combinación de estas operaciones (que se estudian en los
temas 8 y 10).
Por ejemplo: A está entre 2.4 y 5.6
B está entre 3.1 y 7.6
Entre qué números están: A+B,A – B,AB.
Es probable que los alumnos den indicaciones
poco precisas, por lo que será difícil que su
compañero
reproduzca
el
polígono
exactamente. Sin embargo, cabe la posibilidad
de que algún alumno utilice expresiones
parecidas a las coordenadas para ubicar los
vértices del polígono. Por ejemplo: Coloca la
liga en el clavo que está arriba y al centro,
lévala hasta el clavo que está en el extremo
derecho y al centro, etcétera.
Si alguna pareja logra que los polígonos sean
iguales o muy semejantes, invítelos a que
platiquen ante el grupo cuáles fueron las
indicaciones.
En esta actividad se promueve la habilidad de
comunicación en matemáticas, lo que permite
precisar el manejo del lenguaje propio de la
geometría.
2. Nuevamente
indique:
organizados
por
parejas,
Uno de ustedes construirá en su geoplano un
polígono irregular de más de cuatro lados.
33
Escribe las indicaciones para que tu pareja lo
reproduzca exactamente y en la misma
posición en su geoplano. Gana el que logre el
mensaje más breve y que funcione.
No se permite decir:
•
El nombre del polígono
•
El número de lados
•
La longitud de los lados
•
La posición de los lados
Se pretende que esto lleve al alumno a la
localización de puntos en el primer cuadrante
del plano cartesiano.
Es probable que algunas parejas numeren los
puntos y utilicen el número que corresponde a
cada punto para describir la posición en que
se encuentra la figura.
Es importante que una vez que los alumnos
hayan finalizado la actividad, confronten las
diversas estrategias que utilizaron y discutan
la funcionalidad de cada una. El propósito
fundamental es que lleguen a ubicar los
vértices de la figura y tracen la misma
utilizando
coordenadas
cartesianas.
Así
podrán comparar este recurso con otros que
tal vez resulten menos eficientes.
VARIANTES
Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades:
En este caso haga notar a los alumnos que
este procedimiento sería difícil de aplicar si el
geoplano fuera más grande, por ejemplo, de
11 x 11 puntos.
Otras parejas quizás utilicen expresiones
como las siguientes, con un referente fijo o
variable:
1.
Escriban un mensaje con el que se pueda construir un
polígono irregular de seis lados.
2.
Escriban mensajes con los que no se pueda construir un
pentágono irregular.
3.
Escriban mensajes que produzcan una línea recta.
MAGIA CON DECIMALES
Tema 8: Números decimales:
multiplicación
Propósito
5 a la derecha
3 a la izquierda
Quizá algunos alumnos utilicen lo que saben
sobre el plano cartesiano para llevar a cabo
esta actividad.
Contenidos
Material
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones mediante la solución de problemas
diversos. Utilizar la calculadora como un auxiliar
en la solución de problemas. Practicar los
algoritmos de las operaciones, así como el
cálculo y la estimación mental de resultados.
Uso de la calculadora y revisión del algoritmo de
la multiplicación. Problemas que conducen a
multiplicar dos o más decimales, o bien a
multiplicaciones combinadas con adiciones y
sustracciones.
Calculadora (opcional).
1. Organice a los alumnos en parejas y
proponga el siguiente problema:
De esta manera darán las indicaciones a partir
de las coordenadas que determinan los
vértices del polígono; por ejemplo, un vértice
está en el punto (2, 4), el siguiente está en el
punto (4, 3), el siguiente vértice se localiza en
(4, 1), etcétera.
34
Escriban los números 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y
11 dentro de las casillas del siguiente
cuadrado, de tal manera que la suma de cada
columna, renglón o diagonal sea 21.
Puede sugerir a los alumnos que elaboren
nueve tarjetas y escriban en ellas los números
para
que,
de
esta
manera,
puedan
manipularlos fácilmente, esto ayudará a no
estar borrando sus intentos de resolución (las
tarjetas pueden ser de cualquier tamaño).
Espere un tiempo suficiente para que los
alumnos exploren diferentes maneras de
colocar los números hasta que den con la
solución.
Se espera que los estudiantes observen que
se genera otro cuadrado mágico. Será
interesante que analicen cuál es la suma del
nuevo cuadrado y qué relación guarda con la
suma del cuadrado original.
Sería ideal que a algún equipo se le hubiera
ocurrido sumar un número decimal, por
ejemplo 0.5, y que obtengan:
Una vez que hayan terminado, los equipos
expondrán la solución encontrada al grupo.
Algunos arreglos que pueden surgir son los
siguientes:
Con lo cual ya estaríamos trabajando con los
números que queremos tratar en este tema.
Si a ningún equipo se le ocurre trabajar con
decimales, entonces plantee la posibilidad:
Un análisis cuidadoso de las diferentes
respuestas hará que los alumnos observen
que en realidad se trata de la misma solución
pero rotando los números que están en la
superficie del cuadrado.
2. Organice en parejas, como continuación
de la actividad 1 y utilizando como base el
cuadrado mágico construido, proponga a
los alumnos la siguiente situación:
¿Qué sucederá si sumamos el mismo número
a cada uno de los números de un cuadrado
mágico? Tomemos como ejemplo el cuadrado
que ya construimos.
•
•
¿El cuadro funcionará también sumando
decimales?
¿Podremos generar cuadrados mágicos
con números decimales?
Dé tiempo para que los alumnos exploren el
problema, hagan conjeturas y discutan en
grupo qué sucede con los números decimales
en este problema.
3. Forme ternas. Los alumnos seguirán
explorando la construcción de cuadrados
mágicos. Ahora se tomará como base
alguno de los cuadrados con números
decimales que hayan resultado en la
actividad 2. Invite a los alumnos a que
investiguen:
¿Qué pasará si multiplicamos por un número
decimal cada uno de los números de un
cuadrado mágico con decimales?
Deje que los alumnos trabajen y descubran
qué pasa. Lo más probable es que, para
explorar, los alumnos hayan elegido sumar
números
naturales
y
hayan
obtenido
cuadrados como los siguientes:
Cada terna escogerá cualquiera de los
cuadrados mágicos que hayan surgido en la
actividad anterior y también escogerá el
número decimal que será el multiplicador.
En este proceso se dejará que los alumnos
utilicen la calculadora para hacer las
multiplicaciones y, en general, las operaciones
necesarias; no obstante, se podrá aprovechar
también para repasar el algoritmo.
Un ejemplo de lo que pueden hacer es el
siguiente, que se ha obtenido tomando como
35
base el cuadrado mágico que se ilustra arriba
–resultado de sumarle un número decimal
(0.5) al cuadrado original de la actividad 2- y
multiplicando por 0.2 cada uno de los
números.
d) Hexágonos distintos que tengan sólo un
eje de simetría.
Después digan que características tienen esas
figuras.
Pida que se busque el mayor número posible
de figuras con esas características. Ganará el
equipo que lo consiga.
En este ejemplo también será interesante
averiguar cuál es la suma en el nuevo
cuadrado mágico (4.5 en este caso) y qué
relación guarda con la suma en el cuadrado
del cual se originó (22.5) y con el número que
se escogió como multiplicador.
VARIANTES
1.
2.
Organice por parejas a los alumnos. Cada uno debe
construir un cuadrado mágico sin que su compañero lo
vea. Después cada alumno entrega a su compañero la lista
de números utilizados y el cuadrado mágico, en el que sólo
ha anotado algunos de ellos, para que su compañero lo
complete y resuelva.
Después de que hayan estudiado fracciones (tema 16) los
alumnos pueden expresar los cuadrados mágicos con
decimales como fracciones comunes simplificadas, y de
esa manera generar cuadrados mágicos con fracciones.
¿CUÁNTOS EJES?
Tema 9: Simetría axial
Propósito
Contenidos
Material
En el problema b) los alumnos tendrán
algunas
dificultades
para
encontrar
cuadriláteros con sólo un eje de simetría.
Algunos equipos, al azar, encontrarán que los
trapecios isósceles cumplen con es propiedad.
Otros equipos quizás encuentren que los
papalotes también cumplen con la condición.
Es poco probable que los alumnos descubran
cuadriláteros cóncavos con un eje de simetría.
Propicie una actitud de búsqueda para que los
encuentren.
Así puede sugerirles que, una vez construida
una determinada figura en el geoplano,
coloquen el espejo de manera que observen
que la figura es simétrica con respecto a la
línea donde se coloca el espejo; esto ayudará
a los alumnos a comprobar si la figura tiene
un eje de simetría. Abajo se muestran tres
cuadriláteros que tienen un eje de simetría.
Explorar las propiedades de las figuras y
apropiarse gradualmente del vocabulario básico
de la geometría. Practicar los trazos geométricos
mediante el uso de instrumentos de dibujo.
Determinación y trazado de los ejes de simetría
de una figura.
Geoplano, ligas y espejo por cada equipo.
1. Organice a los alumnos en cuatro equipos.
A manera de ejemplo, formen en el
geoplano un triángulo con un solo eje de
simetría y señalen el eje. Enseguida
plantee una de las siguientes actividades a
cada equipo.
Formen, en el geoplano:
a) Triángulos distintos que tengan sólo un eje
de simetría.
b) Cuadriláteros distintos que tengan sólo un
eje de simetría.
c) Pentágonos distintos que tengan sólo un
eje de simetría.
36
El problema a) es el más sencillo, y
seguramente la mayoría de los equipos
trazarán triángulos isósceles acutángulos.
Oriéntelos y anímelos para que encuentre
triángulos rectángulos u obtusángulos que
tengan sólo un eje de simetría.
Si los alumnos han encontrado los tres tipos
de cuadrilátero con un eje de simetría, es
posible que encuentren alguna estrategia para
construir pentágonos y hexágonos con un eje
de simetría. Lo importante es que organice
una discusión entre los equipos en la que se
comente la estrategia seguida para construir
figuras con sólo un eje de simetría. Las figura
que se muestran a continuación son
pentágonos y hexágonos que tienen un eje de
simetría.
puntos que no están sobre el perímetro del
rombo se tomó un punto cualquiera y luego se
colocó perpendicularmente el espejo sobre los
dos ejes de simetría.
Es importante que organice una discusión
acerca de las propiedades de los triángulos,
cuadriláteros, pentágonos y hexágonos que
cumplen con la condición (de tener un solo eje
de simetría); por ejemplo: igualdad de lados,
paralelismo, ángulos.
Para construir el segundo hexágono se trazó
un rectángulo y luego se procedió como en el
primer caso.
La construcción de los octágonos con dos ejes
de simetría se hizo mediante el mismo
proceso
indicado
anteriormente.
Las
siguientes figuras son algunas de las que se
pueden obtener.
3. Indique a los alumnos que para resolver
los siguientes problemas van a utilizar el
geoplano. En el pizarrón anota:
Construyan en el geoplano, al menos:
a) Cuatro cuadriláteros que tengan sólo dos
ejes de simetría. Después digan qué
características tienen esos cuadriláteros.
b) Cuatro hexágonos que tengan dos ejes de
simetría.
Después
digan
qué
características tienen esos hexágonos.
c) Cuatro octágonos que tengan dos ejes de
simetría.
Después
digan
qué
características tienen esos octágonos.
VARIANTES
Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades:
1.
2.
Encuentren al menos dos eneágonos distintos que tengan
sólo un eje de simetría.
Tracen con regla y compás las figuras construidas en las
actividades 1 y 2.
Aunque los alumnos hayan podido resolver los
problemas de la actividad 1, algunos equipos
tratarán por ensayo de encontrar los
cuadriláteros que tengan dos ejes de simetría.
Como una manera de ayudar a estos alumnos
se les puede sugerir que utilicen el espejo, el
cual les permitirá determinar si la figura es
simétrica.
Algunos equipos tratarán de encontrar
cuadriláteros cóncavos que tienen dos ejes de
simetría. Esto puede dar lugar a que los
alumnos descubran que no hay cuadriláteros
cóncavos con dos ejes de simetría.
Si observa que los alumnos enfrentan
dificultades para encontrar hexágonos y
octágonos con dos ejes de simetría, puede
sugerir que tomen como punto de partida
figuras, como el rectángulo y rombo, para que
a partir de ellas construyan los hexágonos u
octágonos con dos ejes. A continuación se
ilustra cómo se puede proceder:
¿CUÁNTO SOBRA?
Tema 10: Problemas de división
Propósito
Contenidos
Material
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones mediante la solución de problemas
diversos. Utilizar la calculadora como un auxiliar
en la solución de problemas. Practicar algoritmos
de las operaciones, así como el cálculo y la
estimación mental de resultados.
Problemas que conducen a una división con
residuo. Problemas que requieren de un
resultado decimal exacto o aproximado. Práctica
de la división entre números naturales.
Calculadora.*
En el caso del primer hexágono se trazó
primero un rombo; para determinar los cuatro
37
1. Organice a los alumnos en equipos y
propóngales el siguiente problema:
Encuentren 10 divisiones que tengan como
residuo 43.
Es probable que algunos alumnos usen su
calculadora para resolver este problema, pero
pronto se darán cuenta de que no es posible,
ya que la máquina calcula el resultado con
decimales y en ningún momento aparece el
residuo.
De esta manera los alumnos empezarán a
explorar el problema usando papel y lápiz y
resolviendo diferentes divisiones para ver si el
residuo es 43. En esa búsqueda al tanteo el
estudiante se dará cuenta de que una primera
condición para hallar las soluciones al
problema es que el divisor debe ser mayor
que el residuo.
Cuando lo considere pertinente solicite a
varios equipos que escriban una o más de sus
divisiones en el pizarrón:
Divisor x cociente + residuo = dividendo
2. Proponga a
problema:
los
alumnos
el
siguiente
Usen la calculadora para encontrar el cociente
entero y el residuo de las siguientes
divisiones:
98 ÷ 35
196 ÷ 39
819 ÷ 115
3496 ÷ 47
Acláreles que no se permitirá hacer el
algoritmo tradicional con papel y lápiz, sino
que sólo usarán su calculadora y que deberán
lograr que el residuo aparezca en la pantalla
haciendo las operaciones necesarias.
Deje que los alumnos traten de hallar la
solución explorando y conjeturando hasta que
se den cuenta de la relación siguiente:
Dividendo = divisor x cociente + residuo
Y que, despejando el residuo:
Residuo = dividendo – cociente x divisor
Pida a los equipos que expliquen ante el grupo
cómo hallaron las divisiones tomando en
cuenta la condición pedida. Un análisis del
algoritmo de la división posiblemente los lleve
a saber que si:
* En caso de que algún alumno cuente con
una calculadora de las que dan el cociente y el
residuo, se le pedirá que no ocupe esas
funciones para solucionar el problema.
Es decir, basta con multiplicar el divisor por la
parte entera del cociente y restar ese
producto del dividendo para obtener el
residuo. Por ejemplo:
En la calculadora 98 ÷ 35 da como resultado
2.8; la parte entera es 2, por lo tanto:
residuo = 98 – (35 x 2)
residuo = 98 – 70
residuo = 28
57 x 21 = 1 197
Ésta no es la única forma de encontrar la
solución; quizá algún equipo haya tenido la
experiencia de tratar la división como una
sucesión de restas; en este caso, otra forma
de saber el residuo es restando 35 de 98,
volver a restar 35 del resultado obtenido, y así
sucesivamente hasta que quede un número
menor que 35. Ese número es el residuo.
1 197 + 43 = 1 240
98 – 35 = 63
Por lo que la división de 1 240 entre 57 –o
entre 21- dará como residuo 43.
63 – 35 = 28
Es decir, multiplicando dos números (que
serán el cociente y el divisor) y sumando 43
(residuo) a su producto, obtenemos el
dividendo. Por ejemplo:
Nótese que en la resolución de este problema
el alumno repasará los algoritmos de la
adición, la sustracción, la multiplicación y la
división. También será necesario aclarar a qué
se le llama dividendo, divisor, cociente y
residuo, así como sus significados y la relación
entre ellos:
38
El número de veces que se restó 35 es,
precisamente, la parte entera del cociente (en
este caso, 2).
Otra forma de resolver el problema es la
siguiente: se hace la división con el algoritmo
tradicional sólo para ver la relación que
guarda el residuo con la parte decimal del
cociente. Al hacer la división con papel y lápiz
de 98 ÷ 35 se tiene:
LISTONES Y VARAS
Tema 11: Fracciones y porcentajes
Propósito
¿De dónde resultó el .8? El .8 es el resultado
de dividir el residuo entre 35:
28 ÷ 35 = .8
Por lo que el residuo se puede calcular
multiplicando la parte decimal del conciente
por el divisor:
28 = .8 x 35
No es necesario volver a teclear la parte
decimal, basta con que una vez que se tenga
el cociente se reste la parte entera y lo que
queda se multiplique por el divisor.
Cabe aclarar que el inconveniente de esta
última solución es que si el cociente tiene más
decimales que los que caben el la pantalla
(por ejemplo 1 ÷ 3 = 0.333…), es posible que
la calculadora no guarde todos en la memoria
y entonces se obtenga una aproximación del
residuo, pero no el residuo exacto (esto no
pasa si la parte decimal sale completa en la
pantalla).
Este problema permite a los alumnos el
análisis de la división, el repaso de su
algoritmo y el uso de la calculadora, así como
explorar la relación entre las operaciones y
repasar los nombres de los elementos de la
división. No desaproveche la oportunidad de
reafirmar los contenidos pertinentes.
VARIANTE
Una variante para la actividad 2 consiste en pedir el cociente
hasta décimos y el residuo. Por ejemplo: Calculen el residuo al
dividir 394 ÷ 37, una vez que el resultado se aproxima a décimos (con
la calculadora).
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones mediante la solución de problemas
muy variados.
Contenidos
Revisión de los usos y significados de las
fracciones en distintos contextos. Operaciones y
problemas.
Material
Un carrete de cuerda y una cartulina (por grupo,
para la actividad 2).
1. Proponga el siguiente problema para que
los alumnos lo resuelvan individualmente:
Se tienen tres pizzas para cinco niños. ¿Qué
parte de pizza le toca a cada niño si se debe
repartir toda la pizza y a cada uno le debe
tocar lo mismo?
Los alumnos han resuelto problemas de este
tipo en la escuela primaria, por lo que se
espera que no encuentren ninguna dificultad.
Una vez que lo considere pertinente invite a
varios alumnos a que digan el resultado al que
llegaron y sobre todo a que justifiquen y
validen su respuesta ante el grupo.
Algunos alumnos procederán partiendo cada
pizza en mitades. Darán una mitad a cada
niño, la sexta mitad la dividirán en cinco
partes y le darán la quinta parte de esa mitad
a cada niño. A cada niño 1/2 + 1/10 de pizza.
Probablemente otros alumnos encuentren la
solución partiendo cada pizza en cinco partes
y dando una parte de cada pizza a cada uno,
por lo que a cada niño le tocan 1/5 + 1/5
+1/5 de pizza.
Veamos lo que pasa al hacer la división con papel y lápiz (sólo con
objeto de analizar el residuo, pues el problema pide que se realice con
calculadora):
El residuo no es 18, pues, fijándonos en la posición que ocupa
el 18, realmente equivale a 1 entero 8 décimos.
También es probable que algunos alumnos
sepan de inmediato que a cada niño le tocan
3/5 de pizza.
De cualquier manera, lo interesante será que
en la validación de resultados se verifiquen las
39
equivalencias de las respuestas correctas, por
ejemplo:
Un medio más un quinto de un medio equivale
a tres quintos.
Pregunte: ¿Qué es un quinto de un medio?
Y repase la suma de fracciones al comprobar
que:
Un pedazo de listón es la quinta parte de tres
varas, es decir: 1_ de 3 varas.
5
Que puede expresarse como:
1_ de una vara + 1_ de una vara + 1_ de
una vara
5
5
5
Lo que da: 3_ de vara
5
2. Organice al grupo en equipos de cuatro y
plantee el siguiente problema:
Cinco pedazos de listón del mismo tamaño
unidos cabo a cabo miden tres varas. ¿Cuánto
mide un solo pedazo de listón?
Si algún alumno pregunta cuánto mide una
vara, indíquele que esa información no es
necesaria, puesto que deben sacar la medida
de un pedazo de listón tomando como unidad
de medida la vara.
Mientras los equipos tratan de resolver el
problema recorra el salón para observar el
trabajo.
Es probable que los alumnos inicien la
solución
al
problema
por
medio
de
estimaciones, usando expresiones como:
Un listón es más o menos tres cuartos de una
vara.
Un listón mide un poco más de la mitad de
una vara.
Y habrá quienes lo resuelvan directamente
encontrando que la respuesta es 3/5 y, más
aún, haciendo la división 3 ÷ 5 y dando la
solución:
Un pedazo de listón mide 0.6 varas.
Se sugiere analizar la equivalencia de las
respuestas correctas.
3. Organizados
en
equipos
de
cuatro
alumnos, plantee el siguiente problema:
Un segmento tiene en el extremo izquierdo el
número cero y en el derecho el número siete.
El segmento ha sido dividido en cinco partes
iguales. ¿Qué número corresponde a la
tercera marca de la división?
De ser necesario, y para comprobar que todos
los alumnos han comprendido el problema,
sugiera que alguno de ellos pase al pizarrón a
trazar el segmento con las características
indicadas.
En esos casos pida que sean más precisos en
sus respuestas.
A
aquellos
equipos
que
lo
soliciten
proporcióneles un trozo de listón y otro de
cartulina (para representar las varas); déjelos
en completa libertad para que ellos decidan de
que longitud cortar los pedazos de listón y las
tiras de cartulina que simulen las varas. Es
probable que en este proceso de elegir las
medidas de listones y varas los alumnos
lleguen a la respuesta correcta.
Otros equipos quizás prefieran trabajar
haciendo representaciones de los listones y las
varas con segmentos.
Algunos alumnos
siguiente manera:
40
pueden
razonar
de
la
Usted puede notar que este problema es una
extensión del anterior (en otro contexto) y
que
para
resolverlo
posiblemente
las
estrategias que surjan serán similares a las de
la actividad 2.
Es probable que algunos equipos infieran que
la quinta parte de siete es 7/5 y que, por lo
tanto, el número que corresponde al punto
pedido es:
VARIANTE
Que realicen arreglos no rectangulares:
En las actividades propuestas en esta ficha se ha manejado
básicamente el significado de fracción como cociente. Otro
problema interesante relacionado con el tema consiste en
encontrar la medida del grosor de una hoja. Deje que los
alumnos busquen la manera de resolverlo hasta que surja la
idea de colocar muchas hojas encima de otras y medir su
grosor. Una vez que se tiene la medida se divide entre el
número de hojas.
LA FIESTA DE CUMPLEAÑOS
Tema 12: Cálculo de perímetros y áreas
Propósito Resolver problemas que conduzcan implícitamente
al cálculo de perímetros y áreas de figuras
usuales.
Contenidos
Material
Revisión y enriquecimiento de las nociones del
perímetro, área y sus propiedades. En particular,
determinación del área en figuras regulares.
Papel cuadriculado, tijeras y pegamento.
Cuando esto suceda conviene propiciar la
confrontación de resultados.
Observe cómo trabajan los equipos mientras
exploran el problema. Cuando la mayoría haya
terminado pida a los equipos que expongan
ante el grupo sus resultados y los confronten.
En un equipo pudieron hacer, por ejemplo,
dibujos de sus posibles arreglos con base en
el ensayo-error.
Otro equipo pudiera recortar 16 cuadrados de
papel y acomodarlos de tal manera que
formaran diferentes rectángulos.
1. Organice al grupo en equipos de cinco
alumnos y pídales que resuelvan el
siguiente problema:
Ana Laura invitó a sus amigos a su fiesta de
cumpleaños. Acomodó 16 pequeñas mesas
cuadradas para que ella y sus 15 invitados
pudieran tener lugar para sentarse.
2. Escriba en
problema:
el
pizarrón
el
siguiente
¿Cuál es el mayor número de personas que
pueden sentarse en las 16 mesas colocadas
de tal manera que formen una mesa
rectangular?
Al explorar el problema de acuerdo con la
experiencia de la actividad anterior, los
alumnos se darán cuenta de que solamente
hay tres posibles arreglos.
A la hora de la fiesta llegaron cuatro amigos
más. ¿Cómo podrían colocar las 16 mesas
pequeñas de tal manera que formaran otra
mesa (sin huecos) para que todos pudieran
sentarse sin que sobre espacio?
Es probable que algunos alumnos presenten
respuestas erróneas como las siguientes:
Que dibujen arreglos rectangulares con
huecos:
4 x 4; 2 x 8; 1 x16.
A
cada
arreglo
le
corresponden,
respectivamente, 16 personas, 20 personas y
34 personas. Esta última es la solución.
3. Escriba en
problema:
el
pizarrón
el
siguiente
¿Cuáles serían los distintos grupos de
personas que podrían sentarse en 24 mesas
cuadradas colocadas de tal manera que
formen otras mesas rectangulares? ¿Y en 36
mesas cuadradas?
Nuevamente propicie que los alumnos
exploren el problema con las estrategias que
ellos elijan. Se darán cuenta de que hay
41
cuatro
maneras
de
arreglar
mesas
rectangulares con 24 mesas cuadradas.
4x6
personas
4+6+4+6
20
3x8
8+3+8+3
22 personas
2x12
2+12+2+12
28 personas
1x24
1+24+1+24
50 personas
Hay cinco arreglos distintos para 36 mesas
cuadradas formando mesas rectangulares.
6x6
personas
6+6+6+6
24
4x9
4+9+4+9
26 personas
3x12
3+12+3+12
30 personas
2x18
2+18+2+18
40 personas
1x36
1+36+1+36
74 personas
VARIANTE
Invierta las condiciones del problema. Ahora permanecerá
constante el número de personas (por ejemplo 40). Haga las
siguientes preguntas:
a) ¿Cuántas mesas cuadradas se requieren?
b) ¿Cómo es el arreglo rectangular?
¿ES PROPORCIONAL?
Tema 13: Proporcionalidad: primeros
pasos
Propósito Desarrollar el razonamiento proporcional. Utilizar
tablas y gráficas para organizar y presentar
información.
Contenidos Ejemplos para introducir la noción de razón entre
dos cantidades. Tablas de números que varían
proporcionalmente.
1. La actividad se realiza en equipos.
Proponga a los alumnos el siguiente
problema:
Un albañil sabe que con 4 botes de arena y 5
botes de grava hace una buena mezcla:
¿Cuántos botes de arena necesita para tener
27 botes de mezcla? ¿Y cuántos botes de
arena y grava necesita si requiere de 3, 12,
18, 21, 27, 30, 33, 36 y 45 botes de mezcla?
Para responder a las preguntas utilicen la
tabla siguiente:
42
a) Con los datos obtenidos hagan una gráfica
como se indica:
b) Hagan
las
compárenlas
observan?
gráficas
con la
siguientes
y
anterior. ¿Qué
Para llenar la tabla algunos equipos pueden
concluir que para obtener 18 botes de mezcla
necesitan el doble de los botes de arena y el
doble de los botes de grava, porque 18 es el
doble de 9.
Para conocer el número de botes de arena y
grava que se necesitan para tener 12 botes de
mezcla, algunos equipos pueden primero
llenar en la tabla los valores correspondientes
a 27 y 36. Después considerar que como 12
es la tercera parte de 36, entonces
necesitarán tomar la tercera parte de los
botes de arena y de grava necesarios para
tener 36 botes de mezcla, esto es 16/3 (5
botes y 1/3 de bote) y 20/3 (6 botes y 2/3 de
bote).
Es probable que otros equipos apliquen la
regla de tres; por ejemplo: para conocer
cuántos botes de arena y de grava se
necesitan para tres botes de mezcla se
establecen:
9
4
=
3 y 9 = 3
x
5
x
(La regla de tres es un procedimiento que a
los alumnos se les dificulta entender y utilizar,
por esta razón conviene que primero
participen
quienes hayan utilizado otros
procedimientos).
Para elaborar las gráficas los equipos pueden
utilizar escalas diferentes, sin embargo
encontrarán que, si prolongan las semirrectas,
éstas pasan por el origen.
2. Señale que la actividad se va a realizar en
equipos de cinco alumnos. Anote en el
pizarrón:
Cada cantidad es la medida del lado de un
cuadrado: 1 cm., 2 cm., 3 cm., 4 cm., 5 cm.,
6 cm., 7 cm.
Otros equipos probablemente usen los
productos cruzados para comparar.
Es
importante
que
finalmente
haga
las
precisiones convenientes para que los
alumnos aclaren sus dudas respecto de las
nociones involucradas con la proporcionalidad
directa.
a) Calculen el perímetro y el área de cada
uno de los siete cuadrados.
b) Escriban los resultados obtenidos en tablas
como las siguientes:
c) Con la información obtenida, elaboren dos
gráficas como las que se muestran. ¿Serán
similares a las gráficas obtenidas en la
actividad anterior?
d) Con la información anotada en cada tabla,
escriban todas las razones que se pueden
establecer con los pares de números y
compárenlas entre sí.
e) ¿Qué relación encuentran entre
gráficas y las razones establecidas?
VARIANTES
Puede proponer las siguientes actividades:
1. Consideren las siguientes tablas. Con los datos de cada tabla
hagan una gráfica. ¿En qué casos se trata de una variación
proporcional?
2. En las siguientes tablas hacen falta algunos datos:
complétenlos, algunos son proporcionales. Después hagan
una gráfica con los datos de cada tabla. Establezcan las
razones entre los datos de cada tabla ¿Cuáles son
proporcionales?
EL MEJOR CARRIL
Tema 14: Experimentos aleatorios
Propósito
Familiarizarse con la noción de azar. Registro y
enumeración de resultados de experimentos
aleatorios.
Contenidos
Familiarización con algunas situaciones ideales
de la probabilidad. Registro y tratamiento de los
resultados de un experimento aleatorio que se
repite varias veces.
las
Antes de que tracen las gráficas puede ser
interesante pedir a los equipos que propongan
una hipótesis acerca de cómo resultarán, es
decir, si al unir los puntos se trazará una recta
o una línea curva, si la gráfica pasará por
algún punto en particular, etcétera, para que
después verifiquen sus hipótesis al hacer la
gráfica.
Material
Para cada equipo, un par de dados y un cuadro
como el que se muestra abajo.
1. Organice al grupo en equipos de cinco o
seis estudiantes. Entregue a cada equipo
dos dados y un cuadro como el que se
muestra a continuación.
Los equipos que expresan la razón en la forma
a/b se enfrentarán con dificultades para
compararlas. En esta situación pueden
comparar
las
razones
considerándolas
fracciones, esto es, a través de la búsqueda
de fracciones equivalentes, o bien se les
puede sugerir que obtengan el cociente.
43
a) ¿Qué carril o carriles conviene elegir para
ganar?
b) ¿Hay algún carril que no conviene elegir si
se quiere ganar? ¿Por qué?
c) Escriban las siguientes razones:
Total de veces que un carril avanzó
Total de veces que se tiraron los dados
Ordenen
razones.
Después explique en qué consiste la actividad:
Cada alumno debe elegir un carril y poner una
ficha. Por turnos tirarán los dados; avanzará
un cuadro quien se halle en el carril del
número que coincida con:
•
La diferencia de los puntos de los dados
(cuando los puntos de los dados sean
distintos).
•
La suma de los puntos de los dos dados
(cuando los dos dados marquen el mismo
número de puntos).
Ganará el alumno que llegue primero a la
meta. Realicen tres juegos. Después de cada
juego pueden cambiar de carril si así lo
consideran conveniente.
Hagan un registro del resultado de cada una
de las tiradas, de manera que al final de los
tres juegos cada equipo muestre, en un
cuadro como el siguiente, el número de veces
que avanzó cada carril.
En un primer juego los alumnos escogerán el
carril al azar, pero después seguramente
elegirán alguno de los que tienen más
posibilidades para ganar. En el transcurso de
la actividad es conveniente que observe si los
alumnos escogen el carril o los carriles que
más convienen.
2. Cuando los alumnos hayan realizado los
tres juegos, pídales que elaboren una
gráfica con los datos obtenidos (en el eje
vertical el número de veces que avanzó
cada carril y en el eje horizontal el número
del carril), y que con base en la
información que proporciona la gráfica
contesten las siguientes preguntas:
44
de
menor
a
mayor
las
12
d) Tomando en cuenta el resultado de la
ordenación de las razones, contesten de
nuestro las preguntas de los incisos a) y
b). ¿Sus respuestas coinciden con las
respuestas que dieron primero?
En el desarrollo de la primera de estas
actividades,
seguramente
cada
equipo
elaborará la gráfica tomando distintas
unidades en el eje vertical. Para efecto de la
comparación, es conveniente que sugiera la
utilización de una unidad común, por ejemplo
de 5 en 5. Oriéntelos en el caso de que algún
equipo tenga dificultad para elaborar la
gráfica.
Una vez ordenados los cocientes, aproveche
para indicar a los alumnos que, por ejemplo,
la probabilidad frecuencial de obtener 1 al
sumar o restar los puntos de los dos dados es
precisamente la razón:
Total de veces que un carril avanzó
P(1)=
Total de veces que se tiraron los dados
4. Indique a los alumnos que van a obtener
la probabilidad a partir de otro tipo de
análisis. Para ello pídales que resuelvan
las siguientes situaciones:
d) Se sabe que al tirar dos dados hay 36
eventos posibles. Encuéntrenlos.
e) Tomando como base las reglas del juego
de la actividad 1, registren en una tabla
como la que se muestra el número posible
de eventos de cada carril. Por ejemplo, el
carril 4 tiene 5 de 36 eventos posibles.
f)
Con los datos obtenidos, elaboren una
gráfica de manera que en el eje vertical
anoten la frecuencia absoluta y en el eje
horizontal el número del carril.
g) Comparen las gráficas elaboradas en esta
actividad ye n la actividad 2.
Es conveniente que algunos equipos muestren
sus conclusiones, así encontrarán que las
gráficas elaboradas en las actividades 2 y 3
son similares.
Para finalizar, explique que la probabilidad,
por ejemplo, de obtener el número 1, es la
razón:
P(1)=
Total de veces que salió el uno
Total de veces que se tiraron los dados
VARIANTES
Las variantes que se anotan a continuación pueden
desarrollarse de manera similar a las actividades anteriores.
1. Tomen dos dados y elijan un carril. Avanzará un cuadro la
ficha del carril cuyo número coincida con la suma de los
puntos de los dos dados. Gana el que llegue primero a la
meta.
2. Tomen un dado común y un dado en forma de tetraedro;
elijan un carril. Avanzará un cuadro la ficha del carril que
coincida con la suma de los puntos de los dados. Gana el que
llegue primero a la meta.
3. Tomen dos dados en forma de tetraedro y elijan un carril.
Avanzará un cuadro la ficha del carril que coincida con la
suma de los puntos de los dos dados. Gana el que llegue
primero a la meta.
Una vez aclarada la actividad, escriba en el
pizarrón el siguiente problema:
¿Cuántas figuras diferentes se pueden lograr
al unir lado con lado cuatro cuadrados?
Algunos alumnos pueden trabajar con base en
el ensayo. Otros buscarán alguna estrategia
sistemática y otros combinarán el ensayo con
distintas estrategias. En este proceso de
búsqueda algunos alumnos pueden mostrar
figuras que no cumplan con la condición de
ser diferentes. Por ejemplo, las siguientes
figuras son iguales. Una es el reflejo de la
otra.
En estos casos no debe descalificar el trabajo
de los alumnos, sino cuestionarlos para que
sean ellos mismos quienes se den cuenta de
que se trata de figuras iguales. Cuando la
mayoría
haya
terminado,
propicie
la
confrontación colectiva de resultados. En total
encontrarán que hay solo cinco figuras
distintas.
LOS HEXAMINÓS
Tema 15: Sólidos
Propósito
Propiciar el desarrollo de la imaginación espacial.
Contenidos
Desarrollo, armado y representación plana de
cubos. Construcción de modelos geométricos.
Material
Hoja cuadriculada, tijeras y pegamento.
1. Organice al grupo en equipos de cinco y
explique que en esta actividad van a
buscar figuras en una cuadrícula al unir
cuadrados lado con lado. Por ejemplo:
¿cuántas formas diferentes se pueden
lograr al unir, lado con lado, tres
cuadrados? Los alumnos encontrarán
solamente dos:
2. Escriba en
problema:
el
pizarrón
el
siguiente
¿Cuántas formas diferentes se pueden lograr
al unir lado con lado cinco cuadrados?
¿Cuáles de estas formas se pueden doblar
para formar una caja sin tapa?
Con base en la experiencia de la actividad
anterior, algunos alumnos dispondrán de
alguna estrategia más sistemática y ordenada,
otros continuarán utilizando el ensayo y el
error e incluso es posible que se desanimen
por no encontrar todas las figuras que
cumplan con las condiciones del problema.
Procure infundirles seguridad.
Una estrategia que implica orden puede ser la
siguiente. Iniciar con cinco cuadrados en un
renglón:
Las siguientes figuras son en realidad la
misma, sólo hay que girarlas para darse
cuenta de que coinciden:
Después dejar cuatro cuadrados en el renglón
y el faltante colocarlo en todas las posiciones
posibles.
45
Luego dejar tres cuadrados en un renglón
para ver dónde se pueden poner los dos
cuadrados faltantes, etcétera.
Mediante la confrontación de resultados los
alumnos llegarán a encontrar las 12 figuras
(pentaminós).
VARIANTES
Para encontrar cuáles de estas figuras forman
una caja sin tapa, los alumnos pueden recurrir
a múltiples procedimientos, pero el armado de
las figuras permitirá corroborar sus hipótesis y
se darán cuenta de que solamente ocho de
ellas cumplen esta condición.
3. Escriba el
pizarrón:
siguiente
problema
en
Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades y
preguntas:
1.
2.
3.
Encuentren, entre todos los hexaminós, la(s) figura(s) de
mayor, menor o igual perímetro.
Formen rectángulos con 2, 3, 4… hexaminós.
¿Qué hexaminós tienen un eje de simetría? ¿Y dos ejes de
simetría?
el
¿Cuántas figuras diferentes se pueden lograr
al unir lado con lado seis cuadrados?
¿Cuántas y cuáles de estas figuras se pueden
doblar para formar una caja con tapa?
Para encontrar todas las figuras (hexaminós)
los alumnos tendrán que ser muy ordenados.
Una manera ya sugerida es empezar con seis
cuadrados en un renglón.
LAS FRACCIONES EGIPCIAS
Tema 16: Fracciones: simplificación,
reducción a un común denominador,
adición y sustracción
Propósito
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones mediante la solución de problemas
diversos.
Contenidos
Adición y sustracción de dos fracciones previa
reducción
a
un
común
denominador:
aplicaciones y problemas.
Material
Después cinco cuadrados en un renglón y el
faltante en todas las posiciones posibles.
Luego seguir con cuatro cuadrados en un
renglón para ver dónde se pueden poner los
dos cuadrados faltantes, y así sucesivamente.
Hay 35 figuras (hexaminós), 11 de las cuales
pueden formar una caja con tapa. Los
alumnos pueden observarlas primero y luego
corroborar con el armado del cubo.
Calculadora (opcional).
Puede iniciar la actividad comentando algunas
de las ideas que se plantean a continuación.
Un aspecto interesante de la aritmética
egipcia es el cálculo con fracciones. Todas las
fracciones eran reducidas a sumas con
fracciones unitarias; es decir, fracciones cuyo
numerador es 1. El numerador era un punto
arriba del denominador, como se muestra:
Estos hexaminós forman un cubo:
Estos hexaminós no forman un cubo:
46
Las únicas excepciones eran 1/2 y 2/3, para
las cuales existían símbolos especiales. Todas
las demás fracciones eran expresadas como
una suma de fracciones unitarias. Por
ejemplo:
Y al comprobarla:
No es claro el principio que sustenta esta
reducción, ni se sabe por qué los egipcios
preferían unas combinaciones en vez de otras.
1. Organice al grupo en equipos de tres
alumnos y proponga la siguiente actividad:
Completen la tabla escribiendo en la columna
derecha una suma de dos fracciones unitarias
diferentes que dé como resultado la fracción
de la columna de la izquierda.
Es probable que algún equipo encuentre una
regularidad o patrón numérico y, aunque no
llegue a expresarla con literales, habrán
descubierto que:
De esta manera, al hacer las comprobaciones,
el alumno se verá en la necesidad de repasar
el algoritmo de la suma de fracciones, las
fracciones
equivalentes
y
el
común
denominador.
2. A continuación proponga a los alumnos la
siguiente actividad.
Analicen la siguiente tabla. Traten de
descubrir la regularidad que siguen los
denominadores de los sumandos con respecto
al denominador de la fracción de la izquierda y
completen la tabla hasta 1/30.
Un análisis cuidadoso de la tabla nos lleva a
descubrir que la relación entre la fracción y
sus sumandos es:
Lo que permite encontrar la suma con las
condiciones necesarias para cualquier fracción
unitaria, por ejemplo:
Lo importante es que los alumnos, al tratar de
verificar sus conjeturas, practiquen sumas y
restas con diferente denominador. Por
ejemplo, de acuerdo con la conjetura arriba
mencionada, se tiene:
Es necesario que los alumnos, por sí mismos,
perciban la relación perdida y, aunque no
lleguen a la expresión anterior, sean capaces
de explicitarla con palabras o bien aplicarla
correctamente para el llenado de la tabla. Al
confrontar resultados, los alumnos deben
comprobar a sus compañeros que la suma
propuesta efectivamente da como resultado la
fracción unitaria que se está trabajando.
47
VARIANTES
Puede proponer a los alumnos los siguientes problemas:
1.
¿Pueden escribir fracciones unitarias como la suma de tres
o más fracciones unitarias diferentes? Por ejemplo:
2.
Obtenga el número 1 como la suma de 3, 4 o más
fracciones unitarias.
EL PERRO GUARDIÁN
Tema 17: Longitud de la circunferencia y
área del círculo
Propósito
Practicar los trazos geométricos como una forma
de acostumbrarse y de perfeccionar el uso de los
instrumentos de dibujo y medición. Resolver
problemas que conduzcan al cálculo de áreas de
figuras usuales.
Contenidos
Área del círculo. Ejercicios y problemas sobre
cálculo de áreas.
Material
El perro parado en alguno de los extremos de
la barra, o en el vértice del ángulo, alcanza a
cubrir regiones circulares de 2 m de radio. Y
cuando la cadena se desliza por las barras
cubre regiones rectangulares. Aproveche este
momento para afirmar el uso correcto de los
instrumentos geométricos en el trazado de
estas figuras.
El área total es:
Escuadras y compás.
1. Organice al grupo en equipos de cuatro o
cinco alumnos y plantee el siguiente
problema:
Un perro está atado a una cadena que le
permite un alcance máximo de 2 m, unida a
una argolla, que se desplaza en una barra en
forma de ángulo recto cuyos lados miden 2 m
y 4 m.
En el cálculo de áreas se podrá comentar lo
que representa (relación entre el diámetro y la
circunferencia) y el redondeo de cantidades.
2. Organizados de la misma manera, plantee
a los alumnos el siguiente problema:
Si se mantiene constante la cadena y la barra
tiene la forma y medidas abajo indicadas
La argolla de la cadena puede desplazarse por
toda la barra, en ambos lados.
Sombreen toda la región en la que el perro
puede estar y contesten las siguientes
preguntas:
¿Cuál es el área de la región que abarca el
perro?
Los alumnos tratarán de resolver las
cuestiones haciendo conjeturas y comentando
en el equipo. Recomiende instrumentos
geométricos para trazar a la escala las
regiones que abarca el perro.
Una buena escala es 1 cm.: 1 m, sin embargo
será el alumno quien lo decida. Si escoge 1
cm.: 1 m el territorio de alcance resultará así:
48
El área que cubre el perro es:
Escriba en el pizarrón las instrucciones
siguientes:
a) Dibujen la figura siguiente.
b) Escriban dentro de los círculos cualquier
número entero positivo o negativo.
c) Sobre el punto medio de cada segmento
escriban la diferencia de los números que
están a los lados.
De lo que se deduce que las áreas son iguales.
Al resolver esta parte del problema puede
repasarse la noción de círculo como conjunto
de puntos equidistantes de otro punto, así
como la noción de recta paralela como
conjunto de puntos equidistantes de una
recta. Si los alumnos cometen errores en los
cálculos es el momento para reafirmar los
algoritmos de las operaciones.
d) Unan con líneas de color rojo los puntos
medios para formar un nuevo cuadrado.
e) Escriban sobre cada línea de color rojo la
diferencia entre los números que están a
los lados.
f)
Continúen con este proceso hasta que las
diferencias lleguen a ser cero.
VARIANTES
1.
2.
Cambiando alguna de las variables del problema, como el
largo de la cadena, las medidas de la barra o incluso su
forma, se obtienen interesantes regiones de alcance. Por
ejemplo: considerando una cadena de 2 m y una barra
semicircular como la que se ilustra, ¿cuál es la región de
alcance del perro? ¿Es mayor o menor que las anteriores?
Para comprobar que las reglas del juego han
sido comprendidas, pida a uno o dos niños
que ejecuten lo primeros pasos. Por ejemplo:
Si se quiere repasar el cálculo de perímetros, pueden
aprovecharse las figuras obtenidas.
FRACTALES
Tema 18: Números con signo
Propósito
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones mediante la solución de problemas
diversos. Practicar los algoritmos de las
operaciones, así como el cálculo y la estimación
de resultados.
Contenidos Orden y comparación de números con signo.
Suma y resta de números con signo.
Material
Juego de geometría, colores y dos tiras de
cartulina (tira de sumar y restar números con
signo). Dos regletas numeradas como la
siguiente:
1. Organice al grupo en equipos de cinco y
dibuje en el pizarrón la siguiente figura.
Diga a sus alumnos que en esta actividad
van a jugar con números con signo y a
obtener figuras que colorearán a su gusto.
Si se consideran -3 y +7, el número 7 es
mayor, por tanto la diferencia se plantea así:
7-(-3), que puede ser resuelta de diferentes
maneras.
En este momento puede recomendar el uso de
las regletas (Ay B) para restar los números
enteros de la siguiente manera:
Colocar +7 de la regleta A sobre el -3 de la
regleta B. buscar el 0 (cero) de la regleta B y
leer la respuesta sobre la regleta A, como se
muestra en la figura siguiente:
Al explorar el problema los alumnos se darán
cuenta de que, dependiendo de los números
que se hayan escrito dentro de los círculos,
repetirán el proceso 2, 3, 4 o más veces,
49
hasta que obtengan una diferencia común de
cero.
Una vez que la mayoría haya terminado,
solicite que un representante por equipo pase
al pizarrón a mostrar y defender sus
hallazgos. Por ejemplo: un niño puede
acompañar su figura con las operaciones que
haya hecho.
En el primer paso tendrá:
Esta actividad se realiza de manera similar a
la actividad 1, pero en este caso los alumnos
son los que proponen los primeros cuatro
números que se colocan dentro de los círculos.
Una manera de resolver el problema es
proponiendo números al azar, luego obtener
las diferencias y ver si se necesitan cinco
pasos para que las cuatro diferencias sean
ceros. Otro procedimiento que puede ser
utilizado por algunos alumnos consiste en
iniciar con las cuatro diferencias (ceros) y
colocar los números convenientes hasta llegar
a los círculos.
En el siguiente paso se tendrá:
En el desarrollo de las actividades los alumnos
pueden cometer diferentes errores, por lo que
deberá estar atento para dar las orientaciones
que considere convenientes; según el error
que observe, puede proponerles ejemplos o
contraejemplos. Algunas causas de los errores
pueden ser:
En el tercer paso se tiene:
•
Que no sepan comparar números con
signo.
•
Que no entiendan
diferencia.
•
Que no sepan restar números con signo.
el
concepto
de
Centre la discusión
sobre las siguientes
cuestiones aprovechando los ejemplos de los
alumnos:
•
Usando este procedimiento para cualquier
número con signo, ¿se obtendrá siempre
una diferencia común de cero?
•
¿Cuántas veces se necesita repetir el
proceso para obtener una diferencia
común de cero?
•
Que tipo de números se obtienen al
efectuar las diferencias: ¿negativos?,
¿positivos?, ¿positivos y negativos?
2. Escriba en
problema:
el
pizarrón
el
siguiente
Empleando el mismo procedimiento de la
actividad 1, encuentren un grupo de cuatro
números enteros (con signo), de manera que,
en el cuarto paso, las cuatro diferencias sean
cero.
50
VARIANTE
Dibuja un triángulo equilátero y en sus vértices anota tres
números enteros (números con signo). Después realiza el
mismo procedimiento que en el caso del cuadrado.
¾
¾
¿Qué regularidades encuentra?
¿En cuántos pasos?
SEGUNDO GRADO
PUNTOS CERCANOS
Tema 1: Trazos geométricos y figuras
básicas
Propósito
Contenidos
Material
Practicar el dibujo y los trazos geométricos.
Avanzar hacia la adquisición permanente del uso
de instrumentos de dibujo.
Exploración de las propiedades de la mediatriz
como el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de dos puntos fijos A y B.
Colores y una hoja en blanco por alumno.
1. Organice a los alumnos en parejas. Dibuje
en el pizarrón tres puntos que no estén
alineados y proponga resolver la siguiente
situación:
Marquen al centro de una hoja en blanco tres
puntos como los que he marcado en el
pizarrón.
Observe que el punto P está más cerca del
punto A que del punto B.
a) Marquen con rojo la mayor cantidad de
puntos que estén más cerca del punto A
que del punto B. con azul marquen la
mayor cantidad de puntos que estén más
cerca del punto B que del punto A.
b) Iluminen con rojo la región de la hoja
donde se encuentren todos los puntos que
estén más cerca del punto A que del punto
B. marquen con azul la región de la hoja
donde se encuentren todos los puntos que
están más cerca del punto B que del punto
A.
c) Encuentren 10 puntos que estén a la
misma distancia del punto A que del punto
B.
d) Si unen los 10 puntos, ¿qué observan?
Los alumnos no tendrán dificultad alguna en
marcar puntos que cumplan con la condición
indicada en el inciso a). El punto P sirve como
referencia; los alumnos notarán que el punto
P está más cerca del punto A que del punto B.
Sin embargo usted puede proponer algún
punto R que a simple vista no se pueda decir
que cumple con las condiciones.
La situación anterior hará que los alumnos
busquen alguna manera para comprobar; por
ejemplo, pueden tomar la regla y medir la
distancia de R con respecto a los puntos A y
B.
Otros alumnos pueden utilizar el compás y con
él tomar la distancia entre el punto R y el
punto A, y después comparar la distancia
respecto del punto B para verificar si está más
cerca de A que de B.
Una dificultad que se puede presentar para
realizar las indicaciones señaladas en el inciso
b) es que los alumnos no comprendan lo que
se entiende como región. Puede suceder que
iluminen puntos que cumplen con la condición
pedida, pero que en realidad no constituyen la
totalidad de los puntos; en tal situación puede
proponer que algunos alumnos expliquen lo
que tomaron en cuenta para iluminar o dejar
de iluminar ciertas partes de la hoja. A partir
de ello, usted puede precisar lo que se
entiende como región.
A continuación se muestra como podrían
quedar iluminadas las hojas de los alumnos.
Las preguntas c) y d) tienen que ver con la
localización de la mediatriz. Después de haber
resuelto las primeras actividades, los alumnos
no tendrán dificultad para localizar los puntos
que se solicitan, asimismo se darán cuenta de
que todos están sobre una misma recta.
Aproveche esta situación para pedir a los
alumnos que elijan otros puntos que estén
51
sobre la recta y que comprueben que están a
la misma distancia del punto A y del punto B.
Por otra parte, será conveniente que dé a
conocer a los alumnos la terminología propia
de la geometría, esto es, que la recta trazada
es la mediatriz del segmento AB. Finalmente
muestre cómo se traza la mediatriz utilizando
regla y compás.
2. Explique a los alumnos que van a trabajar
en parejas y plantee la siguiente situación:
Dibujen al centro de una hoja en blanco un
triángulo como el que he marcado en el
pizarrón.
propiedad que tiene el punto que es
intersección de las tres mediatrices que los
alumnos habrán trazado a partir de las
actividades a), b) y c).
Finalmente, en una actividad en la que
participe todo el grupo, indique a los alumnos
que
el
punto
encontrado
se
llama
circuncentro.
Si lo considera conveniente, puede proponer a
los alumnos que tracen otros triángulos y sus
mediatrices,
así,
de
manera
empírica,
observarán que las mediatrices de cualquier
triángulo siempre se intersectan en un punto.
VARIANTES
Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades:
1.
2.
a) Localicen los puntos que están a la misma
distancia del punto A y del punto B.
b) Localicen los puntos que están a la misma
distancia del punto A y del punto C.
c) Localicen los puntos que están a la misma
distancia del punto B y del punto C.
d) Localicen un punto que esté a la misma
distancia del punto A, del punto B y del
punto C respectivamente.
Se espera que a través de estas actividades
los alumnos observen que están localizando
las mediatrices de un triángulo cualquiera, y
que existe un punto, precisamente donde se
intersectan las tres, que tiene la propiedad de
que está a la misma distancia de los tres
vértices del triángulo.
Para
responder
a
las
tres
primeras
indicaciones
los
alumnos
no
tendrán
dificultades, ya que seguramente utilizarán los
conocimientos adquiridos en la actividad 1.
Para localizar el punto que está a la misma
distancia de los tres puntos, puede hacer
reflexionar a los alumnos acerca de la
52
3.
Tracen la mediatriz de un segmento AB que mida 6 cm.,
después elijan puntos sobre la mediatriz y únanlos con los
extremos del segmento. ¿Qué tipo de triángulos observan?
¿Pueden elegir un punto sobre la mediatriz de manera que
al unirlo con los extremos del segmento formen un
triángulo equilátero?
Tracen la mediatriz de un segmento AB que mida 6 cm.
¿Pueden elegir un punto sobre la mediatriz de manera que
al unirlo con los extremos del segmento formen un
triángulo isósceles rectángulo?
Tracen la mediatriz de un segmento AB que mida 6 cm.
Elijan dos puntos sobre la mediatriz de manera que al
unirlos con los extremos del segmento formen un
cuadrado, un papalote y un rombo.
EXPLORANDO CON LOS DIVISORES
Tema 2: Problemas de aritmética
Propósito
Enriquecer el significado de los números y
explorar relaciones numéricas.
Contenidos Números primos y compuestos. Factorización en
primos y ejemplos de aplicación.
Material
Calculadora.
1. Organice al grupo en equipos de cinco
alumnos. Escriba en el pizarrón la
siguiente tabla y plantee la siguiente
situación:
En la tabla de la derecha se muestran los
divisores de algunos números.
Encuentren los divisores de los números 7, 8,
9… hasta el 40, y anótenlos en la tabla.
Para resolver esta actividad los alumnos
pondrán en juego sus conocimientos acerca de
la divisibilidad; podrán utilizar la calculadora o
hacer las divisiones con lápiz y papel. Para
verificarlos, los alumnos deben confrontar sus
resultados.
2. Explique a los alumnos que van a seguir
trabajando en equipo y, apoyándose en la
tabla anterior, plantee el siguiente
problema:
Observen en la tabla que el número 4 tiene
como divisores a 1, 2 y 4. Si quitan el 1,
entonces todos los divisores que quedan son
pares. Hagan una tabla como la siguiente y
anoten ahí los números que cumplen con la
condición de tener sólo divisores pares (si no
consideran el 1).
En otros equipos quizás identifiquen algunos
números (por ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32) cuyos
divisores son pares y, con base en sus
observaciones, concluyan que todos los
números pares son los que cumplen con la
condición. En esta situación puede solicitar o
dar algunos contraejemplos (6, 24…) para que
los alumnos observen que la caracterización
no es correcta. Así, aunque 6 y 24 son
números pares tienen a 3 como divisor, que
no es un número par.
Algunos equipos podrán identificar una
sucesión más grande de números que
cumplen con la condición y probablemente
observen que cada número de la sucesión se
obtiene duplicando el número que le precede.
Los
alumnos
pueden
comprobar
que
efectivamente es así, y pregúnteles si eso es
independiente del número con el que se inició
la sucesión, esto con el fin de que observen
que se requiere partir del número 2.
En este caso puede pedir a los alumnos que
encuentren la expresión algebraica que
permite encontrar cualquier número que
cumple con la condición del problema, es
decir, 2n, que representa a los números cuyos
divisores, excepto el uno, son pares.
3. Organice al grupo en equipos de tres o
cuatro alumnos. Anote el siguiente
problema en el pizarrón:
¿Qué clase de números son aquellos cuyos
divisores son todos pares (sin tomar en
cuenta el número 1)?
Seguramente
los
alumnos
encontrarán
diversas formas de resolver la situación, lo
importante es que las confronten de manera
que enriquezcan, afirmen o corrijan sus
conocimientos.
Algunos
procedimientos
pueden ser los siguientes:
Algunos equipos escribirán en la tabla los
primeros cinco números (2, 4, 8, 16, 32) y
considerarán que sólo esos cinco cumplen con
la condición señalada. En este caso puede
solicitar que encuentren otros números y que
además
traten
de
encontrar
alguna
característica común.
Los divisores del número 6 son 1, 2, 3 y 6.
Observen que la mitad de estos divisores son
pares (2 y 6) y la otra mitad son impares (1 y
3). Anoten en una tabla, como la que se
muestra, los números que cumplan con la
condición de que la mitad de sus divisores
sean pares y la otra mitad sean impares.
¿Qué característica tienen aquellos números
tales que la mitad de sus divisores son pares y
la otra mitad son impares?
Al igual que en la actividad anterior, los
alumnos llegarán a plantear distintos caminos
para resolverla. Lo fundamental es que sean
53
ellos mismos, guiados por las preguntas o
sugerencias de usted, quienes validen o
invaliden los resultados obtenidos (por
ejemplo: 2, 6, 10, 14, 18).
Ciertos equipos encontrarán los primeros
números que satisfacen las condiciones del
problema y se concretarán a señalar que esos
números son los que cumplen con lo pedido.
Puede cuestionarlos para que encuentren
otros números y que además los analicen para
determinar alguna característica que tengan
en común.
Otros equipos considerarán que los números
que satisfacen la condición son números
pares; un contraejemplo (8, 20, 50, etcétera)
puede ayudar a los alumnos a observar que su
caracterización no es suficiente, ya que los
divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8, los divisores de
20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20 y los divisores de
50 son 1, 2, 4, 5, 10, 25 y 50. En ningún caso
el número de divisores pares es igual al
número de divisores impares.
Es posible que otros equipos, después de
observar una lista relativamente grande de
números que tienen la mitad de sus divisores
pares y la otra mitad impares, establezcan
que la respuesta tiene que ver con aquellos
números que van de 4 en 4. Nuevamente, un
contraejemplo (3, 7, 11, 15…) ayudará a que
los alumnos encuentren que se requiere partir
de 2 y luego, efectivamente, ir de 4 en 4.
En este grado puede ser difícil que los
alumnos encuentren que cualquier término de
la sucesión de números que tienen la
propiedad señalada en el problema se obtiene
a partir de la expresión: 4x + 2, donde x toma
los valores 0, 1, 2, 3…, o de la expresión 4x –
2, si x toma los valores 1, 2, 3, 4… Por lo que
usted puede darla a conocer y, a partir de
esto, los alumnos podrán obtener otros
números y comprobar que, efectivamente,
cumplen con la condición establecida.
VARIANTES
Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades:
1.
2.
3.
Observen que el número 2 tiene exactamente dos
divisores: 1 y 2. ¿Qué números son aquellos que tienen
exactamente dos divisores?
Observen que el número 9 tiene exactamente tres
divisores: 1, 3 y 9. ¿Qué clase de números son aquellos
que tienen exactamente tres divisores?
Observen que 8 tiene exactamente 4 divisores: 1, 2, 4 y 8.
¿Qué clase de números son aquellos que tienen
exactamente 4 divisores?
CAMBIANDO LA UNIDAD
Tema 3: Fracciones: multiplicación y
división
Propósito
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones a través de la solución de problemas
diversos.
Contenidos Revisión de la adición de más de dos fracciones.
Problemas asociados a la multiplicación de
fracciones. Algoritmo de la multiplicación.
Material
Geoplano de 5 x 5 y ligas (por alumno).
1. Organizados los alumnos en equipos de
cuatro, plantee la siguiente actividad:
Formen con ligas en su geoplano un cuadrado
como éste:
Calculen su área y perímetro considerando
como unidad de medida lo que se muestra en
los siguientes incisos:
Los alumnos notarán que para los incisos a) y
b) sólo requieren trabajar con números
enteros para el cálculo del perímetro y del
área.
54
3
No así para el inciso c), en el que se requiere
hacer uso de fracciones debido a que la
unidad es mayor que la medida del lado del
cuadrado. Se dejará que sean los alumnos
quienes calculen el perímetro y el área.
Después del tiempo que usted juzgue
pertinente pasarán representantes de los
equipos a exponer ante el grupo los resultados
y procedimientos que utilizaron. Es probable
que a algún equipo se le ocurra dividir la
unidad en tercios y concluya que cada lado del
cuadrado mide dos tercios de la unidad, por lo
que se tiene:
3
9
Propicie que los alumnos noten que en
numerador es el producto de los numeradores
de los factores, y el denominador es el
producto de los denominadores de los
factores.
2. Organizados de la misma manera que en
la actividad 1, plantee la siguiente
situación:
Formen con ligas en
rectángulo como este:
su
geoplano
un
Calculen su área y perímetro considerando
como unidad de medida:
O bien, sabiendo que el perímetro del
cuadrado se calcula multiplicando la medida
de un lado por 4, se tiene: P = 4x 2 u
3
Y de ahí concluyan que 4 veces 2/3 es 8/3, es
decir:
4x 2 u = 8 u = 2 2 u
3
3
3
Para el área es probable que algún equipo, si
marca con ligas el cuadrado cuyo lado es la
unidad, logre apreciar los novenos en que éste
queda dividido, de tal forma que el cuadro que
nos interesa ocupa un área de cuatro de estos
novenos, por lo que:
Nuevamente otorgue tiempo suficiente para
que los alumnos exploren y encuentren la
solución del problema. Cuando lo considere
pertinente, pase a algunos alumnos al frente
para que den las respuestas a los tres incisos
y platiquen cómo las encontraron. Como el
problema es muy similar al de la actividad 1,
los procedimientos serán parecidos y servirán
para reafirmar y precisar nociones y
procedimientos. Los alumnos notarán que
para el inciso a) nos es necesario emplear
fracciones, y que la respuesta es:
P = 2u + 3u + 2u + 3u = 10u
Por otro lado, como los alumnos saben que
para calcular el área de un cuadrado se
emplea la fórmula: A= 1s x 1. Y para este
cuadrado 1 = 2/3 u, entonces: A = 1 x 1 =
2/3 u x 2/3 u.
Y el resultado
multiplicación:
2 u x 2 u = 4 u²
se
obtiene
mediante
la
A = b x h = (2u) (3u) = 6u²
Para el inciso b) el ancho mide una unidad,
mientras que para expresar el largo se
emplean fracciones. Quizá algunos equipos la
consideren como 1 1/2 u y otros como 3/2 u.
Los equipos podrán calcular el perímetro de
varias maneras, por ejemplo:
55
Es posible seguir cambiando las unidades (incluso estos
cambios pueden ser propuestos por los alumnos). Por ejemplo:
P = 1u + 3u + 1u + 3u = 5u
2
¾
2
Calcular el área y el perímetro considerando que el
segmento marcado es 1/7 de la unidad.
P = 2 x 1u + 2 3u = 5u
2
Si algún equipo propone esta última forma,
aproveche para recordar la multiplicación de
un entero por una fracción.
El área puede calcularse de manera concreta:
al formar con ligas el cuadrado que
corresponde a una unidad se observará que el
rectángulo tiene una unidad cuadrada de área
y un medio de la misma, es decir, 1 1/2 u².
LAS POTENCIAS
Tema 4: Uso de exponentes y notación
científica
Propósito
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones a través de la solución de
problemas.
Contenidos Potencias sucesivas de un número (construcción
de una tabla de potencias de 2 o de 6).
O bien, aplicando la fórmula:
Material Calculadora.
P = 1u + 3u + 1u + 3u = 2 1u
2
4
2
4
2
Esto se ve objetivamente en el geoplano
contando cuántas veces cabe la unidad en el
contorno de la figura. Puede notarse que,
efectivamente, cabe dos veces y media.
Para el área, al formar un cuadrado de una
unidad de lado, se tiene que el rectángulo
ocupa 6/16 partes de la unidad cuadrada, por
lo que su área es: 6/16 u², y simplificando,
3/8 u².
1. Explique brevemente lo que significa
elevar un número a una potencia, por
ejemplo: 25, 210, etcétera. Después de
organizar a los alumnos en equipos de tres
o
cuatro
integrantes,
proponga
el
siguiente problema:
Observen que al calcular 25 el número que se
obtiene es 32, que termina en 2. Al calcular
210 el número que se obtiene es 1 024, y este
número termina en 4.
a) ¿En qué cifra termina 225?
b) ¿En qué cifra termina 260?
c) ¿En qué cifra termina 21999?
Si algún equipo resolvió el problema por
fórmula, entonces obtuvo: A = 1u x 3u = 3u²
2
4
8
La comparación de ambos procedimientos
servirá para que el alumno vea la
representación gráfica de la multiplicación de
fracciones.
VARIANTE
56
En esta situación no se busca que los alumnos
muestren su habilidad para operar con lápiz y
papel, sino su habilidad para encontrar cierto
tipo de patrones y, por esta razón, la
calculadora es un instrumento que les
permitirá agilizar los cálculos.
Dado el tipo de calculadora que normalmente
utilizan, los alumnos podrán responder sin
mucha dificultad el inciso a), ya que el
número que se obtiene está formado por ocho
dígitos y en consecuencia cabe en la pantalla
de la calculadora. En cambio no podrán
responder a los incisos b) y c). Una estrategia
consiste en hacer una lista de las potencias de
2 hasta donde la calculadora dé el resultado, y
después seguir con lápiz y papel hasta
obtener el número correspondiente a 260.
Ahora bien, este procedimiento ya no es
adecuado para conocer en qué cifra termina
21999, pero a partir de la lista que los alumnos
hagan
usted
puede
formular
algunas
sugerencias, por ejemplo: que en una tabla
como la que sigue anoten algunas de las
potencias del número 2.
Para ello se puede proceder de varias
maneras, por ejemplo, dar valores a n hasta
encontrar que: 4 x 499 + 3 = 1999.
O bien, si los alumnos están en posibilidades,
pueden
resolver
las
siguientes
cuatro
ecuaciones y ver en cuál se obtiene un valor
entero de n:
4n = 1 999
4n + 1 = 1 999
4n + 2 = 1 999
4n + 3 = 1 999
Sugiera a los alumnos que observen la
relación entre el exponente y la cifra en que
termina la potencia de 2. Así, algunos
alumnos observarán que si el exponente es
par entonces el número termina en 4 o en 6, y
si es impar el número termina en 8 o en 2. En
consecuencia encontrarán que la última cifra
al elevar 21999 es 2 u 8, pero aún faltará
encontrar un procedimiento que ayude a saber
cuál de las dos es la cifra correcta. Otros
alumnos se darán cuenta de que la sucesión
de números 2, 4, 8 y 6, en que terminan las
potencias de 2, se repite en el mismo orden y
que, por ejemplo, los números 2², 26, 210,
etcétera, terminan en 4, por lo que se darán
cuenta de que no es necesario realizar las
operaciones para saber en qué cifra terminan
214, 218, 222, ya que podrán contar los
exponentes de 4 en 4 a partir de 2² para
determinar que terminan en 4.
A partir de que los equipos expongan las
distintas
formas
que
utilizaron
para
determinar en qué cifra terminan 260 y 21999,
usted puede mostrar otro procedimiento:
Cuando los exponentes de 2n son múltiplos de
4 (4, 8, 12…) el número que se obtiene
termina en 6. Si el exponente es múltiplo de 4
más 1 (5, 9, 13…) los números terminan en 2.
Si el exponente es múltiplo de 4 más 2 (6, 10,
14, 18…) entonces los números terminan en
4, y si es múltiplo de 4 más 3 (7, 11, 15,
19…) el número termina en 8. A partir de lo
anterior, para saber en qué cifra termina 21999
hay que determinar si 1999 es de la forma:
4n, 4n + 1, 4n + 2 o 4n + 3.
Así encontrarán que la última ecuación
proporciona el resultado deseado y, por tanto,
concluirán que n = 499.
2. Proponga trabajar en equipos de tres o
cuatro alumnos. A continuación pida que
resuelvan el siguiente problema:
Observen que al elevar 64 el número que se
obtiene es 1 296, cuyos dos últimos dígitos
son 9 y 6. Y que al elevar 65 el resultado es 7
776, cuyos dos últimos dígitos son 7 y 6.
a) ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 627?
b) ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 660?
c) ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de
61999?
Los alumnos se darán cuenta de que la
calculadora no va a serles de mucha utilidad,
por lo que tendrán que recurrir a otras
estrategias. Sugiera nuevamente que recurran
a una tabla como la anterior, y que en ella
anoten algunas potencias de 6.
Con la finalidad de ayudar a los estudiantes,
inicie esta tabla con 6² y no con 6¹, ya que es
más fácil observar la sucesión que se genera
con las dos últimas cifras, es decir, 36, 16,
96, 76, 56, 36…
Es importante que observe el trabajo de los
diferentes equipos y, en caso necesario, les
ayude a reflexionar sobre el problema.
Pregunte por ejemplo: ¿Cómo van cambiando
las dos últimas cifras de los resultados? Esas
57
dos últimas cifras, ¿con qué exponentes están
relacionados? Pídales que hagan una lista de
aquellos exponentes de 6 que terminan en el
mismo par de números.
•
Números que terminan en 56: 5n + 7, si
se empieza a evaluar en cero, y 5n + 2 si
se evalúa a partir de uno.
VARIANTE
Así, ciertos equipos encontrarán que los
números formados con las dos últimas cifras
de las potencias de 6 se van repitiendo de
cinco en cinco. Al analizar la lista de números,
ciertos equipos encontrarán que si elevan el 6
a cualquiera de los siguientes exponentes: 2,
7, 12, 17, 22… el número termina en 36, por
tanto determinarán que 627 termina en esa
cifra.
Otros equipos encontrarán que al elevar 6 a
alguno de los exponentes de la sucesión 3, 8,
13, 18… el número termina en 16.
Que al elevar 6 a alguno de los exponentes de
la sucesión 5, 10, 15, 20… el número termina
en 76.
Que al elevar 6 a alguno de los exponentes de
la sucesión 4, 9, 14, 19… el número termina
en 96.
En qué dígito terminan las siguientes potencias: 827, 890, 81999.
EL ABECEDARIO Y LA SIMETRÍA
Tema 5: Reflexión respecto a una recta.
Reflexión respecto a un punto
Propósito
Contenidos
Practicar los trazos geométricos.
lenguaje propio de la geometría.
Utilizar
Simetría axial: construcción del simétrico de un
punto respecto a una recta. Simetría central:
reflexión de un punto y de una figura respecto a
un punto. Determinación, si existe, el centro de
simetría de una figura.
Material Hojas cuadriculadas, espejos y copias del anexo
A (p. 122).
En consecuencia determinarán en qué cifra
terminará 627 y 960. Además se darán cuenta
de que para saber en qué cifra termina 61999
necesitan
saber en
qué
sucesión
de
exponentes va a aparecer 1 999.
1. Organice al grupo en equipos de cuatro o
cinco alumnos. Proporcione a cada equipo
varias hojas cuadriculadas y una copia del
anexo A. Dibuje en el pizarrón las letras A
y Z y señale lo siguiente:
Como un procedimiento más para contestar
las preguntas del problema, puede dar a los
alumnos (si es que no lo hacen por sí solos) la
expresión algebraica que genera cada una de
las cinco sucesiones de exponentes y, a partir
de ellas, determinar a qué sucesión pertenece
cada uno de los exponentes a que hace
referencia el problema, es decir: 25, 90 y 1
999.
La letra A tiene simetría axial, porque si
trazan la línea m (que es su eje de simetría) y
doblan la letra sobre ese eje, las partes de la
izquierda y de la derecha en que el eje divide
a la letra A, coinciden una con otra.
A continuación anote las expresiones para
cada una de las sucesiones de los exponentes:
•
Números que terminan en 36: 5n + 2, si
se empieza a evaluar en cero, y 5n – 3 si
se evalúa a partir de uno.
•
Números que terminan en 16: 5n + 3, si
se empieza a evaluar en cero, y 5n – 2, si
se evalúa a partir de uno.
•
Números que terminan en 96: 5n + 6, si
se empieza a evaluar en cero, y 5n + 1 si
se evalúa a partir de uno.
•
Número que terminan en 76: 5n.
58
el
Ahora observen la letra Z. Ésta no tiene
simetría axial, pero si tiene simetría central,
esto es, el punto O tiene la siguiente
propiedad: si escogen un punto B cualquiera
sobre la letra y trazan una línea que pase por
ese punto y el punto O, dicha línea tocará un
punto C sobre la letra; si fijan el punto O y
giran la letra 180º observarán que B pasará al
lugar del punto C, y viceversa.
Elige al menos cinco letras que no tengan eje
de simetría y construye figuras de sólo un eje
de simetría.
b) A partir de la letra L construye una figura
con dos ejes de simetría.
En hojas de papel cuadriculado tracen las
letras mayúsculas del abecedario y contesten
las siguientes preguntas:
a) ¿Qué letras del abecedario tienen sólo
simetría axial? Compruébenlo.
c) La letra A tiene un solo eje de simetría;
con esta letra se puede construir otra
figura que tenga simetría central y dos
ejes de simetría. En la figura construida el
centro de simetría es el punto O.
b) ¿Qué letras del abecedario tienen sólo
simetría central? Compruébenlo.
c) ¿Cuáles tienen simetría axial y central?
Compruébenlo.
Los equipos no tendrán dificultades para
encontrar las letras del abecedario que
cumplen con las condiciones indicadas en el
inciso a). Quizá algunos equipos consideren
que si una línea divide en dos partes
congruentes cierta letra, esa línea es un eje
de simetría. En este caso sugiérales que
utilicen un espejo para que verifiquen si la
línea es, o no, un eje de simetría.
Algunos alumnos pueden tener dificultades
para determinar las letras que tienen simetría
central. Oriente a esos alumnos indicándoles,
por ejemplo, que copien otra letra igual, la
superpongan a la original y la giren, de esta
manera observarán si la figura tiene o no
centro de simetría.
2. Indique a sus alumnos que van a seguir
trabajando en equipos, con las mismas
letras del abecedario. A continuación
explique en qué consiste la actividad.
Construyen la figura y comprueben que tiene
dos ejes de simetría, y que el punto O es el
centro de simetría de la figura.
¿Qué letras del abecedario permiten construir
otra figura que tenga dos ejes de simetría y
además simetría central? Constrúyanlas y
verifiquen que cumplen con las condiciones.
Ciertos equipos encontrarán que la línea que
será eje de simetría de la letra L puede ser
trazada en otra posición, por ejemplo:
Algunos equipos trazarán la línea de manera
que tendrán como resultado dos figuras
separadas por el eje de simetría. Esta
situación puede llevar al grupo a discutir si la
figura resultante, en su conjunto, es una sola
o se trata de dos figuras.
a) La letra L no tiene ejes de simetría.
Observen cómo se procedió para construir
una nueva figura que tiene un eje de
simetría.
Otros alumnos tal vez ensayen diferentes
posiciones para colocar el espejo y trazar la
línea de simetría para formar una nueva
figura.
Se trazó la línea s, de modo que ésta fuera el
eje de simetría de al figura.
59
Para construir figuras con dos ejes de simetría
y simetría central, es probable que ciertos
equipos tracen al azar el segundo eje de
simetría y en consecuencia la figura no
cumplirá con las condiciones especificadas. En
este caso ofrezca alguna orientación, por
ejemplo, comente que pueden colocar el
espejo sobre algún borde de la letra y
comprobar si la figura resultante cumple con
las condiciones especificadas.
Cada tarjeta se colocará sobre la hoja de
calendario. En el ejemplo anterior se ha
colocado la tarjeta I. Por la ventana se pueden
mirar los siguientes tríos de números: 3, 10,
17; 12, 19, 26; 8, 15, 22.
VARIANTES
Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades:
1.
2.
En una hoja en blanco tracen una letra que tenga un eje
de simetría. A partir de esta línea construyan con regla y
compás una figura que tenga dos ejes de simetría.
En papel cuadriculado tracen las letras V, X y T como se
indica. Consideren que cada línea es un eje des simetría.
Construyan figuras simétricas respecto a cada una de las
dos rectas.
a) Encuentren la manera de obtener la suma
de los tres números con una sola
multiplicación, o una multiplicación y una
suma.
b) Encuentren una expresión algebraica que
les permita obtener la suma de los tres
números que se ven por la ventana,
conociendo sólo uno de ellos.
LAS VENTANAS DEL CALENDARIO
Tema 6: Ecuaciones lineales: uso de la
incógnita (primeros ejemplos)
Propósito
Familiarizarse con diversos medios de expresión
matemática: la estructura simbólica. Plantear y
resolver problemas sencillos que conduzcan a
ecuaciones lineales.
Contenidos
Introducción y uso de la incógnita. Situaciones
derivadas de diversos contextos.
Material
Una hoja de calendario.
1. La actividad se realiza en equipos de tres
o cuatro alumnos. Solicite previamente a
cada equipo que lleve una hoja de un
calendario; de preferencia todos los
equipos deben llevar la hoja del mismo
mes. Plantee a los alumnos la siguiente
actividad:
Recorten en tarjetas las siguientes cuatro
ventanas que servirán para mirar una parte
del calendario:
60
c) Coloquen la ventana II en cualquier lugar
del calendario. Observen que abarca cinco
números. Como si sólo conocieran uno de
los números que se ven por la ventana,
encuentren la manera de obtener la suma
de los cinco números mediante una
multiplicación y una suma.
d) Encuentren una expresión algebraica para
obtener la suma de los cinco números,
supongan que conocen sólo uno de los
números.
e) Encuentren la expresión algebraica que les
permita obtener la suma de los números
que se ven por las ventanas III y IV,
respectivamente;
piensen
que
sólo
conocen uno de los números de cada
ventana.
Buscar la
solución
de los problemas
planteados llevará a los alumnos a proponer
estrategias aritméticas que los conducirán a la
aplicación del álgebra. Por ejemplo:
Para resolver el primer problema algunos
alumnos se darán cuenta de que basta con
multiplicar el número que se encuentra en el
centro de la ventana por 3, pero no podrán
expresar algebraicamente ese hecho. Para
ayudarlos, comente que si llaman x o z al
número del centro encontrarán la manera de
expresar algebraicamente el procedimiento
para encontrar lo que se pide.
Algunos equipos encontrarán relaciones entre
los números pero quizá no puedan expresarlas
algebraicamente. Si colocan la ventana de
manera vertical y consideran el número de
arriba (3), verán que los otros dos números
pueden obtenerse a partir de aquél, sumando
7 y 14; de la misma forma, si colocan la
ventana horizontalmente, dejando el número
3 a la izquierda, se darán cuenta de que
sumando a éste 1 y 2 obtienen los dos
números restantes, es decir el que aparece en
el centro y el de la derecha. De nuevo, ayude
a los alumnos a expresar esta relación
mediante unas preguntas: Si llaman b al
número de arriba, ¿cómo se obtienen los otros
dos? ¿Cómo obtendrán la suma de los tres
números? En este caso, es posible que los
alumnos lleguen a la expresión: b + (b + 7) +
(b + 14). Sugiera entonces que simplifiquen la
expresión. Al simplificarla los alumnos
obtendrán: 3b + 21. Si se factoriza, la
expresión será 3 (b + 7).
Para encontrar la expresión algebraica que
permite obtener la suma de los números de
las ventanas II, III y IV, los alumnos pueden
proceder de manera similar. Una dificultad
que los propios alumnos pueden plantearse es
la siguiente. Si en la ventana I, por ejemplo,
llaman x al número que se encuentra en la
parte inferior de la ventana, tendrán que
operar con números negativos y llegarán a la
expresión: 3x – 21.
De manera que se obtienen tres expresiones
distintas para la misma suma dependiendo del
lugar en que se ubicó la incógnita. Esto es:
•
3x al ubicar x al centro.
•
3x + 21 al ubicar x en la parte superior.
•
3x – 21 al ubicar x en la parte inferior.
Esta situación dará lugar a una discusión que
lleve a los alumnos a concluir que las
expresiones dependen del lugar en que se
ubicó a la incógnita. Si la ventana fue
colocada horizontalmente, dos
que se pueden obtener son:
expresiones
•
3x + 3 al colocar x en el extremo
izquierdo.
•
3x – 3 al colocar x en el extremo derecho.
De manera similar, se espera que los alumnos
encuentren expresiones algebraicas para las
ventanas II, III y IV. Por ejemplo:
•
5x + 49, para la ventana II.
•
4x + 16, para la ventana III.
•
4x + 42, para la ventana IV.
2. Esta actividad se realiza en equipos de
tres o cuatro estudiantes. Indíqueles que
van a utilizar las mismas cuatro ventanas
y plantee el siguiente problema:
El número 63 corresponde a la suma que se
obtuvo utilizando una de las cuatro ventanas,
¿cuál es la ventana que se utilizó?
Algunos equipos resolverán el problema
mediante ensayo y error, es decir, tomarán
cada una de las ventanas y las colocarán
sobre el calendario hasta localizar la que sume
63. Otros equipos pondrán en práctica las
expresiones
algebraicas
obtenidas
y
empezarán a probar con cada una, esto es,
tomarán valores y los sustituirán en las
expresiones hasta encontrar aquella en la que
resulta 63. Otros equipos se darán cuenta de
que cada expresión se puede igualar a 63 y
obtener en consecuencia cuatro ecuaciones,
pero sólo una de éstas tiene solución entera y
corresponde a la ventana que se utilizó. Si no
surgieran los dos últimos procedimientos es
conveniente que usted los sugiera.
Una dificultad que se puede presentar a los
alumnos es la manera de proceder para
resolver una ecuación. Aproveche la situación
para resolver ecuaciones de primer grado.
3. Indique a los alumnos que van a trabajar
en equipos de tres o cuatro integrantes y
plantee la siguiente situación.
Inventen cinco ventanas diferentes a las
cuatro que hemos utilizado hasta ahora.
61
Encuentren las expresiones algebraicas que
permitan conocer la suma de los números que
se ven en cada ventana de acuerdo con el
siguiente arreglo de números:
En el diagrama anterior se debe entender que
el número 11 es la entrada, el – (+3) es una
operación, y el número 8 aparece en la salida.
Podrán ponerse algunos ejemplos para ilustrar
la forma en que se usarán estos diagramas.
Es conveniente dejar que los alumnos llenen
algunos valores de salida que se dejen en
blanco (como en el tercer diagrama que se
muestra a continuación).
Dado que la situación es similar a las
actividades 1 y 2, es probable que los
alumnos no tengan dificultades para proponer
las ventanas y encontrar las expresiones
algebraicas.
VARIANTES
Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades:
1.
2.
Si en el arreglo de la actividad 3 colocan la ventana I, de
la actividad 1, sobre los números 1, 8 y 15, la suma es 24,
si la colocan sobre los números 2, 9 y 16, la suma es 27,
si la colocan en los números 3, 10 y 17, la suma es 30,
etcétera. Si siguen colocando la ventana en el mismo
orden, ¿cuál será la suma al colocar la ventana en el
número 50? ¿Y si colocan la ventana en el lugar 1007?
La expresión algebraica 5x corresponde a una ventana que
se colocó sobre el arreglo de la actividad 3. Si x
representa uno de los números que se ven en la ventana,
¿cuál es la forma de dicha ventana?
Después de esta breve explicación, organice al
grupo en equipos de tres o cuatro alumnos y
proponga la siguiente actividad:
En cada diagrama, encuentren el valor de
entrada (a).
DIAGRAMAS Y ECUACIONES
Tema 7: Números con signo
Propósito
Enriquecer el significado de los números y sus
operaciones mediante la solución de problemas
diversos. Plantear problemas sencillos que
conduzcan a ecuaciones.
Contenidos Solución de ecuaciones de las formas a + x = b,
ax + b = c, donde a, b, c y la incógnita x
representan números con signo.
1. Explique al grupo que iniciarán una
actividad para la cual será necesario
entender diagramas como el siguiente:
62
En un primer intento es muy probable que los
alumnos traten de encontrar los valores de
entrada sustituyendo a por cualquier valor y
haciendo las operaciones indicadas para
verificar si llegan o no al valor de salida
señalado. Podrán intentarlo varias veces hasta
encontrar el valor correcto, lo cual, de no
correr con suerte, les podría llevar mucho
tiempo.
Se espera que a algunos equipos se les ocurra
empezar por el valor de salida y aplicar las
operaciones inversas. Por ejemplo, para el
cuarto diagrama se puede hacer lo siguiente
(mentalmente o por escrito):
Los alumnos presentarán sus ideas y
soluciones ante el grupo y discutirán sobre las
distintas estrategias usadas. Puede observarse
que esta actividad permite repasar las
operaciones de números con signo (suma,
resta, multiplicación y división), así como
practicar el cálculo mental y la idea de
operaciones
inversas
(suma-resta,
multiplicación-división).
2. Organice a los alumnos de la misma
manera que en la actividad 1 y proponga
el siguiente ejercicio:
Se espera que a través de la discusión los
equipos analicen las diferentes maneras de
escribir la ecuación que corresponde a cada
diagrama.
Algunas
posibles
respuestas
correctas son:
[a + (-3) x (-2) = -7
-2 [a + (-3)] = -7
-2 (a -3) = -7
Esta será una excelente oportunidad para
repasar el uso de signos de agrupación y la
simplificación de ecuaciones.
VARIANTES
Traten de escribir los siguientes diagramas
como ecuaciones y encuentren el valor de a
empleando los diagramas en la forma que ya
conocen.
1.
2.
Pida a los alumnos que dada una ecuación elaboren su
diagrama correspondiente.
Pida que llenen tablas dando valores diferentes de entrada
a un diagrama y que grafiquen en un sistema cartesiano
los pares de datos (entrada, salida).
BALANZA Y ECUACIONES
Después de dar el tiempo suficiente y dejar
que los alumnos escriban como ecuaciones los
diagramas, pase a representantes de los
equipos para que:
Tema 8: Ecuaciones lineales. Introducción
a los métodos algebraicos de solución
Propósito
a) Escriban en el pizarrón sus ecuaciones.
b) Encuentren el valor de la incógnita por dos
métodos:
•
Con operaciones
diagrama.
inversas
•
Resolviendo la ecuación.
en
el
Lo interesante de escribir como ecuación lo
que está en el diagrama es el uso correcto de
la simbología algebraica; por ejemplo, para el
primer diagrama, es posible que algún equipo
escriba: a + (-3) x (-2) = -7.
Resolver
ecuaciones
lineales
procedimientos algebraicos.
utilizando
Contenidos El modelo de la balanza. Solución de ecuaciones
de la forma ax b= cx+d; ax+bx+d = cx+dx+ƒ.
1. Organice al grupo en equipos. Después
plantee el problema:
Observen las siguientes balanzas. ¿Cuál es el
peso del objeto representado por el rectángulo
en cada caso?
63
introducir la notación usual del álgebra. Por
ejemplo:
Encontrar el peso del objeto representado por
el rectángulo en cada uno de los incisos
anteriores es relativamente sencillo y quizá la
mayoría de los equipos resuelva ambos
problemas mentalmente.
2. Plantee ahora los siguientes problemas.
Señale que sólo se permite utilizar pesas
de 50, 100, 500 y 1000 g.
¿Cuál es el peso de los rectángulos que se
encuentran en las balanzas?
Los alumnos pueden proceder de manera
similar para resolver el segundo problema. Es
importante que usted permita que los
alumnos expongan ante el grupo las
estrategias
que
idearon
para
resolver
problemas.
3. Comente a los alumnos que el siguiente
problema será resuelto en equipos.
Utilizando sólo pesas de 50, 100 y 500 g.
encuentren el valor del trapecio que aparece
en la balanza.
En estos problemas los alumnos, de manera
intuitiva, empezarán a operar con las
incógnitas, es decir, llevarán a cabo la
eliminación de incógnitas en ambos platillos,
representadas por los rectángulos.
Este problema plantea el manejo de dos
incógnitas representadas por el rectángulo y
el trapecio, de las cuales una (el rectángulo)
puede eliminarse. Para resolver el problema
los alumnos procederán como en los
problemas de la actividad 2, esto es,
empleando
algún
diagrama
o
alguna
representación cercana al lenguaje algebraico.
Comente con el grupo los procedimientos que
utilizaron los equipos para resolver el
problema, y aproveche para mostrar un
procedimiento algebraico relacionado con el
modelo de la balanza; por ejemplo:
Para resolver estos problemas algunos
alumnos pueden utilizar un modelo de tipo
algebraico que puede aprovecharse para
64
Más adelante los alumnos se darán cuenta de
que es posible simplificar el proceso.
VARIANTES
Puede plantear a sus alumnos los siguientes problemas:
1.
Consideren que el signo igual (=) corresponde al fiel de la balanza
cuando ésta mantiene el equilibrio, y que las expresiones
algebraicas que están a su derecha e izquierda reposan sobre los
platillos. En cada caso encuentren el valor que representa la
incógnita x.
x + 5 =20
5x + 5 = 4x + 20
2.
Encuentren el valor de la incógnita utilizando el modelo de la
balanza.
6x + y = 2x + y + 8
ROMPECABEZAS
Tema 9: Descomposición de figuras y
equivalencia de áreas
Propósito
Resolver problemas que conduzcan a calcular el
área de las figuras comunes y de otras formadas
por su combinación. Iniciarse gradualmente en
el razonamiento deductivo en situaciones
escogidas por el profesor.
Contenidos Demostración del teorema de Pitágoras por
descomposición y equivalencia de áreas.
Material Juego e geometría, un pliego de cartulina y
tijeras.
1. Escriba en el pizarrón las siguientes
instrucciones. Pida a los alumnos que las
lleven a cabo usando un cuarto de
cartulina.
Tracen la siguiente
instrucciones.
figura
siguiendo
las
a) Tracen un triángulo rectángulo cualquiera.
b) Construyan sobre cada uno de sus lados
un cuadrado.
c) Localicen el centro del cuadrado del cateto
mayor (llamen A a este punto).
d) Tracen una paralela a la hipotenusa que
pase por el punto A.
Una vez que tengan la figura completa,
recorten los cuadrados de los catetos. Corten
el cuadrado del cateto mayor en las cuatro
partes que quedaron marcadas. Con estas
cuatro piezas y el cuadrado menor traten de
cubrir el cuadrado de la hipotenusa.
•
¿Se pudo formar
hipotenusa?
el
cuadrado
de
la
•
¿Cuál es la relación entre el área del
cuadrado de la hipotenusa y las áreas de
los cuadrados de los catetos?
Una vez que tengan su figura armada puede
pedir que la coloreen y la peguen en su
cuaderno.
Mientras los alumnos trabajan, recorra el
salón supervisando a los equipos: observe el
uso correcto de los instrumentos geométricos
y el seguimiento de las instrucciones. Al
finalizar pida que comenten las respuestas de
las preguntas. Durante la actividad precise los
términos:
triángulo
rectángulo,
cateto,
hipotenusa,
cuadrado,
área,
paralela,
perpendicular, centro de un cuadrado (y cómo
encontrarlo), etcétera.
2. Organice a los alumnos en parejas;
reparta después en fotocopia la siguiente
figura o trácela en el pizarrón y pida a los
alumnos que la reproduzcan en un cuarto
de cartulina. Explique que por los puntos
A, G y D se trazan paralelas a la
hipotenusa del triángulo ABC.
Una vez que hayan terminado, recorten todos
los triángulos en que quedaron divididos los
cuadrados de los catetos y, a manera de
rompecabezas, traten de cubrir el cuadrado de
la hipotenusa.
e) Tracen una perpendicular a la hipotenusa
que también pase por el punto A.
65
cuadrado de la hipotenusa”. Para esta
actividad se sugiere que organice al grupo
en equipos de cuatro; reparta la siguiente
figura o reprodúzcala en el pizarrón y pida
a los alumnos que sigan las instrucciones.
Los alumnos notarán que:
•
Se trata de un triángulo rectángulo
cualquiera (de preferencia diferente al
anterior).
•
Se han trazado los cuadrados sobre los
catetos y sobre la hipotenusa.
•
En cada uno de los cuadrados de los
catetos se ha trazado una de las
diagonales (observar cuál).
•
Por cada uno de los vértices que no se
usaron para trazar la diagonal del inciso
anterior, se traza una paralela a la
hipotenusa.
Serán los alumnos quienes tendrán que
descubrir en la figura las propiedades arriba
mencionadas. Al igual que en la actividad
anterior, ésta permite practicar el uso correcto
de los instrumentos geométricos para el trazo
de paralelas, perpendiculares, el triángulo
rectángulo, los cuadrados, etcétera, así como
reafirmar algunas nociones como paralelismo,
perpendicular, etcétera.
Analicen las siguientes figuras y busquen la
manera de aprovecharlas para demostrar ante
sus compañeros que el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
Lo que se pretende es que sean los alumnos
quienes, ayudándose con los cuadrados y
triángulos rectángulos del material, busquen
argumentos para verificar el teorema de
Pitágoras por medio de la equivalencia de
áreas.
En este caso, para le cuadrado I, el área es:
a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Para el cuadrado II, el área es:
c² + 4ab = c² + 2ab
2
Y como ambos son iguales:
a² + 2ab + b² = c² + 2ab
Plantee preguntas como las siguientes:
•
De donde:
a² + b² = c²
¿Fue posible armar con las piezas de los
cuadrados de los catetos el cuadrado de la
hipotenusa?
•
¿El triángulo rectángulo era diferente al de
la actividad 1? ¿Son iguales los triángulos
que construyeron las distintas parejas?
•
¿Esto se cumplirá en todos los triángulos?
¿Esto se cumplirá en todos los triángulos
rectángulos? Como una manera de
verificar, puede solicitarse que realicen la
actividad anterior con otro triángulo
rectángulo.
VARIANTES
1.
2.
Otra actividad consiste en que los alumnos construyan triángulos
de medidas dadas (3, 4 y 5; 5, 12 y 13, etcétera), tracen los
cuadrados sobre los lados y los cuadriculen para comprobar las
relaciones entre las áreas.
Se puede hacer la actividad anterior con triángulos rectángulos de
cualquier medida construidos en el geoplano y calcular el área de
los cuadrados construidos sobre sus lados por medio del conteo.
¿CÓMO CORTAR?
Tema 10: Sólidos
3. Los alumnos han tenido dos experiencias
en las que, por medio de superposición de
figuras, han verificado que “la suma de los
cuadrados de los catetos es igual al
66
Propósito Desarrollar la imaginación espacial por medio de
la observación de las secciones que se forman al
cortar un sólido por un plano (casos sencillos).
Contenidos
Material
Actividades para explorar y observar las
secciones que se forman al cortar un cubo o un
paralelepípedo recto por un plano.
Plastilina, cartulina y una segueta.
1. Pida a sus alumnos que construyan dos
cubos con cartulina y dos con plastilina. En
caso de que se les dificulte construir los
cubos de plastilina, muestre a los alumnos
el procedimiento que se ilustra a
continuación.
Una vez que los alumnos hayan elaborado los
cubos, dibuje en el pizarrón la siguiente
secuencia y plantee el problema:
que conviene dar un tiempo para que analicen
en el cubo hecho en cartulina la manera de
realizar el corte.
La primera actividad es relativamente sencilla
y con seguridad los alumnos efectuarán cortes
como el que se ha ilustrado. En este caso será
conveniente que sugiera a los alumnos
practicar cortes en otro lugar del cubo.
Una dificultad que puede presentarse en
algunos equipos es que no coloquen la
segueta de manera perpendicular a la cara por
lo que al separar las partes no se verá
exactamente un cuadrado. Si esto no ocurre
comente con el grupo acerca de la necesidad
de colocar perpendicularmente la segueta.
La segunda actividad es más difícil porque los
alumnos tendrán que hacer un análisis más
cuidadoso para determinar cómo hacer el
corte. Un primer procedimiento que los
alumnos pueden seguir consiste en realizar un
corte al azar y después ajustar poco a poco
hasta obtener el rectángulo.
Con una segueta corten un cubo en dos partes
en la dirección que muestra el primer dibujo.
Observen que al separar las dos partes en que
se ha dividido el cubo, quedan a la vista dos
cuadrados.
Otros equipos se darán cuenta de que
obtienen un rectángulo si la segueta pasa por
dos puntos que estén a la misma distancia de
uno de los vértices.
a) ¿De qué otra forma se puede cortar el
cubo de manera que, al separar las dos
partes en que queda dividido, las nuevas
caras también tengan forma cuadrada?
Primero analicen en el cubo hecho de
cartulina dónde harían el corte; después
háganlo en el cubo de plastilina.
Al igual que en el caso del cuadrado, una
dificultad que se puede presentar es que, al
cortar,
la
segueta
no
se
coloque
perpendicularmente a la cara del cubo. Es
conveniente que los alumnos expliquen al
grupo cómo procedieron para resolver el
problema.
b) ¿Cómo cortarían el cubo de manera que al
separar las dos partes las caras tengan
forma de rectángulo? ¿Cómo harían el
corte de manera que el rectángulo sea el
de mayor área?
Al realizar estas actividades los alumnos
desarrollarán su imaginación espacial, por lo
2. Para realizar esta actividad se requieren
tres o cuatro cubos de plastilina, uno de
cartulina y una segueta. Plantee el
siguiente problema:
a) ¿Cómo cortarían el cubo en dos, de
manera que al separar las partes, las
caras tengan forma de triángulo isósceles?
67
b) ¿Cómo cortarían el cubo en dos, de
manera que al separar las partes, las
caras
tengan
forma
de
triángulo
equilátero?
c) ¿Cómo cortarían el cubo en dos, de
manera que al separar las partes, las
caras tengan forma de triángulo escaleno?
Tal vez la primera dificultad que los alumnos
enfrenten sea la inclinación con la que deben
colocar la segueta para hacer el corte. Los
estudiantes se darán cuenta de que si colocan
la segueta en forma perpendicular con
respecto a la cara, al hacer el corte no
obtendrán en ningún caso un triángulo. Será
necesario que brinde a los alumnos alguna
ayuda. Puede plantear, por ejemplo, algunas
preguntas: Cuando obtuvieron un cuadrado y
un rectángulo, ¿Cuántas caras cortaron? Dado
que se quiere ver una cara triangular,
¿cuántas caras será necesario cortar? Si
colocan
la
segueta
perpendicularmente,
¿podrán cortar tres caras? ¿Por qué si? ¿Por
qué no?
Una situación que se puede desprender del
problema anterior es la siguiente:
•
¿Dónde y cómo cortar el cubo para
obtener el triángulo equilátero de mayor
área?
En este caso es necesario que la segueta se
incline 45° con respecto a la cara en que se
apoya.
Triángulo equilátero
VARIANTES
Puede plantear a los alumnos las siguientes situaciones:
1.
2.
A partir de este tipo de consideraciones,
puede pedir a los alumnos que analicen en el
cubo de cartulina cómo hacer el corte y que
después verifiquen en el cubo de plastilina si
su análisis fue correcto o no.
Aunque en la primera pregunta se pide que
obtengan triángulos isósceles al cortar el
cubo, es posible que los alumnos obtengan
otro tipo de triángulos. En cualquier caso se
recomienda pedirles que den argumentos para
verificar qué tipo de triángulos obtuvieron.
Algunos posibles cortes son los siguientes.
¿Cómo cortarían el cubo en dos de manera que al separar las
partes, las caras tengan forma de trapecio isósceles?
Consideren un paralelepípedo recto:
¾ ¿Cómo cortarían el paralelepípedo en dos de manera que, al
separar las partes, las caras tengan forma de rectángulo?
¾ ¿Cómo cortarían el paralelepípedo en dos de manera que, al
separar las partes, las caras tengan forma de triángulo?
COSTO DE LOS DISCOS COMPACTOS
Tema 11: Uso de tablas, gráficas,
porcentajes, promedios y densidades
Propósito
Contenidos
Para el triángulo isósceles
Material
Conocer y acostumbrarse al uso de cantidades
absolutas y relativas. Uso de tablas, gráficas y
otras formas comunes de organizar y presentar
la información.
Ejemplos de interpolación gráfica.
Video 1 de la serie “El mundo de las
matemáticas”, escuadras, dos pliegos de papel
bond (para trazar gráficas) y calculadora
(opcional).
1. Inicie la clase viendo el video: Costo de los
discos compactos.
Para el triángulo escaleno
68
Al terminar comente el contenido del video y
organice al grupo en equipos de cuatro
alumnos. Pídales que resuelvan el primer
problema planteado.
Recuérdeles la tabla que se presenta en el
video (si no cuenta con el video, presente la
siguiente tabla comentando que se trata del
reporte de costos de producción de una
empresa de discos compactos):
Pida que con estos datos construyan una
gráfica en el plano cartesiano y que a partir de
la gráfica encuentren el costo de 7 200 discos
compactos.
Se pretende que los alumnos empleen las
escuadras para trazar la gráfica en papel bond
y que después la muestren a sus compañeros.
Es importante que sea el equipo que resuelva
libremente el problema y el que decida la
escala para ambos ejes. Después de un
tiempo suficiente, algunos equipos mostrarán
su gráfica al grupo y comentarán sobre la
escala usada y la manera en que hallaron el
costo. Se espera que (tomando en cuenta lo
que vieron en el video) la mayoría haya
encontrado el resultado. Es probable que
algunos sigan el procedimiento correcto pero
no lleguen al resultado debido a que su gráfica
no esté bien elaborada. Aproveche el
momento para hacer notar la importancia de
escoger una escala adecuada y de hacer el
trabajo con el debido cuidado.
Puede aprovechar la misma gráfica para pedir
a los alumnos costos que no están en la tabla,
por ejemplo: el costo de 5 500 discos
compactos, de 8 000, 12 000, 14 500,
etcétera.
El costo de los 7 200 se puede investigar
mediante interpolación gráfica, que consiste
en localizar en el eje correspondiente el 7 200
y trazar una perpendicular a este eje. Desde
el punto de intersección de esta perpendicular
con la gráfica, se traza otra perpendicular al
eje donde están determinados los costos, de
manera
que
el
pie
de
esta
última
perpendicular es el dato buscado.
2. Organizados nuevamente en equipos pida
a los alumnos que den solución al segundo
problema planteado en el video.
Si cada disco compacto va a venderse a 20
dólares, ¿Cuántos discos compactos necesita
vender la compañía para cubrir sus gastos?
Deje en completa libertad a los alumnos para
que busquen la solución. Es posible que
algunos utilicen una tabla para comparar los
gastos de producción con las ventas
(utilizando la tabla que ya se tiene de la
actividad 1); por ejemplo:
Una gráfica que algunos equipos pueden hacer
es la siguiente: *
*
En estas gráficas, así como en otras que aparecen en
el fichero, se han unido los puntos mediante una recta
para facilitar la interpolación gráfica; sin embargo, las
gráficas no son propiamente rectas ya que, por
ejemplo, no tiene sentido hablar de 8.3 discos
compactos.
Gracias a la tabla podrán observar que el
resultado está entre 10 000 y
15 000
(vendiendo sólo 10 000 todavía tendrán
pérdidas, con 15 000 ya que tendrían
69
ganancias). Los alumnos deben tener claro
que el número de discos que están buscando
es aquel donde el costo de producción es igual
a lo ganado en las ventas.
la búsqueda de información para resolver un
problema.
VARIANTES
La tabla no permite conocer el resultado
exacto. Una forma de buscar la solución es
trazando la gráfica correspondiente a las
ventas sobre la de costos de producción (de la
actividad 1) y encontrar el punto en que se
cortan. Si los alumnos deciden hacer esto
deben tener presente la importancia de una
gráfica precisa.
Trazando una perpendicular desde el punto
donde los costos y las ventas se cortan hasta
el eje que indica el número de discos, se
encuentra la solución (13 000).
1.
2.
3.
Otra pregunta interesante relacionada con el trabajo de estas
gráficas es pedir a los alumnos que obtengan el porcentaje de
ganancias en relación con los costos de producción. Por ejemplo:
¿Cuál es el porcentaje de ganancias en la venta de 15 000 discos?
¿Y en la de 20 000? Etcétera.
Pueden plantearse otras preguntas a los alumnos como: ¿Cuántos
discos necesita vender la fábrica para obtener una ganancia mayor
a cierta cantidad ($10 000, $20 000, etcétera)?
Cuando se estudie el tema 14 (Sistemas de ecuaciones lineales)
podría retomar este problema y analizar como puede resolverse
algebraicamente.
¡ATÍNALE!
Tema 12: Noción frecuencial y noción
clásica de la probabilidad
Propósito
Explorar la noción frecuencial de la probabilidad.
Contenidos Situaciones que favorezcan el registro y el
tratamiento
de
experimentos
aleatorios.
Ejemplos para ilustrar el uso de la probabilidad
frecuencial.
Material Un recipiente (cubeta) con capacidad entre 15 y
20 litros.
Es probable que algunos alumnos se den
cuenta de que la solución se encuentra en
recuperar los $104 000 de inversión inicial y
que, sabiendo que por cada disco:
1. Organice al grupo en equipos de cuatro o
cinco alumnos. A continuación explique:
Costo de venta – costo de producción = $8
Llenen la cubeta con agua hasta el borde y
coloquen el vaso dentro de la cubeta, en la
parte central, como se muestra.
Lo que tienen que encontrar es el número de
discos que requieren vender para alcanzar la
inversión inicial, es decir, cuántas veces cabe
$8 en $104 000. Esto es:
104 000 = 13 000
8
Habrán encontrado así la respuesta correcta.
Tanto la actividad 1 como la 2 permiten al
alumno practicar el manejo de tablas y
gráficas, así como la presentación de datos y
70
a) Desde una posición vertical respecto al
nivel del agua, y con la punta hacia abajo.
Tiren una aguja cada vez. Deben tirar las
agujas siempre desde la misma posición,
sin que toquen el agua antes de ser
soltadas.
b) Antes de llevar a cabo el experimento
hagan una predicción sobre el número de
agujas que caerán dentro y fuera del vaso.
c) Realicen el experimento. A partir de la
información obtenida hagan una nueva
predicción sobre el número de agujas que
caerán dentro y fuera del vaso al tirar de
nuevo las 50 agujas.
d) Realicen otras ocho veces la experiencia.
En una tabla anoten el número de agujas
que cayeron dentro y fuera del vaso. En
cada ocasión prevean cuántas agujas
caerán dentro y fuera del vaso.
A partir de la situación anterior muestre a los
alumnos la forma de obtener la probabilidad
de un evento a partir del modelo frecuencial.
Explique que la probabilidad de un evento se
obtiene de la siguiente forma:
VARIANTES
Cada situación se realiza al menos ocho veces, de manera que los
alumnos pueden determinar de manera confiable la probabilidad de que
una aguja caiga dentro del vaso, según las especificaciones que se dan
a continuación.
1.
e) A partir de la información registrada,
contesten las siguientes preguntas:
•
Si tiran 100 agujas dentro de la
cubeta, ¿cuántas caerán dentro del
vaso y cuántas fuera?
•
¿Y si tiran 150, 200, 300, 500, 1 000,
2 000, 3 000, 5 000… agujas?
Algunos alumnos creerán que al tirar agujas
todas entrarán en el vaso, sin embargo, al
realizar la experiencia, se darán cuenta de que
no es así.
En otros equipos creerán que el hecho de que
la aguja caiga dentro del vaso tiene que ver
con el lugar y la habilidad para tirarla. Por
esta razón, para que los alumnos observen
que la habilidad no interviene, recuérdeles
que siempre deben tirar las agujas desde el
mismo lugar y colocándolas en la misma
posición.
Después de realizar la experiencia varias
veces, los alumnos se irán dando cuenta de
que se puede observar una cierta regularidad,
es decir, siempre que se tiran las 50 agujas,
aproximadamente la misma cantidad de éstas
cae dentro del vaso y la diferencia cae fuera.
Esta situación les permitirá afinar sus
predicciones.
En cuanto a las últimas preguntas, algunos
equipos notarán que los registros de la tabla
les permiten responder para 100, 150, 500 o
más agujas.
2.
3.
Tiren 50 agujas, cada aguja se tira como se indicó en la actividad
1, pero ahora entra primero al agua el ojo de la aguja. Al igual que
en la actividad 1 hagan un registro que les permita hacer
predicciones. Finalmente establezcan la probabilidad de que una
aguja que es tirada bajo estas condiciones caiga dentro del vaso.
Cambien el vaso por otro cuyo diámetro sea mayor al que se utilizó
en la actividad 1 y realicen el mismo tipo de actividades.
Con la cubeta y el vaso utilizados en la actividad 1 realicen las
mismas actividades, pero en esta ocasión disuelvan en el agua,
previamente, medio kilo de sal.
Nota: Es conveniente solicitar a los alumnos que comenten con el
profesor de física las razones que existen para que al tirar las agujas en
el agua, éstas se desvían de la vertical al ir cayendo.
ADIVINA EL PUNTO
Tema 13: Actividades en el plano
cartesiano
Propósito
Familiarizarse con los diversos medios de
expresión matemática (la escritura simbólica, las
tablas y las gráficas) y utilizarlos en la solución
de problemas.
Contenidos
Representación en el plano cartesiano de
regiones y conjuntos de puntos que satisfacen
condiciones algebraicas sencillas.
Material
Escuadras para trazar ejes coordenados.
1. En el juego del náufrago, un alumno elige
un punto en el plano cartesiano para
ubicar al otro náufrago y trata de adivinar
las coordenadas hasta que lo encuentra.
Formen parejas. Cada uno trace en su
cuaderno dos ejes de coordenadas como las
siguientes:
71
¾ ¿La
impar?
Uno de ustedes, sin que su compañero vea,
elija en el plano un punto cuyas coordenadas
sean números enteros. Su compañero deberá
encontrar el punto planteando el menor
número de preguntas posible, que puedan
responderse con un sí o un no. Una vez que
encontró el punto. Intercambien los papeles.
Gana el juego quien haya utilizado menos
preguntas para encontrar el punto del
compañero.
(Preguntas como: “¿es el punto (4, 3)?”, sí se
contabilizan.
abscisa
es
¾ ¿El punto está en uno de
los ejes?
Se recomienda que si los alumnos se refieren
a las coordenadas como el primer número o el
segundo número, usted repita las preguntas
que hicieron diciendo la abscisa o la x, la
ordenada o la y. Las preguntas se irán
anotando en el pizarrón con sus respectivas
respuestas y usted localizará en el plano
cartesiano los puntos que satisfagan las
preguntas y las respuestas. Cada alumno irá
haciendo lo mismo en el plano que trazó en su
cuaderno.
Ejemplo:
a) ¿La abscisa es positiva?
Si la respuesta es sí, entonces el punto está
en el semiplano derecho (se marca de alguna
forma la región donde no está).
Se sugiere que el juego se lleve a cabo varias
veces con el propósito de que el alumno
construya
estrategias
y
descubra
las
preguntas que permiten descartar el mayor
número de puntos. Finalmente pida que hagan
comentarios sobre las estrategias que
utilizaron.
2. Esta actividad se trabajará con todo el
grupo. Cada alumno trazará en su
cuaderno dos ejes de coordenadas como
los de la actividad 1 y usted hará lo mismo
en el pizarrón. Pase al frente a un alumno
y éste, sin que nadie lo vea, debe elegir en
el plano de su cuaderno un punto
cualquiera
cuyas
coordenadas
sean
números enteros.
Pida a los demás alumnos que, en forma
voluntaria, hagan las preguntas que quieran
(siempre y cuando den lugar a las respuestas
si o no). El compañero que esté al frente
contestará. Nuevamente se trata de encontrar
el punto con el menor número de preguntas.
Algunas preguntas que pueden surgir son:
¾ ¿Es el punto (4,3)?
¾ ¿La ordenada es mayor
que 5?
¾ ¿Está en
cuadrante?
¾ ¿La
abscisa
positiva?
72
el
primer
es
b) ¿La ordenada es positiva?
Si la respuesta es no, se tacha entonces la
región en la que el punto no puede estar.
c) ¿La abscisa es par?
Si el alumno contesta que sí, entonces el
punto se encuentra sobre una de las
siguientes rectas punteadas:
(-3, 3), (-6, 6), (-9, 9)…
Y así sucesivamente se eliminan puntos hasta
llegar a las coordenadas que se buscan.
Como puede notarse, la idea es que el alumno
identifique puntos que cumplan con una
característica
(la
enunciada
en
cada
pregunta). La primera vez usted puede
localizar esos puntos, pero es recomendable
que después sea un alumno quien lo haga. La
actividad puede repetirse las veces que
considere conveniente.
3. Explique a los alumnos que van a
continuar el juego pero ahora tratando de
localizar un conjunto de varios puntos que
cumplen con una condición.
Escriba un mensaje en el pizarrón en el que
aparezcan las pistas necesarias para que los
alumnos encuentren los puntos que buscan.
Puede escribir,
mensaje:
por
ejemplo,
el
Después pida a los alumnos (organizados por
parejas) que sean ellos mismos quienes
elaboren mensajes, utilizando el menor
número
de
palabras
y
sin
escribir
directamente las coordenadas, para que su
compañero localice un punto.
VARIANTES
1.
2.
Puede utilizarse un plano cartesiano de 10 x 10, o bien pueden
emplearse coordenadas fraccionarias o decimales y realizar el
mismo tipo de actividades.
Otra variante es que, en vez de punto, un alumno elija una recta,
un semiplano, una franja, etcétera, y que los demás, mediante
preguntas, traten de encontrar la recta, semiplano o franja que el
alumno haya elegido.
¿CUÁNTO PESA UNA MANZANA?
Tema 14: Sistemas de ecuaciones
lineales; problemas y método de
sustitución
siguiente
Propósito Plantear problemas sencillos que conduzcan a
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y
resolverlos utilizando procedimientos algebraicos
(sólo por sustitución en el caso de sistemas de
ecuaciones lineales).
Contenidos Problemas que conducen a sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas.
El problema para los alumnos será localizar
los
puntos
que
cumplen
con
esas
características.
En este caso se tiene:
1. Plantee el siguiente problema y proponga
a los alumnos que lo resuelvan por
parejas.
El peso de una manzana es igual al peso de
una naranja más 100 gramos. El peso de dos
manzanas es igual al peso de tres naranjas
más 100 gramos. ¿Cuántos gramos pesa una
manzana y cuántos pesa una naranja?
Pida a los alumnos que busquen una manera
de resolver el siguiente problema. Cuando
termine la mayoría, pídales que expliquen sus
procedimientos. En caso de que no usen el
modelo de la balanza, proponga lo siguiente:
Los puntos pueden ser:
Suponiendo que todas las manzanas tienen el
mismo peso, y que sucede lo mismo con todas
las naranjas entre sí, ¿Cuánto pesa cada
manzana y cada naranja?
73
Balanza 2: 2a = 3b + 100
Y simplificando esta última ecuación se
obtiene el valor de b: 100 = b
Dé tiempo suficiente para que las parejas
encuentren la solución al problema. Después
pida a algunos alumnos que pasen a explicar
ante el grupo el procedimiento que usaron. Es
muy probable que los alumnos hayan
deducido que si una manzana pesa lo mismo
que una naranja más 100 g (balanza 1), este
valor puede trasladarse a la balanza para
sustituir dos manzanas.
El peso de una manzana (valor de a) se
obtiene sustituyendo en la primera ecuación
del sistema (a = b + 100) el valor de b.
a = b + 100
a = 100 + 100
a = 200
Los alumnos comprobarán que se obtiene el
mismo resultado que ellos habían encontrado.
Enseguida pueden retirar pesos iguales en
ambos platillos de la balanza, de tal manera
que la balanza quede así:
Por lo que el peso de cada naranja es igual a
100 g.
Se sabe (balanza 1) que el peso de la
manzana es igual al peso de la naranja más
100 g, de ahí se concluye qué el peso de cada
manzana es de 200 g. Lo que se ha hecho (sin
evidenciarlo) es resolver un sistema de
ecuaciones. Se sugiere que una vez que varias
parejas hayan pasado al frente a explicar la
forma en que calcularon los pesos, escriba
algebraicamente la analogía entre lo que se
hizo en la balanza y la resolución de un
sistema
de
ecuaciones,
repasando
los
contenidos y propiedades que surjan en el
transcurso de la actividad. Para este caso
podemos convenir:
a
peso de una manzana
b
peso de una naranja
Simbolizando algebraicamente lo que se tiene
en cada balanza se llega al sistema de
ecuaciones:
Balanza 1: a = b + 100
74
2. Nuevamente organice a los alumnos por
parejas y plantee el siguiente problema:
Tres manzanas más dos naranjas más 100
gramos pesan lo mismo que cinco manzanas.
Por otro lado, dos manzanas más tres
naranjas pesan lo mismo que cuatro naranjas
más 250 gramos ¿Cuántos gramos pesa una
manzana y cuántos una naranja?
Nuevamente deje en libertad a los alumnos
para que resuelvan el problema. Una vez que
encuentren algún resultado, proponga que
utilicen el modelo de la balanza como se
explica a continuación.
¿Cuánto pesa cada manzana y cada naranja,
suponiendo que todas las naranjas tienen un
mismo peso entre sí y las manzanas también?
Los alumnos han trabajado ya el modelo de la
balanza y es probable que para resolver el
problema formulen las ecuaciones, aunque
quizás tengan dificultades para resolverlas. Si
después de un tiempo razonable los alumnos
no saben qué hacer, sugiérales que primero
simplifiquen cada balanza.
2) Simplificando las ecuaciones se obtiene:
2y + 100 = 2x……(1)
2x = y + 250 …….(2)
Después de simplificar las dos balanzas usted
puede
preguntar:
¿cómo
podríamos
representar en una sola balanza lo que hay en
las dos anteriores?
3) Sustituyendo en la ecuación 2 el valor de
2 x que se obtuvo en la ecuación 1, se
obtiene:
Se espera que los alumnos
siguiente representación:
4) Restando y en ambos miembros de la
ecuación anterior, se obtiene: y + 100 =
250
infieran
la
2y + 100 = y + 250
5) Y de ahí: y = 150
Lo que resta es simplificar esta última balanza
para encontrar el peso de una naranja.
Podemos cambiar la pesa de 250 g por dos de
100 g y una de 50 g.
6) Para encontrar el valor de x, se sustituye
el valor de y en la ecuación 2 que, al ser
resuelta como se indica, de cómo
resultado x = 200.
y = 150
2x = y + 250
2x = 150 + 250
2x = 400
El peso de una naranja = 150 g.
Para calcular el peso de una manzana se
deben sustituir las naranjas por su peso
equivalente en gramos en cualquiera de las
balanzas que tengan naranjas y manzanas.
Por ejemplo:
Dos manzanas pesan 400 g, entonces:
El peso de una manzana = 200 g
X = 200
7) La naranja pesa 150 g y la manzana 200 g.
Pida a los alumnos que comprueben estos
valores en las balanzas originales.
VARIANTE
Una vez que hayan trabajado con el modelo de la balanza, plantee
problemas a los alumnos y pídales que traten de resolverlos trabajando
algebraicamente los sistemas de ecuaciones que resulten de los
problemas.
GEOMETRÍA Y AZULEJOS
Tema 15: Ángulos entre paralelas
Es conveniente que nuevamente se haga la
analogía de lo que se hizo en la balanza con el
lenguaje algebraico; por ejemplo: x
peso
de una manzana, y
peso de una naranja
1) Se tiene: Balanza 1. 3x + 2y + 100 = 5x
Propósito
Practicar el dibujo y los trazos geométricos.
Contenidos Recubrimiento del plano con polígonos regulares
e irregulares.
Material Juego de geometría, hojas blancas, cartulina,
colores y tijeras.
Balanza 2. 2x + 3y = 4y + 250
75
1. Inicie la clase con el siguiente relato:
A un fabricante se le ocurrió producir azulejos
en forma de pentágonos regulares.
2. Para esta actividad organice a losa
alumnos en equipos de cuatro y plantee el
siguiente problema:
Una persona que visitó su establecimiento vio
esos azulejos y le gustaron mucho. Compró
los suficientes para cubrir las paredes de su
baño, sin embargo, a pesar de que los
azulejos eran de excelente calidad, regresó
con el fabricante sumamente molesto y le dijo
que sus azulejos no servían. El fabricante
sorprendido le preguntó por qué.
Deje abierta la pregunta para que, en una
lluvia de ideas, los alumnos digan los posibles
motivos por los que los azulejos en forma de
pentágono regular no sirvieron. Se espera que
lleguen a la conclusión de que los pentágonos
regulares, puestos uno al lado de otro, no
permiten cubrir totalmente un plano. Se
recomienda que hagan un pentágono regular
en cartulina y que lo utilicen como plantilla
para calcar varios pentágonos. Pídales que
con los pentágonos traten de cubrir
totalmente un plano y que ellos mismos vean
lo que sucede.
Puede plantearles una nueva pregunta: ¿Qué
tiene que hacer el fabricante para que su
producción de azulejos pentagonales pueda
utilizarse para cubrir paredes?
Mirando las figuras que formaron, los alumnos
notarán que se requiere fabricar rombos o
alguna otra figura para cubrir los huecos que
dejan los pentágonos, por ejemplo:
76
Busquen polígonos regulares que puedan
servir como moldes para fabricar azulejos que
cubran totalmente una superficie, bajo las
siguientes condiciones:
a) Sólo se permiten figuras del mismo tipo.
b) Se permiten figuras de varios tipos.
En cada caso hagan dibujos que muestren
cómo cubrieron la superficie.
Contesten las preguntas:
•
•
¿Qué característica común tienen los
polígonos que dan solución al inciso a)?
¿Qué característica común tienen los
polígonos que no dan solución al inciso a)?
Se sugiere que por equipos utilicen su juego
de geometría para trazar polígonos regulares
en cartulina y usarlos como plantillas. De esta
manera los alumnos seguirán practicando el
trazo de figuras con sus instrumentos
geométricos.
Después de un tiempo suficiente, un
representante de cada equipo pasará a
mostrar las figuras que dan la respuesta a los
incisos a) y b). Los equipos encontrarán,
después de explorar las posibilidades, que el
inciso a) sólo tiene solución para tres figuras
regulares: hexágono, cuadrado y triángulo
equilátero.
El inciso b) admite varias soluciones
diferentes. A continuación se muestran
algunos ejemplos de combinaciones que
pudieran ser halladas por los equipos.
1.
2.
El análisis está determinado por la respuesta a
las preguntas. Los alumnos tratarán de
descubrir la característica común entre los
hexágonos regulares, los cuadrados y los
triángulos equiláteros. Es probable que al
menos un equipo se dé cuenta de que la
medida de un ángulo interno en cualquiera de
estos tres polígonos regulares es un divisor de
360º, mientras que los demás polígonos
regulares no cumplen con esta condición y,
por lo tanto, no cubren el plano totalmente
por sí solos.
Se sugiere platicar a los alumnos sobre Maurits Cornelius Escher
(artista gráfico holandés) y de ser posible mostrar algunos de sus
trabajos, como el que se muestra a la derecha.
A continuación se explica una técnica que permite encontrar
figuras totalmente irregulares que teselan el plano. Decida si es
conveniente darla a conocer a los alumnos para que encuentren
otros teselados como los de Escher.
Se empieza con un polígono regular (hexágono, cuadrado o triángulo
equilátero). Se quita un pedazo de uno de sus lados y se añade al lado
opuesto; la acción se repite cuantas veces se quiera, de esta forma se
obtiene una figura que también tesela el plano. La figura puede
convertirse en el dibujo de un objeto, persona o animal.
CIRCULANDO
Para cerrar esta actividad puede pedir a los
alumnos que, individualmente, realicen un
teselado* en una hoja blanca tamaño carta y
lo coloreen a su gusto.
Tema 16: Primeras exploraciones en el
círculo
Propósito
Explorar algunas propiedades del círculo.
Determinar la circunferencia como el lugar
geométrico de los puntos que equidistan de un
punto fijo llamado centro.
Contenidos
Determinación de un círculo por su centro y su
radio. Posiciones relativas de un círculo y una
recta: cuerdas, tangente exterior al círculo.
Material
3. Pida a los alumnos que de manera
individual encuentren diferentes figuras
que no sean polígonos regulares y que
cubran totalmente el plano. Pídales que
realicen la siguiente actividad:
Hagan un teselado con algunas de las figuras
encontradas para este problema y coloréenlo
a su gusto.
Lo ideal es dejar que sean los alumnos,
motivándolos a que sean originales, quienes
en
completa
libertad
encuentren
sus
teselados, de esta manera se darán cuenta de
que se puede teselar con cualquier tipo de
triángulo y cualquier cuadrilátero.
Juego de geometría.
1. Después de organizar al grupo en parejas,
pida a los alumnos que tracen un
cuadrado de 10 cm. x 10 cm. y plantee el
siguiente problema:
Juan y Pedro sostienen por sus extremos una
varilla. Del punto medio de la varilla cuelga un
cordel, en cuyo extremo hay un metal con
punta. Los dos niños caminan sobre el
perímetro de un cuadrado. Al caminar, la
punta del metal va dejando una huella.
¿Qué forma tiene la huella cuando los niños
recorren todo el perímetro?
VARIANTES
*
Teselado: Del latín tessellatus, nombre que daban los
antiguos romanos a los azulejos que usaban para
cubrir sus pavimentos y muros. Un teselado se hace
repitiendo la misma forma una y otra vez.
77
Algunos alumnos creerán que la forma de la
huella es un cuadrado; otros considerarán que
se forman un octágono. Otros alumnos
pueden plantear por ejemplo, que dentro del
cuadrado se forma una línea cuya curvatura
está dirigida hacia el vértice del cuadrado.
En estos casos habrá que sugerir a los
alumnos que modelen la situación en el
cuadrado que trazaron. Pida que utilicen la
orilla de una tarjeta que mida, por ejemplo, 6
cm., en vez de la varilla. Sugiera que
coloquen la orilla de la tarjeta en diferentes
posiciones, siempre haciendo coincidir los dos
extremos con los lados del cuadrado. Pídales
que marquen los puntos que coinciden con el
punto medio de la orilla.
Es conveniente que usted propicie que
diferentes
equipos
expliquen
a
sus
compañeros lo que hicieron para verificar sus
conjeturas.
Seguramente algunos equipos hallarán que la
figura que se forma es como la que se
muestra a continuación:
3. Organice a los alumnos en parejas. Pídales
que hagan un círculo de 5 cm. de radio y
después plantee la siguiente situación:
Supongan que sobre la circunferencia caminan
dos alumnos que sujetan por sus extremos un
instrumento como el de la actividad 1.
a) ¿Qué figura geométrica describirá la punta
del metal cuando los niños hayan recorrido
toda la circunferencia?
b) Indiquen el punto que es centro de la
figura que describe la punta del metal.
Es conveniente que propicie que los alumnos
comenten la manera que siguieron para darse
cuenta de que la forma de la huella es una
circunferencia. Si algunos alumnos tuvieran
dificultades, puede sugerirles que modelen la
situación de forma similar a la actividad 1; en
este caso encontrarán que se forma una
circunferencia y que su centro es el mismo
que el de la circunferencia original.
4. Comente a los alumnos que van a seguir
trabajando en parejas. Después plantee la
siguiente situación:
2. Organice en parejas a los alumnos y con
base en la figura trazada en la actividad 1
plantee las siguientes preguntas:
a) Si se 6
Después de haber realizado la primera
actividad, los alumnos no tendrán dificultades
para responder a las preguntas a) y b), es
decir, contestarán que el centro de los círculos
se encuentra en los vértices del cuadrado y
que el radio es igual a la mitad de la longitud
de la varilla.
La pregunta c) llevará a los alumnos a probar
con distintas medidas (que dependerá del lado
del cuadrado que propongan). De esta manera
encontrarán que la medida de la varilla tiene
que ser igual a la medida del lado del
cuadrado.
78
Observen los siguientes círculos. El círculo
menor es la huella que dejó el punto medio de
una varilla que dos niños sostenían por sus
extremos al ir caminando por la circunferencia
del círculo mayor.
Tracen un segmento que tenga la misma
longitud que la varilla que utilizaron los niños.
Trazar un segmento que tenga la misma
longitud que la varilla que utilizaron los niños
es el problema inverso a los que se plantearon
en las actividades 1 y 3. Quizás algunos
alumnos en un primer momento apliquen
alguna estrategia de ensayo y error;
probablemente tracen algunas cuerdas del
círculo mayor cuyo punto medio más o menos
toque al círculo menor, y después tracen un
segmento que mida lo mismo que alguna de
esas
cuerdas.
Otros
alumnos
pueden
considerar un punto cualquiera del círculo
menor y, como saben que es el punto medio
de un segmento, unan este punto con otro del
círculo mayor y después tracen el doble de
ese segmento.
Llenen el recipiente 2 con agua (o bien arena
cernida o sal refinada) y vacíen el contenido
en el recipiente 1. Midan la altura.
Recipiente 1
Es difícil que los alumnos tracen el segmento
requerido, sin embargo, a partir de los
procedimientos
utilizados,
usted
puede
proponer algunas preguntas que lleven a
considerar las características que tiene el
segmento que se quiere trazar; por ejemplo,
¿puede ser que dos puntos del segmento
toquen a la circunferencia menor?; ¿puede ser
que los segmentos sean de diferente tamaño?,
¿por qué si? ¿por qué no?, etcétera. Como se
observa, el problema se resuelve a partir de
trazar tangentes a la circunferencia menor.
Vuelva a llenar el recipiente 2 y vacíen su
contenido en el recipiente 1. Nuevamente
midan la altura alcanzada.
Repitan el procedimiento cinco o seis veces y
anoten las mediciones en la siguiente tabla.
Empiecen con capacidad 0.
VARIANTES
Puede proponer a los alumnos los siguientes problemas:
1.
2.
Si la varilla que sostienen Pedro y Juan, como en la actividad 1,
mide 2 m de largo, y el cuadrado sobre el que caminan mide 5 m
de lado, calculen el área y el perímetro de la figura que se forma
en el cuadrado.
En el caso del problema 3 ¿qué describirá el punto medio si la
varilla mide 10 cm.?
EXPERIMENTOS
Tema 17: Tablas y gráficas de variación.
Funciones
Grafiquen los valores obtenidos.
Pida a los alumnos
siguientes preguntas:
que
contesten
las
a) ¿Qué tipo de relación existe entre h y c?
b) ¿Cómo es la gráfica que se obtuvo?
Familiarizarse con diversos medios de expresión
matemática: la escritura simbólica, las tablas y
las gráficas, y utilizarlos en la solución de
problemas.
c) ¿Cuál es la relación matemática entre h y
c?
Contenidos Por equipo:
Un recipiente cilíndrico transparente (es
importante que sea exactamente un cilindro
recto). Le llamaremos recipiente 1.
Un recipiente que tenga aproximadamente una
quinta o sexta parte del volumen del recipiente 1
y cuya capacidad se conozca (250 ml, 200 ml,
100 ml, etcétera.). Le llamaremos recipiente 2.
Un envase de leche (de cartón).
Un clavo grueso.
Una regla graduada.
Agua (puede ser sustituida por arena cernida o
sal refinada).
Es necesario hacer notar que probablemente
habrá errores de medición en las alturas que
se vayan obteniendo. Mientras los alumnos
trabajan es importante que usted supervise;
en caso de que note errores (los podrá
vislumbrar si observa que los datos que
anotaron en la tabla no van en proporción
directa), pídales que realicen nuevamente la
medición, recordándoles que la lectura de la
regla debe hacerse siempre desde la misma
posición (para evitar lo que se llama error de
paralaje) y que el recipiente 2 debe llenarse
siempre con el mismo criterio.
Propósito
1. Organice al grupo en equipos y dé las
instrucciones para llevar a cabo los
siguientes experimentos.
79
Como los alumnos tienen ya algunas
experiencias con proporcionalidad se espera
que su respuesta a la pregunta a) sea
precisamente que entre h y c hay una relación
de proporción directa, sin embargo, son
válidas respuestas como: cuando c se duplica
h también se duplica, o bien, c aumenta
siempre en la misma cantidad y h también se
comporta igual, o algunas similares.
La respuesta a la pregunta b) es: una línea
recta que pasa por el origen. Puede
aprovechar esta situación para recordar a sus
alumnos que la gráfica de una relación de
proporcionalidad directa siempre da lugar a
una línea recta que pasa por el origen.
La respuesta a la pregunta c) es, quizás, la
más compleja, pues el alumno debe pasar de
la tabla y la gráfica a la expresión algebraica.
Además, como cada equipo ha llevado un
recipiente de diferente capacidad (es decir,
tienen valores diferentes para c y por
consiguiente para h) la discusión de la
respuesta a esta pregunta dará lugar a
interesantes comentarios dentro de la clase.
•
Llenen el envase de leche con agua (o
arena cernida o sal refinada) tapando el
orificio hecho.
•
Dejen que el agua salga por el orificio y
midan el tiempo (t) necesario para que el
recipiente se vacíe.
•
Con el mismo clavo hagan otro orificio.
Vuelvan a llenar el envase (a la misma
altura que en el paso 2) y midan el tiempo
que tarda en vaciarse el recipiente por los
dos orificios.
•
Repitan el experimento haciendo que el
envase se vacíe por tres, cuatro y cinco
orificios respectivamente.
Con los datos obtenidos llenen la siguiente
tabla, donde A es el área total por donde
escurre el agua, a es el área de cada orificio y
t es el tiempo (en segundos) que tarda en
vaciarse el envase.
Supongamos que un equipo tiene en su tabla
los siguientes datos:
Hagan la gráfica correspondiente:
Para ayudar a encontrar la expresión
algebraica, podrá sugerir a los alumnos que,
por ejemplo, dividan c/h (excepto en h = 0) y
observen qué sucede. La expresión algebraica
podrá ser dada como: c/h = 250 , c = 250 h,
o bien h = c / 250.
Con base en
contesten:
La discusión a nivel grupal sobre el trabajo
hecho en cada equipo será conveniente para
establecer las conclusiones generales.
a)
y t?
¿Qué tipo de relación existe entre A
b)
¿Qué tipo de gráfica se obtiene?
lo
observado
y
registrado,
2. Organizados en equipos, proponga a sus
alumnos la siguiente actividad.
c)
¿Cuánto tardaría el contenido en
vaciarse para 4.5 a?
•
d)
¿Cuál es la expresión matemática
que relaciona A con t?
80
Hagan un orificio con el clavo (de dentro
hacia fuera) en la base del envase de
leche.
Las consideraciones para la supervisión y
detección de errores son las mismas que para
la actividad 1; en este caso, el error puede
estar en la medición del tiempo, lo que
dependerá de la persona que la haga (se
recomienda que sea siempre el mismo alumno
en cada equipo). Usted notará que en esta
actividad se obtiene un ejemplo de proporción
inversa, por lo que la gráfica corresponde a
una rama de una hipérbola. Lógicamente los
alumnos no sabrán el nombre y lo más
probable es que la llamen simplemente curva
(usted puede introducir el término hipérbola, y
sus
características,
si
lo
consideran
pertinente).
La respuesta a la pregunta c) es un repaso de
la interpolación gráfica que los alumnos ya
estudiaron en el tema 11. Finalmente, en la
respuesta a la pregunta d), los alumnos
tratarán
de
encontrar
una
expresión
algebraica que relacione A con t. Podrá sugerir
a los alumnos que observen los productos At
para cada caso. Cuando los equipos hayan
terminado se llevará a cabo una discusión en
el grupo para establecer conclusiones sobre la
variación proporcional directa e inversa.
VARIANTES
Pueden planearse otros experimentos en los que se aprecie si existe o
no proporción, y si es inversa o directa. Por ejemplo:
1.
2.
¿Qué sucede si se vacía un envase a través de un círculo al cual
se va aumentando la medida del radio?
¿Qué sucedería en la actividad 1 si en vez de un cilindro recto se
emplea un cono recto invertido?
JUEGOS CON DADOS
En seis tarjetas, escriban los polinomios:
Volteen las tarjetas y numérenlas al azar del 1
al 6.
Con tres dados y estas tarjetas, puestas con
el número hacia arriba, realizarán el siguiente
juego.
Por turno cada alumno:
a) Lanza un dado y, según el número que
marque, toma la tarjeta correspondiente y
la voltea para ver el polinomio que le tocó.
b) Después lanza los tres dados al mismo
tiempo y elige cual número (de los que
marcan los dados) será el valor de a, cuál
de b y cuál de c.
c) Con estos valores evalúa el polinomio que
tiene en la tarjeta, cuyo resultado serán
los puntos que se anotará en la jugada. Se
sugiere llevar la anotación de puntos en
una hoja con dos columnas, cada una
encabezada con el nombre del alumno
correspondiente.
d) Ganará el juego quien después de 10
tiradas haya acumulado más puntos.
Tema 18: Polinomios en una variable
Propósito
Familiarizarse con los diversos medios de
expresión matemática: la escritura simbólica, las
tablas y las gráficas, y utilizarlos en la solución
de problemas.
Contenido
Evaluación de un polinomio para valores dados
de la variable. Construcción de una tabla de
valores de un polinomio (uso de la calculadora).
Primeras operaciones con polinomios.
Material Tres dados, 12 tarjetas (seis para la actividad 1
y seis para la actividad 2), papel, lápiz y
calculadora (opcional).
1. Organice al grupo en parejas y pídales que
hagan el siguiente material:
Mientras juegan las parejas observe la
actividad. En caso necesario reafirme lo que
significa evaluar el polinomio. Promueva
preferentemente el cálculo mental, pero si el
alumno lo desea podrá hacer uso de lápiz y
papel o, inclusive, calculadora. Es probable
que al inicio algunos alumnos elijan sin pensar
los valores de a, b, y c. por ejemplo:
Un alumno obtiene en los dados 1, 2 y 4,
respectivamente, y tiene que evaluar el
polinomio de la tarjeta 5. Elige: a = 1
b=2
c=4
81
Entonces obtiene:
d) El resultado serán los puntos que se anote
a su favor.
e) Gana el juego quien después de 10 tiradas
haya acumulado más puntos.
¡Con lo cual obtendría un puntaje negativo!
Sin embargo, después de algunas tiradas, se
darán cuenta de que conviene detenerse un
poco a elegir los valores que los hagan
obtener el mayor puntaje posible. Para el
ejemplo antes citado, al alumno le convendría
tomar el 4 como el valor de a.
Este juego permite desarrollar el cálculo
mental, las operaciones con enteros y la
evaluación de polinomios.
2. Pida a los alumnos que preparen el
siguiente material con las otras seis
tarjetas:
En seis tarjetas escriban los polinomios:
Volteen las tarjetas y numérenlas al azar del 1
al 6.
Con los tres dados y este juego de tarjetas,
colocadas con el dígito hacia arriba, los
alumnos realizarán el siguiente juego.
Al igual que en la actividad anterior, supervise
el trabajo de las parejas y, en caso necesario,
disipe dudas sobre la suma y evaluación de
polinomios. Los alumnos podrán usar papel y
lápiz, o bien calculadora, para hacer sus
operaciones.
Este juego permitirá a los alumnos reafirmar
la suma y evaluación de polinomios, el cálculo
mental y el uso de la calculadora.
3. Organice a los alumnos en parejas y
explíqueles que van a realizar el mismo
juego de la actividad 1 pero con dos
variantes:
a) En vez de usar tres dados del mismo color
para los valores de a, b y c, ahora usarán
dos dados de un cierto color y uno blanco.
Los valores que marquen los dados de
color serán considerados como números
negativos.
b) En vez de que gane el que acumule más
puntos, ahora ganará el que al final tenga
el número menor; este número puede ser
un número negativo.
Se pretende que los alumnos evalúen
polinomios con valores negativos para las
variables y que además observen cómo se
comportan los números negativos al elevar al
cubo, al cuadrado, al multiplicar dos números
negativos, etcétera, y de esta manera
encuentren estrategias que les permitan ganar
el juego.
VARIANTES
Por turno, cada alumno:
a) Lanza los tres dados y de los tres números
indicados elige uno para que sea el valor
de a.
b) Los
dos
números
restantes
corresponderán a dos tarjetas que tomará.
Sumará
los
dos
polinomios
correspondientes.
c) Una vez sumados los polinomios evaluará
el polinomio resultante para el valor de a
que eligió.
82
1.
2.
Los polinomios escritos en las tarjetas pueden variar en
complejidad. Usted podrá decidir aquellos que considere
pertinentes para trabajar con sus alumnos.
una variante para la actividad 2 podría ser que la operación sea
una multiplicación, cambiando las tarjetas por otras con los
polinomios convenientes. Por ejemplo:
Para que los alumnos multipliquen las expresiones entre sí y evalúen el
producto.
TERCER GRADO
LOS CLAVOS Y LAS ÁREAS
Tema 1: Proporcionalidad y funciones
lineales
Propósito
clavos en el perímetro. No todos tienen igual
área.
Segunda parte:
Con las mismas condiciones a) y b), formen
en el geoplano polígonos con el número de
clavos indicado por x en la tabla.
Utilizar constantemente los diversos medios de
expresión matemática (lenguaje algebraico,
tablas y gráficas) en el planteamiento y solución
de problemas muy diversos y, en casos sencillos,
desarrollar criterios para pasar de unos a otros.
Contenido Ejemplos de variación lineal. Uso de una tabla y
una gráfica para explorar si dos cantidades
varían linealmente. En casos sencillos, paso de
una tabla o gráfica y la expresión algebraica de
una función.
Material
Un geoplano y ligas por cada alumno.
X = número de clavos en el perímetro.
1. Organice al grupo en equipos de cuatro
alumnos y propóngales que realicen la
primera parte de la siguiente actividad.
Una vez que se haya discutido en grupo
esta primera parte, lleve a cabo (con los
mismos equipos) la segunda.
y = área del polígono resultante.
Polígonos con un clavo en el interior
Una vez que hayan completado la tabla,
planteen y respondan lo siguiente:
Primera parte:
•
Formen en el geoplano polígonos que cumplan
con estas condiciones:
¿Se reconoce algún patrón en la forma de
variación de y cuando varía x?
•
a) El polígono debe tener en su interior un
clavo.
Localicen en un plano cartesiano
puntos de la tabla anterior.
•
¿Son colineales estos puntos?
b) La liga no debe cruzarse consigo misma.
•
Construyan una expresión algebraica que
relacione y con x.
Cuando la mayoría de los equipos termine,
pida que, por cada polígono construido,
calculen el área* y cuenten el número de
clavos que hay en el perímetro. Anote los
datos en el pizarrón y destaque lo siguiente:
Todos los polígonos tienen un clavo en el
interior. No todos tienen el mismo número de
Los alumnos, al haberlo explorado en
geoplano, se darán cuenta de que a
determinado número de clavos en
perímetro le corresponde una cierta área.
tabla, ya completa, debe quedar así:
los
su
un
el
La
Polígonos con un clavo en el interior.
*
Se recomienda que, antes de llevar a cabo las
actividades propuestas en esta ficha, los alumnos, si
no lo han hecho, trabajen con el cálculo de áreas en el
geoplano.
83
Localizando estos puntos:
Si los alumnos han tabulado y graficado
correctamente, observarán que los puntos son
colineales (éste es un buen momento para
repasar o explicar en qué consiste la
colinealidad de puntos). Aproveche para
mencionar que la relación entre x y y en este
problema es una relación lineal.
Finalmente promueva el análisis de la tabla y
de la gráfica para que sean los alumnos
quienes encuentren la expresión que relaciona
ambas variables. Es probable que lleguen a
alguna de las siguientes ecuaciones:
Es posible que algunos alumnos lleguen a
expresiones que son válidas sólo para alguna
pareja. En este caso propicie que los alumnos
se den cuenta de que la expresión debe ser
válida para todas las parejas.
2. En esta actividad se propone llevar a cabo
un análisis semejante al de la actividad 1
pero cambiando una de las condiciones del
problema. Plantéelo así:
La tabla correspondiente será ahora:
Polígonos con dos clavos
En su interior.
Analizando la tabla, y comparándola con la
anterior, se espera que los alumnos noten que
para cada valor de x el valor de y es uno más
que en la tabla anterior, por lo que las
expresiones correctas a las que pueden llegar
los alumnos son:
Al localizar los puntos notarán que son
colineales, por lo que podrá concluirse que la
relación entre x y y es lineal.
VARIANTE
Si se quiere profundizar más en este problema, puede analizar con el
grupo qué sucede si se pide que dentro del polígono queden 3 clavos, 4
clavos… o ningún clavo, y llegar a la generalización buscando la
expresión para calcular el área con n clavos dentro. Esta expresión
corresponde al teorema de Pick, según el cual el área de un polígono en
el geoplano es igual a:
número de clavos que toca la liga + número de clavos en el interior -1
2
El polígono debe tener en su interior dos
clavos. Hagan lo mismo que se propone para
la actividad 1 segunda parte (la tabla y gráfica
correspondientes, etcétera), agregando la
siguiente pregunta:
•
84
¿Es lineal la relación? ¿Por qué?
Podrá observar que la fórmula de Pick es una función de dos variables,
sin embargo, en cada una de las actividades propuestas en esta ficha,
una de las variables se considera constante (el número de clavos en el
interior).
FÓRMULAS
representa el número de lados de un polígono
regular.
Tema 2: Ecuaciones y problemas
Propósito Despejar literales en diferentes tipos de fórmulas.
Relacionar una fórmula con la tabla de datos que
genera y con su gráfica.
Contenido Actividades sencillas de despeje de literales; por
ejemplo: despejar y de xy = c; despejar x de
xy - 1 = 1, etcétera.
Material
Hojas de papel milimétrico.
1. Señale que los siguientes problemas se
van a resolver en equipos de tres o cuatro
integrantes.
a) El perímetro de un cuadrado mide 6 m,
¿cuánto mide un lado del cuadrado?
b) Escriban la expresión algebraica que
relaciona el valor de un lado del cuadrado
con el valor del perímetro.
c) Una vez que hayan escrito la expresión,
propongan al menos 10 valores para el
perímetro: calculen el valor de un lado y
registren los resultados en una tabla como
la que se muestra.
d) Con los valores obtenidos construyan una
gráfica en el plano cartesiano, en cuyo eje
vertical anoten los valores de un lado del
cuadrado y en el eje horizontal los valores
del perímetro. ¿Qué pueden decir de la
gráfica? ¿Qué tipo de relación representa
la gráfica?
2. Organice a los alumnos en equipos y
proponga las siguientes actividades:
Las expresiones °F = 1.8 °C + 32, o bien, °F
= (9/5) °C + 32, permiten calcular la
temperatura en grados Fahrenheit si se
conoce la temperatura en grados centígrados.
a) De las dos expresiones, elijan la que
deseen y propongan al menos 10 valores
distintos para los grados centígrados y, a
partir de ellos, determinen los valores en
grados Fahrenheit.
En cada caso registren los resultados en
una tabla. Tomando en cuenta los datos
obtenidos, ¿cómo creen que será la
gráfica?
¿Qué
tipo
de
relación
representaría? Para verificar sus hipótesis
construyan una gráfica.
b) Escriban la expresión algebraica que
permita obtener los grados centígrados en
función de los grados Fahrenheit. Después
propongan al menos 10 valores distintos
para los grados Fahrenheit y determinen,
a partir de ellos, su equivalencia en grados
centígrados. En cada caso registren los
resultados en una tabla. Si con los datos
obtenidos trazan la gráfica, ¿cómo creen
que
será?
¿Qué
tipo
de
relación
representaría? Para verificar sus hipótesis,
construyan la gráfica.
e) Realicen las actividades de los incisos a),
b), c) y d) considerando polígonos
regulares de 5, 6, 7, 8, 9… lados. ¿Qué
observan?
Las actividades que se pide realizar en el
inciso a) pretender llevar a los alumnos a que
identifiquen que la relación corresponde a una
función lineal. Si ningún equipo eligió la
expresión que incluya 9/5, usted puede
proponer que la usen para verificar que en
ambos casos se obtienen los mismos
resultados.
Las actividades propuestas en los incisos d) y
e) llevarán a los alumnos a observar que la
relación que se establece es proporcional.
Aproveche el momento para recordar las
propiedades de este tipo de relación.
Una vez que los alumnos elaboren las gráficas
correspondientes,
es
conveniente
que
expongan sus trabajos ante el grupo, de
manera que observen la equivalencia de las
expresiones algebraicas.
Las actividades del inciso e) permitirán a los
alumnos observar que la expresión I = P/k es
siempre una relación proporcional, donde k
Puede resultar de interés que proponga a los
alumnos que encuentren semejanzas o
diferencias entre las gráficas obtenidas en la
85
actividad 1 y las gráficas que se obtienen en
esta actividad.
Al realizar las actividades del inciso b) quizá
algunos alumnos que hayan elegido la
expresión °F = (9/5) °C + 32 obtengan una
expresión incorrecta cuando la despejen; por
ejemplo:
°C = (5°F – 32)
9
En estos casos conviene comparar las
expresiones incorrectas, y sus resultados, con
diferentes expresiones para que los alumnos
descubran los errores.
Una vez que los alumnos hayan despejado
adecuadamente, podrán proponer valores en
grados Fahrenheit y obtener su equivalencia
en grados centígrados, por lo que sin
dificultades elaborarán la tabla y la gráfica
correspondientes.
Es conveniente que los alumnos esbocen la
gráfica que piensan obtener antes de marcar
los puntos. Esto le permitirá a usted observar
la comprensión que tienen de la relación entre
expresión algebraica, la tabla de datos que
genera y su gráfica.
Las actividades y las preguntas propuestas en
los incisos b) y c), requieren el uso de la
calculadora para simplificar los cálculos, así
como el trazo adecuado de la gráfica. Si la
gráfica se ve como una poligonal, puede
solicitar a los alumnos que obtengan más
puntos, así observarán que la gráfica es una
curva continua.
Para responder a la última pregunta los
alumnos tendrán que recordar las propiedades
de la proporcionalidad inversa. Si hay
dificultades puede plantear actividades como
las siguientes:
•
Elaboren una nueva tabla y coloquen en
ella, de menor a mayor, los valores
propuestos para la base del triángulo.
•
Analicen los datos. ¿Cómo varían?
•
Comparen los productos que se obtienen
al multiplicar el valor de la base por la
altura. ¿Qué observan?
•
Lo anterior ayudará a los alumnos a
establecer que se trata de una variación
inversamente proporcional.
Si lo considera conveniente, puede proponer
que realicen las actividades planteadas en los
incisos b) y c) utilizando las expresiones que
permiten calcular el área de un rombo, un
rectángulo y un trapecio (en este caso se
requiere fijar la base menor o la base mayor).
3. Organice a los alumnos en parejas y
proponga el siguiente problema.
a) Consideren que conocen el área de un
triángulo y la base del mismo. Escriban la
expresión algebraica que les permita
conocer la altura del triángulo.
b) Para un triángulo de 20 cm.² de área,
propongan al menos 15 valores distintos
para la base y calculen la altura. En cada
caso registren los resultados en una tabla.
c) Si con los datos obtenidos construyen una
gráfica, ¿cómo creen que será? ¿Qué tipo
de relación representaría? Para verificar
sus hipótesis, constrúyanla.
Cuando la mayoría de los alumnos termine la
actividad a), puede solicitar que algunos
expliquen cómo procedieron, de manera que
esto ayude a corregir sus errores a aquellos
que se equivocaron.
86
VARIANTES
La expresión °K = °C + 273 permite conocer la temperatura en grados
Kelvin a partir de valores en grados centígrados.
1.
2.
3.
¿Cómo será la gráfica de la expresión °K = °C + 273 (propongan al
menos 10 valores para los grados centígrados y calculen los
valores en grados Kelvin)? ¿Qué tipo de relación representa la
gráfica?
Escriban la expresión algebraica que permite conocer los grados
centígrados en función de los grados Kelvin.
¿Cómo será la gráfica de la expresión que permita conocer los
grados centígrados en función de los grados Kelvin? ¿Qué tipo de
relación representa la gráfica?
costo para 80 y 100 ejemplares
hacerse continuando la tabla:
LOS COSTOS CAMBIAN
puede
Tema 3: Regiones en el plano cartesiano y
gráficas de funciones
Propósito
Utilizar constantemente los diversos medios de
expresión matemática (lenguaje algebraico,
tablas y gráficas) en el planteamiento y solución
de problemas diversos y, en casos sencillos,
desarrollar criterios para pasar de unos a otros.
Contenido Ejercicios de graficación de funciones y su
aplicación en la solución de problemas. Estudios
de familias de la forma y = mx + b.
1. Organice al los alumnos en equipos de
cuatro
y
propóngales
la
siguiente
actividad:
El costo de impresión de un periódico escolar
depende del número de ejemplares.
Sin embargo, para 500 y 1 000 ejemplares los
alumnos tendrán que buscar otra estrategia
que no sea la de tabular, ya que resultaría
poco práctica. Se espera que, en equipo, los
alumnos descubran que si por cada 10
ejemplares el aumento es de $30, esto
significa que el costo de cada ejemplar es de
$3. Ahora bien, ¿por qué se marcan $50 para
los primeros 10 ejemplares? Porque hay un
costo inicial extra (gastos de producción del
original del cual se derivan las copias) de $20.
Lo que responde al inciso a) de la actividad.
Por lo tanto, para 500
ejemplares:
Más $20 de gasto
inicial:
De acuerdo con la siguiente tabla, donde n es
el número de ejemplares y C el costo en
pesos:
a) ¿Cuándo cuesta menos producir un
periódico: cuando se imprimen 10 o
cuando se imprimen 20? ¿Por qué?
b) Calculen el costo de impresión para 80,
100, 500, 1 000 y n ejemplares.
Y para 1 000
ejemplares:
$3x500=$1 500
$1 500+$20=$1 520
$3x1 000=$3 000
Más $20 de gasto
inicial:
$3 000+$20=$3 020
Para n:
$3 por n ejemplares =
3n
Más $20 de gasto
inicial:
3n+$20
c) Representen algebraica y gráficamente la
función que relaciona n con C.
d) ¿Qué
interpretación
tiene
en
problema la pendiente de la recta?
este
e) ¿Qué
interpretación
tiene
en
problema la ordenada al origen?
este
De hecho, el cálculo para n ejemplares ya
forma parte de la respuesta al inciso c): C =
3n + 20.
Cuya gráfica es:
Se dará tiempo suficiente para que los
equipos lleven a cabo las actividades
sugeridas
y
contesten
las
preguntas
planteadas. Mientras tanto supervise el
trabajo aclarando las dudas que surjan.
Como podrá notar, las respuestas al inciso b)
presuponen que el alumno debe encontrar el
patrón que genera la tabla. En este caso,
observará que por cada 10 ejemplares el
aumento es de $30, por tanto, calcular el
Para los incisos d) y e) es probable que usted
tenga que intervenir recordando o dando a
conocer lo que es la pendiente y la ordenada
87
al origen y cómo, a partir de la ecuación
algebraica, pueden identificarse. En este
problema los alumnos notarán, por un lado,
que la pendiente es el costo de cada ejemplar
y, por otro, que la ordenada al origen
representa el gasto inicial de producción. Es
importante aclarar que todo el análisis
anterior no debe ser explicado por usted
(excepto para introducir nuevos términos
como pendiente y ordenada al origen), sino
que debe ser constituido por los alumnos con
auxilio de su asesoría.
2. Organizados nuevamente en equipos de
cuatro o cinco alumnos, y recordando lo
que en la gráfica de la función C = 3n +
20 representa la pendiente (3) y la
ordenada al origen (20), plantee las
siguientes actividades.
a) Encuentren la expresión algebraica y
grafiquen, en un mismo plano cartesiano,
las funciones que representa la siguiente
situación: Si se mantienen $20 como costo
inicial de producción pero ahora varía el
costo por ejemplar: $1, $2, $4, $5, y $6.
¿qué tienen en común y en qué son
diferentes las gráficas construidas?
b) Encuentren la expresión algebraica y
grafiquen, en un mismo plano cartesiano,
las funciones que representa la siguiente
situación: Si se mantiene fijo el costo de
$3 por ejemplar, pero varía el costo
inicial: $5, $10, $15, $25 y $30, ¿en qué
se parecen y en qué son diferentes las
gráficas construidas?
Los alumnos, al graficar (dependiendo de las
escalas que hayan elegido, encontrarán
gráficas como las siguientes:
Para el problema a), las rectas obtenidas son
concurrentes. Tienen en común la ordenada al
origen (20) y varía su pendiente (inclinación):
Aproveche la ocasión para mencionar a sus
alumnos que, en el primer caso, tiene una
familia de rectas que pasan por un mismo
punto y, en el segundo caso, se trata de una
familia de rectas que tienen la misma
pendiente. Una recta está determinada por
dos valores (en este caso se habla de la
pendiente y la ordenada al origen), cuando
uno de esos valores varía mientras el otro se
mantiene constante se dice que se tiene una
familia de rectas.
VARIANTE
Muchas situaciones cotidianas pueden ser aprovechadas para estudiar,
con este mismo tratamiento, funciones de la forma y = mx + b. Por
ejemplo:
a)
Costo por el uso del teléfono:
Costo = Precio de cada llamada x Número de llamadas + Renta fija.
b)
Costo del servicio de taxi en la ciudad de México:
Costo = Precio por kilómetro x Kilómetros recorridos + Banderazo.
Costo = Precio por minuto x Número de minutos + Banderazo.
LA VELOCIDAD Y LAS MATEMÁTICAS
Tema 4: Ecuaciones y problemas
(continuación)
Propósito
Platicar los procedimientos algebraicos para
resolver ecuaciones lineales, sistemas de
ecuaciones 2 x 2 y ecuaciones cuadráticas.
Aplicar los productos notables para factorizar
polinomios de segundo grado.
Contenido Planteamiento de problemas que conducen a un
sistema 2 x 2 de ecuaciones lineales
simultáneas: su solución por el método de
sustitución.
1. Organice a los alumnos en equipos de
cuatro y plantee el siguiente problema:
Para el problema b), las rectas obtenidas
tienen todas la misma pendiente (3); es decir,
son paralelas y varía su ordenada al origen:
88
Dos muchachos se dirigen uno hacia el otro
separados por una distancia de 50 m: uno
corriendo y otro caminando. El que va
corriendo lo hace a una velocidad constante
de 2.5 m/s y el que va caminando lleva una
velocidad de 1 m/s. ¿Cuántos metros habrá
recorrido el compañero que va caminando
cuando se encuentre con el que va corriendo?
Se sugiere que, antes de resolver el problema,
hagan una estimación del resultado esperado.
A continuación deje que los alumnos busquen
un procedimiento para resolverlo.
Es probable que algunos alumnos intenten
hacer un diagrama en el que se aprecie lo que
cada persona avanza en cada segundo. Por
ejemplo:
En el primer segundo:
Con esta tabla podrán observar que cuando el
que va caminando lleva 14 metros, el que va
corriendo ha recorrido 35 metros, lo que
representa 49 metros; es decir. Los
muchachos están a un metro de distancia y,
por tanto, se encontrarán poco después.
Como puede apreciarse, este método no
permite encontrar la solución exacta, sólo una
buena aproximación.
Un procedimiento menos laborioso es el que
surge al plantearse la siguiente pregunta. En
un segundo ambos compañeros avanzan 2.5
m + 1m = 3.5 m, por tanto, ¿en cuánto
tiempo cubrirán los 50 metros? De donde
surge la operación:
En el segundo número 2:
En el segundo número 3:
50 m ÷ 3.5 m = 14 2 s
S
Y así sucesivamente hasta
diagrama como el siguiente:
obtener
un
Con ello se darán cuenta de que el muchacho
que va caminando habrá recorrido poco más
de 14 metros.
Otros equipos posiblemente elaboren una
tabla para registrar lo que cada uno avanza en
cada segundo y busquen aquel segundo en el
que los recorridos de ambos sumen o se
aproximen a 50 metros.
7
En 14 2/7 segundos uno de los compañeros
avanza 14 2/7 metros, mientras el otro
compañero avanza 35 5/7 metros.
Este mismo procedimiento puede realizarse
apoyándose en la fórmula para calcular la
velocidad constante: v = d/t. Como se conoce
la velocidad (3.5 m/s de ambos compañeros)
y la distancia que deben cubrir (50 m), hay
que despejar el tiempo:
T = d = 50 m = 14 2 s
v
3.5 m/s
7
Otra forma de encontrar el resultado es
haciendo el siguiente planteamiento que hace
uso de la fórmula:
v=d
t
Tenemos que:
89
V
corriendo
el otro compañero, quien habrá recorrido 35
5/7 metros.
= 2.5 m
s
V
caminando
VARIANTES
= 1m
Existen muchos problemas relacionados con la verdad que dan lugar a
sistemas de ecuaciones. Pueden trabajarse en equipo o con todo el
grupo.
s
Si llamamos x a la distancia que ha recorrido
el que va caminando y y a la distancia que ha
recorrido el que va corriendo:
Sustituyendo, en la fórmula v = d/t, las
velocidades y las variables x y y, tenemos:
1.
2.
Dos personas se dirigen de un pueblo a otro, entre los cuales hay
una distancia de 40 km. Una de ellas va a 2 km por hora más
rápido que la otra y llega una hora antes. Calculen la velocidad y el
tiempo que cada una de las personas invierte en su recorrido.
Durante un sismo las ondas primaria y secundaria viajan a una
velocidad de 8 km/s y 4.8 km/s, respectivamente. Si a una estación
sísmica la onda primaria llegó 15 segundos antes que la
secundaria, ¿a qué distancia se encontraba el epicentro del
temblor?
TRIÁNGULOS CON PALILLOS
Tema 5: Triángulos y cuadriláteros
2.5 = y
T
Propósito Practicar el razonamiento deductivo en situaciones
extraídas de la geometría y de otras partes de
las matemáticas.
1=x
1
Despejando t en ambas:
Contenido
Aplicaciones del estudio de las propiedades de
los triángulos.
Material
Una caja de palillos, un pliego de papel bond y
tres dados (por equipo).
t= y
1. Organice al grupo en equipos de cuatro
personas
y
proponga
la
siguiente
actividad:
2.5
t= x
1
Y como el instante (t) en que se encuentran
es el mismo, entonces podemos igualar: y =
x, es
25
1
¿Cuántos triángulos diferentes se pueden
construir con un mismo número entero de
palillos? Para saberlo, van a construir
triángulos y a llenar la siguiente tabla. Los
palillos serán usados en el perímetro, todos a
la vez.
decir, y = 2.5 x
Con lo que obtenemos una relación entre x y
y. la otra ecuación es la que marca la suma de
las distancias que recorrieron ambos: x + y =
50. Resolviendo el sistema tenemos:
X = 14 2 m
7
Que es la distancia que ha recorrido el que va
caminando en el momento de encontrarse con
90
Los alumnos empezarán a explorar la forma
de construir triángulos usando palillos.
Notarán que con uno o dos palillos, por
ejemplo, es imposible formar un triángulo, y
que con tres palillos se puede formar sólo un
triángulo:
Mientras que con 11 palillos pueden formarse
cuatro triángulos diferentes.
Después de un tiempo suficiente, los
representantes de algunos equipos pasarán al
frente a mostrar sus resultados (pueden hacer
sus tablas en pliegos de papel bond y pegarlas
en el pizarrón). Una vez que se tengan varias
tablas, deben compararlas, y en aquellos
renglones donde haya resultados diferentes
los equipos implicados validarán su solución
ante el grupo.
Es probable que no todos los equipos
encuentren todos los triángulos que pueden
formarse con cierto número de palillos, pero
de manera grupal pueden formar y completar
llegando a formar una tabla como la siguiente:
2. Con objeto de practicar los trazos con
regla y compás pida a los alumnos que, de
manera individual, realicen la siguiente
actividad:
a) Escojan cinco triángulos de los que
formaron para llenar la tabla 1 y trácenlos
utilizando regla y compás (cambien la
unidad de medida: si un lado mide 5
palillos, trácenlo de 5 centímetros).
b) Traten de trazar cinco de los triángulos
que no se pudieron hacer en la actividad
1; demuestren que no existen triángulos
con esas medidas (con 10 palillos por
ejemplo, no existe un triángulo cuyos
lados midan 6-3-1).
3. Para reafirmar la conclusión a la que se
llegó en la actividad 1, se sugiere llevar a
cabo el siguiente juego en equipos de
cuatro o cinco alumnos.
a) Por turno cada alumno lanza los tres
dados.
b) Si con los números de los dados es posible
formar un triángulo, el jugador debe
sumarlos y anotar ese puntaje a su favor.
Si no es posible formar un triángulo, el
puntaje para es tirada es cero.
c) Gana quien haga más puntos en 10
tiradas.
Cuando haya discrepancia entre si es o no
posible formar un triángulo con los números
que indican los dados, invite a los alumnos a
que traten de construirlo utilizando regla y
compás o, en su defecto, con los palillos.
VARIANTE
Puede sugerir la siguiente actividad:
Además de la exploración de los diferentes
triángulos, lo importante de la actividad es
que los alumnos analicen cuándo es posible
formar triángulos y cuándo no. Haciendo
preguntas como: ¿por qué con 15 palillos no
pudieron formar un triángulo cuyos lados
midieran 8, 4 y 3?, se pretende que los
alumnos lleguen a enunciar (con sus propias
palabras) que la suma de las medidas de dos
lados cualesquiera de un triángulo debe ser
mayor que la medida del tercer lado, o bien
que la suma de las medidas de los dos lados
menores debe superar la medida del lado
mayor.
Clasifiquen los triángulos obtenidos en la actividad 1: por la medida de
sus lados y por el número de ejes de simetría.
91
RAÍZ CUADRADA
Tema 6: Raíz cuadrada y métodos de
aproximación
Propósito
Conocer la idea de aproximación a través del
cálculo de la raíz cuadrada.
Contenido Cálculo de la raíz cuadrada por diversos métodos.
Material
tengan como área el número cuya raíz
cuadrada se quiere calcular, y que estos
rectángulos se deben ir transformando
hasta que resulte un cuadrado o lo más
cercano a un cuadrado. Formule el
siguiente problema:
Calculadora.
1. Organice a los alumnos en parejas.
Explique que para llevar a cabo esta
actividad van a emplear la calculadora
pero sin utilizar la función raíz cuadrada.
Plantee el siguiente problema:
Las cantidades que aparecen en cada uno de
los siguientes cuadrados representan su área.
Calculen la medida de un lado de cada
cuadrado.
Calculen la medida de un lado del cuadrado
siguiente proponiendo rectángulos que tengan
igual área.
Es recomendable que los alumnos pongan a
consideración del grupo las estrategias que
utilizaron para obtener la base y la altura de
los rectángulos. Algunos equipos se darán
cuenta de que basta con proponer la base o la
altura y despejar cualquiera de ellas
empleando la fórmula: A = b x h.
Para calcular la medida del lado del cuadrado,
los alumnos pueden enfrentar algunas
dificultades que tienen que ver con la
siguiente pregunta:
Esta actividad presupone que los alumnos no
utilizarán algoritmos para calcular la raíz
cuadrada. El propósito es que traten de
estimar la medida del lado de cada cuadrado
y, con ayuda de la calculadora, prueben si la
estimación es correcta o no.
Es relativamente sencillo determinar el lado
del primer cuadrado, no así el segundo, cuya
medida sólo puede aproximarse. Ésta es
quizás la dificultad que enfrentarán los
alumnos, ya que tendrán que aplicar sus
conocimientos relacionados con los decimales
para aproximarse al valor de la raíz.
Algunos alumnos encontrarán que la raíz de
13 se encuentra entre:
2. Organizados en parejas, comente a
alumnos que van a calcular la
cuadrada con otro procedimiento
consiste en proponer rectángulos
92
los
raíz
que
que
¿Cómo
verificar
que
los
rectángulos
propuestos son cada vez más cuadrados?
Puede ayudar a los alumnos a clarificar la idea
anterior preguntando, por ejemplo: ¿Cómo
son las diferencias entre la base y la altura de
los rectángulos propuestos? ¿Cuándo se
parece más un rectángulo a un cuadrado?
Lo importante es que los alumnos observen
que cuando la diferencia es pequeña,
entonces el rectángulo se parece más a un
cuadrado. Una tabla como la que se muestra a
continuación puede ayudar a comprender
mejor lo dicho anteriormente.
A partir de esta información los alumnos
podrán observar que la raíz que se quiere
calcular está entre 4.35 y 4.36781.
Es posible que algunos alumnos utilicen la
función raíz cuadrada de la calculadora
(aunque la indicación haya sido la contraria).
Esta situación puede servir para sugerirles que
utilicen la información de la calculadora para ir
verificando que las medidas del largo y ancho
de los rectángulos propuestos se van
aproximando al valor de la raíz que se busca.
3. Indique a los alumnos que van a seguir
trabajando en parejas. Señale que van a
obtener la raíz cuadrada de un número
mediante un procedimiento propuesto por
los babilonios.
Observen la siguiente secuencia de
rectángulos:
Dada la secuencia mostrada anteriormente, en
un primer momento algunos alumnos pueden
expresar oralmente el procedimiento; otros
estudiantes pueden anotar expresiones como
las siguientes:
Y
así
sucesivamente.
En cada paso puede invitar a los alumnos a
que sustituyan los valores anteriores y
efectúen los cálculos para comprobar si la
expresión propuesta funciona o no.
VARIANTE
Puede sugerir la siguiente actividad:
Calculen la raíz cuadrada de 6 241 y de 71 utilizando dos
procedimientos distintos.
¿QUÉ TE CONVIENE?
En cada rectángulo se muestra cómo obtener
aproximadamente de la raíz cuadrada de 19.
Escriban una expresión algebraica para
calcular
cada
una
de
las
siguientes
aproximaciones de la raíz cuadrada de 19.
Para que los alumnos observen que la
secuencia permite obtener una aproximación
de la raíz de 19, puede pedirles que efectúen
los cálculos.
Tema 7: Presentación y tratamiento de la
información
Propósito
Conocer ejemplos de crecimiento exponencial o
geométrico. Comparar este modo de crecimiento
con el aritmético o lineal.
Contenido
Crecimiento exponencial o geométrico en
comparación con el crecimiento aritmético o
lineal. Ejemplos ilustrativos.
Calculadora.
1. Después de organizar al grupo en equipos
de tres o cuatro alumnos, plantee el
siguiente problema:
Imaginen que han ganado un premio y tienen
que elegir entre dos opciones: Recibir 1 000
pesos diarios durante 20 días, o bien, recibir 1
peso el primer día, 2 el segundo, 4 el tercero,
8 el cuarto y así sucesivamente hasta el día
número 20. ¿Qué conviene más? Justifiquen
su respuesta.
A partir de este hecho los alumnos tendrán
una cierta seguridad de que el procedimiento
funciona
y
podrán
obtener
otras
aproximaciones.
Deje que los alumnos discutan en su equipo
cuál es la mejor opción. Es muy común que
piensen que la propuesta de $1 000 diarios
93
conviene más, sin embargo, debe pedirles que
traten de comprobar su resultado.
Cuando la mayoría de
respuesta justificada,
alumnos expliquen su
grupo. Después, para
proponga que llenen
siguiente:
los equipos tenga una
pida que algunos
procedimiento ente el
visualizar la situación
una tabla como la
Así, para 20 días tenemos que recibe:
220-1 = 219 = 524 288,
y acumula: 220 – 1 = 1 048 575
Esta operación puede efectuarse fácilmente en
una calculadora científica (aproveche la
oportunidad
para
repasar
el
uso
de
exponentes en la calculadora). Por otro lado,
puede comentar con los alumnos que algunas
calculadoras no científicas permiten elevar a
cualquier potencia tecleando.
Donde n es el número que se quiere elevar a
una potencia. El signo igual se teclea las veces
que sea necesario.
Para el caso de la segunda opción es posible
que algunos alumnos noten que la suma
acumulada por día es, precisamente, una
unidad menos que la cantidad que se recibirá
al día siguiente. Por ejemplo, para el día 12, la
suma acumulada es $4 095, y la cantidad a
recibir el siguiente día (13) es $4 096, lo cual
facilitará el llenado de la tabla, ya que
calculando la columna de la cantidad recibida
pueden llenar la columna de la cantidad
acumulada.
Con su ayuda los alumnos podrán deducir una
fórmula que permite calcular la cantidad
acumulada para cada día. Notarán que lo que
se recibe el primer día es 2º, el segundo es
2¹, el tercero es 2², el cuarto es 2³, y así
sucesivamente. Esto se puede expresar en
una tabla como la siguiente:
Al comentar en grupo el ejercicio insistía en
que
los
alumnos
deben
observan
el
crecimiento de las cantidades en cada una de
las propuestas. Haga el comentario de que en
la primera opción el crecimiento es lineal o
aritmético, y en la segunda exponencial o
geométrico.
2. Continuando el trabajo en equipos, plantee
la siguiente situación:
La siguiente tabla muestra la población
aproximada (expresada en millones) de una
colonia de bacterias. El registro se ha hecho
cada hora.
De acuerdo con esta información:
a) ¿Cuántas bacterias habrá después de 8
horas? ¿Y después de 10?
b) ¿Cuántas bacterias habría una hora antes
de la primera observación?
c) Encuentren la función que les permita
calcular el número de bacterias para cada
hora.
94
Teniendo como antecedente la actividad 1, los
alumnos notarán que se trata de una función
que crece exponencialmente. La solución a la
pregunta a) la encontrarán fácilmente al
descubrir el patrón y continuar la tabla:
Lo mismo para la pregunta b):
Finalmente, para encontrar la respuesta al
punto c), requieren analizar cómo varía el
número de bacterias. Debe ser paciente y
permitir que sean los alumnos quienes, en
equipo o en grupo, lleguen a la expresión de
la función que se ha pedido. Podría ser que,
vinculándola con la actividad anterior, intuyan
que se trata de un número que se eleva a un
cierto exponente. Es probable que piensen
que es 6, pero fácilmente descubrirán que no
es así (el crecimiento sería 3, 36, 216…).
Probablemente, al ver que son múltiplos de 6,
noten que:
6 = 6; 12 = 6 x 2; 24 = 6 x 4; 48 = 6 x 8; 96
= 6 x 16; etcétera. Y que reconozcan a los
factores 2, 4, 8, 16… como potencias de 2. De
esta manera, encontrarán que la función
perdida es:
Y = 6 x 2n
Donde y es el número de bacterias y n la hora
(los alumnos podrían usar otras letras).
VARIANTE
1.
2.
Se sugiere que los alumnos grafiquen en un mismo plano las
funciones y = 2x, y = x2, y = 2x, para que noten sus
diferencias.
El interés compuesto es otro ejemplo de función exponencial
que pueden trabajar.
EL CÍRCULO
Tema 8: El círculo
Propósito
Practicar el razonamiento deductivo
situaciones extraídas de geometría.
Contenido
Ángulo inscrito en una circunferencia. Ejemplos
para ilustrar el lugar geométrico.
Material
Juego de geometría
1. Organice a los alumnos en parejas,
entrégueles un dibujo como el que
aparece enseguida y comente lo siguiente:
El dibujo que observan es el croquis de un
teatro. Las letras señalan algunos de los
asientos y las líneas punteadas el ángulo de
visión de los espectadores que ocupan esos
asientos.
¿Cuál de los espectadores (a, b, c, d, e, f)
tiene mayor ángulo de visión?
Seguramente los alumnos trazarán los
ángulos de visión de los espectadores y
algunos medirán con el transportador cada
uno de ellos. Otros alumnos utilizarán como
auxiliar una hoja y copiarán en ella uno de los
ángulos para superponerlo y compararlo con
los otros. En cualquier caso concluirán que los
ángulos de visión de cada uno de los
espectadores son congruentes.
Una situación que usted puede plantear es la
siguiente: ¿Qué sucede si el escenario
(círculo) es más grande o más pequeño? A
partir de los resultados que los alumnos
encuentren, puede utilizar el lenguaje propio
de la geometría para concluir que si los
ángulos inscritos en el mismo círculo (aquellos
que tienen su vértice en la circunferencia y
sus dos lados son cuerdas) abarcan el mismo
arco de circunferencia, entonces miden lo
mismo.
Una variante
siguiente:
que
puede
proponer
es
la
¿Qué sucede si el escenario (círculo) es más
grande o más pequeño? A partir de los
resultados que los alumnos encuentren, puede
95
en
utilizar el lenguaje propio de la geometría
para concluir que si los ángulos inscritos en el
mismo círculo (aquellos que tienen su vértice
en la circunferencia y sus dos lados son
cuerdas)
abarcan
el
mismo
arco
de
circunferencia, entonces miden lo mismo.
Una variante
siguiente:
que
puede
proponer
es
3. Organizados en parejas, indique a sus
alumnos que van a utilizar sus escuadras y
propóngales la siguiente situación:
Tracen un segmento de 8 cm. de longitud.
la
¿Cómo serán los ángulos de visión si un
espectador x observa dos escenarios en los
que la medida de los arcos que abarcan son
iguales?, como se ve en el dibujo siguiente:
Después tracen al menos 8 rectángulos
diferentes en los cuales una de sus diagonales
sea el segmento que trazaron.
a) ¿Qué figura geométrica forman los
vértices de todos los rectángulos que
trazaron?
b) ¿Por qué se forma la figura geométrica
que encontraron?
2. Nuevamente organizados en parejas,
proponga a los alumnos resolver la
siguiente situación:
Una persona se encuentra situada en el centro
del teatro (que tiene la misma forma que el de
la actividad 1). Localicen algún lugar del
teatro en el que otro espectador tenga la
mitad del ángulo de visión que la que se
encuentra en el centro.
Es conveniente que observe el trabajo de los
alumnos y, si es necesario, exponga las
explicaciones
pertinentes
para
que
comprendan
el
problema
y
utilicen
adecuadamente los instrumentos geométricos.
Cuando la mayoría de los alumnos haya
terminado, puede solicitar que algunos pasen
al pizarrón para que indiquen:
•
Cómo trazaron los rectángulos.
•
Qué figura geométrica se forma con los
vértices de los rectángulos.
•
Qué relación tiene el segmento original
con la circunferencia que se forma.
•
¿Cuánto mide un ángulo que tiene su
vértice en la circunferencia y abarca su
diámetro?
Los trazos de los alumnos serán similares a
los siguientes:
Seguramente los alumnos escogerán puntos al
azar y medirán cada ángulo para ver si
cumple con la condición que se ha solicitado.
Observarán que si los puntos elegidos se
encuentran cerca de la circunferencia, la
medida del ángulo se va acercando a la
medida del ángulo central, y que si el punto
elegido se encuentra sobre cualquier parte de
la circunferencia, entonces la medida del
ángulo cumple con la condición señalada.
96
expresión que resulta de eliminar el factor
que es común a todas las expresiones.
VARIANTES
Puede proponer actividades como las siguientes:
1.
Tracen un segmento que mida 8 cm. Llamen A a uno de los
extremos y B al otro, tracen 10 rectas que pasen por el punto A.
tracen líneas perpendiculares a cada una de las 10 recetas, las
cuales deben pasar por el punto B.
Se espera que los alumnos construyan, para
el inciso b), la siguiente tabla:
Si unen los vértices de los ángulos rectos que trazaron, ¿qué
figura geométrica formarán?
2.
Escriban los argumentos necesarios para mostrar que los ángulos
marcados en los polígonos regulares siguientes son todos
congruentes.
Tal vez el término x², por ser el único
monomio, no les parezca que deba ser
factorizado: la visión general de la tabla
puede ayudar a que se factorice. Una vez que
hayan construido la tabla 2, la construcción
que se pide en el inciso c) resultará algo
sencillo.
LA MAGIA DE LOS POLINOMIOS
Tema 9: Operaciones con polinomios de
una variable
Propósito
Utilizar adecuadamente diversos medios
expresión matemática: Lenguaje algebraico.
Contenido
Simplificación de términos semejantes.
Extracción de un factor común. Evaluación de
polinomios.
Material
Calculadora (opcional).
de
2. Indique que van a seguir trabajando en
equipos. A continuación recuérdeles qué
se entiende como un cuadrado mágico y
plantee la siguiente situación:
La tabla que se muestra es la que obtuvieron
a partir del inciso c) de la actividad 1.
1. Organice al grupo en equipos de tres o
cuatro alumnos y después plantee la
siguiente actividad:
Observen la tabla que se muestra. Si se
factorizan estas expresiones:
a) ¿Cuál es el factor común a todas las
expresiones?
b) Hagan en su cuaderno una tabla como la
anterior,
pero
en
ella
anoten
la
factorización de cada una de las
expresiones.
Deben
escribir
cada
expresión en el lugar que le corresponde
de acuerdo con la tabla anterior.
c) A partir de la tabla que elaboraron,
construyan otra en la que ahora anoten la
a) Comprueben que se trata de un cuadrado
mágico.
b) La tabla 1, ¿es un cuadrado mágico?
Compruébenlo.
c) ¿Qué relación existe entre la expresión
que se encuentra en la casilla central y la
suma de la tabla?
Las tablas 1 y 3 pueden ser consideradas
como cuadrados mágicos. La suma de la tabla
1 es 3x², y la de la tabla 3 es 3x. Se espera
que los alumnos descubran que la suma de las
tres expresiones que se encuentran dispuestas
diagonalmente así como la suma de las
expresiones que se encuentran en la misma
fila, horizontal o verticalmente, es triple de la
expresión colocada en el centro del cuadrado
mágico.
97
3. Aprovechando las propiedades de los
cuadrados mágicos, plantee la siguiente
actividad.
Consideren los cuadrados mágicos siguientes:
En este cuadrado mágico, el resultado de las
sumas es 9x² + 6x.
4. Organice a los alumnos en equipos e
indíqueles que realicen la siguiente
actividad:
Observen el siguiente cuadrado:
Construyan una tabla como las anteriores. En
cada espacio anoten las expresiones que se
obtengan de la suma de las casillas
respectivas de las tablas 4 y 5; por ejemplo:
Evalúen cada polinomio del cuadrado según
los valores que se indican para x:
(x² + 3) + (x² + 3) = x² + 4x + 3
x= 3, x = -2, x = 1
2
•
¿El cuadrado que resulta será mágico?
a) Comprueben que en cada caso se obtiene
un cuadrado mágico.
b) Asignen a x otros valores y comprueben
que se obtienen cuadrados mágicos.
Deja que los alumnos trabajen y descubran
qué es lo que sucede. Se espera que
construyan la siguiente tabla:
c) ¿Qué relación existe entre el número que
se encuentra en la casilla central y la
suma del cuadrado?
Dé tiempo suficiente para que cada alumno
opere con los polinomios y construya sus tres
tablas a partir de la tabla 8.
Al realizar las sumas en forma horizontal,
vertical y diagonal, el resultado será igual a
3x² + 3x, lo cual quiere decir que la tabla 6
también es un cuadrado mágico.
Usted
podrá
seguir
explotando
las
propiedades de los cuadrados mágicos para
lograr que sus alumnos operen con una gran
variedad de polinomios. Por ejemplo, puede
pedirles que multipliquen cada expresión de la
tabla 3 por el factor: (3x + 2), con lo que
obtendrán el siguiente cuadrado mágico.
98
Posteriormente los alumnos realizarán las
sumas necesarias para descubrir si se trata de
cuadrados mágicos o no.
Si lo cree conveniente, puede tomar
cualquiera de los cuadrados mágicos que se
hayan construido con expresiones algebraicas
y lleve a cabo la evaluación de los polinomios
asignando valores a x que los mismos
alumnos pueden proponer.
VARIANTES
Puede proponer alguna de las siguientes actividades:
1.
Escriban las expresiones algebraicas que faltan para obtener un
cuadrado que sea mágico.
2.
Anoten en los cuadros vacíos las expresiones que hacen falta para
que el cuadrado sea mágico.
3.
Comprueben que el siguiente cuadrado es mágico. Si multiplican
cada expresión del cuadrado por (x – 1), ¿se obtendrá un nuevo
cuadrado mágico? Efectúen la multiplicación y comprueben su
conjetura.
2. Organice por parejas a los alumnos y
propóngales la siguiente actividad:
Con ayuda de su material formen cuadrados
(a manera de rompecabezas) cuyos lados
sean los indicados, y calculen el área en cada
caso.
Cabe mencionar que una vez que se haya
construido un cuadrado, y calculado su área,
éste puede desbaratarse para construir otros.
CUADRADOS ALGEBRAICOS
Tema 10: Productos notables y
factorización
Propósito
Mientras los alumnos trabajan recorra el salón
y resuelva dudas. Deje que los alumnos
registren el área de cada cuadrado como
deseen. Es probable, por ejemplo que para el
primer inciso se obtengan resultados como:
Aplicar los productos notables en la factorización
de polinomios de segundo grado.
Contenido Productos notables: (x + a)² = x + 2ax + a²; (x – a)²
= x² - 2ax + a²
Material
Copias, para cada alumno, de los anexos B (p.
123) y C (p. 124).
1. Entregue a los alumnos la fotocopia (si no
es posible la fotocopia, puede pedirles que
tracen los cuadrados y rectángulos
indicándoles las medidas). Pídales que de
manera individual:
Calculen el área de cada figura y escriban el
resultado en el centro de cada una. Por
ejemplo:
Después recorten y peguen cada figura en
cartulina.
Hágales saber que el objetivo es preparar el
material que utilizarán en la siguiente
actividad. Una vez que hayan terminado,
invítelos a confrontar los resultados que
obtuvieron al calcular el área de cada figura.
Cuando lo considere pertinente pida la
confrontación de resultados de manera grupal.
Si surgen diferentes maneras de expresar sus
cálculos, éstos se analizarán para que los
alumnos observen que se trata de expresiones
equivalentes (reduciendo términos semejantes
y ordenando los términos).
Se pretende que sean los alumnos quienes
encuentren la siguiente regla, aunque no la
expliciten de la misma manera:
El cuadrado de un binomio es igual al
cuadrado del primer término más el doble del
primero por el segundo más el cuadrado del
segundo.
En este momento puede pedir a los alumnos
que exploren lo que sucede cuando, en vez de
ser x + 1, el valor del lado del cuadrado es x –
1 (haciendo la multiplicación x – 1 por x – 1).
99
Si es necesario
expresiones.
puede
probar
con
otras
3. Pida a los alumnos que hagan lo que se
indica
a
continuación
(de
manera
individual):
a) Piensen en un número del 1 al 10.
b) Súmenle 2.
El rango de 1 al 10 para pensar un número se
deja a criterio de usted. Si el número fuera
mayor, entonces puede permitir que los
alumnos utilicen calculadora; los números
incluso pueden ser negativos o racionales
(aunque con estos últimos los cálculos podrían
complicarse). También puede modificarse el
paso b) (sumando o restando otro número),
con lo cual deberá cambiarse, obviamente, el
paso d).
c) Eleven el resultado al cuadrado.
d) Réstenle cuatro veces el número que
pensaron
Pida a varios alumnos que digan el resultado
al que llegaron y adivine el número que
pensaron.
Proponga que, después de hacer la actividad
varias veces, se organicen en ternas y sigan la
siguiente instrucción:
Encuentren el truco que permite adivinar el
número.
¿Cómo hacerlo?
Llamemos x al número que piensa cada
alumno.
Si a ningún alumno se le ocurre, puede
sugerir que, como el número pensado no se
conoce, pueden expresarlo con una letra. Se
espera que con esta pista los alumnos harán
un análisis similar al descrito que les permitirá
saber por qué se puede adivinar el número
pensado.
Si el tiempo lo permite y lo juzga conveniente,
haga la siguiente sugerencia a los alumnos:
Inventen otras secuencias de Piensa un
número con las que se pueda adivinar el
número pensado.
4. Para seguir trabajando con el cuadrado de
un binomio se sugiere que los alumnos
hagan tarjetas para elaborar un dominó y
jugarlo en equipos de cuatro (fotocopia el
anexo B de este fichero).
VARIANTES
Entonces:
1.
2.
Para adivinar el número pensado bastará con
restar 4 al resultado y después extraer su raíz
cuadrada.
Las actividades 3 y 4 pueden ser realizadas para estudiar el
producto de dos binomios con un término común.
Se sugiere aprovechar los productos notables para actividades de
cálculo mental.
¿APROBAR EL EXAMEN SIN ESTUDIAR?
Tema 11: Problemas de probabilidad
Veamos un ejemplo numérico:
Propósito
Contenido
Material
Cuando un alumno diga que obtuvo 68, reste
4 a 68, cuyo resultado es 64, y extraiga su
raíz cuadrada: 8.
100
Aplicar la simulación para resolver problemas.
Solución por
probabilidad.
simulación
de
problemas
de
Una caja (urna) y cuatro canicas del mismo
material y tamaño: tres del mismo color
(blancas) y una de otro color (roja). Una hoja
que contenga números del 1 al 20 (en columna)
y debajo de cada número los incisos A, B, C y D;
los números designarán los reactivos y las letras
las opciones.
1. Comente que en la zona metropolitana del
Distrito Federal los alumnos deben
presentar un examen para ingresar a una
escuela del nivel medio superior, la cual es
asignada a cada alumno en función del
número de aciertos que obtienen en el
examen. Después de organizarlos en
equipos de tres o cuatro alumnos,
entrégueles la hoja numerada y plantee el
siguiente problema:
Para ser aceptado en la escuela que prefiere,
Juan necesita contestar correctamente 17
reactivos o más; para simplemente ser
aceptado, aunque sea en otra escuela,
necesita obtener al menos 10 aciertos; y si
contesta correctamente nueve reactivos o
menos, no podrá ingresar a ninguna escuela.
El examen que Juan resolverá consta de 20
reactivos; cada reactivo tiene cuatro opciones,
de las cuales sólo una es correcta.
Considerando que contestará todo el examen
al azar:
a) ¿Entrará Juan en la escuela que prefiere?
b) ¿Entrará aunque sea en otra escuela?
c) ¿Juan no ingresará a ninguna escuela?
Una estrategia que los alumnos pueden
utilizar es la siguiente: en cada reactivo
elegirán la opción que consideran correcta, y
después preguntarán a usted si las opciones
elegidas fueron acertadas o no. Otra manera
de investigar la suerte de Juan consiste en
simular la situación utilizando las canicas y la
urna. Si no se les ocurre la manera de utilizar
ese
material,
puede
dar
algunas
orientaciones; por ejemplo:
•
•
¿Cómo utilizarán las canicas y la caja para
conocer la suerte de Juan?
Si meten las cuatro canicas en la urna y
extraen al azar una de ellas, ¿a qué
conclusión podrían llegar si la canica es
blanca?, ¿y si la canica extraída es roja?
Con las preguntas anteriores, los alumnos
podrán concluir que el hecho de meter las
cuatro canicas y extraer una al azar es
equivalente a lo que Juan y ellos mismos
hicieron al contestar el examen, sólo que
ahora sabrán si la respuesta es correcta o no,
esto es, si sale una canica blanca la respuesta
será incorrecta, y si sale roja querrá decir que
acertaron.
Conviene que los alumnos realicen la
experiencia varias veces y registren en una
tabla, como la que se muestra a continuación,
los resultados obtenidos, de esta manera
observarán que, al contestar al azar un
examen de esa naturaleza, es muy probable
que Juan no entre a estudiar a ninguna de las
escuelas.
2. Organice a los alumnos en pareja y
comente que para resolver el siguiente
problema van a considerar que otro
alumno (Luis) ha presentado el examen
para ingresar a una escuela del Distrito
Federal.
Después de haber resuelto el examen, Luis
comentó que está seguro de haber contestado
acertadamente la mitad de los 20 reactivos,
aunque reconoció que la otra mitad la había
resuelto al azar. De acuerdo con lo anterior:
a) ¿Entrará Luis a la escuela que prefiere?
b) ¿Entrará aunque sea a otra escuela?
Después de haber realizado la primera
actividad, seguramente los alumnos pondrán
en juego el modelo de la urna para resolver el
problema. Es conveniente que sugiera a los
alumnos que anticipen una respuesta en torno
a la probabilidad que tiene Luis de ingresar a
la primera o la segunda opción, de manera
que confronten su pronóstico con los
resultados que obtengan.
Por otra parte, es conveniente que, en una
tabla similar a la realizada en la actividad 1,
con el control de los reactivos correctos e
incorrectos,
los
alumnos
registren
los
resultados que obtengan después de realizar
varias veces la experiencia. Los resultados
mostrarán que lo más probable es que Luis
quede ubicado en la segunda opción.
A manera de conclusión, los alumnos
seguramente observarán que lo mejor que
pueden hacer para aprobar un examen de
este tipo es estudiar mucho, ya que contestar
al azar incrementa en gran medida las
posibilidades de reprobar.
101
3. Organice al grupo en parejas y plantee el
siguiente problema:
Supongan que al contestar un examen de 10
reactivos, en el que cada reactivo tiene sólo
dos opciones, están seguros de haber
contestado bien cinco preguntas, mientras que
las otros cinco fueron resueltas al azar.
bbbbm
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben el
examen?
mbbbb
En esta situación, después de haber resuelto
las actividades 1 y 2, los alumnos se darán
cuenta de que el problema puede abordarse
por medio de la simulación con la urna y,
aunque en este caso sólo necesitarán una
canica de cada color, procederán de manera
similar. Como en las actividades 1 y 2, es
conveniente que los alumnos registren en una
tabla los resultados que obtengan después de
realizar en varias ocasiones la experiencia.
Es importante señalar que la probabilidad en
este caso estará expresada en término de la
probabilidad frecuencial, es decir:
Número de casos que al ser observados fueron
favorables
bbbmb
bbmbb
bmbbb
VARIANTES
Puede proponer a los alumnos los siguientes problemas:
1.
2.
Si un alumno no estudió y le dan a escoger entre resolver un
examen que consta de cinco reactivos, cada uno con dos
opciones, o resolver otro examen que consta de dos reactivos,
cada uno con cinco opciones, ¿qué examen le conviene resolver,
si suponemos que lo hará al azar? Fundamenten su respuesta.
La compañía Chocolates baratos tiene la siguiente promoción:
Una de cada cuatro envolturas de chocolate tiene grabada en su
interior una estrella: si juntas tres envolturas con estrella, puedes
canjearlas por una pluma, ¿Cuál es el menor número de
chocolates que hay que comprar para tener cierta seguridad de
reunir tres estrellas?
Total de observaciones
EL PANTÓGRAFO
Sin embargo,
obtengan la
clásico. Esto
supongan que
opciones cada
puede orientar a los alumnos para que
probabilidad en términos del modelo
se puede hacer si primero pide que
el examen tenía cinco reactivos, con dos
uno, y que fue contestado al azar.
Tema 12: Dibujo a escala y homotecias
Propósito
Utilizando un diagrama de árbol, los alumnos podrán
analizar diferentes casos.
Por ejemplo, la probabilidad de que los cinco reactivos
se contesten correctamente es 1/32, puesto que sólo
uno de los 32 caminos tiene cinco letras b.
La probabilidad de que tenga cuatro correctas y una
incorrecta es 5/32, porque se presentan cinco casos de
los 32:
Desarrollar la imaginación espacial al realizar
trazos a partir de homotecias y determinar
algunas propiedades de las mismas, por
ejemplo: paralelismo, congruencia de ángulos,
etcétera.
Contenido Estudio informal de las homotecias. Imagen bajo
una homotecia de un triángulo, un cuadrilátero o
un polígono.
Material
Pantógrafo. Se anexa un instructivo para
construir esta herramienta. Véase anexo C.*
1. Explique brevemente a los alumnos cómo
utilizar el pantógrafo. Después plantee la
siguiente situación, que realizarán en
parejas:
Tracen un triángulo equilátero de 3 cm. por
lado.
Con el pantógrafo, armado a escala 2 a 1,
tracen un segundo triángulo.
102
transportador, en tanto que otros podrán
aplicar sus conocimientos de la semejanza.
Para responder la pregunta d) también se
requiere precisión en la medición, por lo que
usted debe estar atento y observar cómo se
realiza. Las preguntas c) y d) pueden ser el
punto de partida para que dé a conocer a los
alumnos las propiedades básicas de la
homotecia.
a) ¿Cómo es el triángulo resultante
respecto al triángulo original?
con
b) ¿Cómo
son
entre
sí
los
lados
correspondientes de estos triángulos?
¿Cómo
son
entre
sí
los
ángulos
correspondientes
de
los
triángulos?
Verifiquen su respuesta.
c) Considerando
los
vértices
correspondientes de los triángulos, ¿están
alineados respecto al punto fijo del
pantógrafo?
d) ¿Cómo son las razones de las distancias
entre el punto fijo del pantógrafo y los
vértices correspondientes?
2. Organice al grupo en equipos de tres o
cuatro alumnos o plantee la siguiente
situación:
Dibujen un triángulo isósceles (con medidas,
respectivamente, de 3, 4 y 4 cm. en sus
lados). Marquen un punto O fuera del
triángulo y tracen rectas, que unan el punto
exterior con cada uno de los vértices del
triángulo. Marquen un punto D, en una de las
rectas, como se indica a continuación.
Indique a los alumnos que tengan cuidado al
momento de realizar el trazo, de esta manera
la medida de los lados del triángulo resultante
será el doble de la medida original.
Es posible que algunos alumnos observen a
simple vista la semejanza de las figuras. En
este caso invíteles a que den argumentos
relacionados con las propiedades de la
semejanza, a partir de la comparación de las
razones de los lados correspondientes. Esta
situación puede ser propicia para recordar a
los alumnos las propiedades de la semejanza.
Por otra parte, para que las razones de los
lados correspondientes sean iguales, se
requiere medir con cierta precisión, por lo que
es posible que los cocientes sean distintos a
1/2 o 2; en este caso usted puede generar
una discusión en torno a la medición, de
manera que los alumnos noten que la
medición directa siempre es aproximada y, en
consecuencia, es necesario realizar varias
mediciones para obtener el promedio y así
lograr una aproximación más exacta.
Para responder las preguntas del inciso b) los
alumnos utilizarán diferentes estrategias.
Algunos, por ejemplo usarán las escuadras
para determinar el paralelismo de los lados
correspondientes, algunos determinarán la
congruencia de los ángulos utilizando el
El punto D, marcado en la línea, es uno de los
vértices de un triángulo que es nomotético al
triángulo ABC:
a) Utilicen sus instrumentos de geometría y
tracen la figura geométrica que es
nomotética al triángula ABC:
b) ¿Cuál es la razón de homotecia?
Construir un triángulo homotético al triángulo
dado, de acuerdo con las indicaciones
señaladas,
plantea
algunas
dificultades:
algunos alumnos, por ejemplo, podrían
considerar que basta con medir la distancia
que va del punto A al punto D, y luego llevar
dicha distancia sobre cada una de las otras
dos rectas tomando como un punto de partida
los vértices B y C. En este caso los alumnos se
darán cuenta de que la figura que resulta no
es semejante, ya sea porque se observe a
simple vista, o bien porque las razones de los
lados correspondientes al ser comparados, no
serán iguales.
103
OD = OB’ = O’C’
OA
Otros alumnos considerarán que la figura
homotética se consigue llevando la distancia
OD a las otras dos rectas a partir de los
vértices B y C; al trazar el triángulo los
alumnos se darán cuenta de que la figura no
es semejante, ya sea a simple vista o
mediante la comparación de las razones.
OB
OC
De cualquier manera es necesario considerar
que, dado que el punto D se elige
arbitrariamente, los alumnos obtendrán
razones distintas. Por otra parte, es necesario
que recuerde a los alumnos hacer una
medición lo más exacta posible, de manera
que en una misma figura las razones sean
iguales.
VARIANTE
Puede sugerir la actividad que se plantea a continuación:
Utilizando el pantógrafo, armado a escala 3 a 1, obtengan la figura
homotética de un hexágono regular que mida 4 cm. por lado. Después
contesten la siguiente pregunta;
Otros alumnos tomarán en cuenta los
resultados obtenidos en la actividad 1, es
decir, considerarán que en una figura
homotética los lados son paralelos a los
correspondientes de la figura
original.
Entonces, a partir del punto D, trazarán
paralelas a los lados AB y AC, de manera que
obtendrán los puntos B’ y C’, trazarán
paralelas a los lados AB y AC, de manera que
obtendrán los puntos B’ y C’ que se
encuentran en la intersección de las otras dos
rectas.
¿Cuál es la razón de homotecia?
PITÁGORAS EN EL GEOPLANO
Tema 13: Semejanza y teorema de
Pitágoras
Propósito
Utilizar las fórmulas para el cálculo de
perímetros, áreas y volúmenes, así como los
teoremas de semejanza, de Pitágoras y
trigonometría
para
resolver
numerosos
problemas de cálculo geométrico.
Contenido Aplicaciones de los teoremas de semejanza y de
Pitágoras en la solución de problemas de cálculo
geométrico.
Material Calculadora, geoplano de 5 x 5 y ligas (por
alumno).
La razón de homotecia se puede obtener de
dos formas:
¾ Estableciendo la razón de los
homólogos de los triángulos, esto es:
lados
DB’ = DC’ = B’C’
AB
AC
BC
¾ Estableciendo la razón entre la distancia
del punto O al punto A y la distancia del punto
O al punto D, es decir:
104
1. Una vez que haya organizado en equipos
de cuatro a los alumnos, propóngales la
siguiente actividad:
Encuentren en su geoplano todos los
segmentos de diferentes longitudes que
pueden formarse y calculen la longitud de
cada uno redondeada a centésimos (tomen
como unidad a la distancia horizontal o
vertical entre dos clavos).
de los 14 mostrados. Las longitudes, en orden
ascendente y redondeadas a centésimos, son:
1, 1.41, 2, 2.24, 2.83, 3, 3.16, 3.6, 4, 4.12,
4.24, 4.47, 5 y 5.66.
Se debe aclarar que los segmentos pueden
estar en cualquier posición: horizontal,
vertical o inclinada.
Se espera que los alumnos encuentren todos
los segmentos y calculen sus longitudes. Dé el
tiempo suficiente y, cuando lo considere
conveniente, pida a los equipos:
a) Que digan el número de segmentos de
diferente longitud que encontraron.
b) Un representante del equipo que haya
encontrado
el
mayor
número
de
segmentos pasará a mostrarlos en su
geoplano y anotará en el pizarrón las
diferentes longitudes calculadas.
Los resultados se confrontarán con los
encontrados por otros equipos y se discutirá
hasta llegar a un acuerdo sobre el número de
segmentos y sus respectivas longitudes
calculadas correctamente.
En caso de que no se llegue a descubrir que
son 14 segmentos, promueva que continúen
con la discusión (mostrando, por ejemplo, si
se afirma que son menos de 14, algún
segmento que ningún equipo haya encontrado
y si se dice que son más de 14, mostrando los
segmentos con la misma longitud).
Una manera sistemática de hallar todos los
segmentos pedidos es la siguiente:
La actividad permite practicar el cálculo de
longitudes aplicando el teorema de Pitágoras,
así como usar la calculadora para encontrar
raíces cuadradas y redondear cantidades.
Aproveche para reafirmar aquellos contenidos
en los que los alumnos tengan deficiencias.
2. Con la misma organización y los
materiales de la actividad 1, plantee lo
siguiente:
Encuentren el hexágono de mayor perímetro
posible en el geoplano de 5 x 5.
Los alumnos se darán cuenta de que pueden
formar diferentes hexágonos en un geoplano
de este tamaño:
Promueva una competencia para ver cuál
equipo encuentra el hexágono de mayor
perímetro. Para los hexágonos anteriores, los
perímetros son:
Con lo que se muestra que, de esos cuatro
hexágonos, el que tiene el mayor perímetro es
el número 4. Esto no significa que el
hexágono 4 sea el de mayor perímetro que se
puede formar, pues es probable que haya
otros.
Esta actividad permitirá a los alumnos repasar
el cálculo de perímetros, así como usar la
calculadora
para
resolver
operaciones,
comparar números decimales, etcétera.
Se podrá comprobar que cualquier otro
segmento tiene la misma longitud que alguno
3. Nuevamente organizados en equipos de
cuatro, proponga a los alumnos una
extensión del problema anterior.
105
Encuentren el polígono de mayor perímetro
posible que se puede formar en un geoplano
de 5 x 5.
Es conveniente recordar a los estudiantes que
la liga no debe cruzarse consigo misma. Al
tratar de resolver el problema, los alumnos
explorarán los diferentes polígonos que
pueden formarse, por ejemplo:
Propósito
Obtener y resolver ecuaciones cuadráticas.
Contenido
Solución de ecuaciones cuadráticas
formas: ax² = 0; ax² + bx = 0
de
Material Cubos, hojas que contengan la secuencia de
cubos que se muestra en la actividad 1 y
geoplano de 8 x 8.
1. Organice al grupo en equipos de tres o
cuatro
alumnos.
A
continuación
propóngales que resuelvan el siguiente
problema:
Observen la sucesión numerada de dibujos
que se muestra a continuación.
Cuando el perímetro de los cuatro polígonos
anteriores, tenemos:
a) Construyan (con los cubos o mediante
dibujos) las figuras 4 y 5 que siguen en la
sucesión
b) ¿Cuántos cubos tendrá la figura 100 de la
sucesión?
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que
permite conocer el número de cubos de
cualquier figura que esté en la sucesión?
El polígono que muestra el geoplano número 4
es el de mayor perímetro de los cuatro aquí
mostrados, no obstante, es probable que los
alumnos
encuentren
otros
de
mayor
perímetro.
Al igual que la actividad anterior, ésta puede
ser aprovechada para reafirmar lo que son los
polígonos convexos y cóncavos, los ángulos
convexos y cóncavos, así como para utilizar el
teorema de Pitágoras en el cálculo de
longitudes, usar la calculadora para resolver
operaciones con decimales (básicamente raíz
cuadrada y suma) y comparar números
decimales.
VARIANTES
1.
2.
La actividad 2 puede plantearse con otro tipo de figuras:
cuadriláteros, pentágonos, etcétera.
Para las actividades 2 y 3 puede pedir que calculen el área de los
hexágonos o polígonos formados.
d) Si se sabe que una de las figuras que
forman la sucesión tiene 2 704 cubos,
¿qué número corresponde a esa figura en
la sucesión?
La pregunta a) tiene la finalidad de que los
alumnos centren su atención en la manera
como se construyó la sucesión, por lo que no
tendrán dificultad para construir las figuras 4
y 5. Para las preguntas b) y c) tal vez sea
necesario
dar
a
los
alumnos
alguna
orientación, por ejemplo, indicarles que
elaboren una tabla como la que se muestra
enseguida y pedir que en ella anoten el
número de cubos que tienen las primeras
figuras de la sucesión.
PATRONES Y ECUACIONES
Tema 14: Ecuaciones cuadráticas
completas
106
las
A partir del análisis de la tabla, algunos
alumnos encontrarán que la sucesión se
genera con la expresión n². El inciso d) es el
caso inverso de la pregunta b). Algunos
alumnos podrán hacer uso de la estimación
para encontrar que la figura 52 es la que tiene
2 704 cubos. Otros quizás se den cuenta de
que la solución se obtiene al encontrar la raíz
cuadrada de 2 704. Es conveniente que
oriente a los alumnos para que observen que
de una u otra forma están resolviendo la
ecuación n² = 2 704.
Posiblemente otros alumnos hallen una
expresión equivalente si aplican la fórmula
para calcular el área de un trapecio,
considerando que la base mayor es igual a la
base menor más 1, y que la altura es igual a
la base menor, la expresión quedaría:
A = (B + b) h
2
2. Organice al grupo en equipos de cuatro
alumnos. Pídales que construyan en el
geoplano la secuencia de trapecios que se
observa a continuación y después plantee
las siguientes preguntas:
a) Observen cómo se han construido los
trapecios que se muestran en el geoplano.
Construyan los dos trapecios que siguen
en la sucesión.
b) Calculen el área de cada uno de los seis
trapecios.
c) Si continúan con la construcción de los
trapecios, ¿cuál será el área del trapecio
que ocupe el lugar 100?
d) ¿Cuál es la expresión algebraica que
permite conocer el área de cualquier
trapecio que esté en la sucesión?
e) Si se sabe que el área de uno de los
trapecios es de 588 u², ¿qué número
corresponde, en la sucesión, a ese
trapecio?
A partir de los incisos a) y b), los alumnos
observarán la sucesión con la que se
construyen los trapecios, y por otra parte
encontrarán alguna estrategia para calcular su
área. Los incisos c) y d) llevarán a los
alumnos a la generalización, esto es, a partir
del análisis de algunos casos tendrán que
determinar un procedimiento algebraico. Así,
es
probable
que
ciertos
alumnos
descompongan el trapecio en dos figuras: un
cuadrado, cuyo lado es la base menor del
trapecio, y un triángulo, de altura b y de base
una unidad (u), de manera que el área se
puede calcular como: A = b² + b/2, donde b
es la base menor del trapecio.
Sustituyendo
[(b + 1) + b] b = (2b + 1) b = 2b² + b
2
2
2
El inciso e) es el caso inverso. La respuesta
esencialmente tiene que ver con la solución de
la ecuación: b² + b/2 = 588. Una estrategia
que algunos pueden emplear es la estimación,
es decir propondrán un valor para b y, al
sustituirlo en la expresión, lo ajustarán hasta
obtener 588.
Posteriormente puede poner algún otro
procedimiento para resolver ecuaciones de
ese tipo, por ejemplo, la fórmula general de
las ecuaciones de segundo grado, o bien la
factorización del trinomio.
3. Organice a los alumnos en equipos y
plantee las siguientes preguntas.
a) Observen, a partir de la actividad 1, que
en la figura 1 es posible ver tres caras del
cubo, y que en la figura 2 se pueden ver
nueve caras de los cubos que la forman.
¿Cuántas caras es posible ver en la figura
3? ¿Cuántas en la figura 4?
b) Si se continúa con la construcción de las
figuras, ¿cuántas caras sería posible ver
en la figura que ocupe el lugar 15?
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que
permite conocer el total de caras será que
es posible ver en cualquier figura que esté
en la sucesión?
d) ¿Qué número corresponde en la sucesión a
la figura en la que es posible ver 153 caras
de los cubos que la forman?
Una manera que puede facilitar el conteo de
las caras es que los alumnos construyan con
cubos cada figura. Seguramente algunos
alumnos, después de analizar los primeros
términos de la sucesión de números que
107
indican las caras que se ven, podrían anotar
los siguientes términos, sin embargo será
difícil que encuentren la expresión algebraica
que genera la sucesión. Por esta razón es
pertinente que los oriente, como se indica a
continuación.
Señale que la expresión que se busca es una
expresión de segundo grado, ya que la
segunda diferencia de los términos de la
sucesión es constante, como se muestra en la
tabla siguiente:
consecuencia, aplicarán sus conocimientos
para resolver ecuaciones de tipo
ax² + bx
+ c = d.
VARIANTE
Puede plantear a sus alumnos el problema que se expone a
continuación:
Observen la siguiente tabla, en ella se muestra una sucesión de
números, así como el lugar que ocupa cada término.
a)
b)
A continuación demuestre que a partir de la
expresión ax² + bx + c van a generar una
sucesión y a obtener las diferencias
respectivas.
¿Qué expresión algebraica permite obtener cualquier número
que forma parte de la sucesión?
El número 730 forma parte de la sucesión, ¿qué lugar ocupa
en dicha sucesión?
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Tema 15: Sólidos
Propósito
Desarrollar la imaginación espacial mediante la
generación de sólidos de revolución y el cálculo
de volúmenes.
Contenido Cilindros y conos de revolución.
Combinando
estas
relaciones
con
los
resultados obtenidos en la sucesión generada
por el conteo de las caras que son visibles,
pueden establecer cualquiera de los tres
siguientes sistemas de ecuaciones:
Material Por equipos: un rectángulo de 12 x 16 cm.
(pueden ser otras medidas), un triángulo
rectángulo isósceles cuyos catetos midan 10
cm., y un triángulo rectángulo cuyos lados
midan 9, 12 y 15 cm. respectivamente.
1. Organice al grupo en equipos de cuatro
alumnos. Pídales que tomen el rectángulo
y que lo giren como se muestra en las
siguientes figuras. A continuación plantee
el siguiente problema:
Al resolver el primer sistema de ecuaciones se
obtiene:
2a = 2, entonces a = 1.
3a = b = 6; 3(1) + b = 6, entonces b = 3.
a + b + c = 3; 1 + 3 + c = 3, entonces c = 1.
a) Al girar el rectángulo como se indica en la
figura 1, ¿qué cuerpo se forma?
De manera que la ecuación buscada es:
b) Al girar el rectángulo como se indica en la
figura 2, ¿qué cuerpo se forma?
x² + 3x – 1.
Una vez que los alumnos conozcan la
expresión algebraica que permite conocer el
número de caras que se pueden ver, podrán
abordar
la
última
pregunta
y,
en
108
c) ¿Cuál de los dos cuerpos tiene mayor
volumen? Anoten en su cuaderno lo que
hayan considerado y después, para
verificar su respuesta, calculen el volumen
de cada uno de los cuerpos.
Para determinar que, al girar el rectángulo
como se ha indicado, se genera un cilindro
recto, los alumnos pondrán en juego su
imaginación espacial.
El inciso c) seguramente deparará a los
alumnos alguna sorpresa, pues muchos
creerán que el cilindro más alto es el que tiene
mayor volumen, y esto no es cierto.
El cálculo del volumen requiere de la
determinación del radio del círculo y de la
altura de cada cilindro: esta situación será una
de las dificultades que los alumnos enfrenten.
En un principio algunos considerarán que no
se tiene suficiente información para calcular el
volumen, pero seguramente se percatarán de
que en el primer caso el largo del rectángulo
corresponde al radio del círculo y el ancho a la
altura del cilindro.
2. Para realizar esta actividad solicite a los
alumnos que tomen el triángulo isósceles
y que lo giren como se indica a
continuación:
a) Al girar el triángulo rectángulo como se
indica en la figura 1, ¿qué cuerpo se
forma?
b) Al girar el triángulo rectángulo como se
indica en la figura 2, ¿qué cuerpo se
forma?
c) ¿Cuál de los dos cuerpos tiene mayor
volumen? Anoten en su cuaderno lo que
hayan considerado y después, para
verificar su respuesta, calculen el volumen
de cada uno de los cuerpos.
Como se puede observar, en el primer caso se
genera un cono recto en el que la medida del
cateto del triángulo corresponde a la altura del
cono y también al radio de la base del mismo.
Seguramente, a partir de la experiencia de la
primera actividad, los alumnos observarán
este hecho. Si algunos tuvieran dificultad para
observarlo, puede proponer que tomen una
escuadra de 45º y pedirles que la giren como
se indicó, de esta manera podrán visualizar el
cuerpo que se genera.
Para determinar el volumen del cono se
requiere conocer la altura y el radio de la
base, por lo que los alumnos no tendrán
problemas para calcular el volumen.
En el segundo caso, para reconocer el cuerpo
que se genera al girar el triángulo, se requiere
de una observación más cuidadosa. Quizás los
alumnos tendrán dificultad para observar que
se trata de dos conos que tienen una base
común, como se muestra en la figura:
Si los alumnos no pueden reconocer el cuerpo,
puede sugerirles, al igual que en el primer
caso, que utilicen la escuadra de 45º y que la
giren como se ha indicado.
El cálculo del volumen es una tarea que
también puede complicárseles, ya que en este
caso se requiere determinar, mediante algún
procedimiento, el radio de la base común de
los dos conos y la altura de los mismos. Si los
alumnos no encuentran alguna estrategia,
puede plantear algunas preguntas que los
oriente. Por ejemplo: ¿Qué datos son los que
requieren para calcular el volumen de los dos
conos? ¿A qué medidas del triángulo
corresponden la altura y el radio de la base de
los conos? ¿Pueden calcular el área del
triángulo? ¿Qué datos requieren para calcular
el área del triángulo si consideran como base
la hipotenusa del triángulo? ¿Pueden calcular
la medida de la hipotenusa?, etcétera.
De esta manera algunos alumnos se darán
cuenta de que el triángulo es rectángulo,
pueden calcular su área, pues conocen la base
y la altura del mismo (medida del cateo), y de
igual manera pueden calcular la hipotenusa
aplicando el teorema de Pitágoras.
109
Este conocimiento les permitirá calcular el
radio de la base del cono (que corresponde a
la altura del triángulo, si se considera como
base la hipotenusa) de la siguiente manera:
A = (10 · 10) = 50 cm.²
2
RAMPAS PARA PATINETAS
Tema 16: Trigonometría: razones
trigonométricas de un ángulo agudo
(cálculo y primeras aplicaciones)
Propósito
Por lo que:
Utilizar la trigonometría para resolver problemas
de cálculo geométrico.
Contenido Primeros ejemplos para motivar el estudio de la
trigonometría. Tangente de un ángulo agudo.
Material
50 cm.² = (x · y)
2
Juego de geometría y calculadora.
Al despejar y se obtiene:
1. Organizados en equipos de cuatro a cinco
alumnos, plantee el siguiente problema:
Otros alumnos se darán cuenta de que y se
puede calcular aplicando el teorema de
Pitágoras.
Se quieren construir rampas para una
competencia de patinetas. Par medir el ángulo
de inclinación de cada rampa, se considerarán
dos medidas:
Otros observarán que la altura de cada cono
tiene la mitad de la longitud de x, que
corresponde al valor de la hipotenusa del
triángulo. Esto se puede ver si se dobla el
triángulo sobre la longitud y una vez que los
alumnos hayan respondido las preguntas de
los dos primeros incisos, el inciso c) será
respondido sin mayor problema. Sin embargo
será conveniente que los alumnos confronten
su respuesta con la estimación que anotaron
al principio en sus cuadernos.
De acuerdo con las medidas especificadas,
elijan aquella rampa cuyo ángulo de
inclinación sea mayor en cada caso (las
medidas están dadas en metros).
VARIANTE
Puede sugerir la siguiente actividad:
Consideren un triángulo rectángulo con medidas 9, 12 y 15 cm., y
gírenlos como se indica. Contesten las preguntas que aparecen debajo
de las figuras.
a)
b)
c)
d)
110
Al girar el triángulo rectángulo como se indica en la figura 1,
¿qué cuerpo se forma?
Al girar el triángulo rectángulo como se indica en la figura 2,
¿qué cuerpo se forma?
Al girar el triángulo rectángulo como se indica en la figura 3,
¿qué cuerpo se forma?
¿Cuál de los tres cuerpos tiene mayor volumen? Anoten en
su cuaderno lo que consideren y después, para verificar su
respuesta, calculen el volumen de cada uno de los cuerpos.
Dé tiempo suficiente a los alumnos para que
elijan la rampa que consideren tiene mayor
ángulo de inclinación en cada caso. Una vez
que los equipos tengan las respuestas, pida
que algún integrante pase al frente a darlas a
conocer y que, además, explique el por qué
eligieron tal o cual rampa.
Los equipos podrán hacer uso de diversas
estrategias para resolver el problema. Una de
ellas podrá ser el trazar los triángulos que
representan las rampas a una escala
adecuada, por ejemplo: 1 cm.: 1m.
Con lo que podrán notar (probablemente) la
inclinación de cada rampa. Es posible que se
les ocurra medir el ángulo de inclinación .
Si no se les ocurriese, es conveniente que
proponga este procedimiento y aproveche
este momento para mencionar a los alumnos
que esa razón se llama tangente del ángulo
.
Tangente del ángulo
Otros equipos podrán notar que para los casos
1 y 2 es suficiente con analizar las medidas. Si
a es igual en ambas rampas, la de mayor
ángulo de inclinación es aquella en la que b es
menor; si b es igual, entonces la de mayor
ángulo de inclinación es aquella en la que el
valor de a es mayor.
Para el caso 3 se espera que los alumnos
hagan uso de lo visto en el tema 13
(semejanza) y noten que la inclinación de las
rampas es la misma.
El caso 4 es el que ofrece mayor dificultad,
incluso si se hace el trazo a escala.
Posiblemente los alumnos lleguen por azar a
la respuesta correcta, sin embargo, el hecho
de que tenga que validar sus respuestas hará
que busquen argumentos lógicos.
Lo ideal sería que a ciertos equipos se les
ocurriera establecer la relación o razón que
existe entre la altura de la rampa y la
distancia horizontal recorrida:
a = altura de la rampa
b
distancia horizontal
Y comparar estos cocientes para saber cuál
rampa tiene mayor ángulo de inclinación. Por
ejemplo, para el caso 4:
=a
b
Y que ésta es una medida que permite
calcular el ángulo de inclinación de la rampa.
Dicho ángulo de inclinación puede calcularse,
mediante la división a/b, haciendo uso de la
calculadora o de las tablas para encontrar la
medida del ángulo . Se sugiere que en este
momento defina a sus alumnos la tangente de
un ángulo agudo como la razón del cateto
opuesto entre el cateto adyacente, y que les
muestre cómo calcularla, así como ilustrar el
caso de cómo calcular el ángulo dada la
tangente.
El caso 3 y los conocimientos que sobre
semejanza tienen los alumnos, pueden ser
utilizados para que exploren el hecho de que
el valor de la tangente es el mismo para
ángulos con la misma medida, aun cuando
pertenezcan a triángulos rectángulos con
catetos de diferente medida (la razón se
conserva).
2. Nuevamente organizados en
plantee el siguiente problema:
equipos,
Se quiere construir una rampa cuya altura sea
de 2 m y que forme un ángulo de 40º con el
piso. ¿Cuál será la distancia horizontal que
tendrá la base de la rampa?
Esta actividad es una extensión de la anterior
y supone que al alumno:
Con lo que se aprecia que la rampa 1 tiene
mayor ángulo de inclinación.
111
•
Sabe que la tangente del ángulo es la
razón entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente.
•
Sabe calcular la tangente de un ángulo
dado haciendo uso de la calculadora o de
las tablas.
1. Proponga al grupo resolver el siguiente
problema en equipos de cuatro o cinco
alumnos:
a) Calculen el perímetro y el área de un
pentágono regular que mide 10 cm. por
lado.
Se trabajará bajo la misma dinámica que en el
problema anterior: dé tiempo suficiente para
que los equipos busquen la respuesta
correcta, socialicen sus estrategias y validen
los resultados en forma grupal.
3. Plantee a
problema:
los
equipos
el
siguiente
Calculen la longitud c de la siguiente rampa:
Básicamente el tratamiento es análogo al de
los problemas anteriores, pero en este caso
los alumnos tendrán que hacer uso (además
de la función tangente) del teorema de
Pitágoras.
b) Utilizando
funciones
trigonométricas,
calculen el perímetro y el área de un
heptágono, un octágono, un eneágono,
etcétera, cuyos lados midan 20 cm.
respectivamente.
El cálculo del perímetro del pentágono no
representará dificultad para los alumnos, mas
no así el cálculo del área.
Para calcular el área, algunos equipos pueden
construir el polígono considerando las medidas
reales. Una vez hecho lo anterior, obtendrán
las medidas necesarias para efectuar los
cálculos.
Este último problema puede ser aprovechado
para introducir la función coseno.
VARIANTE
Se sugiere trabajar el problema 2 de la página 268 del Libro para el
maestro, con el fin de complementar el uso de la tangente cuando se
requiera determinar la pendiente o el ángulo de inclinación.
PARA MEDIR POLÍGONOS REGULARES
Tema 17: Problemas de trigonometría
Propósito
Utilizar las relaciones trigonométricas para
resolver problemas de cálculo geométrico.
Estudio de los polígonos regulares.
Contenido
Resolución de triángulos rectángulos y sus
aplicaciones. Estudio de los polígonos regulares.
Material
112
Juego de geometría y calculadora.
Otros equipos pueden construir a escala el
pentágono
y
después,
aplicando
sus
conocimientos relacionados con la semejanza,
obtendrán el área.
A partir de las soluciones de los alumnos,
puede orientarlos para resolver el mismo
problema utilizando funciones trigonométricas,
en particular la función tangente. Así, la
apotema del pentágono se puede expresar en
función de uno de los ángulos del triángulo
rectángulo OEL, como se muestra enseguida:
Por otra parte, para calcular el valor de la
tangente del ángulo _, que mide 54, pueden
utilizar la calculadora o las tablas. Una vez
que se obtiene el valor de la apotema, el área
se
calcula
utilizando
la
fórmula
correspondiente.
Para responder el inciso b), los alumnos
tendrán que aplicar sus conocimientos de
geometría para determinar el ángulo central o
el ángulo interno de los polígonos. Si los
alumnos tienen dificultades, pueden hacer un
breve recordatorio o dar algunas orientaciones
para salvar este obstáculo. Por otra parte,
quizás sea necesario que los oriente en el uso
de
las
funciones
trigonométricas
para
encontrar el área de cada polígono.
Con la finalidad de que los alumnos observen
que
las
expresiones
encontradas
son
correctas, puede asignar un valor al radio y
pedir que determinen la medida de un lado, la
apotema y el área utilizando las expresiones
encontradas. Después pida que calculen
dichas medidas con otro procedimiento.
VARIANTES
1.
En la tabla que se muestra a continuación están dadas las
medidas de un lado, así como la apotema, el perímetro y el área
de los polígonos regulares de tres lados (triángulo equilátero) y
seis lados (hexágono regular) inscritos en un círculo que tiene 10
cm. de radio. Completen la tabla para los polígonos regulares de
12, 24 y 48 lados que también están inscritos en un círculo que
mide 10 cm. de radio. ¿Qué relaciones descubren después de que
han completado la tabla? Coméntenlo con sus compañeros y
escriban sus conclusiones.
2.
Un polígono regular de 12 lados tiene de área 24 unidades
cuadradas. ¿Cuánto miden sus lados? ¿Cuánto miden los radios
de los círculos inscrito y circunscrito? ¿Y si el polígono regular
tuviera 8, 9, 10, 18…lados?
2. Para resolver los siguientes problemas,
organice al grupo en equipos de cuatro o
cinco alumnos.
Utilizando los valores de las funciones
trigonométricas para los ángulos de 30º, 45º
y 60º, en función del radio (r) expresen: el
valor de un lado (c), la apotema (a) y el área
(S) de los polígonos irregulares siguientes:
CALCULANDO ÁREAS
Tema 18: Fracciones algebraicas
Propósito Practicar procedimientos algebraicos. Usar el
lenguaje algebraico al operar con literales.
Al igual que en los problemas anteriores, los
alumnos deben determinar el valor del ángulo
central o interior de cada uno de los
polígonos.
Es conveniente que observe el trabajo de los
alumnos, de manera que, en caso necesario,
haga
las
orientaciones
que
considere
convenientes.
Contenido Revisión y expresión simbólica de operaciones
con fracciones algebraicas (casos sencillos:
multiplicación, división y suma).
1. Organice a los alumnos en parejas y
plantee el siguiente problema:
Observen la siguiente figura.
En el caso del triángulo, si se considera el
ángulo de 30º, las siguientes son expresiones
que los alumnos podrán encontrar.
C = 2r (cos 30); a = r (sen 30);
S= 3r² (cos 30)(sen 30).
Calculen el área de la parte sombreada,
considerando que el valor de p es mayor a 1.
113
Para determinar el área de la parte
sombreada, los alumnos pueden proceder de
dos formas. Algunos encontrarán primero el
área del rectángulo completo (6p), después el
área del rectángulo blanco, y finalmente las
restarán para obtener el área sombreada.
Calculen el área de los rectángulos I, II, III,
IV, V y VI. Comprueben que la suma
corresponde al área total del rectángulo.
Otros alumnos primero obtendrán la medida
del ancho del rectángulo sombreado y
después calcularán su área.
En cualquiera de los dos procedimientos es
posible que algunos alumnos se equivoquen al
efectuar las operaciones. Si es así, usted y los
propios alumnos pueden dar algunas ideas
para corregir los errores.
El área de la parte sombreada es igual a:
El problema es similar a los dos anteriores, sin
embargo ahora los alumnos tendrán que
efectuar mucho más operaciones y esto
aumenta
la
probabilidad
de
que
se
equivoquen.
Una gran ventaja de este problema es que los
alumnos por sí solos pueden controlar el
resultado, puesto que la suma de las áreas
parciales debe coincidir con el resultado de
multiplicar p (p + 2), que es muy fácil de
obtener.
2. Plantee a los alumnos el siguiente
problema. Pídales que lo resuelvan en
parejas y advierta que deben tener
cuidado al realizar las operaciones.
Una tarea importante de usted en esta
actividad es animar a los alumnos para que no
desistan de efectuar los cálculos.
Calculen el área de la parte sombreada.
4. Una vez que los alumnos se encuentren
organizados en equipos, proponga la
siguiente situación:
Al igual que en la actividad anterior los
alumnos pueden seguir dos procedimientos
para encontrar el área de la parte sombreada.
En cada caso pueden cometer errores que
será necesario analizar con ayuda de usted.
Cualquiera que sea el procedimiento que
utilicen, encontrarán que el área de la parte
sombreada es igual a:
3. Organice al grupo en parejas y proponga
el siguiente problema:
114
A continuación se ilustra otra manera de
calcular aproximaciones de la raíz cuadrada de
un número m, utilizando el método babilónico.
Escriban las dos siguientes aproximaciones.
Tomen en cuenta que para escribir la
siguiente aproximación deben considerar las
expresiones del segundo rectángulo.
Si lo considera conveniente, explique a los
alumnos cómo se procedió para determinar la
segunda aproximación, esto es, dado que el
área del rectángulo se calcula con la expresión
m = bh, en el segundo rectángulo la base es
el promedio de la base y la altura del primer
rectángulo, es decir; b = (m + 1) /2.
Al sustituir este valor en la expresión m = bh,
resulta m = (m + 1) /2(h), y al despejar h, se
obtiene el valor correspondiente en el segundo
rectángulo.
Para
obtener
las
siguientes
dos
aproximaciones, los alumnos tendrán que
operar
con
fracciones
algebraicas.
Es
necesario que observe el trabajo de los
alumnos para que detecte las dificultades y
errores que cometan.
Una vez que los alumnos hayan obtenido las
expresiones algebraicas que se requieren, es
conveniente que tome en cuenta casos
particulares para verificar que las expresiones
obtenidas permiten calcular la raíz cuadrada
correspondiente.
La calculadora es un buen auxiliar para
verificar las aproximaciones que se hagan.
VARIANTE
Puede proponer a los alumnos la siguiente actividad:
Consideren que r es una medida mayor o igual a 2. Calculen el área de
la parte sombreada.
115
ANEXO A
A
B
C
D
G
H
I
J
E
K
F
L
M
N
Ñ
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
116
ANEXO B
117
ANEXO C
118
ANEXO D
El pantógrafo se puede construir con cuatro tablitas de madera que midan 19 cm. de largo y 1 cm.
de ancho, y que se articulen como se muestra en el dibujo.
Cada tablita tiene seis agujeros, colocados a la distancia que se indica.
119
LA IMPORTANCIA DE LOS
MÉTODOS GENERALES Y
PARTICULARES EN LA
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
explorado el desarrollo de un pensamiento
crítico a través de estrategias similares a las
que aparecen en la resolución de problemas
matemáticos (Perkins, Jay, y Tishman, 1993;
De Bono, 1983; Nickerson, Perkins y Smith,
1985). En seguida se presentan aspectos
relacionados con la importancia del contexto
en la resolución de problemas y su papel en la
transferencia.
La importancia del uso de estrategias
generales y particulares en la resolución de
problemas ha propiciado diversas discusiones
relacionadas con el énfasis o tendencias en
cuanto a su papel en la educación. Por un
lado, existe la idea de poner en un primer
plano el desarrollo de estrategias con amplio
margen de aplicación en la resolución de
problemas; mientras que por el otro lado, se
argumenta que para que una estrategia pueda
realmente
asimilarse
tiene
que
estar
necesariamente ligada a un contexto o a un
contenido específico. En este capítulo, se
presentan las ideas generales desarrolladas
por estas dos tendencias y se identifica una
dirección en la que ambas pueden ser vistas
como complementarias.
La transferencia es un componente importante
en el aprendizaje de las estrategias para
resolver problemas matemáticos: ¿hasta qué
punto puede transferir el estudiante su
experiencia de resolver problemas en ciertos
contextos a otros problemas establecidos en
contextos diferentes? Esto es, ¿cuál es el
papel del contenido en la transferencia? Para
ubicar la discusión y aportar algunos
elementos de reflexión se presentan algunos
puntos de vista y resultados de lo que puede
ser un argumento a favor o en contra de la
existencia de la transferencia.
LA RELACIÓN DE LO PARTICULAR Y LO
GENERAL EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS:
El argumento de la transferencia
En la década pasada se vio un cambio radical
en las teorías del aprendizaje que en gran
medida fue producto del desarrollo de las
ciencias cognitivas. Por ejemplo, en 1970 las
teorías del aprendizaje se inclinaban por
caracterizar principios generales donde los
detalles de la disciplina no se consideraban
importantes en el aprendizaje. Sin embargo,
conforme avanzaban las ciencias cognitivas,
se empezó a cuestionar la propuesta de
aprendizaje independientemente del contenido
específico de la disciplina (Shulman, 1986). Es
decir, el estudiar matemáticas implica asimilar
conceptos, métodos y principios que poseen
diferencias fundamentales con los que se
estudian en otras áreas del conocimiento.
En un contexto general, la propuesta de
aprendizaje que identifica a la resolución de
problemas como una actividad esencial
aparece en varios campos incluyendo a la
física, la psicología, la historia y el aprendizaje
del lenguaje. Además, esta propuesta ha
estado íntimamente relacionada con lo que se
identifica como desarrollo de la inteligencia o
desarrollo de un pensamiento crítico. En áreas
como la psicología hay grupos que han
120
La transferencia, los métodos,
desarrollo de la inteligencia
y
el
La
relación
entre
métodos
heurísticos
generales y la importancia del contenido
específico ha sido un tema de controversia
cuando se aborda la discusión del desarrollo
de la inteligencia. El dilema de enfocar el
aprendizaje en lo general o particular puede
tomar diversas formas: Si una idea o
heurística aprendida es demasiado específica,
entonces
no
se
puede
esperar
una
transferencia fácil a otras situaciones. Por otro
lado, si la idea se presenta en forma general,
no parece claro cuándo realmente el dominio
de esta idea se ha logrado. Así, por ejemplo,
la estrategia de dibujar una figura puede ser
útil para resolver una variedad de problemas,
pero siempre se discute en un contexto
específico o para un contexto específico.
Huter (1986) argumenta que el desarrollo de
una inteligencia general es influenciado por el
dominio de algún tipo de conocimiento. Así, la
gente con alta inteligencia general, tiende a
ejecutar actividades de manera adecuada
porque poseen un rico conocimiento básico, el
determinante
directo
de
la
ejecución.
Entonces, ¿cuál es el tipo de conocimiento que
debe enfatizarse más en el aprendizaje: el
conocimiento general de cómo pensar bien, o
el conocimiento específico de los detalles
internos y externos de determinado campo de
estudio?
Como
lo
indica
Perkins
(1981),
un
conocimiento general incluye estrategias
ampliamente
aplicables
para
resolver
problemas, para tomar decisiones, para
desarrollar un pensamiento inventivo y para
regular o monitorear el proceso de solución de
un problema. Mientras que un conocimiento
específico incluye aspectos particulares de
cada disciplina.
Así, se tiene que discutir la cuestión de qué es
lo esencial para lograr una habilidad notable
en el dominio de un campo o área de
conocimiento. En la discusión se pueden
identificar dos direcciones: ¿descansa en
adquirir un conocimiento profundo en el
campo específico, es decir, dar énfasis a las
cuestiones particulares del área y esto es
suficiente para que cualquiera pueda aprender
las estrategias generales de pensamiento que
se necesitan?, ¿o radica en llegar a ser
reflexivo y en cultivar el uso de estrategias
generales, y esto garantiza que cualquiera
puede
aprender
las
particularidades
o
especificidades del campo?
Las
cuestiones
anteriores
producen
y
sustentan posiciones fundamentales acerca de
la educación, es decir, sobre lo que se debe
enfocar o en qué aspecto se debe centrar la
enseñanza.
Tres posiciones se identifican en este sentido.
Una, la que asegura que se debe enseñar
completamente para el desarrollo de un
conocimiento local, es decir materia por
materia.
El otro sentido está a favor de que se deben
invertir una gran cantidad de recursos en el
desarrollo de habilidades generales para
resolver problemas, autorregularse en el
proceso de aprendizaje, y evaluar el propio
aprendizaje.
Una tercera posición afirma que, en realidad,
esta dicotomía oscurece algunos aspectos
importantes. Es decir, se debe apuntar a una
combinación de estrategias generales y
particulares. Aquí, la pregunta obligada es
¿cuáles estrategias generales se deben
estudiar y a qué nivel?
Para ubicar los aspectos a favor y en contra
de estas posiciones revisaremos algunos
trabajos sobre ello.
El trabajo de Polya: La edad de oro de los
métodos heurísticos
Polya (1945) establece que las formalidades
de una prueba matemática y su derivación
tienen poco que ver con el trabajo real de
resolver problemas en matemáticas.
Schoenfeld (1992) señala que la presentación
de unas matemáticas acabadas, pulidas y
formalizadas oculta las diversas estrategias y
ajustes que ocurren en su desarrollo. Aun
cuando tales formalidades eran el vestido de
noche para publicar en revistas, el encontrar
soluciones a problemas dependía de un
repertorio de métodos heurísticos. Es decir,
estrategias generales para atacar un problema
que no garantizaban una solución pero que
ayudaban. Polya discute el potencial de los
métodos heurísticos como descomponer el
problema
en
subproblemas,
resolver
problemas más simples que reflejen aspectos
del problema principal, usar diagramas para
representar
un
problema
en
formas
diferentes, y examinar casos especiales para
tener una idea del problema.
Las heurísticas identificadas por Polya se
enmarcan en comunicar su propia experiencia
como matemático al resolver problemas. Polya
compartía que las estrategias y preguntas de
un experto al resolver problemas podían ser
modeladas por los maestros en el salón de
clases. Así, Polya creía que bajo la guía del
maestro, los estudiantes podían en algún
momento internalizar el proceso de cómo un
matemático dialoga consigo mismo durante el
proceso de solución, y usarlo naturalmente sin
ayuda externa.
Así, el trabajo de Polya se desarrolló alrededor
de la resolución de problemas matemáticos
específicamente,
pero
muchas
de
las
heurísticas que enfatizó eran aplicables a la
resolución de problemas podría ser vista como
una habilidad general y la resolución de
problemas matemáticos simplemente como un
caso especial. En el proceso de resolver
problemas,
Polya
identifica
etapas
fundamentales en las que el uso de los
métodos
heurísticos
juega
un
papel
importante. De manera general, estas etapas
son:
1. Entendimiento del problema. En esta fase
se ubican las estrategias que ayudan a
representar y entender las condiciones del
problema. Por ejemplo, ¿cuál es la
información dada en el problema (datos)?,
¿cuál es la incógnita?, y ¿cuáles son las
condiciones que relacionan los datos en el
problema? son algunas preguntas que
merecen
atención
en
la
fase
de
entendimiento del problema.
Otras heurísticas importantes aquí son el
dibujar una gráfica o diagrama, e
introducir una notación adecuada.
En campos como la inteligencia artificial el
entendimiento del problema se refiere a
121
estar seguro de que uno entiende la
naturaleza de la meta, el estado inicial y
las operaciones permitidas.
2. Diseño de un plan. En esta etapa se
recomienda
pensar
en
problemas
conocidos que tengan una estructura
análoga a la del que se quiere resolver y
así establecer un plan de resolución. En la
psicología, la habilidad de establecer
relaciones se identifica como un indicador
de la inteligencia. Es importante que,
como métodos de solución, el individuo
diferencie
propiedades
estructurales
profundas de características superficiales,
como por ejemplo, la existencia de
palabras comunes de los posibles métodos
de solución (Santos, 1995).
Algunas estrategias que pueden ayudar a
construir un plan de solución incluyen:
I.
Pensar en un problema conocido que
involucre la misma clase de incógnitas
pero que sea más simple. Por ejemplo,
un problema de tres dimensiones
puede pensarse en el plano o en la
recta. Esto además puede ayudar a
visualizar el problema gráficamente.
II. Simplificar el problema por medio de
una transformación a casos especiales.
Esto es muy usual por ejemplo en la
búsqueda de patrones que incluyan
números naturales. O también al
resolver desigualdades de números
con varias variables, a veces ayuda el
reducir el número de parámetros.
3. Ejecución del plan. Aquí se contemplan
aspectos que ayudan a monitorear el
proceso de solución. Una idea fundamental
es tratar de resolver el problema en una
forma diferente y analizar o evaluar la
solución obtenida. De hecho, esta etapa
tiene conexión con lo que Polya denomina
una visión retrospectiva del proceso de
solución.
También
es
importante
establecer conexiones y extensiones del
problema original en otros contextos.
Los trabajos iniciales en el campo de la
inteligencia artificial también se apoyaron en
el uso de estrategias generales. En esta línea
se incluye el diseño de programas para llevar
a cabo procesos tales como un juego de
ajedrez o una prueba de algún teorema. La
estrategia del diseño se basaba en describir
los estados inicial y final del proceso y a partir
de esto se realizan ciertas operaciones (reglas
en el ajedrez y axiomas en matemáticas)
utilizando una notación compacta. Muchos de
122
los acertijos y problemas en lógica pueden
atacarse con este principio.
Los programas podían realizar una serie de
operaciones para transformar el estado inicial
del problema en un estado final. Esto se
llevaba a cabo comparando y contrastando el
inicio con el estado final y aplicando una
operación que podía reducir aún más el
contraste. Por supuesto, el programa incluía
otras operaciones más sofisticadas; sin
embargo, las ideas de Polya respecto al uso
de
principios
generales
aplicados
sistemáticamente sin importar el conocimiento
base eran eficientes.
Algunas
heurísticas
identificadas
como
necesarias en la resolución de problemas
incluían estrategias para memorizar, para
tomar decisiones, para pensar creativamente
y para razonar adecuadamente. En este
contexto, el conocimiento específico del
dominio (matemáticas, ajedrez) no se
identificaba como muy importante. Había que
conocer ciertas reglas como el ajedrez, o
algunos axiomas como el caso de las
matemáticas; pero no parecía que fuese
suficiente el poseer el conocimiento base para
el desarrollo del pensamiento.
En la enseñanza de las matemáticas, las ideas
de
Polya
empezaron
a
implantarse
significativamente alrededor de 1980. Las
estrategias
heurísticas
como
dibujar
diagramas, buscar submetas, considerar casos
particulares y resolver problemas más simples
se consideraban como parte esencial en la
instrucción matemática. Sin embargo, como
se discutirá más adelante, los resultados de
este tipo de instrucción no mostraban una
diferencia notable en el aprovechamiento
matemático de los estudiantes. Como Begle
(1979) mencionó: “…Esfuerzos simplistas para
mejorar las habilidades de los estudiantes
para resolver problemas no serán suficientes”
(p. 144).
La relación entre heurísticas generales y el
aprendizaje de un contenido específico ha sido
un asunto de discusión en varias disciplinas. El
dilema se puede describir como “Si una idea
aprendida es muy específica, entonces no se
espera una transferencia de esta idea a otras
situaciones; pero si ésta es presentada en
forma muy general, entonces no parece claro
cuándo esta idea o estrategia se ha
aprendido”. Así, por ejemplo, el dibujar una
figura puede ser útil en una gama amplia de
situaciones, pero nadie realmente aprende
esta estrategia en un sentido general sino que
la restringe a un contexto o contenido
específico.
El papel del contexto: La presencia de lo
particular
disciplinas (Rabinowittz y Glaser,
Larkin, 1982; Schoenfeld 1985).
La idea de que los métodos generales son
aspectos importantes en la resolución de
problemas y de que estos desempeñan un
papel importante en la adquisición y el uso de
habilidades relacionadas con el desarrollo de
la inteligencia del individuo empezó a
cuestionarse en base a ciertos resultados.
Tres
líneas
de
investigación
aportan
elementos
que
refuerzan
dicho
cuestionamiento:
Otros estudios que empezaron a cuestionar el
papel de las estrategias generales se
relacionan con el uso de los métodos débiles
(weak methods). Se relacionan con los
métodos utilizados en el diseño de programas
en inteligencia artificial. Así, el trabajo en esta
área, que inicialmente apoyaba la idea de que
heurísticas generales conducían al desarrollo
de habilidades en la resolución de problemas,
empezó a ser cuestionado. Por ejemplo,
Programas como “The General Problem
Solver” podían resolver problemas formales
muy simples, como los de lógica simbólica
elemental. Pero estos programas parecían
inútiles para resolver problemas complejos en
otros dominios como el ajedrez, integración
de expresiones matemáticas, o en el
diagnóstico médico (Gardner, 1985).
a) el estudio de los expertos;
b) el estudio de los métodos débiles, y
c) el estudio de la transferencia.
En relación a los estudios donde se observaba
a los expertos de diferentes dominios en
acción
se
intentaba
identificar
los
componentes esenciales que influían en la
resolución de ciertas tareas o problemas. Por
ejemplo, algunos experimentos realizados en
juegos como el ajedrez mostraron que la
habilidad para recordar diversas posiciones
dependía en gran medida de la experiencia
propia del individuo acerca de este juego. Un
gran maestro se estima que posee un
repertorio de aproximadamente 50 mil
configuraciones o esquemas que le dan esa
habilidad para pensar. Así, empezó a definirse
un perfil general del experto. Algunas
características incluían:
I.
Un conocimiento base amplio de patrones
del
campo
específico.
Es
decir,
conocimiento
de
situaciones
muy
específicas del campo en donde se es
experto. Por ejemplo, un experto en
ajedrez reconocía configuraciones típicas
en un juego fácilmente, un físico
reconocía los usos de las leyes de
conservación en la solución de problemas,
y un matemático reconocía la aplicación
de ciertos principios como la inducción
matemática,
la
contradicción
o
la
analogía.
II. Un reconocimiento rápido de situaciones
donde estos patrones se aplican.
III. Un
razonamiento
que
va
del
reconocimiento directo a la solución a
través del trabajo con los patrones.
Por otro lado, este tipo de estudios también
indicaban que los novicios tienden a no ver los
patrones relevantes, porque no los saben o
porque carecen de un camino para tener
acceso a ellos rápidamente. Estos resultados
comenzaron a señalar la importancia de los
aspectos
particulares
asociados
a
las
1985;
En contraste, programas diseñados para esos
dominios mostraban éxito notable. Los
investigadores en inteligencia artificial se
referían a las heurísticas generales como
métodos débiles. Al enfrentarse a un dominio
nuevo, una computadora o un humano
mostraban métodos débiles que llevaban a
resultados débiles. Un poder real en la
resolución de problemas surgía con el tiempo:
la aplicación de métodos débiles creaba la
oportunidad de aprender y almacenar las
ramificaciones y movidas particulares en el
dominio y construía una rica base de datos
(Rich, 1983). Esta base dependía de un
contexto específico. En matemáticas ocurría
que algunos estudiantes conocían los métodos
de Polya, pero no sabían cuándo utilizarlos
(Schoenfeld, 1985).
Otra línea que también contribuyó en el
cuestionamiento de las estrategias generales
es la relacionada con la transferencia. Las
investigaciones en esta línea sugieren que
pensar efectivamente depende de un contexto
específico, que las habilidades son acotadas
contextualmente y que poseen poca aplicación
en otros dominios. Thorndike (1901) mostró
que entrenarse en campos como el latín o en
las matemáticas no tiene influencia medible
en otras funciones cognitivas. Así, negaba la
creencia en el entrenamiento de las facultades
mentales.
Otros estudios aportaron resultados similares.
Por ejemplo, Pressley, Zinder y Cariclia-Bull
(1987) reportaron que enseñar a los
estudiantes el uso de estrategias generales
independientes de un dominio específico no
producía beneficios fuera del contexto en que
eran enseñados.
123
Los argumentos sobre
contexto en perspectiva
el
papel
del
Antes de descartar o disminuir el potencial de
las estrategias generales, conviene reflexionar
sobre algunos casos que hacen evidente la
importancia de su papel o influencia. Por
ejemplo,
algunas
personas
parecen
inteligentes, no solamente conocedoras, sino
hábiles sin importar la materia. Los filósofos,
al usar contraejemplos, caen en esta
categoría.
Un
filósofo
parece
haber
desarrollado una estrategia general en el uso
de contraejemplos. Así, en una discusión,
generalmente echa mano de esta estrategia
sin importar la materia. Es decir, se puede
estar hablando de contaminación, de política,
de economía, o de cualquier otro tema y la
presencia de esta estrategia se hace notar
claramente en sus argumentos (Perkins,
1981).
Toulmin (1958) sostuvo que dominios
diferentes
pueden
compartir
muchas
estructuras de argumento, pero traen consigo
algo diferente en cuanto a criterios de
evidencia. Aun cuando estos puntos se pueden
aceptar existe un señalamiento importante en
cuanto a que consideran lo general y lo
contextualizado como dos cosas exclusivas.
Como reto a esta dicotomía, existen
habilidades cognitivas generales, pero siempre
funcionan en formas contextualizadas a lo
largo de líneas articuladas que considera los
hábitos de pensar de los filósofos.
La búsqueda misma de contraejemplos parece
jugar un papel importante en el razonamiento
de los filósofos: les permite encontrar puntos
débiles en aseveraciones que de otra forma no
encontrarían. La búsqueda de contraejemplos
parece ser transferible: aparentemente, los
filósofos la obtienen de sus estudios y la
aplican a otros dominios. La acción de buscar
contraejemplos parece estar ausente en la
enseñanza formal. La experiencia diaria
sugiere que la mayoría de la gente no busca
reflexivamente
contraejemplos
(Perkins,
1985). Por supuesto, el uso de contraejemplos
se puede ver como un caso aislado que no
puede sostener la presencia de estos
métodos. Las áreas de investigación en este
sentido incluyen aspectos relacionados con:
a) el papel de los expertos ante problemas no
rutinarios;
b) la metacognición y los métodos débiles, y
c) la evidencia de transferencia.
124
Algunos resultados no muestran consistencia
en el reconocimiento de que las habilidades de
los expertos están directamente relacionadas
con un rico conocimiento base de esquemas
en
un
contexto
específico.
Como
consecuencia, los argumentos del experto, los
de los métodos débiles y los de transferencia
han empezado a ser cuestionados. Estos
resultados parecen señalar una nueva
perspectiva en cuanto a la presencia de los
métodos generales en la resolución de
problemas.
Al trabajar con problemas no típicos, el
experto ciertamente usa su conocimiento base
del área tratando de ver la estructura del
problema
y
usa
principios
como
la
conservación de la energía en física o el
método
de
reducción
al
absurdo
en
matemáticas. En virtud de que los problemas
no rutinarios o no familiares no se enmarcan
en un enfoque dirigido, los expertos aplican
muchas estrategias de carácter general.
Algunas de las actividades que llevan a cabo
incluyen:
I.
Búsqueda de analogías con sistemas que
entienden mejor.
II. Exploración de la existencia de analogías
falsas dentro de la analogía.
III. Hacer referencia a los modelos intuitivos
mentales para tratar de entender cómo se
comportaría el sistema.
IV. Investigación de los sistemas que se
quiere alcanzar con casos extremos
(tender a cero infinito).
V.
Construcción de problemas más simples
con la misma estructura, con la idea de
importar la solución al problema original.
Este comportamiento sugiere que un buen
número de heurísticas generales (que no
aparecen cuando el experto confronta
problemas típicos) juegan un papel importante
en el proceso de resolver problemas no
rutinarios. Es decir, cuando los problemas se
establecen en contextos específicos como los
que se encuentran en los libros de texto,
parece que el conocimiento específico de la
materia
relacionada
juega
un
papel
determinante. Sin embargo, cuando el
problema es no familiar, la presencia de
estrategias generales se hace más notable en
el proceso de solución.
Shoenfeld (1989) ha mostrado que las
heurísticas de Polya pueden ser importantes
en el aprendizaje de los estudiantes si se
discuten a un nivel contextualizado. Por
ejemplo, cita la necesidad de hacer notar que
la
estrategia
de
“considerar
casos
particulares” debe tomar en cuenta ejemplos
en los cuales se señalen diversos caminos. Es
decir, al encontrar una fórmula que involucre
a
los
números
naturales
conviene
experimentar con 1, 2, 3,…; si el problema
incluye el análisis de raíces de polinomios es
conveniente pensar en casos donde los
polinomios sean fácilmente factorizables; y si
el problema incluye una serie recursiva, se
puede iniciar con n = 0 y 1. Además, el uso de
estrategias
metacognitivas
ayuda
al
estudiante a utilizar estrategias generales
eficientemente. En general, este tipo de
estrategias se refieren al monitoreo constante
del proceso de solución. Schoenfeld afirma
que el reflexionar acerca de lo que uno está
haciendo ayuda a relacionar el conocimiento
base
de
los
estudiantes
y
aplicarlo
adecuadamente. Algunas preguntas que
Schoenfeld recomienda a los estudiantes para
pensar o reflexionar al resolver problemas
son: ¿Qué estoy haciendo ahora? ¿Me está
llevando esto a algún lugar? ¿Qué otra cosa
puedo hacer en lugar de continuar con esto?
Además, la reflexión alrededor de estas
preguntas ayuda al individuo a evitar que se
persevere o se explore un solo camino en
forma improductiva. Los resultados que
Schoenfeld ha reportado en cuanto a la
enseñanza de algunos métodos heurísticos
han sido alentadores. Por ejemplo, en un
grupo de estudiantes a nivel universitario
donde él participó como coordinador de un
curso intensivo. “Técnicas para Resolver
problemas”, encontró que los estudiantes no
sólo mostraban avances en cuanto al uso de
las estrategias al final del curso, sino que
también identificó huellas de la transferencia
del uso de estas estrategias al resolver
problemas totalmente diferentes a los
discutidos en el curso. Es importante
mencionar que en el desarrollo del curso de
Schoenfeld destaca la componente del control
o monitoreo constante por parte de los
estudiantes al trabajar los problemas. Se han
encontrado resultados parecidos en la
enseñanza de habilidades cognitivas generales
que incluyen la toma de decisiones,
estrategias de lectura y el uso de diagramas
(Nickerson, et al. 1985).
Perkins (1985) señala que cuando la gente se
enfrenta a una situación nueva, trata de
aplicar
conocimientos,
habilidades
y
estrategias de otros dominios familiares. De
hecho, la gente ignora lo nuevo en una
situación asimilándola o trasportándola a un
esquema familiar.
Algunos estudios muestran que cuando se
enseñan principios generales conjuntamente
con prácticas de autoevaluación y aplicaciones
potenciales en una variedad de contextos, se
logra la transferencia. Así, la transferencia
ocurre cuando:
I.
Se le muestra al alumno cómo
relacionan los problemas entre sí.
se
II. La atención de los estudiantes es dirigida
a resaltar la estructura de problemas
comparables.
III. Los alumnos están familiarizados con los
problemas
del
campo
o
dominio
específico, es decir, matemáticas, física,
química, u otra disciplina.
IV. Los ejemplos se acompañan de reglas
(formuladas por los mismos estudiantes).
V.
El aprendizaje se lleva a cabo en un
contexto social (formuladas por los
mismos estudiantes).
VI. El aprendizaje se lleva a cabo en un
contexto social (enseñanza recíproca)
donde las justificaciones, los principios y
las
explicaciones
son
socialmente
promovidas, generadas y contrastadas
(Browny Kane, 1988).
Perkins y Salomon (1987) indican que una
baja transferencia depende de una práctica
variada y extensiva de una habilidad. Por
ejemplo, manejar varios tipos de autos en
condiciones variadas permite manejar un
camión fácilmente. Por otro lado, una alta
transferencia depende de que el alumno lleve
a cabo una abstracción de un principio. La
gente algunas veces abstrae principios por
adelantado, los almacena en la mente con
anticipación a algunas oportunidades de
aplicación. O en situaciones nuevas regresa a
sus experiencias previas y abstrae de ellas
principios que pueden ser relevantes.
Por supuesto que con la presentación hasta
aquí hecha de algunos resultados que indican
la relación de las estrategias generales y
particulares en la resolución de problemas, la
discusión
no
está
concluida.
Algunos
elementos que le han dado relevancia a los
métodos generales son la presencia de
problemas no rutinarios y las estrategias
metacognitivas o de monitoreo. En este
contexto, quizás la complementariedad de lo
general y lo particular debe estar presente en
la solución de problemas. Perkins y Salomón
(1989) indican que:
125
Las habilidades cognitivas generales no
funcionan tomando el lugar del conocimiento
del dominio específico, ni operando de la
misma forma de un dominio a otro dominio.
Funcionan como herramientas generales de la
misma manera que funciona una mano
humana. Es decir, las manos solas no son
suficientes: se necesitan objetos que sujetar…
se
necesita
aprender
a
sujetar
apropiadamente diversos objetos. Es decir, no
se sujeta de la misma forma a un bebé y a
una silla (p. 23).
Así, cuando los métodos heurísticos no se
relacionan con el contenido base de la
disciplina, éstos parecen débiles. Por ejemplo,
el estudiante puede memorizar las estrategias
generales pero no saber cuándo ni cómo
usarlas. También, cuando el dominio base de
la disciplina opera sin heurísticas generales,
ocurre que los estudiantes desarrollan sólo
habilidades para operar fórmulas o reglas.
Muchas veces el desarrollo de habilidades para
resolver problemas en diversos campos se ha
vinculado con el desarrollo del pensamiento o
razonamiento de alto nivel. Aun cuando no
existe un común acuerdo, entre los que han
trabajado en esta dirección, en cuanto al
significado
o
caracterización
de
estas
habilidades, es importante señalar que la
mayoría coincide en que las habilidades de
alto grado de pensamiento incluyen el
desarrollo de:
a) Un pensamiento no algorítmico. Es decir,
aquel en el que no existe un camino
determinado a seguir y éste se pueda
anticipar.
b) Un pensamiento en el que el individuo
tenga que contemplar varias formas de
solución las cuales presenten ventajas y
desventajas vinculadas directamente con
el problema o situación en estudio.
c) Un pensamiento que involucre el uso de
diversos criterios los cuales algunas veces
pueden estar en conflicto.
d) Un pensamiento que algunas veces implica
cierta incertidumbre. Es decir, no siempre
se conoce lo que se tiene al alcance en
una situación o tarea.
e) Un pensamiento que incluye un monitoreo
constante
del
proceso
de
solución
(Resnick, 1987).
126
PRINCIPIOS GENERALES EN
LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Desde los tiempos de Descartes siempre ha
existido un gran interés por identificar
métodos generales para resolver diversos
problemas. Así, en “Reglas para la Dirección
de la Mente” se sugerirá transformar cualquier
problema a una forma matemática de donde
pudiera
obtenerse
una
representación
algebraica para resolverlo. En el proyecto de
resolver
cualquier
problema
surge
el
desarrollo de la geometría analítica. Polya, en
esta perspectiva, también identifica los
métodos heurísticos como un componente
fundamental en la resolución de problemas.
En este capítulo se revisa el trabajo de otro
matemático notable (Melzak) que intenta
aislar y aplicar algunos principios generales en
la resolución de problemas. Además, se
ilustran algunas estrategias que aparecen
frecuentemente
en
la
resolución
de
problemas.
MELZAK Y ALGUNOS PRINCIPIOS DE
TRABAJO
El objetivo fundamental en este capítulo es
examinar algunas estrategias básicas de
trabajo que se utilizan en el quehacer
matemático. A pesar de que el campo de las
matemáticas es amplio y existen gran
variedad de métodos y estrategias que se
identifican
al
resolver
problemas,
es
importante identificar e ilustrar estos aspectos
en cuanto a su vinculación con la enseñanza.
Muchas veces un problema matemático puede
ser resuelto utilizando varios métodos que
pueden ser cualitativamente diferentes. La
discusión de las cualidades de los métodos de
resolución también se considera en este
capítulo. Es importante mencionar que la
evaluación de las estrategias también conlleva
un sello personal del que analiza el problema
más que un valor intrínseco asociado a cada
método o estrategia.
El análisis de algunos métodos concretos,
identificados más frecuentemente en el
estudio del contenido matemático, puede ser
de gran utilidad en el desarrollo de habilidades
para decidir cuándo y cómo usarlos al resolver
problemas.
Melzak (1983), en un intento por aislar y
describir algunos de los principales principios
metodológicos
usados
en
el
quehacer
matemático, ilustra el llamado principio del
“desvío”.
Este
principio
se refiere
al
desplazamiento del problema original a otro
dominio conveniente en el cual sea más fácil
de resolver. Durante esta transferencia de un
domino a otro, se reconoce las propiedades de
la estructura esencial del problema que
juegan un papel importante en dicha
transferencia. Así, si se desea resolver un
problema difícil (M), se traslada a otro
contexto (S) que oculte su naturaleza difícil;
se resuelve el problema (T) en el contexto
(S), donde es un problema más sencillo.
Después se reinterpreta (S-1) la solución en
términos del contexto original. El principio del
“desvío” se puede representar en símbolos
como M = STS-1.
Una aplicación del principio del “desvío” se
ilustra en el cálculo del producto (M) de los
números romanos XIX y LXXVII. Dado que no
existe un algoritmo para multiplicar en este
sistema de números, se lleva este problema al
contexto arábigo (S), donde la multiplicación
es fácil de obtener. Es decir, se lleva a la
forma conocida de multiplicar 19 x 78, dando
como resultado 1482 (T). Finalmente, se
regresa a los números romanos (S-1) para dar
la solución del problema original: MCDLXXXII.
Un análisis e interpretación de las relaciones
entre el principio del desvío y los métodos y
estrategias presentados por Polya revelan
aspectos comunes. Por ejemplo, ambos
incluyen la consideración de diversos caminos
cuando se presentan dificultades en la
resolución de problemas. Melzak ilustra el
principio del desvío en diversos campos como
la ingeniería, la física, las comunicaciones y
las matemáticas. En cada uno de los
ejemplos, el cambio de un dominio a otro y la
consideración de la estructura del problema se
ilustran claramente. A partir de esto se
pueden generar elementos firmes que ayuden
a
decidir
qué
estrategias
son
más
convenientes y cuándo puede usarse.
Otro principio de trabajo identificado por
Melzak es el “principio de alineamiento”. Este
se refiere a la transformación de un problema
geométrico que incluya la suma de dos, tres o
más segmentos a una forma más fácil de
trabajar. Para ilustrar este principio se
utilizará el siguiente ejemplo:
“Si los puntos k y b se localizan en un mismo
lado de una línea recta L, encontrar el punto x
en la recta L de tal manera que la suma de ax
+ bx sea la mínima”.
Sea x el punto que se desea determinar. Se
alinean la suma ax + bx reflejando b en b1 la
imagen reflejada de b con respecto a L. Se
127
tiene que ax + bx = ax + xb1 claramente es
un mínimo cuando los tres puntos a, x y b1
están sobre la misma línea. Por lo tanto, los
segmentos
ax
y
xb
forman
ángulos
congruentes con respecto a L. En términos
ópticos, para que el camino sea mínimo, el
ángulo de incidencia debe ser igual al ángulo
de reflexión, como en la figura.
Es importante mencionar que muchas veces el
conocimiento de estrategias generales puede
permanecer
inerte
al
menos
que
explícitamente se sugiera su uso. Santos
(1992) argumenta que los estudiantes
necesitan entender cómo cierta información
nueva puede funcionar como herramienta y
hacer más fácil la resolución de nuevos
problemas.
Al resolver problemas, el individuo o grupo de
personas muestran aspectos relacionados con
el análisis del problema, la toma de
decisiones, el monitoreo del progreso, y la
evaluación completa de la solución o
soluciones. Es decir, el individuo que resuelve
el problema primeramente tiene que obtener
una representación apropiada del mismo. En
esta fase, es importante considerar las
condiciones del problema y analizar las metas
u objetivos. También es necesario identificar
los hechos relevantes del problema y entender
qué tan restringidas son las condiciones y qué
tan claras son las metas. Así, al obtenerse la
solución, es necesario realizar una evaluación
respecto a las condiciones del problema y las
metas. Es decir, resolver un problema implica
que el individuo entienda lo que hizo y pueda
explicar por qué sus acciones fueron correctas
o apropiadas.
Polya (1945) sugiere una serie de estrategias
asociadas con los diversos momentos que se
identifican en el proceso de resolver
problemas. Por ejemplo, es importante
analizar lo que en el problema se identifica
como pregunta y como información dada.
Algunas preguntas iniciales que pueden guiar
esta discusión en la fase de análisis son las
siguientes: ¿son las metas viables?, ¿cuáles
son los principios relevantes o apropiados
relacionados con los datos y las metas del
problema?, ¿qué contenido matemático encaja
en el plan de solución? En esta discusión, el
uso de algún método heurístico puede ser
importante y estar relacionado con el tipo de
128
problema a resolver. En esta fase de análisis
algunas heurísticas que pueden ayudar a
entender el problema son:
I.
Dibujar un diagrama o algún tipo de
representación pictórica que ayude a
identificar los componentes del problema.
II. Ejemplificar el problema con casos
especiales con el propósito de identificar
el comportamiento de la información o
algún patrón, o resolver casos particulares
que ayuden a resolver el problema.
III. Identificar
algunas
simplificaciones
preliminares. Es decir, si un problema, por
ejemplo, involucra figuras geométricas, es
conveniente
seleccionar
inicialmente
figuras fáciles de analizar (triángulos
equiláteros, isósceles, cuadrados, círculos
unitarios).
En el diseño de un plan se intenta tener una
perspectiva global de lo que se va a hacer e
identificar cierto orden o jerarquía. Por
ejemplo, es importante pensar en un plan a
nivel cualitativo para posteriormente detallar
el proceso de resolución. Por ejemplo, es
importante no involucrarse en cálculos u
operaciones complejas hasta ejemplo, es
importante no involucrarse en cálculos u
operaciones complejas hasta que (I) se hayan
evaluado varias alternativas; (II) exista una
clara justificación de que los cálculos son
necesarios, y (III) exista un avance notable y
se haya llegado a un punto donde los
resultados de los cálculos sean necesarios.
La exploración es el camino natural después
del análisis y el diseño de un plan. En la etapa
de exploración se pueden identificar dos
momentos:
a) El problema y sus equivalentes. Aquí se
intenta identificar algún problema similar y
realizar algunos ajustes que puedan
ayudar a avanzar en la resolución. Por
ejemplo, se pueden reemplazar algunos
datos
usando
sus
equivalentes
(paralelogramo con lados opuestos iguales
y paralelos, o cerrado con complemento
abierto, o que contiene todos sus puntos
límites) o tratar de reformular el problema
usando una notación más adecuada o
arreglando la información en una forma
diferente
(usando
diagramas).
Aquí
también se puede pensar en identificar
algunas submetas o eliminar algunas
alternativas o posibilidades identificadas
originalmente.
b) El problema modificado ligeramente. Aquí
se
trata
de
resolver
problemas
relacionados más sencillos que resulten al
agregar más información o eliminando
algunas condiciones. También esta fase
incluye
el
intentar
problemas
más
complicados
al
eliminar
algunas
restricciones de los datos o al considerar
aspectos más generales.
Esto ayuda a analizar el papel que juegan las
condiciones dadas en el problema. Por
ejemplo, en lugar de demostrar que una
sucesión converge, uno puede intentar
explorar a qué converge y esto puede aclarar
alguna información que en principio no se
veía.
PRESENTACIÓN DE ALGUNOS MÉTODOS Y
ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Existen problemas matemáticos en los que los
desarrollos o enunciados pueden sugerir qué
método o técnica utilizar. Por ejemplo, un
problema que involucre máximos o mínimos
puede sugerir la búsqueda de un modelo
funcional del problema y aplicar una serie de
técnicas para determinar el máximo o mínimo.
Sin embargo, la mayoría de los problemas no
pueden ser resueltos a través del uso directo
de alguna regla o procedimiento único, sino
que éstos necesitan ser trasformados,
representados en diferentes formas, o
requieren ser transportados a otros dominios
para finalmente resolverlos. Por ejemplo, el
principio del desvío, en el cual se resalta la
transferencia del problema original a otro
dominio o contexto como un medio para
obtener la solución, es usado frecuentemente
en la resolución de problemas. En la
transferencia
resalta
el
reconocimiento
explícito de la estructura del problema
original.
Dicha
estructura
puede
ser
amplificada,
reducida
o
simplemente
interpretada desde perspectivas diferentes con
la
intención
de
resolver
dificultades
inmediatas asociadas con el problema original.
Por supuesto, en el reconocimiento de las
cualidades del problema aparecen varias
componentes que pueden sugerir algunas
direcciones. Por ejemplo, si el problema
contempla relaciones entre enteros positivos,
entonces se puede pensar en la consideración
de casos particulares que incluyan a los
primeros naturales, con la idea de identificar
algún patrón.
Algunos métodos que se han identificado
como importantes en la resolución de
problemas se ilustran con algunos ejemplos.
Pro supuesto, éstos no son exhaustivos: lo
que se intenta es mostrar su utilidad y se
espera que el lector identifique otros
problemas que puedan resolverse por medio
de estos métodos.
El método de los dos caminos. El objetivo
de este método es expresar el problema dado
por medio de dos expresiones algebraicas e
igualarlas. El proceso de trabajar esta
igualdad regularmente conlleva a la solución
del problema. Para ilustrar el uso de este
método resolveremos el siguiente problema.
Dado un triángulo equilátero, se selecciona un
punto interior aleatoriamente. Desde este
punto se trazan líneas perpendiculares a cada
uno de los lados. Pruebe que la suma de los
segmentos
que
forman
estas
líneas
perpendiculares es igual a la altura del
triángulo.
Sea P un punto interior del triángulo
equilátero ∆ABC de lado x. si Pa Pb y Pc son
las líneas perpendiculares a los lados AB, BC y
AC, respectivamente, entonces:
Área de ∆APB = (Pa)(x)/2, área de ∆BPC =
(Pb) (x)/2, y área de ∆APC = (Pc)(x)/2.
Una forma de expresar el área del triángulo
ABC es:
Área de ∆ABP + área de ∆APB + área de
∆APC.
La misma área del ∆ABC puede ser expresada
como x h/2. Igualando estas dos expresiones
del área se tiene que:
(1/2)(x)(h) = (1/2){(x) (Pa + Pb + Pc)}.
Que h = Pa + Pb + Pc, que es lo que se
quería probar.
Otro ejemplo del método de los dos caminos
es una prueba del teorema de Pitágoras.
Según Melzak (1990), existe evidencia de que
la prueba original del teorema tuvo como
referencia alguna de las dos siguientes
figuras.
129
a) Dados P(x)=x²+6x+8 y Q(x)=8x²+6x+1,
las raíces correspondientes de P(x) y de
Q(x) son, respectivamente:
X1=-2 y x2=-4; x1=-(1/2), x2=-(1/4)
b) P(x)=x²+5x+6 y Q(x)=6x²+5x+1
Para aplicar el método de los dos caminos se
calcula el área del cuadrado grande de dos
maneras: Una, en forma directa, y la otra
como suma de las áreas de las figuras
interiores. Así, para la figura a se tiene que
(a + b)² = c² + 4(ab/2)
Mientras que para la figura b se tiene:
c² = (b–a)² + 4(ab/2)
Las
raíces
de
respectivamente:
P(x)
y
Q(x)
son,
x1)-2, x2=-3; x1)-(1/2), x2=-(1/3)
Al considerar polinomios como los anteriores,
fáciles de factorizar, se obtiene información
que ayuda a encontrar la relación que se
busca. Es decir, sean
P(x)=a0+a1x+a2x²+…anxn
y
En ambos casos resulta que a² + b² = c²
Q(x)=an+an-1x+an-2x²+…+a0xn
El método de cancelación. Este método
consiste en reordenar los términos de un
problema dado de tal forma que algunos se
eliminarán. Su uso aparece frecuentemente en
los cálculos de sumas. Por ejemplo, al calcular
la suma:
Los dos polinomios dados. Las raíces de P(x)
son recíprocas de las raíces de Q(x). Para
probar esto, supongamos que r es una raíz de
p(x); así que P(r)=0. Observemos que r_0, ya
que a0_0. Además,
(4)/1(3)+(4)/3(5)+(4)/5(7)+(4)/7(9)
(1/rn)(a0+ar+…+anrn)=(1/rn)P®=0
Es conveniente escribir la expresión como:
{(2/1)-(2/3)}+{(2/3)-(2/5)}+{(2/5)(2/7)}+{(2/7)-(2/9)}
La cual da como resultado 2 – (2/9)=16/9.
El método de casos especiales. Un
problema que incluya el análisis de las raíces
de polinomios puede intentarse a partir de la
consideración de casos éstas sean fáciles de
determinar. Por ejemplo, trabajar con
polinomios con raíces enteras puede ayudar a
resolver
ciertos
problemas
sobre
comportamiento de las raíces. Por ejemplo, si
P(x)=a0+a1x+a2x²+…anxn
y
Q(1/r)=an+an-1(1/r)²+…+a0(1/r)n=
De aquí que (1/r) es una raíz de Q(x).
Inversamente, si s es una raíz de Q(x), se
tiene que P(1/s)=0.
Reducción de un problema a casos más
simples.
Esta
estrategia
aparece
frecuentemente en la resolución de problemas
matemáticos. La idea es considerar casos más
simples que se deriven del problema original.
Estos casos ayudan a atacar el problema por
partes. Posteriormente, al considerar las
soluciones parciales como un todo se obtendrá
la solución del problema. Así, por ejemplo, al
resolver
la
desigualdad
(x²+1)(y²+1)(z²+1)>8xyz
(con x, y y z
números positivos), es conveniente iniciar con
casos más simples como:
I.
x² + 1 > 2x;
Q(x)=an+an-1x+an-2x²+…+a0xn
II. y² + 1 > 2y;
¿Cuál es la relación entre las raíces de P(x)y
las de Q(x)?
III. z² + 1 > 2z.
El análisis de casos particulares puede ayudar
a resolver el problema. En este caso se
trabaja con polinomios que sean fáciles de
factorizar:
130
Cada caso se puede resolver fácilmente. Por
ejemplo, (I) se puede expresar como x²2x+1>0, es decir, (x-1)²>0 lo cual siempre se
cumple. Ahora multiplicando (I), (II), y (III),
se obtiene la solución total.
Sumar cero. Cuando un problema se debe
expresar en cierta forma, es conveniente
sumar y restar el mismo número (sumar
cero). Por ejemplo, dada la expresión ƒ(x)g(x)
– ƒ(a)g(a) suponiendo que nos interesa
trabajar con las expresiones:
ƒ(x) – ƒ(a) y g(x) – g(a), entonces es
conveniente escribir:
ƒ(x)g(x)-ƒ(a)g(a)=[ƒ(x)-ƒ(a)]g(x)+ƒ(a)g(x)ƒ(a)g(a)=
[ƒ(x)-ƒ(a)]g(x)+[g(x)-g(a)]ƒ(a).
La estrategia de “sumar cero” se usa también
en problemas que requieren encontrar la
forma
“estándar”
de
ecuaciones
de
circunferencias,
elipses,
hipérbolas
y
parábolas. Por ejemplo, para encontrar el
centro y la longitud del radio de una
circunferencia cuya ecuación es x²+y²+6x8y+21=0, se procede a completar los
cuadrados. Es decir, la ecuación puede
expresarse como: x²+6x-3²+y²-8y+4²-4²=21; lo que implica que (x+3)²+(y-4)²=2². De
donde se obtiene que el centro tiene
coordenadas C(3,4) y el radio es 2.
Otra estrategia importante que se utiliza
ampliamente en la resolución de problemas es
la multiplicación por uno. Es decir, multiplicar
y dividir por la misma expresión.
Dibujar una figura o diagrama cuando sea
posible. Una representación gráfica puede ser
útil en la identificación de componentes
importantes del problema. en la fase de
comprensión del problema, el pensar en una
figura o un diagrama muchas veces no
solamente ayuda a identificar los elementos
importantes del problema sino que también
puede
sugerir
alguna
estrategia
para
resolverlo.
Por ejemplo, ¿para qué valores de a el
sistema de ecuaciones x²-y²=0 y (x-a)²+y no
tiene solución, tiene una, dos, tres, cuatro, o
cinco soluciones? La dificultad de resolver el
sistema surge inmediatamente al intentar los
primeros cálculos algebraicos. Sin embargo, la
representación gráfica ofrece un panorama
alentador para determinar la solución del
problema.
La
representación
gráfica
del
sistema
claramente muestra los casos que se
consideran en el planteamiento del problema.
Otro ejemplo del potencial de usar diagramas
o representaciones gráficas se ilustra en el
siguiente problema:
Un recipiente de forma semiesférica de radio
20 cm. contiene agua hasta llenar 4 cm.
¿Hasta qué ángulo se puede inclinar el
recipiente sin que se derrame el agua?
En la figura 3 se observa que sen _ = (12)/20.
De aquí puede obtenerse fácilmente el ángulo
de inclinación requerido.
El
método
de
sustitución.
La
transformación de la expresión de un
problema a una forma más fácil de operar es
una estrategia importante en la resolución de
problemas. Por ejemplo, para encontrar los
valores de x que satisfagan la ecuación
8(4x+4-x)-54(2x+2-x)101=0
es conveniente observar que
4x=(2x)²
y
4-x=(2x)-2
Esto sugiere hacer la sustitución y=2x, la cual
transforma la ecuación original en la expresión
8(y²+1/y²)-54(y+1/y)+101=0.
Empleando otra sustitución (= = y + 1/y), la
expresión anterior se puede escribir como
8z²-54z+85=0
la cual representa una
ecuación cuadrática fácil de resolver. Al
obtener la solución se observa que z=5/2 y
z=17/4; entonces,
y=2, 1/2, 4, 1/4.
Finalmente, las soluciones para x serán 1, -1,
2, -2.
Correspondencia de condiciones iniciales.
Es común encontrar problemas en donde el
131
análisis de los datos puede sugerir un camino
eficiente
para
resolver
el
problema.
Particularmente, el análisis de la información
inicial puede ayudar a evitar caminos largos y
tediosos. Por ejemplo, en el problema “La
suma de dos números es 28 y el producto de
estos números es 7. Encontrar la suma de los
recíprocos de los números”, es conveniente
analizar y escribir las condiciones iniciales del
problema.
Estas
condiciones
pueden
expresarse como a+b=28 y ab=7. Ahora, en
lugar de resolver el sistema de ecuaciones, es
importante notar lo que se pide en el
problema. Es decir, la suma de los recíprocos
de los números. Ésta suma se puede
representar como (1/a) + (1/b). Esta relación
puede expresarse de la forma (b+a)/ab.
Ahora, usando las condiciones iniciales del
problema, la suma deseada se obtiene
fácilmente: (28)/7=4.
Otro ejemplo en esta categoría es encontrar el
valor (x+y) si x²+y²=36 y xy=-10. Aquí es
conveniente analizar las condiciones del
problema y explorar algún camino para
resolverlo. Por ejemplo, relacionar el problema
con el cuadrado de un binomio parece un
camino adecuado para resolverlo.
X²y² = 36
2xy=-20
x²+2xy+y²=16
Esto es, (x+y)² = 16 y por lo tanto x+y = ±4.
Como un ejemplo final con esta estrategia,
supongamos que se quiere probar que no
existe
un
número
real
x
tal
que
x12+x8+x6+x4+x²+9 = 0.
La resolución de este problema puede iniciarse
con la suposición de que existe un número
real z que satisface la ecuación. Se observa
que la sustitución de z en la ecuación genera
una contradicción, ya que 9 más la suma de
los otros términos siempre da como resultado
un número mayor que cero. Por lo tanto, no
existe número real que satisfaga la ecuación.
Los ejemplos que se han presentado en este
capítulo ilustran algunas estrategias que se
usan frecuentemente en el proceso de
resolver problemas. Además de resaltar la
importancia
de
que
los
estudiantes
explícitamente identifiquen otros ejemplos en
donde puedan utilizarse tales estrategias,
también es importante tratar de identificar
otros métodos o formas de resolución de otros
problemas.
132
LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS Y SUS
CONEXIONES CON OTRAS
ÁREAS DEL CONOCIMIENTO
La necesidad de estudiar determinado
fenómeno desde varias perspectivas se ha
vuelto muy importante en los últimos años. En
la resolución de problemas matemáticos, los
avances en áreas del conocimiento como la
psicología, la antropología, la inteligencia
artificial y la filosofía han contribuido
notablemente en el entendimiento del proceso
de cómo un individuo resuelve problemas. En
este capítulo se revisan ideas de las ciencias
cognitivas que han tenido influencia en la
resolución de problemas; se presentan
algunas tendencias en cuanto al interés por
implantar actividades asociadas con la
resolución de problemas en el salón de clases
y se discuten algunas direcciones para su uso.
LAS MATEMÁTICAS Y OTRAS
DISCIPLINAS
El desarrollo de las matemáticas siempre ha
influenciado el desarrollo de las ciencias en
general. Así, en momentos particulares la
ciencia se ha ligado al estado de las
matemáticas
en
diversos
momentos
históricos. Por ejemplo, el estudio de las
cónicas en el año 200 a. C. contribuyó al
establecimiento de las leyes del movimiento
de los planetas en 1609 (Leyes de Kepler).
Gardner (1985a) indica que el científico
requiere de las matemáticas porque el cuerpo
de hechos es ingobernable. El conjunto de
relaciones abstractas que puede obtenerse de
las
matemáticas
es
una
herramienta
importante en la tarea de ordenar estos
hechos. Por otro lado, el matemático también
necesita de otras ciencias para no solamente
aplicar algunos resultados sino también para
entender las actividades relacionadas con el
quehacer matemático.
Un aspecto esencial en el entendimiento de
cómo el individuo resuelve problemas ha sido
el observar, codificar y analizar los procesos
utilizados por los expertos de determinada
área al resolver problemas. Observar a los
estudiantes en acción, resolviendo problemas
también ha ayudado a caracterizar algunos
factores que aparecen cuando realizan esta
actividad. En este sentido, es importante
considerar métodos de observación, de
codificación de datos y de organización que
ayuden a analizar la información que se
obtiene al caracterizar el proceso observado
en el estudiante y el experto al resolver
problemas. Es aquí donde el trabajo de otras
áreas del conocimiento desempeña un papel
importante al tratar de modelar los aspectos
relacionados con la resolución de problemas.
Schoenfeld (1987) revisó algunos estudios
realizados en las ciencias cognitivas y
particularmente en el área de inteligencia
artificial. Encontró que en estas disciplinas se
han producido programas que son capaces de
resolver
problemas
de
ajedrez,
lógica
simbólica, y cálculo integral con mucho éxito.
Las ideas empleadas en estos programas
incorporan estrategias usadas por expertos al
resolver
problemas.
Para
describir
y
posteriormente
codificar
las
actividades
usadas por los expertos, se emprende una
observación sistemática del proceso que ellos
utilizan
al
resolver
los
problemas.
Generalmente,
estas
observaciones
se
organizan en conjuntos de procedimientos
descriptivos que las computadoras usan para
producir resultados.
Schoenfeld (1987) mencionó que para
entender el proceso llevado a cabo por
quienes resuelven problemas matemáticos y
poder proponer líneas a seguir en la
instrucción matemática, es necesario tomar en
cuenta la disciplina, la dinámica del salón de
clases y el aprendizaje junto con el proceso de
pensar.
Es
decir,
es
importante
la
incorporación
del
conocimiento
de
los
matemáticos, profesores de matemáticas,
educadores, y especialistas de las ciencias
cognitivas.
En cuanto a los matemáticos, es importante
considerar la información acerca del tipo de
estrategias que utilizan inicialmente al
resolver un problema, los cambios que
ocurren durante el proceso, los aspectos
metacognitivos, y la evaluación continua del
proceso de solución.
Reflexiones
acerca
de
qué
son
las
matemáticas
y
su
desarrollo
están
ampliamente documentadas en los trabajos de
Polya (1945), Lakatos (1976), Kline (1980),
Davis y Hersh (1981), y Kitcher (1983).
Los profesores de matemáticas son agentes
importantes en la implantación de diversas
actividades de aprendizaje, por lo cual su
opinión es importante para determinar las
ventajas y limitaciones que ofrece el salón de
clases. En la práctica de la enseñanza sus
puntos de vista acerca del tipo de
interacciones grupales en el desarrollo o
implantación de actividades dentro y fuera de
133
la clase son esenciales. Los educadores
desarrollan un papel fundamental en el uso de
métodos y propuestas específicas en el
aprendizaje
de
las
matemáticas.
Sus
investigaciones han sido importantes tanto en
la caracterización de cómo el individuo
resuelve problemas, como en la implantación
de algunos resultados de investigación en el
salón de clases. Forman un punto de apoyo
entre las ideas de los instructores y las
propuestas que emanan de la observación
sistemática del quehacer matemático. La
experiencia de los especialistas de la cognición
acerca de cómo la gente resuelve problemas
ha sido de gran utilidad para entender el
proceso utilizado por los estudiantes al
resolver problemas matemáticos. En el área
de la inteligencia artificial, por ejemplo, ha
habido gran interés por entender y simular el
proceso que muestra un experto al resolver
problemas. En la observación sistemática del
comportamiento del experto es importante
considerar métodos donde se observe con
detalle el proceso que utiliza. Es aquí donde la
experiencia de la gente que trabaja en
antropología puede contribuir a la realización
de estas observaciones. Gardner (1985)
sugiere que para entender el proceso de
resolver problemas se tiene que considerar
información de áreas como psicología,
filosofía, inteligencia artificial, lingüística y
antropología. Es decir, los diversos estudios
donde
las
ciencias
cognitivas
intentan
responder cuestiones relacionadas con la
adquisición del conocimiento. Entre los
elementos esenciales que Gardner identifica
en las ciencias cognitivas destacan los
siguientes.
a) Las
representaciones.
Quienes
se
dedican a las ciencias cognitivas ponen
atención al análisis de los niveles de
representación.
Las
entidades
de
representación que interesan incluyen
símbolos, reglas e imágenes. Además se
explora la forma en que estas entidades
interactúan, se transforman, o contrastan
entre sí. Esto es de utilidad para explicar
el
pensamiento,
la
acción
y
el
comportamiento humano. La premisa
fundamental para el estudio de las
representaciones es aceptar que la
actividad cognitiva humana debe ser
descrita
en
términos
de
símbolos,
esquemas, imágenes, ideas y otras formas
de representación mental.
b) Las computadoras. La presencia de las
computadoras en las ciencias cognitivas ha
sobresalido en dos direcciones. Una, como
modelo del pensamiento humano; otra
134
como herramienta para analizar datos y
para incrementar el número de ensayos
que simulen el proceso cognitivo. La
inteligencia artificial, la ciencia construida
que trata de la simulación computarizada,
es una de las ciencias cognitivas centrales.
Sin embargo, para muchos científicos
cognitivos
las
computadoras
son
solamente el último de una serie de
modelos inadecuados de la cognición.
c) Menos atención al efecto, contexto,
cultura
e
historia.
Aun
cuando
abiertamente los estudiosos de las ciencias
cognitivas no estén en contra de
incorporar el campo afectivo, el contexto
que rodea alguna acción del pensamiento,
o en contra de análisis históricos y
culturales, en la práctica, en los análisis y
relaciones que utilizan, la influencia de
estos factores se reduce al mínimo, a
favor de la viabilidad del análisis. “Si uno
quisiera tomar en cuenta estos elementos,
el desarrollo de las ciencias cognitivas
sería imposible. En un esfuerzo por
explicar todo, se termina explicando nada”
(Gardner, 1982, p. 41).
d) La
creencia
en
estudios
interdisciplinarios. Existe la creencia
entre los estudiosos de las ciencias
cognitivas que un trabajo interdisciplinario
puede lograr avances más notables que
una sola disciplina. Por ejemplo, el trabajo
en percepción visual y en procesamiento
lingüístico se ha relacionado con áreas
como la psicología, la neurociencia y la
inteligencia artificial.
e) Las raíces en problemas clásicos de la
filosofía. Gardner (1985) señala que los
problemas clásicos de la filosofía son
elementos claves de la ciencia cognitiva
contemporánea. El papel de la filosofía
puede ser polémico entre los científicos
cognitivos respecto a si las preguntas
importantes fueron bien formuladas o
examinadas por los filósofos; sin embargo,
vale la pena revisar las diversas
posiciones, en particular, las relacionadas
con el pensamiento humano.
Schoenfeld (1987) destaca que en la
educación matemática es importante que las
contribuciones de las ciencias cognitivas se
discutan y ajusten a las condiciones propias
de la disciplina. Aun cuando a los psicólogos
les interese explorar cómo se almacena y se
tiene
acceso
al
conocimiento
usando
problemas aritméticos verbales, o a los que
trabajan en inteligencia artificial les interese
diseñar
programas
que
simulen
el
pensamiento
humano,
existen
aspectos
metodológicos que de hecho ya han estado
influyendo en el desarrollo de la educación
matemática. La posición de Schoenfeld se
ilustra en el siguiente diagrama:
matemáticas se base en la resolución de
problemas. Las ideas de Polya juegan un
papel rector en los materiales que acompañan
a la presentación e implantación de esta
propuesta en la práctica de la enseñanza de
las
matemáticas
(NTCM.,
1980a).
Sin
embargo, es importante señalar que al llevar
al salón de clases esta propuesta hubo
diversas
interpretaciones.
Algunas
características que dominaban los enfoques de
la enseñanza de las matemáticas y la
resolución de problemas incluyen:
I.
Principales contribuidores al progreso de la
instrucción matemática
(Schoenfeld 1987b, pág. XIX)
TENDENCIAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS Y LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
En los últimos veinte años, a nivel
internacional, la propuesta de aprender
matemáticas a través de la resolución de
problemas ha estado presente en el ambiente
educativo. Sin embargo, en la práctica se han
podido identificar diversas posiciones acerca
de su significado. Por ejemplo, muchos
profesores enfocan esta propuesta a partir del
uso de métodos heurísticos; mientras que
para otros la esencia es centrarse en los
cuatro
pasos
sugeridos
por
Polya
(entendimiento, diseño, implantación, y visión
retrospectiva). Esto ha producido incluso
diversas
presentaciones
del
currículo
matemático: Por ejemplo, la resolución de
problemas aparece como una unidad final de
determinado tema, como un enfoque a través
del curso, o como una serie de actividades. La
falta de información acerca de la propuesta ha
contribuido a la divergencia de significados.
En México, el proceso de revisión de los
planes y programas de estudio de los niveles
básico y medio tratan de incorporar las ideas
vinculadas con la resolución de problemas, y
como consecuencia es necesario entender las
diversas posiciones relacionadas con el
aprendizaje de las matemáticas.
El trabajo de Polya (1945) ha sido esencial
para el desarrollo de esta propuesta. Por
ejemplo,
la
NCTM
(1980)
recomienda
abiertamente que el aprendizaje de las
La existencia de un apartado ubicado al
final de una unidad o de un curso que se
identificaba
como
“resolución
de
problemas”. En esta parte se generaba
una discusión explícita de algunas
estrategias y su papel en la resolución de
problemas.
II. La presentación de los contenidos a los
estudiantes con la posterior selección de
un problema donde se aplicarían los
contenidos estudiados. En la resolución de
este problema donde se discutían los
pasos identificados en el modelo de Polya.
Es decir, se diseñan una serie de
preguntas relacionadas con cada una de
las fases (entendimiento, diseño e
implantación de un plan, y visión
retrospectiva) para que los estudiantes las
discutieran. Frecuentemente, el proceso
de seguir el modelo de Polya se volvía
rígido y rutinario para el estudiante.
Muchas veces era obligado a seguir las
fases aun cuando podía resolver el
problema inmediatamente.
III. Los maestros decidían iniciar el estudio de
determinado contenido matemático a
través de la resolución de algún problema.
Es decir, el encontrar la solución del
problema justificaba la necesidad de
estudiar el contenido matemático.
IV. La resolución de problemas se presentaba
como un arte que daba lugar a que los
estudiantes discutieran una variedad de
problemas incluyendo los no rutinarios. Es
decir, aquí los estudiantes tenían que
discutir
sus
propias
ideas,
hacer
conjeturas,
usar
ejemplos
y
contraejemplos, y proponer diversos
métodos para encontrar la solución de un
problema.
Esta
era
una
actividad
permanente en el desarrollo.
Kilpatrick (1988) resume el uso de la
resolución de problemas en tres direcciones:
135
I.
Los problemas se analizan como un
vehículo para lograr algunas metas
curriculares. Estas metas pueden incluir
aspectos relacionados con la motivación,
recreación,
justificación,
o
práctica
(resolución de problemas como contexto);
II. La resolución de problemas se considera
como una de tantas habilidades que se
deben enseñar en el currículo y
III. La resolución de problemas se ve como un
arte en el sentido del simular la actividad
matemática dentro del salón de clases, lo
que Schoenfeld (1985) identifica como el
desarrollo
de
un
“microcosmos
matemático” en el salón de clases.
HACIA UNA INSTRUCCIÓN DE LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En
la
discusión
sobre
las
diversas
interpretaciones que pueden generarse a
partir del uso de actividades relacionadas con
la resolución de problemas es importante
identificar los elementos que le dan forma a la
práctica de la resolución de problemas en el
aprendizaje de las matemáticas. Es decir, la
forma de concebir o aceptar las matemáticas
delimita o afecta las actividades que se deben
implantar en el salón de clases. Así, un
aspecto esencial para identificar el potencial
del uso de la resolución de problemas es
caracterizar a las matemáticas y la forma en
que el estudiante aprende esta disciplina.
En opinión del “Nacional Research Council” las
matemáticas revelan patrones escondidos que
ayudan a entender el mundo que nos rodea.
Actualmente, más que aritmética y geometría,
las
matemáticas
muestran
una
gran
diversidad que trata con datos, medidas y
observaciones; con inferencias, deducciones y
demostraciones y con modelos matemáticos
de fenómenos naturales, del comportamiento
humano y de sistemas sociales. Por lo tanto,
el
proceso
de
desarrollar
o
producir
matemáticas va más allá de sólo realizar
cálculos y deducciones. Es decir, este proceso
también incluye la observación de patrones, la
prueba de conjeturas y la estimación de
resultados (NRC 1989; p. 31).
En esta misma dirección, el punto de vista del
NCTM (1990) considera que las matemáticas
son una disciplina que busca las regularidades
o patrones de diversos fenómenos. En relación
al aprendizaje de esta disciplina, el NCTM
establece que es importante que el estudiante
aprenda más allá de las reglas y sea capaz de
expresar
relaciones
en
el
lenguaje
matemático. Schoenfeld (1989) menciona que
136
la principal meta en el aprendizaje de las
matemáticas. Para lograr estas metas los
estudiantes tienen que discutir sus ideas,
negociar sus puntos de vista, especular acerca
de los posibles resultados, y usar diversos
ejemplos y contraejemplos que ayuden a
confirmar o a ajustar sus ideas. Schoenfeld
(1988) menciona que:
Para que los estudiantes vean a las
matemáticas como una disciplina con sentido,
es necesario que interactúen e internalicen los
principios asociados a esta disciplina. Los
estudiantes necesitan aprender matemáticas
en un salón de clases que presente un
microcosmos de la cultura matemática, esto
es, clases donde los valores de las
matemáticas como una disciplina con sentido
sean reflejados en la práctica cotidiana (pp.
87-88).
Entre
los
principios
importantes
que
Schoenfeld menciona para el aprendizaje de
las matemáticas, incluyen que el estudiante
reconozca que:
I.
Encontrar la solución de un problema
matemático no es el final de la empresa
matemática, sino el punto inicial para
encontrar otras soluciones, extensiones y
generalizaciones del problema. Además,
en el desarrollo de las matemáticas el
proceso
de
formular
o
rediseñar
problemas
se
identifica
como
un
componente esencial en el quehacer
matemático.
II. Aprender matemáticas es un proceso
activo que requiere de discusiones sobre
conjeturas y pruebas. Este proceso puede
guiar a los estudiantes al desarrollo de
nuevas ideas matemáticas. Es decir, el
planteamiento de preguntas, la búsqueda
de respuestas y de justificaciones son
actividades que se pueden practicar desde
la enseñanza elemental y su práctica
cotidiana pueden producir resultados
matemáticos nuevos.
Entre las actividades de aprendizaje asociadas
con estos principios resalta el propósito de
ayudar a los estudiantes a explotar lo que
ellos saben y usar sus conocimientos en forma
efectiva. Algunas actividades compatibles con
la propuesta de aprender matemáticas a
través de la resolución de problemas incluyen
actividades como:
I.
Que el maestro resuelva periódicamente
problemas nuevos (uno cada semana) en
el salón de clases. Es decir, es importante
que los alumnos observen las diversas
estrategias que se utilizan cuando uno se
enfrenta a problemas no estudiados o
resueltos antes de la clase. Aquí, el
maestro modela ante los alumnos el
proceso real de resolver problemas ya que
se pueden ilustrar aspectos como la
selección y cambios de estrategias a
través del proceso de resolución.
II. Mostrar a la clase filmaciones o trabajos
de
otros
estudiantes
resolviendo
problemas. Esto es con la finalidad de
discutir las destrezas y debilidades
mostradas por esos estudiantes en el
proceso de resolver problemas. Aquí se
intenta criticar los métodos de resolución
y además proponer y evaluar algunas
alternativas.
III. Actuar como moderador mientras los
estudiantes discuten problemas. Es decir,
aun cuando los estudiantes son motivados
a que seleccionen y traten ideas que
consideren verosímiles, el maestro (como
moderador)
puede
sugerir
algunas
direcciones que sean de valor para la
discusión. Schoenfeld recomienda que la
clase se organice en grupos pequeños y
que
constantemente
respondan
a
preguntas como: ¿Qué estás haciendo?
¿Puedes describirlo en una forma precisa?
¿Cómo se relaciona eso con la solución?
¿Qué harás con el resultado que
obtengas?
IV. Discutir con los estudiantes problemas
que involucren el uso de varios métodos
de solución o que incluyan varias
soluciones.
En
este
contexto,
es
importante que los estudiantes discutan
las cualidades de las diversas formas de
resolver un problema y notar que muchas
veces la calidad del método de resolución
también
es
importante
en
las
matemáticas.
V.
Es importante que los estudiantes
participen en el proceso de formular o
rediseñar problemas. Así, el estudiante
tendrá la oportunidad de evaluar y
contrastar las estrategias y contenidos
asociados con la resolución del problema
con sus compañeros.
Schoenfeld reconoce la importancia de
relacionar las actividades de aprendizaje en el
salón de clases con las actividades que los
matemáticos y expertos en el área llevan a
cabo cuando desarrollan matemáticas. Así,
Schoenfeld afirma:
Si uno desea que los estudiantes salgan del
salón de clases con el sentido real de las
matemáticas, entonces el medio ambiente del
salón de clases tiene que reflejar actividades
en las que los estudiantes tomen parte en el
desarrollo de las matemáticas de tal manera
que le encuentren sentido al estudio de las
matemáticas… es decir, que exista motivación
para que los estudiantes continúen estudiando
matemáticas fuera del salón de clases (citado
en Vobejda, 1987).
Como consecuencia, un objetivo esencial en la
instrucción matemática es ayudar a que los
estudiantes
desarrollen
habilidades
y
estrategias que usen en su estudio de las
matemáticas
independientemente
de
la
presencia del maestro. Schoenfeld indica que
la instrucción matemática debe incorporar
estrategias para que el estudiante aprenda a
leer, a conceptualizar y a escribir argumentos
matemáticos. El estudiante debe tener en
cuenta que en la aceptación de algún
argumento matemático debe inicialmente
convencerse a sí mismo, debe convencer a un
amigo y, finalmente, debe convencer a un
enemigo.
En relación a la presencia de los métodos
heurísticos en la instrucción, Schoenfeld
sugiere que es importante que los estudiantes
discutan con detalle las estrategias generales
y las subestrategias asociadas a cada una de
ellas. En todo el proceso de resolución, el
estudiante debe reflexionar constantemente
acerca de los aspectos vinculados con las
distintas fases de resolución. Así, algunos
elementos importantes que pueden servir de
guía para la discusión durante la resolución de
un problema o el aprendizaje de algún
concepto incluyen:
ANÁLISIS
1. Dibujar un diagrama siempre que sea
posible.
2. Examinar casos especiales:
a) Seleccionar valores particulares para
ejemplificar el problema y encontrarle
el sentido;
b) Examinar casos límite para explorar el
rango de posibilidades (sobre el
comportamiento
de
los
números
enteros, ensayar con algunos para
encontrar algún patrón).
3. Tratar de
medio de:
simplificar
el
problema
por
a) El uso de simetría, o
b) Argumentos en los que no haya
pérdida de generalidad (e.g. un
137
triángulo con base horizontal,
círculo de radio unitario).
e) ¿Puede ser reforzada con otros casos
especiales?;
un
f)
EXPLORACIÓN
a) Reemplazar algunas condiciones por
otras equivalentes;
b) Recombinar
los
elementos
problema en diferentes formas;
del
c) Introducir elementos auxiliares, y
d) Reformular el problema usando:
I
algún cambio
notación;
II
consideraciones que involucren el
método de contradicción, y
perspectiva
o
III el hecho de que el problema está
resuelto y en base a esto
determina sus propiedades.
2. Considerar problemas
modificados:
sustancialmente
a) Seleccionar submetas (considerando
parcialmente las condiciones), y
b) Descomponer el dominio del problema
y trabajarlo caso por caso.
3. Considerar problemas
modificados:
sustancialmente
a) Diseñar un problema semejante con
menos variables;
b) Fijar todas las variables, excepto
alguna de ellas y analizar qué pasa, y
c) Tratar cualquier problema relacionado
que tenga semejanza con:
I
la forma;
II
los datos, y
III las conclusiones.
VERIFICAR LA SOLUCIÓN
1. ¿Cumple
pruebas?
la
solución
las
siguientes
a) ¿Usa los datos pertinentes?
b) ¿Concuerda con las predicciones
estimaciones originales?;
c) ¿Resiste
pruebas
de
dimensión, o escalas?;
d) ¿Puede obtenerse
diferente?;
138
de
o
simetría,
otro
a
resultados
g) ¿Puede ser generada a partir de algo
que tú sabes?
1. Considerar problemas equivalentes:
de
¿Puede
reducirse
conocidos?;
modo
La idea general es que el estudiante, en su
aprendizaje de las matemáticas, construya un
marco de referencia que le ayude a entender
y a resolver problemas matemáticos. Los
puntos anteriores pueden servir de guía en el
proceso de resolución; sin embargo, en
ningún momento se espera que el estudiante
las mecanice o las utilice rígidamente. Por el
contrario, deben ajustarse y discutirse en
función al tipo de problemas que se estudien
(Schoenfeld, 16985, p. 109).
La implantación de la resolución de
problemas en la instrucción matemática
Cuando los maestros de matemáticas analizan
el potencial de la resolución de problemas en
el
aprendizaje
de
las
matemáticas
inmediatamente empiezan a cuestionar la
viabilidad de llevar a la práctica estas ideas en
el salón de clases. Para discutir estos puntos
es
necesario
identificar
los
principios
fundamentales de la instrucción y analizar
cómo las ideas de la resolución de problemas
pueden funcionar en este sentido.
I.
Un aspecto crucial en la instrucción
matemática es ayudar a los estudiantes a
ser autónomos en su aprendizaje de las
matemáticas. Así, un estudiante que se
desarrolle en un ambiente matemático
donde se utilicen naturalmente estrategias
para leer, conceptualizar y escribir
argumentos matemáticos será más capaz
de aprender en otros dominios y adquirir
nuevas habilidades. En este sentido, no es
importante cubrir amplios contenidos sino
centrar el aprendizaje en las ideas básicas
del programa. El propósito principal de
una instrucción basada en la resolución de
problemas no es equipar a los estudiantes
con
un
bagaje
de
estrategias
y
habilidades, sino permitirles pensar por sí
mismos. El valor de las estrategias,
habilidades y procesos radica en que
favorecen en el estudiante una forma
flexible e independiente de pensar.
II. La discusión y presentación de las ideas
entre los estudiantes y el maestro son
ingredientes
fundamentales
en
el
aprendizaje de las matemáticas. Estas
dinámicas deben aparecer regularmente
dentro del salón de clases. Sin embargo
es importante que las tareas o problemas
de discusión presenten un potencial que
permita a los estudiantes proponer
conjeturas,
usar
ejemplos
o
contraejemplos, o discutir las formas de
solución. La frecuencia de este tipo de
actividades dependerá de cómo se
desarrolle el trabajo de los estudiantes.
Schoenfeld (1985) menciona algunos
elementos que justifican el uso de
discusiones en grupos pequeños de
estudiantes donde el instructor actúa
como guía y coordinador de la discusión:
a. Las discusiones en grupos pequeños
de estudiantes le proporciona al
maestro una oportunidad única de
intervenir directamente cuando los
estudiantes resuelven problemas y no
solamente enfrentarse a un producto
terminado.
b. El resolver problemas en grupos
pequeños provoca discusiones acerca
de los caminos potenciales para
resolver los problemas. Cuando un
estudiante se enfrenta a un problema
a nivel individual, la primera opción
que se le ocurre siempre se lleva a
cabo.
Las
discusiones
grupales
permiten evaluar el potencial de
varias
alternativas,
que
es
precisamente lo esencial en el
desarrollo de las ideas matemáticas.
c.
La resolución de problemas no es una
tarea solitaria. En el salón de clases,
las discusiones grupales ofrecen a los
estudiantes la oportunidad de trabajar
en
colaboración
y
desarrollar
estrategias para defender sus ideas
matemáticas.
d. Los estudiantes se sienten inseguros
acerca
de
sus
habilidades
matemáticas, especialmente cuando
se enfrentan a diversos problemas. El
trabajar
problemas
con
otros
estudiantes les muestra que la
mayoría de las veces también sus
compañeros deben batallar con las
ideas
matemáticas.
Además,
la
participación dentro del grupo les
muestra
que
sus
ideas
son
importantes
en
el
proceso
de
resolución de los problemas.
III. Los estudiantes deben proponer o
formular sus propios problemas y deben
trabajar en actividades donde el proceso
de completar una tarea de resolver un
problema
incluya
la
necesidad
de
consultar datos o de preguntar a otros
especialistas. La idea es que el estudiante
interactúe con las diversas formas de
problemas que aparecen frecuentemente
en las matemáticas. Esto puede contribuir
a que desarrolle una concepción más
consistente
de
lo
que
son
las
matemáticas.
Un aspecto importante en la instrucción
matemática es la identificación de
diversas fases que describen acciones
importantes en el proceso de aprendizaje
del estudiante. Por ejemplo, se puede
identificar inicialmente en la instrucción
una fase de familiarización donde el
estudiante conoce aspectos generales del
campo que se estudia y un vocabulario de
trabajo. Una segunda fase incluye
actividades donde el maestro guía al
estudiante con situaciones o problemas
que le ayudan a explorar una red de
relaciones que se forman en el área de
estudio. En una tercera fase, el estudiante
intenta verbalizar explícitamente las
relaciones que ha observado en la fase
guía y así aprender eficientemente el
leguaje técnico del dominio. La siguiente
fase se identifica cuando el estudiante
aprende a resolver problemas que
involucran varios pasos o métodos de
solución. Éstos sirven de vehículo para
que el estudiante encuentre su propio
camino en la red de relaciones vinculadas
al proceso de resolución. Finalmente,
existe la fase de integración donde el
estudiante construye una estructura de lo
que ha aprendido del área de estudio
donde se identifica una red de relaciones
nuevas que pueden trasladarse o aplicarse
a otros dominios. El papel del instructor
en el salón de clases incluye:
a. Ayudar a los estudiantes a que
acepten
los
retos
de
resolver
problemas. Hay que tener en cuenta
que un problema es un problema
hasta que el estudiante muestra algún
interés por resolverlo.
b. Construir una atmósfera que le dé
confianza al estudiante para atacar
problemas no rutinarios y no sentirse
mal al enfrentarse a alguna dificultad
durante el proceso de solución.
c.
Permitir que los estudiantes (y
motivarlos)
seleccionen
e
implementen sus propios caminos de
solución y proporcionarles ayuda
cuando ésta sea necesaria.
139
Preguntas acerca de la resolución de un
problema
En el desarrollo de este trabajo se ha
concebido el resolver problemas como una
forma de pensar donde el estudiante muestra
una serie de estrategias tanto cognitivas como
metacognitivas. El uso de estas estrategias se
relaciona directamente con las ideas o
concepciones que el individuo tenga acerca de
las matemáticas. Se ha enfatizado que el
estudiante tiene que ser un participante activo
en el estudio y desarrollo de las ideas
matemáticas. Un aspecto esencial para ello es
el desarrollo de habilidades que le ayuden al
estudiante a cuestionar los diversos aspectos
del problema y formas de resolución. Una
forma de trabajar en esta dirección es discutir
ideas alrededor de ciertas preguntas. Algunos
aspectos que pueden servir tanto para
detectar ciertas dificultades como para
avanzar y evaluar en la resolución de un
problema giran alrededor de las siguientes
preguntas:
1. ¿Piensas que el problema va a ser difícil
para ti? Explica por qué.
2. ¿Tienes alguna dificultad para entender
alguna parte del problema? explica qué es
lo que no entiendes.
3. ¿Tiene el problema alguna información que
no es necesaria? Explica.
4. ¿Has resuelto algún problema similar a
éste antes? Describe ese problema.
5. ¿Puedes dibujar algún diagrama que
ilustre el problema?
6. ¿Qué estrategias podrían ayudar a
resolver el problema?
Después de resolver el problema:
1. ¿Escribiste la respuesta completa?
2. ¿Tu respuesta tiene sentido con respecto a
las condiciones del problema?
3. Qué estrategias utilizaste? Explica su uso.
4. ¿Piensas que tu solución es correcta?
Explica.
5. ¿Fue el problema fácil o difícil para ti?
Explica.
6. ¿Podrías haber resuelto el problema en
otra forma? Explica cómo lo harías sin
necesidad de que lo resuelvas otra vez.
Por supuesto, las preguntas no deben ser
discutidas estrictamente en ese orden ni
deben abarcarse todas. Se espera que existan
ajustes y se identifiquen otro tipo de
preguntas de acuerdo al problema que se
quiera resolver. Según lo indican Stacy y
Groves (1985), es importante que los
estudiantes hablen del proceso que utilizan al
usar las matemáticas y desarrollarlas de tal
manera que puedan construir un vocabulario
140
para pensar y aprender esta disciplina. Los
estudiantes aprenden más efectivamente
cuando
el
maestro
pone
atención
explícitamente a las estrategias y al proceso
que muestran al resolver problemas.
Finalmente, el objetivo fundamental en la
enseñanza de las matemáticas es que el
alumno en algún momento se responsabilice
de su propio aprendizaje. Es decir, desarrolle
una autonomía en cuanto a su relación directa
con un instructor. En el presente trabajo se
han identificado componentes fundamentales
que pueden ayudar al estudiante a desarrollar
una forma de pensar consistente con el
quehacer matemático. Schoenfeld (1992)
afirma que lo importante en el estudio de las
matemáticas es que el alumno actúe como un
experto en su interacción con las ideas
matemáticas. En este contexto, se espera que
si un estudiante cotidianamente reflexiona
abiertamente acerca de las estrategias
cognitivas y metacognitivas vinculadas a las
ideas matemáticas y a la resolución de
problemas, entonces estará en el camino de
desarrollar
un
pensamiento
matemático
consistente con las actividades asociadas al
quehacer en esta disciplina y su desarrollo. Es
recomendable que el estudiante interactúe
con una variedad de problemas en donde
pueda analizar la calidad de los diversos
métodos de resolución. Muchas veces no sólo
es importante resolver un problema sino ser
eficiente en la forma de resolverlo. Además,
como se ha venido enfatizando, es importante
que el estudiante mismo diseñe o reformule
sus propios problemas. Brevemente, la
implantación de este tipo de actividades en el
salón de clases en principio se relaciona con el
potencial que el maestro identifique en su
práctica de la enseñanza. Estar convencido de
estas ideas, ofrece una perspectiva diferente
sobre el aprendizaje de los estudiantes: puede
ser el punto inicial para incorporar algunas
actividades en la instrucción. Sin embargo, es
importante que junto a estas actividades se
desarrollen materiales que sirvan de apoyo y
como un medio para implantar la resolución
de problemas dentro del salón de clases. Un
cambio en la forma de trabajar dentro del
salón de clases toma su tiempo, y no se debe
esperar un resultado radical favorable
inmediatamente.
Sin
embargo,
existe
evidencia de que los estudiantes muestran
claros avances cualitativos en algún momento
de su aprendizaje (Santos, 1992).
HACIA EL DESARROLLO DE
UNA COMUNIDAD
MATEMÁTICA EN EL SALÓN
DE CLASES
Entre las premisas fundamentales de la
propuesta de aprender matemáticas dando
énfasis a la resolución de problemas, está que
el salón de clases ofrezca oportunidades a los
estudiantes para reconstruir o desarrollar
ideas matemáticas. En este contexto, el papel
de los problemas y las ideas que se discuten
durante el proceso de resolución son parte
sustancial que ayuda a crear una comunidad
matemática entre los estudiantes. En este
capítulo se presentan algunos ejemplos donde
se ilustran tanto algunas propiedades de los
problemas como las ideas matemáticas
potenciales que se pueden discutir durante los
procesos de resolución.
COMPETENCIA MATEMÁTICA
Hasta hace algunos años, dominar las
operaciones aritméticas y aprender una serie
de algorítmicos era un indicador fundamental
de ser competente en matemáticas. Así, quien
repetía las tablas de multiplicar y podía hacer
operaciones aritméticas largas gozaba del
prestigio de ser bueno en matemáticas. El
enfoque de sólo dar importancia a la parte
mecánica o algorítmica de esta Disciplina ha
sido cuestionado y ahora se le da gran énfasis
a que el estudiante discuta el sentido y
aplicación de las ideas matemáticas. Como
Sternberg y Wagner (1994) lo indican, “la
importancia de las habilidades de cálculo en
matemáticas
está
decreciendo
tan
rápidamente como la habilidad de usar el
caballo para transportarse de un lugar a otro”
(pág. IX). Las matemáticas, al igual que otras
disciplinas,
han
estado
cambiando
constantemente debido en gran parte al gran
desarrollo de los medios tecnológicos. Por
ejemplo, una calculadora puede ser útil al
estudiante no sólo para realizar grandes
operaciones aritméticas sino también para
representar gráficamente ciertos fenómenos y
explorar con más detalle el comportamiento
de éstos. Así, en nuestro mundo cambiante, el
ser flexible y el desarrollar habilidades que
permitan entender y valorar los avances son
aspectos fundamentales que el estudiante
debe considerar no sólo en su aprendizaje
escolar, sino también para interactuar en el
medio donde vive.
En este contexto, un elemento crucial
asociado con la competencia matemática es
que
el
estudiante
desarrolle
diversas
estrategias
que
le
permitan
resolver
problemas que requieran de cierto grado de
independencia y creatividad. Por ejemplo,
Romberg (1992) describe una situación donde
alumnos de quinto año participaron en la
resolución de problemas a partir de observar
el video de la carrera de 100 metros en las
olimpiadas. El problema consistía en contar el
número de pasos de cada participante,
estimar la longitud de cada uno, y estimar el
tiempo que recorrió en cada paso el ganador
de la carrera. Después, compararon el
promedio de la longitud de los pasos y el
tiempo de recorrido promedio para los tres
primeros lugares. Así, los estudiantes tuvieron
oportunidad de relacionar sus recursos
matemáticos
con
situaciones
reales
y
presentar varias estrategias en sus intentos
de solución.
Nuestra concepción de las matemáticas en
este trabajo considera que se debe identificar
al estudiante como un sujeto activo que
necesita una comunidad para discutir sus
ideas matemáticas y así comunicarlas de
manera eficiente. Para ilustrar la importancia
de
motivar
una
discusión
entre
los
estudiantes, se presenta un ejemplo (situación
problemática) donde se señala el potencial
matemático que los estudiantes pueden
desarrollar si se les presentan condiciones
donde se valore sus puntos de vista. Este
aspecto es fundamental para que los
estudiantes desarrollen una disponibilidad
para el estudio de las matemáticas y la
resolución de problemas.
LA NECESIDAD DE ESTABLECER UNA
COMUNIDAD MATEMÁTICA EN EL SALÓN
DE CLASES
Una idea muy popular, pero muy cuestionada
recientemente, acerca de las matemáticas es
que esta disciplina se puede desarrollar en
forma individual usando una hoja de papel y
lápiz; las críticas parten de la evidencia de
que el trabajo de los matemáticos es un
trabajo conjunto que además tiene que ser
validado
o
aceptado
dentro
de
una
comunidad. El ejemplo más reciente es el
proceso que ha seguido la demostración del
teorema de Fermat. La conjetura fue
propuesta por Fermat, en 1637, planteó la
conjetura de que no existen números
naturales que cumplan la relación xn + yn =
zn para n mayor o igual que 3. El doctor
Andrew Wiles trabajó por más de ocho años
141
en un intercambio constante de ideas con
otros matemáticos de diferentes partes del
mundo y finalmente presentó la prueba en
Junio de 1993. Después de dos años de haber
presentado la prueba, la comunidad que la
analizó detectó un detalle: Wiles no justificaba
un resultado donde utilizaba una cota superior
sobre la magnitud de una estructura particular
conocida como el grupo de Selmer. Sin
embargo, a fines de Octubre de 1994, Wiles
anunció que con la ayuda de uno de sus
estudiantes (Richard L. Taylor) se había
resuelto el problema. A finales de 1995, los
expertos estuvieron de acuerdo que la prueba
revisada era correcta y que Wiles había
probado el último teorema de Fermat.
Como
Tymoczko
(1986)
afirma,
una
demostración no es tal hasta que ha sido
aceptada por la comunidad de matemáticos.
Además, como Schoenfeld (1993) lo señala,
los problemas centrales en matemáticas son
demasiado amplios para que la gente los
resuelva aisladamente. Una de las grandes
implicaciones
pedagógicas
del
trabajo
cooperativo es que el salón de clases debe ser
una comunidad donde el estudiante discuta y
defienda sus ideas matemáticas.
Así, cuando los estudiantes encuentran un
ambiente en el salón de clases que les permita
pensar y razonar acerca de las matemáticas y
comunicar sus resultados a otros en base a
argumentos, se enfrentan a la necesidad de
organizar y presentar sus ideas en forma
convincente. Por ejemplo, trabajando en
parejas o en pequeños grupos, los estudiantes
tienen
oportunidad
de
validar
sus
razonamientos y sus conjeturas. Pueden
discutir sus puntos de desacuerdo y
argumentar el sentido de sus soluciones. Los
estudiantes
aprenden
matemáticas
sólo
cuando ellos mismos construyen sus propias
ideas matemáticas. Además, las ideas
matemáticas se aprenden por medio de un
proceso de comunicación. Los estudiantes
necesitan
oportunidades
no
sólo
para
escuchar sino para comunicar sus ideas
matemáticas. Es decir, necesitan discutir lo
que observan, explicar por que ciertos
procedimientos funcionan y por qué piensan
que la solución a un problema es correcta.
Cuando el aprendizaje es visto como una
construcción
y
reorganización
de
conocimientos, entonces el maestro puede
identificar las diferentes formas en que cada
estudiante aprende. Es importante que el
profesor reconozca los diversos estilos de
aprender entre sus estudiantes y así
promueva
actividades
de
aprendizaje
compatibles con tales formas de aprender o
142
interactuar con el contenido matemático. Por
ejemplo, habrá estudiantes que necesitan
mayor
orientación
en
aspectos
de
visualización o representación que otros, o
estudiantes que se inclinen más por
tratamientos algebraicos que por un análisis
de casos particulares.
La historia de las matemáticas nos muestra
que la comunicación y la interacción social
juegan un papel fundamental en el desarrollo
de las ideas matemáticas. Sin embargo, la
idea de que las matemáticas reflejan valores
culturales generalmente no es conocida entre
los estudiantes. Existe evidencia de que los
estudiantes necesitan discutir las dimensiones
sociales de las matemáticas que les permitan
darle contexto a las ideas matemáticas. Por
ejemplo, uno de los movimientos más
importantes en el currículum es identificar las
ideas fundamentales de las matemáticas
(cambio,
patrones,
formas,
tamaño
y
herramientas)
y
discutirlas
dentro
de
contextos familiares para los estudiantes
desde la enseñanza elemental (Santos, 1994).
Las
matemáticas
no
son
solamente
actividades que el estudiante aprende dentro
del salón de clases: los cursos de matemáticas
deben convertirse en comunidades donde la
gente toma acuerdos, se comporte de cierta
forma y donde existe un gran diálogo para
construir argumentos que sustenten alguna
idea o se planteen contraejemplos para
refutar algún resultado. Muchos maestros
comparten la opinión de que los cursos de
matemáticas tendrán más éxito si se
organizan de tal manera que los estudiantes
tengan un papel mas activo y si las
matemáticas que se estudian se sitúan en un
contexto sensible para los estudiantes.
Polya, en su video “Let us teach guessing”,
afirma que las ideas en matemáticas se
originan a partir de alguna conjetura. Ilustra
además la necesidad de discutir y desarrollar
un argumento que sostenga y posteriormente
ayude a probar la validez de tal conjetura.
Caracteriza el enseñar como el darle
oportunidades
al
estudiante
para
que
descubra relaciones matemáticas, e indica que
muchas de las actividades en matemáticas
parten de situaciones en donde en primera
instancia
hay
que
conjeturar
para
posteriormente buscar un argumento donde
se pruebe la conjetura o un contraejemplo que
la refute.
TIPOS DE PROBLEMAS QUE PROMUEVEN
LA DISCUSIÓN EN EL SALÓN DE CLASES
Una cuestión que siempre inquieta a los
profesores se cómo diseñar problemas
interesantes para la discusión en el salón de
clases. Existen varios caminos y fuentes
donde se pueden encontrar ideas o problemas
para los estudiantes. Santos (1994) analiza
varios ejemplos en los que una exploración
simple
de
alguna
actividad
puede
transformarse en una situación que incluya la
discusión de varios conceptos matemáticos.
Una forma es transformar los ejercicios típicos
de los libros de texto en situaciones más
abiertas y también el tratar de que el
estudiante utilice diferentes métodos para
resolver un problema. Santos y MacDuff
(1995) muestran cómo una situación donde la
actividad de “tostar rebanadas de pan” puede
transformarse en un contexto para discutir
una pregunta de opción múltiple. En la
discusión se observa que las respuestas
constituyen un conjunto de distinciones, en
donde quién resuelve el problema muestra el
uso de representaciones, la búsqueda de
conexiones, la flexibilidad en los métodos de
solución y la confianza en los resultados. En la
misma línea, Silver, Kilpatrick y Schlesinger
(1990) presentan un ejemplo que ilustra las
ideas generadas por los estudiantes al discutir
la solución y presentarla al grupo. En ese
sentido, se ilustra cómo ejercicios de carácter
rutinario
pueden
resultar
un
vehículo
interesante
para
que
los
estudiantes
identifiquen y discutan varias formas y
estrategias de solución.
El siguiente problema muestra algunos
desarrollos que los estudiantes utilizaron
durante el proceso de resolución. La idea es
que el maestro reconozca, valore y motive la
discusión en el salón de clases.
En tu tarea de geometría hay un ejercicio
donde tienes que trazar la bisectriz de un
ángulo dado (figura izquierda). Sin embargo,
al guardar tu cuaderno no te diste cuenta de
que parte de la hoja de la tarea se rompió y al
empezar la tarea te percataste de que le
faltaba el vértice al ángulo (figura derecha).
¿Cómo puedes hacer la tarea a partir de la
información que tienes?
Al trabajar con este problema, estudiantes del
nivel medio superior mostraron varias formas
de
resolverlo.
Además,
tuvieron
la
oportunidad de discutirlas y evaluarlas en
términos de sus recursos.
1. El método “simple”
Al enunciar el problema, algunos estudiantes
observaron que una forma fácil de resolverlo
era colocando una hoja debajo de la hoja
mutilada y prolongando cada uno de los lados
del ángulo con el auxilio de una regla. Así, el
vértice aparecería en el dibujo y después
había que usar el procedimiento rutinario para
bisectar un ángulo.
Es importante mencionar que, después de
presentar esta solución, varios estudiantes
preguntaron cómo se resolvería el problema si
no estuviese permitido usar la hoja de abajo.
De hecho, este comentario se convirtió en una
condición más del enunciado del problema
original.
2. El método de las paralelas
La idea fundamental de este método se
relaciona con la definición de bisectriz de un
ángulo y la noción de distancia. Es decir, los
estudiantes observaron que al trazar una
paralela a cada lado del ángulo, a una misma
distancia a partir de cada lado del ángulo,
éstas se intersectan en un punto de la
bisectriz. Así, al construir dos paralelas a cada
lado determinaban dos puntos por donde
pasaba la bisectriz y eso permitía construir la
bisectriz del ángulo dado.
El trabajo de los estudiantes fue el siguiente:
a. Construir dos paralelas m y n, a la recta
AB a una distancia a y b respectivamente;
b. Construir dos paralelas, p y q, a la recta
CB a una distancia a y b respectivamente;
c.
Las rectas m y p se intersectan en R
mientras que las rectas n y q se
intersectan en S, y
d. La bisectriz es la recta que pasa por los
puntos R y S.
143
3. El método de las transversales. La idea
es similar a la del método de las paralelas;
la diferencia básicamente radica en la
construcción a partir de la transversal. Los
pasos son los siguientes:
a. Construir una transversal p que corte a AB
y BC en A y C, respectivamente;
b. Construir una transversal q que corte a AB
y BC y que sea en D y E respectivamente,
paralela a la transversal p;
c.
Trazar la bisectriz de los ángulos A y C del
triángulo ABC;
d. La intersección de las bisectrices, el punto
F, debe ser un punto de la bisectriz del
ángulo B;
e. Trazar la bisectriz de los ángulos D y E del
triángulo DBE;
f.
Sea G de intersección de las bisectrices, el
cual es otro punto de la bisectriz del
ángulo B, y
A continuación se presentan otros ejemplos
donde los estudiantes tienen la oportunidad
de discutir varias ideas matemáticas:
I.
Al ir de visita a casa de unos amigos,
accidentalmente te tropiezas con una silla
de la sala y rompes el vidrio (que tenía
forma de círculo) de la mesa de centro. Al
recoger los pedazos observas que el único
pedazo completo que quedó tiene la
forma de la figura de abajo. ¿Qué
procedimiento puedes utilizar para saber
el radio del círculo y así poder conseguir
un vidrio nuevo del mismo tamaño?
g. La línea que pasa por F y G es la bisectriz
del ángulo B.
4. El método de la circunferencia. Una
idea fundamental en este método es
identificar el punto de intersección de las
bisectrices (incentro) y a partir de ello
justificar la construcción del bisector.
II. En una feria existe un juego donde hay un
tablero parecido al de ajedrez. De lo que
se trata es de que el jugador arroje una
moneda sobre el tablero, si al caer la
moneda toca una de las aristas de uno de
los cuadrados entonces la moneda se
pierde. Si la moneda cae fuera del tablero,
el jugador vuelve a intentarlo; pero si la
moneda cae totalmente dentro de un
cuadrado del tablero, el jugador gana un
premio. ¿Cuál es la probabilidad de ganar
este juego?
a. Trazar el segmento AC;
b. Trazar los bisectores de los ángulos A y C;
c.
El punto D es el centro de la circunferencia
inscrita en el triángulo ABC, es decir, el
incentro.
d. Trazar una línea que pase por el punto D y
que sea perpendicular al lado AB, y otra
línea que pase por D y que sea
perpendicular a CB;
e. Trazar los radios DE y DF, y
f.
144
Bisectar el ángulo central EDF, y ésta
bisectriz será también la del ángulo B ya
que los triángulos DEB y DFB son
congruentes.
En el proceso de resolver este problema los
estudiantes pueden tratar de simular el juego
y analizar lo que pasa después de varios
intentos. Otra forma es pensar en casos
particulares. Así, por ejemplo, si se supone
que el cuadro mide 10 x 10 cm. por lado y
que el radio de la moneda es de 3 cm., se
observa que para ganar, el centro de la
moneda debe estar a 3 cm. de cada lado, ya
que de otra manera el borde de la moneda
cruzará el cuadrado. Ahora, como el cuadrado
mide 10 cm. por lado entonces la moneda
puede caer en el cuadrado de cuatro por
cuatro. Así, la probabilidad será 16/100 o sea
existe un 16% de probabilidad de ganar.
De manera general, si el cuadrado tiene como
lado L y la moneda como radio R, entonces la
probabilidad de ganar está dada por la
expresión:
aprendizaje de los estudiantes es que se
presenten diferentes métodos o formas de
resolver un problema. También, es importante
que se discutan las ventajas y las limitaciones
de los métodos así como las conexiones de
éstos y las extensiones o aplicaciones de los
problemas.
Santos (1996b) presenta algunos ejemplos de
problemas que involucran varias formas o
caminos de solución. El trabajo de las
soluciones anticipadas o potenciales puede
servir de guía para que en el salón de clases
se promueva una discusión acerca de las
ventajas y desventajas de cada forma de
resolución.
III. La diagonal de un rectángulo de 3 x 5
pasa por 7 de los 15 cuadrados interiores
de este. Si se considera el caso general de
un rectángulo de N x M, ¿Por cuántos de
los NM cuadrados pasa la diagonal de este
rectángulo?
En este capítulo se ha abordado la necesidad
de transformar el salón de clases en una
comunidad donde se valoren actividades de
discusión y comunicación de las ideas
matemáticas de los estudiantes. En este
trabajo de colaboración es importante que el
estudiante como miembro de la comunidad,
aprenda a escuchar a los demás y que tenga
responsabilidad en cuanto al progreso de cada
uno de los integrantes de la comunidad. Así,
es
necesario
que
se
discutan
los
conocimientos básicos o recursos asociados al
contenido además de las diversas estrategias
o herramientas que ayuden a encontrar el
sentido y que son parte del marco de
referencia matemático. El problema que se
presente debe ser un ejemplo de cómo puede
analizarse una situación o involucrar diversas
ideas por parte de los estudiantes. Así, este
tipo de actividades puede ser un elemento
fundamental para el desarrollo de una
comunidad matemática en el salón de clases.
Además, un elemento esencial en el
145
ACTIVIDADES
INSTRUCCIONALES EN LA
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Durante el aprendizaje de las matemáticas los
estudiantes tienen que desarrollar cierta
disposición hacia el estudio de esta disciplina.
Así, el ofrecerles la oportunidad de explorar y
discutir abiertamente contenidos matemáticos
contribuye a fomentarles una disposición
matemática consistente con el quehacer de
esta disciplina. En este capítulo se presentan
algunas estrategias didácticas en cuanto a la
presentación de las definiciones matemáticas,
el uso de los métodos heurísticos y el estudio
de las construcciones geométricas.
EL DESARROLLO DE UNA CLASE CON
ÉNFASIS EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Muchos profesores al implantar actividades de
resolución de problemas en la clase se
preguntan cuál es el papel de ellos durante el
desarrollo de la clase. Para contestar esta
pregunta, intentaré revivir algunos detalles
que un experto en esta área (Alan Schoenfeld)
muestra durante una clase con énfasis en la
resolución de problemas. En este contexto, se
toman tres episodios como guía para ilustrar
los puntos importantes que se discuten
durante una sesión de resolución de
problemas. El objetivo es ilustrar ideas
esenciales sobre la implantación de la
resolución de problemas tanto en el estudio de
contenidos
particulares
como
en
el
tratamiento de problemas en general. El
primer ejemplo se refiere al papel de las
definiciones en matemáticas, el segundo a la
importancia del uso de las estrategias
heurísticas, y el último está relacionado con el
papel de las construcciones en geometría.
el contenido matemático sino también a
participar en el desarrollo de las ideas
matemáticas.
El punto interesante en la discusión de los
estudiantes (en el curso de Shoenfeld) es que
ellos mismos podían evaluar los alcances y
limitaciones
de
las
definiciones
que
presentaban. Además, fue posible documentar
que en las diversas propuestas y ejemplos
discutidos existe una evolución en la que los
estudiantes intentan mejorar la definición
inicial dada. Los contraejemplos forman parte
fundamental en la evaluación de las
propuestas de los estudiantes.
El problema que fue parte de una de las
sesiones con estudiantes de primer año de la
universidad es el siguiente:
En la figura se muestra una colección de
rectángulos;
a) Define matemáticamente una medida que
te permita decir qué rectángulo es el “más
cuadrado” y cual es el “menos cuadrado”;
b) Define otra medida diferente a la primera
que te dé el mismo resultado, y
c) ¿Es
una
medida
“Matemáticamente
superior” que la otra? Argumenta tu
respuesta.
Los estudiantes trabajaron en grupos de
cuatro
o
cinco
miembros
durante
aproximadamente 20 minutos. Entre las ideas
que se discutieron durante este período se
incluyeron:
I.
A. Las definiciones. En general, en un curso
normal de matemáticas, las definiciones son
dadas a los alumnos, ya sea por el profesor o
en el libro de texto o referencia. La discusión
de la importancia y la evolución de las
definiciones raramente se mencionan y muy
pocas veces tiene el estudiante la oportunidad
de participar en el proceso de construcción de
definiciones
matemáticas.
Bajo
el
acercamiento de resolución de problemas se
intenta que el alumno desarrolle habilidades y
estrategias que le ayuden no sólo a entender
146
¿Qué pasa cuando la medida involucra
solamente la longitud de los lados 1,w?
¿Es suficiente que la diferencia entre los
lados sea cero, es decir cuando (1-w) =
0? ¿Son igual de “cuadrados” un
rectángulo que mida 2 x 3 que otro que
mida 2 x 6?
II. En la discusión también se abordó el uso
de la razón de los lados como otra
medida. En algún momento surgió la
necesidad de introducir alguna notación
para tal relación; por ejemplo, tomar el
máximo número entre la razón de los
lados max{(1/w), (w/1)}, y compararlo
con la unidad. También hubo preguntas
acerca de las limitaciones de esta
definición al considerar casos extremos
(como rombos) y fue necesario usar
representaciones simbólicas.
III. Otra medida fue la de los ángulos que se
forman con las diagonales. Se observó
que conforme la medida de los ángulos se
aproximaba a 90, la figura se parecía más
a un cuadrado.
IV. Finalmente también se usó la idea de área
al comparar y la del rectángulo original
(ab) con la del cuadrado de lado (a +
b)/2.
Estos puntos emanaron de las discusiones de
los grupos pequeños y posteriormente fueron
presentados ante todo el grupo. Al final, el
grupo decidió la definición que ellos
consideraban la más adecuada desde el punto
de vista matemático. Es importante mencionar
que los alumnos trabajaron este problema en
la cuarta clase del curso. Al identificar algunas
extensiones del problema, se propuso discutir
situaciones
similares.
Por
ejemplo,
matemáticamente que es lo que se parece
más a un disco: una moneda, una lata de
atún, o una lata de sopa. La tarea esencial al
trabajar con estos ejemplos fue establecer un
argumento matemático que justificara la
respuesta.
Es decir, en lugar de pedir “Probar que X es
verdadero” lo cual generalmente el estudiante
lo toma como “Sabemos que X es verdadero,
y ahora tu trabajo es confirmarlo por medio
de una demostración”, se plantea una
situación más abierta donde los estudiantes
mismos encuentran las relaciones y los
medios para defenderlas. Los ejemplos
anteriores ilustran una forma de discutir que
las diagonales en un paralelogramo se
bisectan
una
a
la
otra
(pero
no
necesariamente son perpendiculares) y que
las
diagonales
en
un
rombo
son
perpendiculares entre sí.
B. Las heurísticas. Se ha mencionado que
las estrategias heurísticas juegan un papel
importante en la resolución de problemas.
Schoenfeld en gran parte de su curso discute
y evalúa el potencial de estas estrategias en
varias fases del proceso de resolución y
extensión de los problemas. Un ejemplo que
ilustra algunos aspectos del uso de estas
estrategias es el siguiente:
¿Se pueden colocar los números 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 y 9 en el cuadrado de la figura de tal
manera que la suma de cada fila, de cada
columna, y de cada diagonal sea la misma?
Un aspecto importante en el estudio de las
matemáticas es que el estudiante desarrolle
estrategias
que
le
permitan
utilizar
argumentos matemáticos en sus afirmaciones.
Los ejemplos anteriores ilustran aspectos de
cómo los estudiantes pueden iniciar sus
explicaciones
con
ideas
sencillas
y
paulatinamente analizarlas y someterlas a
diferentes argumentos de modo que tales
ideas se puedan ir refinando. El uso de
contraejemplos juega un papel fundamental
en
el
establecimiento
de
argumentos
matemáticos y es una actividad que los
estudiantes
necesitan
practicar
constantemente. Fawcett (1938), en un curso
de geometría, intentó que sus estudiantes
desarrollaran varias estrategias a partir de
promover actividades de clase en las que los
estudiantes mismos proponían y defendían
algunos resultados geométricos. Por ejemplo,
la presentación típica de algún resultado tenía
la siguiente forma:
El tipo de interacción (después de que los
estudiantes trabajaron en grupos pequeños)
se describe a continuación (P = profesor; E =
estudiante):
P: ¿Qué pieza o parte de la información haría
que el problema se resolviera de manera más
simple?
E. ¿Cuál es la suma?
P. Así que una pieza de información
importante es que la suma de cada fila,
columna, y diagonal debe ser la misma.
Parece que sería muy bueno conocer cuál es
esa suma (escribe en el pizarrón ¿Cuál es la
147
suma?). Déjenme decirles que a esto se le
llama “establecer submetas” (y lo escribe en
el pizarrón). En particular, la idea de
establecer
submetas
se
relaciona
con
establecer un resultado parcial que ayude a
avanzar en la resolución del problema.
Además en este caso se usa como punto de
partida de algunos caminos de resolución.
Ahora se establece una discusión con los
estudiantes acerca de cuál podría ser esa
suma. Se observa que debe ser menor que la
suma de los tres números más grandes (9, 8
y 7) y menor que la suma de los tres menores
números (3, 2 y 1). Es decir, se lleva a cabo el
análisis de los casos extremos.
P: ¿Existe otra forma de atacar esta pregunta
que no sea por tanteo?
E. La suma de las tres filas del cuadrado debe
ser igual a la suma de los números del uno al
nueve.
Esto es, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =
35. De donde se obtiene que S=15. En esta
parte se mencionó la idea de Gauss para
encontrar esta suma. Esta idea se relaciona
con la estrategia comúnmente usada en
matemáticas que consiste en considerar que
el problema está resuelto y se analiza qué
propiedades llevan a la solución. En este caso,
el suponer que el cuadrado estaba completo
permite establecer que la suma de 9 números
es tres veces la suma parcial.
La segunda submeta se establece a partir de
identificar los puntos o lugares importantes
del cuadrado. Por ejemplo, ¿Qué número debe
colocarse en el centro?, es una pregunta que
plantea uno de los estudiantes y es analizada
considerando varios casos. ¿Puede el 9
colocarse en el centro? ¿Qué pasa con 1, 8,
etc.? Es decir, se exploran los casos extremos.
Así, a partir de esta discusión sólo queda el 5
como único candidato. Después, se analiza
dónde puede colocarse el 1. Se observa que
sólo existen dos posiciones: en una esquina o
en un costado. Aquí, aparece otra heurística
la simetría. Se observa que no puede
colocarse en las esquinas. Esto es, si se
colocara el 1 en la esquina superior izquierda,
el 9 iría en la esquina inferior izquierda.
Ahora, por simetría, existe solamente un lugar
para colocar el 2: en el espacio central del
costado derecho del cuadrado. Esto lleva a
colocar al 4 en la esquina superior derecha, lo
cual causa problemas ya que se necesita un
10 en la casilla central de la fila superior para
completar la suma. Esto deja al 1 como
candidato para la casilla del centro de arriba.
Con este arreglo, el 9 queda ahora en la
casilla central de la fila inferior; así, esta
148
discusión lleva a los alumnos a resolver el
problema.
La pregunta inmediata después, de haber
resuelto un problema, es: ¿Hemos terminado?
Un estudiante contesta: “nunca terminamos”.
Esto lleva a trabajar el problema bajo otra
heurística: trabajando retrospectivamente.
Es decir, es importante analizar qué se puede
obtener de las combinaciones de los objetos
que ya se tienen.
La pregunta importante ahora es: ¿Cuáles son
las triadas de números que suman 15?
Con la participación de los estudiantes, se
enlistan algunas: {1, 5, 9}, {2, 9, 4}, {2, 5,
8}, {1, 6, 8}, {3, 5, 7}. Pero, ¿cómo se
puede dar cuenta uno de que están todas? Y
esta discusión lleva a presentar una lista
sistemática. Es decir, enlistar las triadas en
orden creciente y empezar con las triadas que
inician con 1, 2, etc. ({1, 5, 9}, {1, 6, 8}, {2,
4, 9}, {2, 5, 8}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}, {3, 5
7}, {4, 5, 6}.
Cuando la lista se ha generado, empieza la
discusión acerca de cuál es el número más
importante y cuántas veces aparece en la
lista. ¿Qué pasa con los números que
aparecen solamente dos y tres veces?
Esta discusión los lleva a resolver el problema.
Al final de la sesión aparecen otras preguntas
relacionadas: ¿Qué pasa si se empieza con
otro número que no sea el uno, por ejemplo,
40, 43, 46,…, 67? ¿Se podrá formar otro
cuadrado mágico? ¿Qué pasa si se suma una
constante a cada entrada? También se hace
una evaluación de las estrategias usadas
durante el proceso de resolución. Entre los
resultados que se discuten se incluyen: Si M
es un cuadrado mágico entonces ¿aM (el
cuadrado que se obtiene cuando se multiplica
cada elemento de M por la constante a) y M +
b (el cuadrado que se obtiene cuando se le
suma la constante b a cada entrada de K) son
también cuadrados mágicos?
El problema del cuadrado mágico se puede
discutir en el contexto de un “juego” donde se
colocan nueve fichas con dígitos del 1 al 9
sobre una mesa.
Dos
jugadores,
A
y
B,
seleccionan
(alternadamente una ficha en cada turno. El
primer jugador que logre juntar tres fichas
cuya suma sea 15 es el ganador. Por ejemplo,
si en el noveno turno el jugador A tomó un 7
para completar el conjunto {2, 3, 6, 9, 7},
entonces A es el ganador, ya que B tiene {1,
4, 5, 8} y de estas fichas ninguna tercia suma
15, mientras que el jugador A tiene la tercia
{2, 6, 7} que suma 15. Surge la pregunta:
¿Existe para algún jugador, A o B, una
estrategia que asegure ganar el juego? ¿A qué
juego se parece? Sin duda que tiene
semejanza con el siguiente esquema:
Se plantea la tarea de construir un triángulo
en el que se identifique la notación anterior.
Es importante discutir algunas ambigüedades
en su uso. Por ejemplo, a denota tanto el lado
(segmento de recta) como la longitud del
lado. Para hacer la distinción, es necesario
considerar el contexto donde se le asocia el
significado.
Algunos de los problemas que los estudiantes
pueden discutir a partir de la información
anterior son los siguientes:
1. Dado los lados a, b y c construir un
triángulo. Además, argumentar en qué
casos es imposible esta construcción.
Además de ilustrar el potencial del uso de
varias heurísticas, un aspecto importante en
el desarrollo de la clase es que los problemas
pueden tener varias soluciones y resolver un
problema es solamente el punto inicial del
quehacer matemático.
2. Construir un triángulo dados
C. Las construcciones. Un tema importante
de geometría, muchas veces no es abordado
en el nivel medio superior, es el de las
construcciones. Schoenfeld (1992) menciona
que generalmente el estudiante separa una
construcción de una demostración y pocas
veces tiene la oportunidad de discutir la
importancia
y
pausibilidad
de
una
construcción. Recomienda que los alumnos
deben participar en actividades en las que
tenga que hacer construcciones y decidir
cuando una construcción no es posible. Así,
por ejemplo el argumentar que si no existe un
triángulo con lados a, b y c, es un ejemplo de
situaciones que los estudiantes deben analizar
regularmente.
I)
a, b, ma
II) a, ha, ma;
III) a, ma, _
IV) a, _, r.
A partir de este tipo de construcciones, los
estudiantes en algún momento empiezan a
plantearse problemas. Por ejemplo, resolver el
problema: “En un círculo dado, inscribir tres
círculos iguales de tal manera que cada uno
sea tangente a los otros dos y también al
círculo dado”. (véase la figura siguiente).
En problemas que involucren triángulos es
conveniente usar la siguiente notación:
Una forma de resolver este problema consiste
en empezar a trazar algunas líneas en la
149
figura con el propósito de identificar alguna
construcción familiar. Se observa que las
líneas rectas que parten del centro del círculo
son perpendiculares a las rectas tangentes a
la circunferencia en los puntos donde aquellas
la intersectan. En particular al trazar tres
líneas como se muestra en la siguiente figura,
se obtiene un triángulo con un ángulo de 120
grados. El punto de tangencia en la parte
superior de la circunferencia es la intersección
del círculo inscrito en el triángulo con el
bisector del ángulo vértice. Obsérvese que el
círculo interior que se quiere construir es
simplemente el círculo inscrito en el triángulo
bosquejado.
En los ejemplos anteriores se ha ilustrado la
importancia de realizar en el salón de clases
actividades propias del quehacer matemático.
Una idea central es el mostrar que la selección
de los problemas no es una situación
complicada para el profesor. De hecho, la
parte más interesante radica en el tipo de
comunicación o discusión que se promueva en
el salón de clases. Un aspecto notable es que
los alumnos deben participar activamente en
la construcción del conocimiento y plantearse
preguntas que impliquen una búsqueda
constante de conexiones entre los métodos de
resolución y el contenido de los problemas.
Como ya se ha mencionado, la participación
de los estudiantes en grupos pequeños y de
todo el grupo son actividades que deben
aparecer frecuentemente en la instrucción.
Muchos de los problemas de clase no podrán
ser abordados en sólo una sesión y se espera
que los estudiantes continúen con la discusión
fuera del aula. Además, es importante que
periódicamente los alumnos reporten por
escrito (y verbalmente) algunos avances o
desarrollos que hayan encontrado en sus
intentos de solución. Como Schoenfeld (1992)
sugiere, es importante que los estudiantes
vivan en un ambiente similar al que viven los
matemáticos al trabajar o desarrollar las ideas
en esta disciplina.
150
La tecnología y la resolución
de problemas
El uso de la tecnología ha estado influyendo
tanto en la forma de hacer o desarrollar
matemáticas como en la forma de aprender
esta disciplina. En la actualidad existen
programas o “software” que pueden ayudar al
estudiante a explorar y desarrollar el potencial
de conjeturas y resultados matemáticos. En
este capítulo se discute el papel que puede
desempeñar el uso de la tecnología en el
aprendizaje de las matemáticas. Además, se
presentan algunos ejemplos en los que se
vinculan aspectos de la resolución de
problemas con el uso de la herramienta
tecnológica.
INTRODUCCIÓN
En los últimos años el desarrollo de la
tecnología ha sido un factor importante para
mejorar tanto aspectos de comunicación como
también la forma de presentar e interactuar
con diversos tipos de información. Por
ejemplo, el uso del correo electrónico, como
medio de intercambio de información, permite
conocer, discutir y difundir las ideas de algún
individuo o grupo de cualquier parte del
mundo casi en el mismo instante de su
producción.
Además, muchos de los avances tecnológicos
que hace algunos años eran costosos y
complicados, en la actualidad son cada vez
más accesibles no solamente en cuando al
costo sino también en cuanto a la facilidad de
manejo y operación. En esta línea se
encuentra el uso de la computadora.
Hade algunos años, cuando la computadora
empezó a vislumbrarse como un instrumento
importante
capaz
de
realizar
diversas
operaciones de manera eficiente y rápida,
también se empezó a vislumbrar su potencial
en la educación. En esta discusión hubo varias
posiciones donde se señalaba la necesidad de
tener más información acerca de cómo este
instrumento podría utilizarse en el aprendizaje
de varias disciplinas.
En matemáticas, por ejemplo, muchos
profesores no permitían a sus estudiantes el
uso de la calculadora en la resolución de
problemas; esto era porque creían que la
calculadora
le
restaba
al
estudiante
posibilidades
de
desarrollar
habilidades
básicas necesarias en matemáticas (cálculos
aritméticos,
manipulaciones
algebraicas,
análisis discreto del comportamiento de las
relaciones o funciones matemáticas, etc.).
La discusión acerca de si los estudiantes
deben o no usar instrumentos como la
calculadora o la computadora en sus
experiencias de aprendizaje está relacionada
directamente con la pregunta: ¿qué es lo que
importa que el estudiante aprenda en la
disciplina? Esta pregunta ha estado presente
desde el primer capítulo de este libro; se ha
reiterado que al estudiar matemáticas (y en
general otras disciplinas) el estudiante debe
ser escéptico, proponer conjeturas, buscar
evidencias, utilizar ejemplos y contraejemplos,
y apoyar sus ideas con argumentos.
En este capítulo se presentan ejemplos donde
el uso de la tecnología juega un papel
importante en el desarrollo de habilidades
matemáticas por parte del estudiante. Es
decir, la tecnología ayuda a que el estudiante
no sea sólo un espectador o receptor del
conocimiento, sino que pase a ser un ente
activo vinculado directamente con el quehacer
matemático.
Es importante aceptar que los avances de la
tecnología han sido tan rápidos y sustanciales
en los últimos años que es imperativo que el
estudiante adquiera habilidades y estrategias
que le permitan constantemente ajustarse a
estos avances y cambios. Es decir, la
formación o educación del estudiante debe
contemplar aspectos que le ayuden a conocer
el potencial y uso de los avances tecnológicos
e incorporarlos naturalmente a su práctica.
Afortunadamente,
parece
que
se
ha
reconocido la importancia del uso de la
computadora en el aprendizaje y ahora el
asunto es determinar cómo debe usarse este
instrumento
en
las
experiencias
de
aprendizaje de los estudiantes.
EL POTENCIAL DE LA TECNOLOGÍA
El uso de la computadora ha influenciado
notablemente
la
forma
de
desarrollar
matemáticas. Por ejemplo, en la búsqueda de
patrones o comportamientos de fenómenos, la
computadora ha resultado ser un gran
instrumento que ayuda a representar y
organizar información que antes era difícil de
sistematizar. Además, en algunos casos
resulta relativamente simple variar los valores
de una expresión algebraica para estudiar con
detalle
lo
que
pasa
geométricamente
(representaciones gráficas).
En cuanto al desarrollo mismo de las
matemáticas, la demostración del teorema de
151
los cuatro colores se basa en el uso de la
computadora. Básicamente, la idea de la
demostración consiste en reducir el problema
general de colorear cualquier mapa con cuatro
colores a un problema particular de colorear
un conjunto finito de mapas que pertenecen a
cierta clase.
El problema se transforma entonces en
verificar cada uno de los mapas de esta clase.
Este proceso de verificación está más allá de
poder realizarse con procedimientos de lápiz y
papel. Así, una computadora IBM 360 realizó
este proceso y la respuesta fue de que cuatro
colores son suficientes para colorear un mapa
sin que dos países con frontera común
compartan el mismo color. Esta prueba,
basada en el uso de la computadora ha
causado controversia en el medio matemático
en cuanto a su aceptabilidad y en cierta forma
ha hecho repensar los fundamentos de las
matemáticas (Tymoczko, 1979).
En el terreno del aprendizaje, Papera (1993)
afirma que la computadora ha estado
transformando significativamente la forma de
aprender. Describe un ejemplo en que una
niña de cuatro años “Jennifer”, le pregunta
cómo duermen las jirafas. Papera indica que
en la actualidad no existe obstáculo para que
Jennifer por sí misma investigue, con la ayuda
de
la
computadora
(conocimiento
de
máquina), la respuesta a esta pregunta.
Así, tocando la pantalla, haciendo gestos, o
hablando podrá manejar la computadora e
identificar lo que le interesa. Esto lo puede
hacer más rápido que la tarea de buscar esta
información en una enciclopedia. Además,
Jennifer todavía no sabe leer, pero es capaz
de usar la computadora de igual manera que
muchos niños de su edad como cuando juegan
“nintendo”. Jennifer podrá así estudiar el
comportamiento de jirafas, panteras, tigres o
lo que ella desee simplemente interactuando
con la computadora.
Esto que Papert identifica como “conocimiento
de máquina” cambiará radicalmente la forma
de aprender de los niños ya que les presenta
oportunidades de explorar selvas, ciudades,
océanos, pueblos antiguos, etc., similarmente
a los juegos de video que algunos niños usan
regularmente.
Una línea esencial que Papera identifica es
que los niños desde temprana edad se pueden
desarrollar independientemente y aprender
naturalmente vía la exploración y así asimilar
experiencias directamente del mundo que los
rodea.
152
Las ideas de Papert quizás sean un poco
avanzadas respecto a lo que en la actualidad
ocurre con el uso de la computadora; sin
embargo, es innegable que la presencia de
esta herramienta ha estado transformando la
forma de aprender en varias disciplinas.
En esta línea, Hitt (1996) presenta ejemplos
sobre el uso de la tecnología en el
aprendizaje. El ambiente Logo, aspectos e
ideas ligadas a la actividad de programar, y el
uso de determinado software son líneas que
ha influido en el aprendizaje de las
matemáticas. Una idea central en el trabajo
de Hitt es que para que el uso de la tecnología
pase a ser importante en la educación, es
necesario desarrollar una cultura tecnológica
entre los maestros y estudiantes.
En este capítulo se presentan varios ejemplos
sobre el potencial de la tecnología. En general,
se explora la idea de considerar a las
computadoras como elementos fundamentales
en la transformación de funciones cognitivas
del individuo y no sólo como instrumentos que
amplifican y facilitan tales funciones.
Al final se plantea la necesidad de un estudio
más profundo del contenido matemático en
lugar de una cobertura amplia y superficial.
Aquí el uso de la computadora ofrece un gran
potencial en esta dirección, además puede
ayudar al estudiante a desarrollar estrategias
y habilidades que puede usar en su estudio
independiente de esta disciplina.
TRANSFORMACIÓN Y EXTENSIÓN DE
HABILIDADES COGNITIVAS
De acuerdo con Millar (1956) la capacidad de
manejar información en la memoria de trabajo
es aproximadamente de 7 ± 2 unidades. Otras
limitaciones cognitivas se relacionan con la
comunicación de ideas y con el potencial de
trabajar diversos tipos de información. Sin
embargo, el tener acceso a la escritura
permite aumentar el potencial cognitivo y
disminuir las limitaciones. Por ejemplo,
algunos cálculos u operaciones que no es
posible realizar mentalmente se pueden llevar
a cabo en forma escrita y eliminar esta
dificultad. Lo importante es que el material
escrito puede servir de base para trabajar
otras ideas y establecer otras conexiones que
tienden a expandir el conocimiento.
Existen diversos ejemplos donde el desarrollo
de la tecnología no sólo ha ampliado la forma
de trabajar ciertas ideas, sino que también ha
transformado la forma de trabajo. Por
ejemplo, el uso del procesador de textos ha
hecho más sencillo el trabajo que antes se
hacía con la máquina de escribir (por ejemplo,
es fácil corregir las faltas de ortografía). Sin
embargo, no es sólo la facilidad de hacer las
cosas sino que también el proceso de escribir
posee ciertas diferencias fundamentales.
Por ejemplo, ha contribuido en la forma de
organizar las ideas y su libre expresión sin
necesidad de preocuparse por el formato final
(ya que éste puede hacerse al término del
trabajo).
Otro ejemplo es el software “Green Globs” en
el cual los estudiantes disparan a blancos
(globos u otros objetos) con ecuaciones
algebraicas: después de que el estudiante
define una curva algebraicamente, aparece la
gráfica de esta curva y un globo explota
cuando la curva pasa por él.
El estudiante desarrolla cierta destreza en el
juego a través de entender como una curva
hace lo que ellos quieren. Es decir, aprenden a
seleccionar los coeficientes que producirán
cierta forma. La computadora ofrece un medio
donde
el
estudiante
puede
estudiar
empíricamente el comportamiento de una
ecuación, conjeturar ciertos resultados y,
finalmente, probar la verosimilitud de éstos.
SOPORTE ESTRUCTURAL EN EL
DESARROLLO DE HABILIDADES
COGNITIVAS
En el aprendizaje de las matemáticas es
importante que el estudiante explícitamente
relacione las ideas o resultados matemáticos
con situaciones que le permitan estructurar y
organizar sus conocimientos. El uso de la
tecnología juega un papel importante en esta
dirección. Por ejemplo el software “Green
Globs” ayuda a los estudiantes a reconocer las
relaciones entre las fórmulas de una ecuación
y las representaciones gráficas de tales
formas. Es decir, el estudiante tiende a
reconocer que ciertas características de los
parámetros importantes de una expresión se
comportan
de
cierta
forma
en
las
representaciones gráficas. Esto permite tener
una visión global del comportamiento y no
solamente un análisis puntual para cada
ecuación. Por ejemplo, en el análisis de la
ecuación y = ax² + bx + c, es posible enfocar
la discusión sobre la manera en que el
coeficiente a determina la abertura y dirección
de la parábola y en que a variaciones de c
resultan en traslaciones verticales de la
parábola. Las variaciones en b dejan la
abertura constante pero afectan o mueven el
vértice. Por otro lado, los cambios en el
parámetro a modifican la abertura y
posiblemente la dirección de la parábola y
mueven el vértice.
Ahora, al trabajar la forma y = a(x – b)² + c
es posible identificar fácilmente el vértice.
Además, los cambios en a, b y c producen
modificaciones en la abertura y dirección de la
parábola, en el movimiento sobre el eje
horizontal, y en el movimiento a lo largo del
eje vertical en la representación gráfica
respectivamente.
En el caso de que la ecuación de la parábola
se pueda factorizar, entonces se analiza la
forma y = a(x – b)(x – c), a partir de la cual
se pueden identificar las raíces de la ecuación.
La función de la computadora o de la
calculadora al trabajar ejemplos como el de la
ecuación cuadrática no es proporcionar
rápidamente toda la información al estudiante,
sino que es un recurso para analizar con
detalle diversos comportamientos de la
ecuación. Además, la computadora puede
ayudar al estudiante a explorar tanto la
gráfica de una ecuación dada como la
ecuación de una gráfica. Por ejemplo, el
software “Green Globs” ofrece un ambiente de
juego donde el estudiante trata de predecir el
comportamiento de la gráfica a partir de
identificar los puntos (globos) por donde pasa.
Cuando el estudiante acierta, los globos (o
puntos)
por
donde
pasa
explotan.
Similarmente ocurre cuando el estudiante
propone la ecuación que corresponde a la
gráfica dada. La práctica y discusión de lo que
ocurre al realizar estas actividades ayuda a
que los estudiantes mejoren constantemente
sus estrategias y enfoquen la exploración a
ecuaciones más complejas.
EL APRENDIZAJE DE LOS RECURSOS
Un aspecto importante en el estudio de los
hechos
básicos,
reglas,
algoritmos
y
procedimientos con el uso de la tecnología
radica en que los estudiantes pueden
desarrollar un soporte cognitivo en el
aprendizaje de estos recursos. Por ejemplo,
con la ayuda de la computadora es posible
analizar situaciones en una forma dinámica y
usar representaciones múltiples que permiten
establecer conexiones entre los recursos. Con
la ayuda de la computadora es posible
establecer simulaciones de fenómenos donde
simultáneamente se analice tanto la situación
real como varias de sus representaciones
(fórmula, tabla, gráfica). Es aquí donde el
estudiante puede analizar diversas conexiones
entre
tales
representaciones.
Como
consecuencia, es posible discutir aspectos del
153
problema o situación
relacionados con:
I.
que
Las diferentes relaciones
representaciones;
se
estudie
entre
las
II. Las
conexiones
específicas
entre
determinada representación y la discusión
de aspectos específicos del fenómeno. Por
ejemplo, es posible analizar cómo cierta
representación
es
funcional
para
identificar
algunas
propiedades
del
fenómeno (puntos de optimización, por
ejemplo) y otras ayudan a identificar
exactamente el valor de algunos puntos
críticos del fenómeno.
El uso de este software ayuda a los
estudiantes a proponer conjeturas y explorar
varios casos en donde identifiquen elementos
para presentar una demostración de la validez
de alguna proposición. En este sentido el
software contribuye a que los estudiantes
acepten que la geometría (y las matemáticas
en general) no es un producto terminado, sino
que es posible que ellos mismos desarrollen o
descubran nuevas ideas.
Por ejemplo, un alumno de nivel medio
superior al trabajar con el problema de dividir
un triángulo en cinco partes de igual área,
utilizó la siguiente construcción con la ayuda
del software:
Kaput (1992) muestra cómo las diversas
representaciones de un fenómeno pueden
ayudar a analizar otros fenómenos y así los
estudiantes desarrollan estructuras cognitivas
que ayudan a explorar el fenómeno en forma
cualitativa y cuantitativa.
ATENCIÓN AL PROCESO Y ESTRATEGIAS
EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Uno de los avances en el uso de la tecnología
es que ayuda a realizar actividades tediosas
en forma eficiente y rápida. En este sentido,
es posible que el estudiante enfoque su
atención al análisis del proceso de resolución
de problemas. Por ejemplo, un software que
ayuda en esta dirección es el “Geometric
Supposer” (Yerushalmy y Houde, 1986). Este
software ayuda al estudiante a definir
construcciones geométricas sobre objetos
dados (e.g., bisectar un segmento) y después
reproducir estas construcciones en otros
objetos. Si un estudiante ha definido un
procedimiento para bisectar un segmento,
entonces
el
“Supposer”
repetirá
la
construcción en otros segmentos dados (por
ejemplo los lados de un triángulo), lo que le
permite
al
estudiante
observar
si
la
construcción funciona y explorar otras
propiedades de las figuras (intersecciones o
distancias). Schwarts (1994) explica la idea
central del “Geometric Supposer”:
El usuario puede seleccionar o construir una
forma primitiva, como por ejemplo un
trapezoide, o un triángulo escaleno, y así
realizar
una
serie
de
construcciones
euclidianas como paralelas, perpendiculares,
bisectores de ángulos, etc. sobre la figura. El
software preserva las construcciones como
procedimientos, que pueden repetirse sobre
otra figura del mismo tipo. Las mediciones en
la figura original pueden también repetirse en
la misma forma.
154
La construcción anterior resultó novedosa
tanto para el profesor como para muchos
matemáticos que la examinaron. Así, parece
ser evidente que este tipo de software es una
herramienta que le permite al estudiante
establecer un diálogo entre la deducción y la
experimentación. Es decir, le permite explorar
hipótesis empíricamente, descubrir nuevas
relaciones y pensar cómo pueden ser
demostradas éstas. En este sentido, la
tecnología se emplea como una herramienta
potente en el análisis y uso de estrategias.
Otro ejemplo importante es el uso de
programas que pueden calcular raíces de
ecuaciones de grado mayor que 20 o invertir
matrices grandes, y calcular integrales
fácilmente. Al realizar este trabajo, el
estudiante tiene la oportunidad de trabajar
con preguntas conceptuales asociadas con
estos contenidos. En esta dirección, dado que
es relativamente fácil encontrar valores
numéricos con la ayuda de la computadora, el
estudiante tiene que pensar qué aspectos del
fenómeno
ayudan
a
entender
las
características más importantes para su
estudio. Por ejemplo, analizar la función
racional P(x)/Q(x) donde P(x) y Q(x) tienen
grados 22 y 23 respectivamente.
Con la ayuda del software, los estudiantes
abordan este tipo de problemas en base a una
serie de estrategias donde el encontrar
valores de la función no es un problema, sino
el seleccionar valores interesantes que le
ayuden a encontrar el comportamiento en la
función.
CONTROL Y MONITOREO DEL PROCESO
EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En la actualidad existen algunos intentos de
que el estudiante observe y evalúe su trabajo
al interactuar con algunos problemas o
contenidos matemáticos. Por ejemplo, el
software “Grapher” es un medio donde es
posible contrastar las soluciones propuestas
por los estudiantes con las de la computadora.
Así, al analizar las representaciones gráficas
propuestas por los estudiantes, es posible
ponerle atención a los métodos y estrategias
que emplearon en este proceso. Esto ayuda a
que los estudiantes critiquen sus estrategias y
constantemente evalúen sus resultados. El
hecho de que se pueda tener acceso al trabajo
de los estudiantes ayuda a que éste pueda ser
analizado junto con otros compañeros o con el
maestro. Como consecuencia, esto puede ser
un punto crítico para desarrollar algunas
estrategias cognitivas en la resolución de
problemas.
SISTEMA DE CREENCIAS
El uso de la computadora permite al
estudiante explorar diversos casos y tener
acceso a situaciones en donde es posible
encontrar el sentido de algunas ideas
matemáticas. Por ejemplo, una de las
creencias acerca de las matemáticas es que es
una disciplina donde la certeza se muestra a
su nivel más alto.
En el trabajo de Papera (1993) se ilustran
resultados que no necesariamente siempre
son correctas (programas en Logo) pero
pueden ser modificadas.
Como consecuencia, los estudiantes tienden a
conceptualizar que el estudiar y desarrollar
matemáticas es un proceso dialéctico, en
donde uno puede lograr algún progreso,
refinar ciertas ideas y finalmente, resolver o
entender determinada situación o problema.
Además, software como “Green Globs” y
“Geometric
Supposer”
permiten
a
los
estudiantes establecer una interacción grupal
donde es posible discutir las diversas
estrategias y evaluar las propuestas con
varios estudiantes.
El hecho de que el software pueda evaluar
inmediatamente las sugerencias de los
estudiantes, permite que éstos puedan
analizar los alcances y limitaciones de sus
ideas. Como consecuencia, los estudiantes
aceptan que el comunicar y defender sus
ideas en una parte esencial en el estudio de
las matemáticas.
Shoenfeld (1988) identifica tres formas en que
la tecnología puede ayudar a modificar las
creencias de los estudiantes acerca de las
matemáticas y la resolución de problemas:
(I) La computadora permite vincular el
trabajo empírico con lo formal en áreas como
la geometría. Por ejemplo, el uso del software
“Geometric
Supposer”
permite
a
los
estudiantes
realizar
construcciones
geométricas fácilmente y analizar varios casos
que les permite conjeturar algunos resultados.
El siguiente paso es tratar de explorar si estas
conjeturas
se
cumplen
en
diversas
situaciones. En este sentido, el uso del
software también ayuda al estudiante a
realizar el trabajo empírico y proporciona
bases para realizar una demostración formal.
El software “Grapher” también ofrece al
estudiante la oportunidad de explorar diversos
casos empíricamente (el comportamiento de
funciones lineales) los cuales le ayudan a
analizar el comportamiento de los parámetros
importantes de la ecuación de la línea recta
(pendiente e intersección con el eje Y). Es
decir, existe una vinculación estrecha entre el
establecimiento de conjeturas, la verificación
empírica y la demostración formal.
(II) Un aspecto esencial de las matemáticas
es el analizar información estadísticamente.
En la actualidad existen diversos programas
para computadora que permiten realizar un
análisis estadístico completo.
Esto permite que el estudiante lleve a cabo
proyectos en donde considere información real
y la procese e interprete estadísticamente.
Además,
el
estudiante
puede
analizar
conexiones y aplicaciones en otros contextos.
Otro aspecto fundamental es el uso de las
calculadoras. En la actualidad es posible hacer
manipulaciones simbólicas fácilmente de modo
que el estudiante puede centrar más su
atención en la parte cualitativa de las
expresiones.
(III) Otra área importante en las matemáticas
es la modelación de fenómenos. En esta
dirección, la computadora ofrece un potencial
para modelar fenómenos como el movimiento
de una partícula o del automóvil. Así, el
155
estudiante tiene la oportunidad de demostrar
sus
conjeturas
y
analizar
algunas
concepciones falsas con datos representativos.
LA TECNOLOGÍA Y EL CONTENIDO
MATEMÁTICO
El aprendizaje de cualquier disciplina se lleva
a cabo en un contexto social específico en el
cual la educación juega un papel importante
para el desarrollo de la sociedad misma.
En particular, el contenido matemático que se
tiene que estudiar y los métodos de
aprendizaje tienden a estar estrechamente
vinculados con ciertos valores de la sociedad.
La propuesta de la matemática moderna se
fundamentaba en la necesidad de que el
alumno estudiara los principios formales de
esta disciplina desde la educación elemental.
Se suponía que tal estudio ayudaría a
entender la estructura formal de las
matemáticas
y
consecuentemente
el
estudiante tendría un conocimiento sólido en
áreas prioritarias como la ingeniería. Oteen
(1990) afirma que desarrollos importantes en
la tecnología han motivado cambios no sólo en
el contenido para estudiar sino también en la
forma de aprender. Nickerson (1988) ofrece
un panorama de lo que la tecnología puede
ofrecer en los próximos 35 años:
(I) Muchas de las tareas que se realizan con
la presencia del ser humano se realizarán por
medio del uso de una máquina.
(II) Será posible viajar a cualquier parte del
mundo en menos de dos horas.
(III) En medicina, será posible transplantar
órganos fácilmente y la gente podrá vivir más
tiempo. La ingeniería genética habrá avanzado
sustancialmente en direcciones como el
control de genes específicos.
(IV) El software disponible será más versátil
y poderoso que el que existe ahora. Los
estudiantes podrán interactuar con software
con voz y otros atributos que ahora sólo el ser
humano posee.
Nickerson presentó estas ideas hace nueve
años y es claro que muchas de sus
especulaciones han empezado a dar señales
de concreción. En este sentido, es importante
ubicar la dirección en cuanto al contenido
matemático que se debe estudiar y la forma
de aprendizaje.
Dada la explosión del conocimiento, el
estudiante tiene que enfrentarse a nuevas
ideas y desarrollar habilidades que le permitan
156
constantemente
desarrollos.
ajustarse
a
nuevos
Di Sessa (1988) afirma que en virtud de las
limitaciones en las capacidades cognitivas del
individuo, una forma de mantenerse al
corriente con el desarrollo del conocimiento es
que el estudiante se convierta en un
constructor de teorías, un sintetizador de
ideas y un inventor de estrategias que le
permitan avanzar de forma independiente en
su conocimiento.
Algunas ideas en cuanto al potencial que
ofrece la tecnología en el aprendizaje de las
matemáticas han sido presentadas en el
desarrollo de este capítulo.
Específicamente, en relación al contenido es
esencial darle más atención a la profundidad
del estudio que a la extensión o variedad del
contenido.
La idea de profundidad se refiere a entender
los principios centrales de la disciplina que
permiten organizar y tener acceso a otros
aspectos. Es decir, es importante atender el
aprendizaje profundo de algunos aspectos de
la disciplina y no solamente recorrer
superficialmente todo el contenido. Esto
implica que muchos de los hechos y
procedimientos de la disciplina que en la
actualidad se estudian quedarán fuera del
currículo.
La idea es que el aprendizaje de los
estudiantes a nivel profundo de algunos
aspectos de la disciplina los ayudará a
apreciar el potencial de las habilidades y
estrategias que aprendan. En este contexto,
posteriormente
podrán
usarlas
independientemente en el estudio de otros
contenidos.
Así, eventualmente ocurrirá en que el
estudiante
también
pueda
cubrir
más
contenido. Por ejemplo, cuando el estudiante
logre una competencia en cierta área de la
disciplina se espera que esto lo motive a que
continúe su estudio.
El aprendizaje profundo de un tópico en la
disciplina lo pondrá en contacto directo con los
principios y métodos de ésta. Como
consecuencia, se le facilitará aprender más en
esta área.
La tecnología ofrece un potencial para ayudar
al estudiante a profundizar en su aprendizaje.
Por ejemplo, en el estudio de la ecuación
cuadrática, la computadora ofrece un medio
para que el estudiante explore, conjeture,
analice y pruebe varias ideas relacionadas con
este contenido.
En particular, existe el medio para que
desarrolle habilidades y estrategias que
pueden posteriormente ser importantes en
otros contextos como la geometría o el
cálculo.
El
aprendizaje
profundo
de
aspectos
relacionados con la programación ha permitido
que algunos estudiantes conozcan más de
programación que sus propios profesores.
Esto ocurre ya que después de asimilar los
principios de la programación, existen varios
contextos en donde el estudiante se puede
especializar y así avanzar independientemente
de la instrucción formal.
Además, dado que las matemáticas se han
estado
desarrollando
exponencialmente,
particularmente en este siglo (con similares
avances en otras ciencias), es importante que
el estudiante sea un participante activo de
este desarrollo.
Una forma de promover esta participación es
profundizar en algunos aspectos del estudio
de las matemáticas y ofrecer las herramientas
para
que
independientemente
de
una
educación formal, el estudiante pueda
continuar su estudio de esta disciplina. La
tecnología parece que puede contribuir en
esta dirección.
Finalmente, es importante mencionar que la
tecnología es vista como un gran apoyo en el
aprendizaje de los estudiantes, pero en
ningún momento se presenta como un
sustituto del maestro.
Además, el estudiante al usar algún software
o una calculadora, debe entender los
principios matemáticos que emerjan de
determinada exploración y tener presente que
muchas veces la tecnología puede dar una
representación
gráfica
incompleta.
Por
ejemplo, Dubinsky (1995) da un ejemplo que
ilustra la necesidad de usar ideas de cálculo
para finalmente presentar e interpretar la
gráfica de una función representada en la
computadora que necesita el uso de varias
escalas.
157
HACIA UNA PROPUESTA DE
EVALUACIÓN EN LA
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Una preocupación natural por parte de la
gente interesada en implantar la resolución de
problemas en el salón de clases se relaciona
con la forma de evaluar el trabajo de los
estudiantes. En la discusión de los elementos
asociados con esta propuesta se destaca la
importancia del proceso que muestran los
estudiantes al resolver problemas. Por lo
tanto, la evaluación necesariamente debe
contemplar formas de analizar las diversas
fases del proceso de resolución. En este
capítulo se presentan algunas propuestas de
cómo
se
pueden
desarrollar
algunos
instrumentos que tiendan a este tipo de
evaluación.
LA EVALUACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
La resolución de problemas, en términos
generales, es una forma de pensar en la que
el estudiante muestra una diversidad de
estrategias en los diferentes momentos del
proceso de resolver algún problema. Por
ejemplo, el estudiante puede usar diagramas,
tablas o gráficas para representar la
información y entender el problema. El diseño
de un plan y su implantación puede incluir el
uso de métodos algebraicos, el descomponer
el problema en otros más simples, o el
transportar el problema a otro contexto
(geométrico o numérico). En la fase de
revisión, es importante analizar el significado
de la solución. Verificar las operaciones y
pensar en conexiones o extensiones del
problema.
Además,
la
presencia
de
estrategias metacognitivas ayuda a que el
estudiante explore algunos caminos más
eficientemente.
En
este
sentido
será
importante que la evaluación del proceso
proporcione información relacionada con las
diversas actividades que el estudiante
desarrolla al resolver problemas.
Un modelo de evaluación que intenta analizar
el proceso utilizado por los estudiantes al
resolver problemas incluye tres componentes:
(I) El primer momento se centra en la parte
relacionada
con
el
entendimiento
del
problema. Es decir, el estudiante debe
mostrar que ha entendido el problema. Por
ejemplo, se debe enunciar el problema (con
158
palabras propias) o representar el problema
usando diversos caminos. El estudiante debe
juzgar cuándo las condiciones dadas del
problema son razonables y si es posible
estimar alguna solución.
(II) Un segundo momento se relaciona con la
habilidad del estudiante para seleccionar y
usar estrategias de resolución así como el
presentar un plan y llevarlo a cabo.
(III) Finalmente, es importante revisar los
aspectos relacionados con lo razonable de la
solución y la extensión del problema.
En los tres componentes mencionados, la
presencia de aspectos metacognitivos también
debe incorporarse al modelo. Schoenfeld
(1987) menciona que la metacognición se
relaciona con tres aspectos:
(I) El conocimiento del proceso propio de
solución. ¿Qué tan preciso el estudiante
describe su propio proceso de pensar?
(II) Control o autorregulación. ¿Qué tan bien
se puede seguir o evaluar lo que se hace?
(III) Creencias e intuiciones. ¿Qué ideas
acerca de las matemáticas aparecen en la
interacción del estudiante con la disciplina?
¿Cómo le dan forma éstas al proceso que se
utiliza el resolver problemas?
La evaluación de los aspectos mencionados no
puede ser realizada usando solamente
ejercicios para resolver con lápiz y papel. Es
decir, es importante diseñar actividades
adecuadas que capturen información de los
momentos identificados en el modelo. Las
entrevistas desempeñan una herramienta
importante en esta forma de evaluación.
Davis (1986) describe lo que llama entrevista
a través de un problema y la define como
sigue:
Un grupo de estudiantes se sienta alrededor
de una mesa, se les proporciona papel, lápiz,
calculadora, u otros instrumentos. Se les
presenta un problema para resolver. Una o
más personas están presentes para recabar
información. Normalmente, antes de empezar
a trabajar se le pide a los estudiantes que
hablen en voz alta y expliquen tan
detalladamente como puedan lo que están
haciendo y por qué deciden hacerlo. Todo este
proceso puede ser grabado o incluso filmado.
El observador toma nota durante el transcurso
de la sesión e inmediatamente después puede
añadir algunos comentarios que hayan
resultado importantes durante el desarrollo de
ésta (Davis, 1986, pp. 87-88).
Davis también sugiere que algunos aspectos
relacionados con la estructura y desarrollo de
este tipo de entrevistas pueden variar. Por
ejemplo, el grado en que se les pide a los
estudiantes describir sus ideas, el tiempo de
verbalización y la profundidad de las ideas; el
tipo de materiales o equipo que se le
proporciona al estudiante y el formato
preparado por el observador o evaluador
antes de la entrevista, y el nivel de
intervención por parte del observador son
aspectos que determinan el desarrollo de una
entrevista.
Perkins (1981) sugiere algunas ideas que
pueden ser de utilidad en el uso de este tipo
de entrevistas. Antes de comenzar la
entrevista se le recomienda al estudiante que:
(I) Diga lo que esté en su mente. No te
guardes, lo que tú consideres como
conjeturas,
ideas
vagas,
imágenes
o
intensiones.
(II) Habla tan continuamente como puedas.
Di algo al menos cada cinco segundos, aún si
dices “estoy en blanco”.
(III) Habla con un tono que se escuche.
(IV) Habla
tan
telegráficamente
como
puedas. No te preocupes si tus oraciones no
son completas ni elocuentes.
(V) No expliques o justifiques demás. Trata
de analizar las cosas como normalmente lo
haces.
(VI) No trates de describir eventos pasados.
Describe lo que haces en el momento y luego
trates de describir lo que pensaste.
En este plan general para realizar una
entrevista es importante señalar que un
ingrediente importante es el tipo de problema
que
el
estudiante
trabajará.
Algunas
características que estos problemas deben
presentar son:
(I) Que sea un reto, que sean difíciles pero
accesibles.
(II) Que demanden un plan y una reflexión.
Es decir, que no se puedan resolver
instantáneamente.
(III) Que
permitan
diferentes
(estrategias) de solución.
(IV) Que algunos
Así, una solución
encontrar todas
cuántas soluciones
métodos
(V) Que incluyan una variedad de procesos
matemáticos y operaciones pero no en formas
obvias o rutinarias.
(VI) Que cuando un estudiante lo resuelva,
debe ser posible identificar los procesos y
operaciones empleadas; así como, el plan
para resolverlos y las estrategias empleadas.
Al seleccionar los problemas y realizar las
entrevistas, el reporte de las cualidades
mostradas por los estudiantes debe discutirse
alrededor de los siguientes puntos:
(I) El nivel de desarrollo de las fases de
entendimiento, diseño de un plan y su
implantación, y de la visión retrospectiva.
(II) El tipo de estrategias usadas en la
resolución del problema.
(III) La
presencia
de
conceptos
y
procedimientos matemáticos. Cuando un
problema puede ser resuelto por medio de la
aplicación de diferente contenido matemático,
es importante mencionar qué contenido fue
usado y qué tipo de conexiones fueron
explotadas.
(IV) El tipo de control y automonitoreo
mostrado por el estudiante al resolver el
problema.
(V) La
participación
por
parte
del
entrevistador.
Es
decir,
el
tipo
de
intervenciones y los efectos producidos en el
trabajo del estudiante.
Finalmente, se debe reportar si el estudiante
obtuvo la respuesta correcta del problema, si
lo hizo con o sin ayuda del entrevistador.
Indicar la cantidad de tiempo en cada fase
para obtener la solución y los comentarios
pertinentes adicionales.
Las ideas anteriores resaltan los aspectos
cualitativas de la evaluación. Sin embargo,
para aspectos de carácter cuantitativo
también es posible diseñar un instrumento
que se le asocie a algún número determinado.
Es
importante
mencionar
que
en
la
construcción del instrumento se analizaron
diversos trabajos que muestran interés por
cuantificar el proceso de resolución (Charles,
Lester, y O’Daffer, 1987; Szetela, 1987;
Santos, 1992). El instrumento puede incluir
las siguientes componentes:
incluyan varias soluciones.
completa puede requerir
las soluciones o decidir
existen.
159
Pedro y María visitaron una granja el fin de
semana donde se crían gallinas y cerdos.
Pedro observó que en total había 19 cabezas,
mientras que María dijo que había 60 patas.
¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos había en la
granja?
Además, en el proceso de evaluación se
pueden
identificar
algunos
indicadores
asociados con la solución del problema, el
desarrollo de la solución, y con respecto a
identificar
las
estrategias
principales
empleadas en cada solución.
En este instrumento se han identificado
algunos componentes que pueden ayudar al
instructor a tener una idea global del proceso
de solución del problema. Además, de la
identificación de los diversos momentos
genera información relacionada con las
dificultades que puedan mostrar en cada una
de las fases. Es decir, entendimiento, uso de
estrategias y evaluación de la solución.
SOLUCIONES ANTICIPADAS
Es importante que antes de realizar la
entrevista se trabaje el problema con cierto
detalle. La idea es que se encuentren algunas
soluciones anticipadas. Esto ayudará a
entender el trabajo de los estudiantes. Hay
que aclarar que no se espera que el
estudiante necesariamente siga algunas de
estas formas de solución. Sin embargo, el
trabajar el problema ayuda incluso a orientar
al
estudiante
durante
el
proceso.
A
continuación se plantean algunas posibles
soluciones al problema planteado.
(I) El método pictórico. Este incluye el
uso de figuras, dibujos o diagramas como
medio pare representar el problema. El
estudiante puede dibujar los animales o
representarlos mediante un diagrama y
usarlos como referencia para aumentar la
cantidad o eliminar algunos de acuerdo al
número de patas.
Es
importante
mencionar
que
estos
instrumentos pueden ser ajustados por el
instructor de acuerdo a los tipos de problemas
que considere en la evaluación. Por ejemplo,
si se destaca la importancia de que el
estudiante muestre diversos métodos de
resolución o diversas soluciones entonces será
necesario cuantificar esta componente.
EJEMPLO DE UN PROBLEMA Y EL TIPO DE
INSTRUMENTOS PARA LA ENTREVISTA
A continuación se presenta un problema que
puede servir de guía para preparar una
entrevista. En la presentación se destacan
algunas cualidades como el empleo de
diversos métodos o formas de resolución. Sin
embargo, los métodos discutidos no son
exhaustivos ni tampoco se espera que los
estudiantes
necesariamente
seleccionen
alguno de estos caminos. El trabajo con el
problema ayuda al maestro a valorar el
potencial del problema y a preparar una serie
de instrumentos para recabar información del
proceso utilizado por los estudiantes al
resolverlo.
160
(II) El método de ensayo y error. Este
método puede ser usado originalmente por el
estudiante. En su desarrollo puede incluir
varias direcciones de acuerdo con el tipo de
ensayo que se seleccione. Por ejemplo, el
estudiante puede usar:
(a) Un método de intercambio en el cual
fija un número determinado de cerdos o
gallinas y los empieza a intercambiar de
acuerdo al número de patas. Así, el
estudiante puede iniciar con 19 cerdos y
calcular el número de patas y disminuir el
número de cerdos de uno en uno
compensando cada cerdo con las gallinas
correspondientes.
Repitiendo
este
procedimiento se llega a la solución del
problema.
(b) Un método de conteo puede iniciarse
con cualquier número de gallinas y cerdos.
Por ejemplo, 10 gallinas y 9 cerdos.
Contando el total de patas que se tiene
que 2 + 36 = 56; se nota que faltan
cuatro patas. Entonces la siguiente
selección puede ser 9 gallinas y 10 cerdos;
esto lleva a 18 + 40 = 58 patas. En este
caso faltan, 2 patas. Naturalmente la
siguiente selección conlleva a considerar 8
gallinas y 11 cerdos lo que produce la
solución deseada.
(c) La construcción de una tabla puede
también ayudar al estudiante a seleccionar
los
números
sistemáticamente.
Por
ejemplo, iniciando con los casos extremos
(sólo gallinas o cerdos) y tomando en
cuenta la información se puede generar
una tabla como la siguiente:
posibles combinaciones que puedan satisfacer
la expresión del número de patas.
(V) El método algebraico. El álgebra
también puede ayudar a resolver el problema.
Una forma puede ser representando la
información dada con un sistema de
ecuaciones. Este sistema, que incluye dos
ecuaciones con dos incógnitas, se puede
resolver
utilizando
los
procedimientos
rutinarios:
(VI) El método gráfico
(III) El método de correspondencia. Este
método puede también aparecer en la
solución del problema. La idea es pensar en
una correspondencia entre el número de patas
y cabezas. Dos formas similares ilustran este
procedimiento:
(a) Supongamos que las gallinas se sostienen
sólo con una pata y que los cerdos sólo
con dos patas. Entonces estarían pisando
tierra solamente la mitad de las patas es
decir, 30 patas.
En este número la cabeza de una gallina
se cuenta solamente una vez, mientras
que la cabeza de los cerdos se cuentan
dos veces. Restándole a 30 el número de
cabezas (19), resulta el número de
cabezas de cerdo. Esto es 30 – 19 = 11
cerdos. Con esta información se tiene que
hay 8 gallinas.
(b) Otra
variante
del
método
de
correspondencia es imaginarse que todos
los animales se sostienen con dos patas.
Entonces habría 38 patas y 60 – 38 = 22,
que serían las patas de cerdo que faltan,
entonces hay 11 cerdos.
(IV) Un método semi-algebraico. Éste se
puede identificar cuando el estudiante, por
ejemplo, utilice g = cantidad de gallinas y c =
cantidad de cerdos; de aquí puede escribir
que g + c = 19 o g = 19 – c. Tomando esto
como base, el estudiante puede explorar las
El estudiante puede también usar una
representación algebraica donde se incluya
solamente una variable. Por ejemplo, x puede
representar el número de gallinas y (19 – x)
el número de cerdos; esto lleva a que 2x + 4
(19 – x) = 60, es decir, 2x + 76 – 4x = 60, de
donde x = 8.
PREGUNTAS POTENCIALES PARA AYUDAR
AL ESTUDIANTE EN EL DESARROLLO DE
LA ENTREVISTA (EN CASO DE QUE SE
REQUIERA)
¿De qué trata el problema?
Entendimiento
problema:
general
del
enunciado
del
•
¿Puedes explicar con tus propias palabras
de qué se trata el problema?
•
¿Qué es lo que sabes? ¿Qué es lo que se
quiere encontrar?
161
Entendiendo la relación entre el número de
cabezas y patas:
•
¿Qué número de patas le corresponde a
cada cabeza?
Diseño de un plan y su implantación
Exploración:
•
¿Tienes alguna idea sobre qué tipo de
estrategia puedes usar para resolver este
problema?
Selección y uso de “estimación”:
•
¿Puedes pensar un número determinado
de gallinas y cerdos?
Selección y uso de “ensayo y error”:
•
¿Con qué números puedes iniciar?
•
¿Qué números siguen ahora?
Selección
y
posibilidades”:
uso
de
“eliminación
de
•
¿Podrías tener 10 gallinas (cerdos)?
•
¿Por qué? ¿Te podría ayudar una tabla?
Selección y uso de un método algebraico:
•
¿Podrías usar álgebra para resolver este
problema?
•
¿Cuáles son las variables? ¿Cómo las
representarías?
•
¿Qué ecuaciones puedes
representar el problema?
•
¿Cómo podrías resolver o encontrar el
valor de alguna de las variables?
escribir
para
VISIÓN RETROSPECTIVA
Búsqueda de conexiones y otras formas de
resolver el problema:
•
¿Cómo sabes que la solución que obtuviste
es correcta?
•
¿Puedes pensar en otra forma o método
para resolver este problema?
•
¿Te ayudaría a resolver el
pensaras que todos los
sostienen únicamente en
¿Cuántas patas estarían en
quién serían? ¿Por qué?
162
problema si
animales se
dos patas?
el aire y de
HOJA DE CAPTURA DE
INFORMACIÓN:
EVALUACIÓN DEL PROCESO
DE LOS ESTUDIANTES AL
RESOLVER PROBLEMAS
Nombre(s)____________________________
Escuela_______________________________
_____________________________________
Fecha de nacimiento____________________
Grado_________
Curso_________
Maestro___________________
Entrevistador__________________________
________
Fecha______________
Tiempo_______________
Problema: Pedro y María visitaron una granja
el fin de semana donde se crían gallinas y
cerdos. Pedro observó que en total había 19
cabezas, mientras María dijo que había 60
patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos
había en la granja?
Herramientas disponibles:
•
Enunciado del problema
•
Calculadora (5 funciones)
•
Papel, lápiz, colores
Entendimiento
__ Problema entendido rápidamente
Evidencia:____________________________
Dificultad con
__“identificación del número
de patas”
__”relación entre el número de
cabezas y el número de patas”
__
Otro:________________________________
_____________________________________
Preguntas, tipo de ayuda y comentarios:
Selección de estrategias
Estrategia pictórica:
usada
__
exclusivamente __ algunas veces __ lo
guiaron a la solución
ayuda.
__ con ayuda
__
sin
Dibujos o representación sistemática
problema __ con ayuda __ sin ayuda.
del
Comentarios:__________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Método de ensayo y error: usado
__
inicialmente __ exclusivamente __ algunas
veces __ lo guiaron a la solución __ con
ayuda __ sin ayuda.
Dibujos o representación sistemática
problema __ con ayuda __ sin ayuda
del
Ensayos razonables: __ siempre __ algunas
veces.
Comentarios:__________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Conteo __ siempre __ algunas veces __
con ayuda __ sin ayuda.
Construcción de tabla __ siempre __
algunas veces __ con ayuda __ sin ayuda.
Método de conteo __ siempre __ algunas
veces __ con ayuda __ sin ayuda.
Posibilidades descartadas (19 gallinas o
cerdos) __ siempre __ algunas veces __
con ayuda __ sin ayuda.
Comentarios, evidencias:
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Ejemplos de ensayos y comentarios:
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
163
Método de correspondencia usado
__
inicialmente __ exclusivamente __ algunas
veces __ lo guiaron a la solución __ con
ayuda __ sin ayuda __
Comentarios:__________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Método algebraico usado __ inicialmente
__ exclusivamente __ algunas veces __ lo
guiaron a la solución __ con ayuda __ sin
ayuda __
Variables utilizadas
__
x
__
y
representación de __ una ecuación __ un
sistema de ecuaciones __
__ Método usado para resolver el sistema de
ecuaciones
Comentarios:__________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Monitoreo o autoevaluación
__
Planes
considerados.
alternativos
mencionados
Resumen
__ El estudiante resolvió el problema sin
ayuda.
__ El estudiante resolvió el problema, pero
necesitó ayuda.
__ El estudiante no resolvió el problema aun
con ayuda.
Tiempo
de
trabajo:______________________________
_____________________________________
__
Solución: min__________________________
visión
retrospectiva:
min___________________________
Descripción de los métodos usados y el orden.
Estimación del tiempo.
_____________________________________
_____________________________________
___________
o
Comentarios:__________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
__ Progreso con la estrategia seleccionada.
Evidencia:____________________________
_____________
Comentarios:__________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
__ Conexiones matemáticas consideradas o
discutidas:
_____________________________________
_____________________________________
Comentarios:__________________________
_____________________________________
_____________________________________
164
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_________________________________
Otros aspectos importantes que deben
contemplarse en la evaluación del aprendizaje
de los estudiantes son:
(I) La participación del estudiante en el
diseño de problemas proyectos. Es decir,
problemas en donde el estudiante tenga que
colectar cierta información de fuentes diversas
como periódicos, censos, reportes climáticos o
de centros especializados. Esta información le
servirá para resolver problemas en contextos
que involucren datos específicos.
(II) La escritura de un diario personal. Aquí
el estudiante reportará semanalmente sus
experiencias en la resolución de problemas y
el
aprendizaje
de
las
matemáticas.
Identificará, por ejemplo, cuáles fueron las
dificultades encontradas al resolver los
problemas en ese periodo. Además, se
reportarán los aspectos matemáticos que les
fueron de mayor o menor interés.
(III) Es importante que el estudiante participe
en el proceso de formular problemas durante
y fuera de la instrucción. En esta dirección, se
sugiere que reformule o diseñe problemas que
involucren las siguientes variables:
a) Se le dé un problema al estudiante y en
base al enunciado se le pide que formule
un problema similar y que lo resuelva.
b) Se le proporcione una información
incompleta, se le pide que complete la
información y que plantee un problema y
que lo resuelva.
c) Se les pide que diseñen sus propios
problemas, en donde ellos mismos tienen
que seleccionar información adecuada.
Aquí, se les puede indicar el contexto del
problema, es decir, un problema de
precios, de tiempo, de patrones, de
demostración, etcétera.
d) Se les dan problemas con un exceso de
información y se les pide que identifiquen
y reestructuren el problema y que lo
resuelvan.
e) Se colocan semanalmente en algún lugar
del salón de clases una lista de 2 o 3
problemas para que se resuelvan (los
problemas
de
la
semana);
la
responsabilidad
de
diseñar
estos
problemas puede ser por equipos y se
puede dar un espacio en la clase para
discutir sus soluciones.
f)
Se proporciona un problema resuelto. La
solución presenta un problema conceptual
o de procedimiento. Se le pide al
estudiante que identifique el error y que lo
resuelva correctamente.
165
EJEMPLOS DE PROBLEMAS Y
SOLUCIONES
En este capítulo se presenta una lista de
problemas que pueden servir de ejemplos
para discutir aspectos relacionados con las
estrategias, el uso de representaciones y el
contenido matemático. Varios de estos
ejemplos fueron diseñados teniendo en cuenta
ideas generales de las matemáticas y no un
contenido curricular específico. Sin embargo,
se espera que el lector también diseñe su
propia lista de problemas teniendo como
punto de partida los que se incluyen aquí. Es
importante mencionar que el nivel de
dificultad de los problemas es amplio. Es
decir; abarcan desde el nivel primario hasta el
nivel
de
los
primeros
semestres
de
universidad.
ALGUNOS PROBLEMAS CON DIVERSOS
MÉTODOS DE SOLUCIÓN O VARIAS
SOLUCIONES
Una preocupación constante de los maestros
que identifican un potencial en el uso de la
resolución de problemas para el aprendizaje
de las matemáticas es el tipo de problemas
para el aprendizaje de las matemáticas es el
tipo de problemas que deben considerar en la
instrucción.
Bajo este capítulo se presenta una lista de
problemas que pueden ser un vehículo para la
discusión de aspectos relacionados con el
contenido
matemático,
estrategias
de
solución,
representaciones,
análisis
de
información y viabilidad de la solución o
soluciones.
Un propósito, al enlistar estos problemas, es
mostrar que en seleccionar o formular
problemas con un potencial de discusión tanto
para clase como para el trabajo fuera de clase
no es un proceso sofisticado.
fundamental que los estudiantes formulen o
rediseñen sus propios problemas.
Problema 1. ¿Puedes obtener el número 525
a partir de una suma de números
consecutivos? Justifica tu respuesta.
Solución: Un camino para resolver este
problema puede ser el considerar la suma
1 + 2 + 3 +… + 32 = 528.
Como el resultado es mayor que 525, es
necesario hacer algunos ajustes teniendo en
cuenta la información del enunciado. Como la
diferencia entre 528 y 525 es tres, es
pertinente quitar 1 + 2 para que se cumpla la
condición de que sean consecutivos.
Otra forma puede ser el pensar si existen dos
(o tres, cuatro, cinco, etc.) números
consecutivos que sumados den 525. La
siguiente tabla puede ayudar a organizar la
información asociada a esta idea.
Al observar la tabla, se puede conjeturar que
no existe solución cuando el número de
términos es divisible entre 4. Lo cual es cierto,
ya que si el número de términos es divisible
entre 4, entonces habrá un número par de
números consecutivos tales como [a + (a +
1)] + [(a + 2) + (a + 3)] cuando se tengan
cuatro términos [a + (a + 1)] + [(a + 2) + (a
+ 3)] + [(a + 4) + (a + 5)] + [(a + 6) + (a
+ 7)], en el caso de tener ocho términos.
Cada suma de dos números consecutivos será
impar, independientemente de que a sea par
o impar y toda la suma será la de un número
par de números impares, la cual siempre es
par. Así, la suma no puede ser 525, ya que
ésta es impar.
Es importante mencionar el contenido
matemático de los problemas incluye desde el
nivel elemental hasta los primeros semestres
de universidad. Sin embargo, los problemas
no están enlistados en ese orden y en gran
parte se presentan algunas de las soluciones.
Problema 2. Encontrar los valores de a y b
de tal manera que la línea recta 2x + 3y = a
sea tangente a la gráfica de f(x) = bx² en el
punto donde x = 3.
Se espera que el lector encuentre otras
soluciones a estos problemas. Además, se
invita al lector a que hagan su propia lista de
problemas y discutan las ideas y estrategias
de resolución con sus compañeros porque,
como ya se ha recalcado anteriormente, es
Solución: La ecuación 2x + 3y = a
representa una familia de líneas rectas con la
misma pendiente, m = 2/3. Al escribir la
ecuación como y= (-2/3)x + a/2, se obtiene
explícitamente tal pendiente, y a/2 es la
ordenada de la intersección de la línea con el
166
eje y. La expresión f(x) = bx² representa una
familia de parábolas con vértice en el origen;
el signo de b determina la dirección hacia
donde se abre la parábola (hacia arriba o
hacia abajo). El valor de b determina el
tamaño de la abertura.
Cualquier línea recta tangente a f(x) en x
tendrá
f’(x)
=
2bx
como
pendiente
(interpretación geométrica de la derivada).
Por lo tanto, esta pendiente debe ser la misma
que la de la línea recta dada, esto es, (-2,3).
Como x = 3, 2b(3) = -2/3 y por lo tanto b =
-1/9.
Cuando x = 3 y b = -1/9, se obtiene que f(3)
= -1; como la línea recta tangente toca a la
gráfica de f en el punto (3, – 1), al sustituir
los valores x = 3 y y = -1 en la ecuación de la
recta se obtiene que a = 3. Por lo tanto, los
valores a = 3 y b = -1/9 dan como ecuación
de la recta 2x + 3y = 1 y de la parábola f(x)
= (-1/9) x². Es conveniente graficar ambas
ecuaciones para verificar los resultados.
Problema 3. Encontrar todos los rectángulos
cuyas medidas de sus lados estén dados en
números enteros (positivos) y cuya área y
perímetro sean numéricamente iguales.
Solución:
(a) Método
algebraico.
Si
a
y
b
representan los lados de los rectángulos
entonces: A = a x b y P = 2a + 2b. Ahora,
como A debe ser igual a P, se tiene que a x b
= 2a + 2b, al despejar a se obtiene que a =
(2b)/(b-2). El problema ahora es decidir para
qué valores enteros de b se obtienen valores
enteros de a. 2b/(b-c) se puede escribir como
1 + (b + 2)/(b – 2); para que esta expresión
sea un entero, (b + 2)/(b – 2) debe ser un
entero. Se observa que los candidatos deben
ser mayores que 2. Al explorar con 3, 4, 5, 6,
7 y 8, se observa que 3, 4 y 6 dan un valor
entero para a, y de 7 es imposible obtener un
entero. Esto se debe a que la diferencia entre
el numerador y el denominador es una
constante.
(b)
Método de tabulación:
En virtud de que el área aumenta más rápida
que el perímetro, no se necesita avanzar más.
Problema 4. En el rectángulo de la siguiente
figura se selecciona un punto P arbitrario
sobre la diagonal. A partir de P se trazan
perpendiculares a los lados del rectángulo.
Estas perpendiculares cortan a los lados en los
puntos E, F, G y H respectivamente. ¿Qué se
puede decir del área del rectángulo AEPG con
respecto al área del rectángulo DFPH?
Solución: En la representación gráfica se
nota que la diagonal del rectángulo lo divide
en dos regiones con áreas iguales. De donde
se observa que el ∆GPC es congruente al
∆HPC y que el ∆EBP es congruente al ∆FBP.
De aquí que el área de AEPG es la misma que
el área de DFPH (en este ejemplo resalta el
poder de la representación).
El siguiente es otro ejemplo donde es
importante analizar la representación del
problema:
Problema 5. ¿Cuál es la probabilidad de que
en un grupo de 30 estudiantes haya al menos
dos que tengan la misma fecha de
cumpleaños?
Solución: La probabilidad se puede calcular
asumiendo que cada fecha es igualmente
probable. El procedimiento se basa en calcular
la probabilidad de que 30 gentes escogidas al
azar tengan diferente fecha de cumpleaños, y
esta probabilidad se le resta a 1. Es decir,
Problema 6. Tres viajeros se hospedan en un
hotel y pagan $10.00 cada uno, (o $30.00 en
167
total). Después, el dueño del hotel se da
cuenta
de
que
les
ha
cobrado
incorrectamente. Le pide a su ayudante que
les regrese $5.00. El ayudante se da cuenta
de que no puede dividir $5.00 entre los tres y
decide darles $1.00 a cada viajero y quedarse
con los $2.00 restantes. Así el costo del
hospedaje fue de $9.00 por cada viajero
($27.00 en total). Los $27.00 pagados por el
cuarto más los $2.00 que el ayudante tomó
son $29.00. Sin embargo, los viajeros
pagaron $30.00 originalmente ¿Qué pasó con
el peso faltante?
Solución: Cada viajero pagó originalmente
$10, lo que equivale a un total de $30.
Después cada uno recibió $1, lo que da un
total de $27. Ahora, de los $27 pagados, $25
fueron para el hotel y $2 para el ayudante.
Por lo tanto, decir que $27 fueron para el
hotel y $2 para el ayudante no es correcto.
Los $27 incluyen también los $2 que tomó el
ayudante.
Problema 7. José trabaja en una librería
después de sus horas de clase. Su salario es
de $6.00 por hora si trabaja 15 horas a la
semana. Si trabaja más de 15 horas, se le
paga su salario más la mitad por cada hora
extra. ¿Cuántas horas debe trabajar José para
que gane $135.00 durante una semana?
Solución: Por 15 horas que trabaje José en
una semana se le pagarán 90 pesos (6 x 15 =
90). Si desea ganar $135 debe trabajar horas
extras, las cuales se pagan a $9 cada una.
Como 135 – 90 = 45, José necesita trabajar 5
horas más. Es decir, para ganar $135 necesita
trabajar un total de 20 horas a la semana.
Problema 8. Un granjero amarra un chivo en
la esquina exterior de un establo de 10 por 20
metros. La cuerda con que lo ata es de 25
metros. El chivo puede pastar en cualquier
lugar fuera del establo hasta donde la cuerda
alcance. ¿Cuál es la medida del área donde el
chivo puede pastar?
Solución (se deja al lector). Sugerencia:
Trate
de
representar
el
problema
gráficamente.
Problema 9. Explica el siguiente patrón y
generalízalo:
321 – 123 = 198
432 – 234 = 198
543 – 345 = 198
168
Solución (se deja al lector). Sugerencia: El
primer número se puede representar como (k
= 2) 100 + (k + 1) 10 + k y el segundo como
k(100) + (k + 1) 10 + (k +2), donde k puede
ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ó 7.
Problema 10. Pruebe que si n es un entero
entonces n(n4 – 1)/5 es un entero.
Solución: se construye la siguiente tabla.
El residuo de dividir n entre 5 puede ser 0, 1,
2, 3 o 4. En cada caso, el residuo de dividir n4
entre 5 es 0, 1, 1, 1, 1. Así, n es divisible
entre 5 (y también n(n4 -1)/5) ó n4 – 1 es
divisible entre 5 (y aquí también n(n4 – 1)/5).
Por lo tanto,
n(n4 – 1)/5) siempre será un
entero.
Problema 11. Uri Geller, un famoso
“adivinador”, puede decir el resultado de
cualquier partido de fútbol antes de que
empiece el juego. ¿Puedes explicar cuál es su
secreto?
Solución.
información.
Sugerencia:
Analizar
la
¿Cuál es el marcador del partido antes de que
empiece el juego?
El marcador siempre es 0-0.
Problema 12. En la papelería de la escuela
hubo una oferta para vender dos tipos de
lapiceros. Algunos se vendieron a $4.00 y
otros a $5.00 En 15 minutos, se vendieron 21
lapiceros. (A tu maestro se le olvidó dar más
información; tampoco escribió la pregunta.
Completa la información del problema y
resuélvelo). Este es un ejemplo de problemas
en los que no se plantea una pregunta o no
existe un hecho relevante.
I.
Después de que el estudiante resuelva el
problema, pedirle que diseñe uno similar o
relacionado.
II. Plantear al estudiante un problema que
contenga un error conceptual o de
procedimiento y pedir al estudiante que
encuentre ese error.
III. Plantear problemas para que el estudiante
los explique sin necesidad de resolverlos
(método del teléfono).
Problema 13. Diez presidentes se reúnen
para discutir asuntos económicos de sus
países. Antes de empezar la reunión, cada
presidente se saluda con cada uno de los otros
estrechándose la mano. Un periodista quiso
contar cuántos saludos de mano ocurrieron
pero no le dio tiempo de contarlos. Dile al
periodista cómo contar todos los saludos de
mano entre estos presidentes.
Solución (se deja al lector). Sugerencia:
Representa el problema gráficamente (usa
una circunferencia).
Problema 14. Una compañía de bebidas
refrescantes empaca sus productos en cajas.
Las empaca como se muestra en la figura de
tal manera que entran exactamente 40
botellas. Un trabajador le sugiere al gerente
de la compañía que se pueden acomodar 41
botellas en la misma caja con sólo reordenar
las botellas. Demuéstrale al gerente que el
trabajador está en lo cierto o que está
equivocado.
Se observa que el autobús se llenará en la
octava parada.
Problema 16. Dos postes de teléfono de 10
m y 25 m de altura respectivamente se
colocarán a una distancia de 40 m uno del
otro. Los postes deben ser sujetados a un
punto de apoyo situado entre ambos. ¿Dónde
debe situarse el punto de apoyo para que la
suma de las longitudes del cable de cada
poste al punto de apoyo sea mínima?
Solución (se deja al lector), sugerencia: Use
el
principio
de
alineamiento
descrito
anteriormente).
b) Uso del cálculo: La longitud de cada cable
se puede expresar como:
y
La longitud total del cable, se puede expresar
en función de la distancia x desde el poste de
25 m. Es decir, w = BC + AC; de donde
Solución (se deja al lector). Sugerencia:
Piensa en otro arreglo y mide las dimensiones
de la caja. El teorema de Pitágoras te puede
ayudar a encontrar las dimensiones.
Ahora, derivando se obtiene que:
Problema 15. Un autobús escolar con
capacidad para 36 personas, en su primera
parada recoge a un estudiante; en la segunda
recoge dos; en la tercera tres, y así
sucesivamente. Si ningún estudiante se baja
del autobús, ¿después de qué parada se
llenará el autobús?
Para encontrar el valor de la distancia mínima,
se iguala la derivada a cero y se obtiene que x
= 28 (4/7), lo que indica que el punto de
apoyo se colocará a 28(4/7) m de distancia
del poste de 25 m.
Solución: Una tabla puede
representar la información.
ayudar
a
Problema 17. Un cubo de madera que mide
10 cm. por lado se pinta de rojo. El cubo
pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm.
por lado. ¿Cuántos cubos de 2 cm. por lado no
tienen pintada ninguna cara?
Solución (se deja al lector).
preguntas que pueden ayudar:
Algunas
1. ¿Dónde se ubican los cubos con tres caras
pintadas?
169
2. ¿Dónde están los cubos con dos caras
pintadas?
3. ¿Dónde están los cubos con una sola cara
pintada?
(b) Casos más simples: Considerar números
más pequeños y encontrar sus factores de
acuerdo a las condiciones del problema. Por
ejemplo, la siguiente tabla nos orienta hacia la
solución:
4. ¿Dónde están los cubos que no tienen
ninguna cara pintada?
Problema 18. Un libro se abre al azar. El
producto de los números de las páginas en
que se abrió el libro es 3192. ¿Cuáles son los
números de las páginas en que se abrió el
libro?
Solución: Algunas maneras de resolver este
problema son:
I.
Ensayo
y
error
o
aproximaciones
sucesivas. Es decir, se intenta establecer
un rango que contenga a la solución. Por
ejemplo, al observar que y 50 x 50 =
2500 y 60 x 60 = 3600, determina que la
respuesta se ubica entre los 50s. 54 x 55
y 55 x 56 se eliminan porque estos
productos contienen ceros. 56 x 57
contiene el dígito 2 en las unidades; el
resultado requerido se obtiene al hacer la
multiplicación de estos números.
II. Otra forma de resolver este problema es
por medio de una factorización. Por
ejemplo, 3192 puede factorizarse como 2
x 2 x 2 x 7 x 57. de donde se observa que
56 x 57 da la solución requerida.
III. Otra forma es pensar en la raíz cuadrada
de 3192. Es decir, dos números iguales
cuyo producto sea 3192. Con la
calculadora se obtiene que la raíz
cuadrada de 3192 es 56.4977. Como
queremos los números consecutivos, esto
nos da una indicación de que los números
pueden ser 56 y 57.
Problema
19. ¿Puedes encontrar dos
números enteros positivos a y b cuyo
producto sea un millón y ninguno de los dos
números incluya ceros en su representación?
Solución:
(a) Factorización:
En la tabla se observa el patrón entre el
número de ceros y la potencia de los factores.
De aquí que 1 000 000 se puede representar
como 26 x 56.
Otro medio de resolución puede implicar el
encontrar los factores primos del número
1 000 000 como punto de partida y esto
produce la solución directamente.
Problema 20. En un pueblo, 2/3 de las
mujeres están legalmente casadas con 3/5 de
los hombres del pueblo. Todos los demás
adultos no están casados. ¿Qué fracción de los
adultos en el pueblo están casados?
Solución:
(a) Método de ensayo y error: La idea es
buscar fracciones equivalentes a 2/3 y a 3/5
que tengan el mismo numerador. Por ejemplo,
6/9 y 6/10. En efecto, 6 mujeres casadas de
un total de 9 y 6 hombres casados de un total
de 10 cumplen las condiciones del problema y
da un total de 12 personas casadas en un
total de 19 adultos. Es decir, la fracción 12/19
corresponde a la población adulta que es
casada.
(b) Método de fracciones equivalentes: La
idea es enlistar las fracciones equivalentes a
2/3 y 3/5 fijarse en las que tengan el mismo
numerador. Por ejemplo, 6/9 y 6/10; 12/18 y
12/20, e incluso y (n x 6)/(n x 9) y (n x 6)/(n
x 10). Todos estos pares cumplen las
condiciones del problema. Así:
F = (6+6)/(9+10)=12/19; F =
(12+12)/(18+20)=(24/38)=12/19
(c) Existe una solución algebraica que se deja
al lector.
Problema 21. ¿Cuál(es) de las siguientes
pelotas no pertenece?
Una bola de billar.
Una pelota de béisbol.
Una pelota de baloncesto.
Una pelota de fútbol americano.
170
Solución: En este tipo de problemas lo que
interesa es el argumento que el estudiante
puede presentar para defender su solución y
su disposición a aceptar que existen varias
soluciones. Por ejemplo, la respuesta puede
involucrar la forma, material, tamaño o
consistencia de la pelota.
Problema 22. Los estudiantes de un grupo
de sexto año se forman para abordar el medio
de transporte que los llevará de excusión.
Cada coche puede transportar a 5 estudiantes.
Pedro ocupa el lugar 16 de la fila y Javier el
19. ¿Abordarán Pedro y Javier el mismo
coche? Si el total de alumnos es 32, ¿cuántos
coches se necesitan para transportar a todos
los alumnos?
Solución: Una tabla puede ayudar a
presentar la información del problema
adecuadamente y a identificar la solución.
Se observa que Pedro y Javier se irán en el
mismo coche y que se necesitan 7 coches
para transportar a los 32 alumnos.
Problema 23. Para celebrar el inicio de las
clases, los alumnos de sexto año deciden
organizar una fiesta en la casa de María. Su
hermano observa que al abrir la puerta por
primera vez llega un invitado, la segunda vez
llegan 3 invitados, al abrir por tercera ocasión
la puerta entran 5 invitados, y así
sucesivamente. ¿Cuántos invitados habrán
entrado en la novena vez que abre la puerta?
¿Cuántas veces se ha abierto la puerta cuando
han entrado 23 invitados?
Solución (se deja al lector).
Problema 24. José tiene menos de 10
canicas. Si las arregla en grupos de tres, se da
cuenta de que no le sobre ninguna. Sin
embargo, cuando las agrupa de cuatro en
cuatro se da cuenta de que le sobra una.
¿Cuántas canicas tiene José?
tan lejos está la casa de pedro de la escuela
de María?
Solución (se deja al lector).
Problema 26. En la cafetería de la escuela,
una torta cuesta $2.00; un refresco, cuesta 85
centavos, y un chocolate, 40 centavos.
¿Cuánto tienen que pagar en total cuatro
alumnos si cada quien compra una torta, un
refresco y un chocolate?
Solución (se deja al lector).
Problema 27. Una barra de chocolate se va a
dividir en 5 pedazos iguales. ¿Cuántos cortes
se tienen que hacer? ¿cuántos cortes y si se
quiere dividirla en 8 pedazos, n pedazos?
Solución (se deja al lector). Un diagrama
puede ser útil para resolver este problema.
Problema 28. Encuentra los términos que
siguen de la serie 2, 4, 6,…
Solución (se deja al lector).
Problema 29. Continúa la siguiente sucesión
de nombres y explica tu razonamiento:
Antonio, Bertha, Carlos…
Solución (se deja al lector).
Este tipo de problemas (28 y 29) son
apropiados para que los estudiantes analicen
cuidadosamente la información y justifiquen
sus respuestas. Lo importante, es que los
estudiantes expliquen por qué la respuesta
que dan puede ser la solución del problema.
Además, es importante considerar que puede
haber otras respuestas diferentes y vale la
pena discutir la información del problema que
sustenta cada respuesta (calidad de la
solución).
Solución (se deja al lector).
Problema 30. Luis pesa 40 kg, José y Mateo
pesan juntos 80 kg. Si mateo pesa más que
José, ¿quién es el que pesa menos y quién es
el que pesa más de los tres?
Problema 25. Pedro y María salen de la
escuela a las dos de la tarde. Sus casas están
sobre la misma calle pero en direcciones
contrarias. Pedro vive a 5 km. de la escuela y
María sólo vive a 3 km. de la escuela. ¿Qué
Solución: Es importante observar que si
Mateo pesa más que José entonces pesa más
de 40 kg. Esto es porque juntos pesan 80 kg.
Ahora, como Luis pesa 40 kg, éste pesa más
que José pero menos que Mateo. Por lo tanto,
171
el que pesa menos es José y el que pesa más
es Mateo.
Problema 31. Manuel, José y Pedro
recibieron un salario por limpiar un jardín. En
una semana, Manuel trabajó 10 horas, José
trabajó 12 horas y Pedro 18 horas.
Problema 34. En una tienda de discos, las
cintas (cassettes) se venden a $5, $10 y $15.
Si planeas gastar 30 pesos en la compra de
cintas, muestra todas las combinaciones de
cintas que puedes comprar.
Solución: En este problema, el uso de una
estrategia
donde
se
ordenen
las
combinaciones es importante. Tabulando:
(a) ¿Qué porcentaje de total de horas trabajó
Manuel?
(b) En esa semana el total de dinero recibido
por los tres jóvenes fue de $225300. ¿Cuánto
dinero recibió Manuel?
Solución: Total de horas trabajadas por los
tres 10 + 12 + 18 = 40. Por lo tanto, el
porcentaje de tiempo trabajado por cada uno
es:
Manuel: 100 (10/40)% = 25%;
José: 100 (12/40)% = 30% y
Pedro: 100 )18/40)% = 45%.
Como el total de dinero que recibieron los tres
fue $225.00, Manuel debió haber ganado
(.25)(225) = 56. Es decir, $56.00.
Problema 32. El señor Alarcón manejó su
coche cuatro horas a 80 km./h. Manejó 1 hora
más en tráfico pesado a una velocidad de 40
km./h. ¿Cuál fue el promedio de velocidad de
su viaje?
Solución: La velocidad promedio se calcula
dividiendo con el total de kilómetros
recorridos entre el total de horas. Para este
problema se observa que la velocidad
promedio es:
(En este problema muchos estudiantes tienen
dificultades para contar el número total de
horas).
Problema 35. Tina y Luisa corren y caminan
en una pista de atletismo. Tina corre la mitad
de la pista y camina la otra mitad; Luisa corre
la mitad del tiempo y camina la otra mitad del
tiempo.
Siempre que corren, Tina y Luisa van a la
misma velocidad. Cuando disminuyen su
velocidad para caminar, caminan a la misma
velocidad.
¿A quien le toma menos tiempo recorrer la
pista completa?
Justifica tu respuesta.
Solución (se deja al lector).
Problema 36. Un litro de pintura de asfalto
alcanza a cubrir 6 m² de superficie. La pintura
se vende en botes de 5 litros solamente.
¿Cuántos botes se necesitan para pintar un
camino de 15 m de largo y 3 m de ancho?
Roberto trató de resolver el problema de la
siguiente manera:
Problema 33. Podemos escribir cualquier
número entero usando los dígitos del 0 al 9.
Por ejemplo:
59 tiene 2 dígitos: el 5 y el 9;
Se necesitan 7.5 botes.
708 tiene tres: el 7, el 0 y el 8;
Contesta las siguientes preguntas:
4633 tiene 4 dígitos: el 4, el 6 y el 3, que se
repite dos veces.
a. ¿Muestra la solución de Roberto que ha
entendido
el
problema
y
que
usa
adecuadamente la información del mismo?
Explica por qué si o por qué no.
Al enumerar las páginas de un libro, se usaron
777 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Solución (se deja al lector).
172
b. ¿Es la respuesta de Roberto correcta?
Explica por qué si o por qué no.
Problema 37. Un avión despegó con el
tanque de gasolina lleno, cuya capacidad era
de 116 000 litros. El avión usó 900 litros por
hora.
Si voló a una velocidad promedio de 800
km./h y cuando aterrizó le quedaban 44 000
litros de gasolina, ¿qué tan largo fue el vuelo?
números entre 70 y 80; es decir 70, 71, …, 70
y, finalmente, los números comprendidos
entre 107, y 222, esto es 107, 117, …, 197,
207, 217. Ahora, contando y restando los que
se repiten se tiene que el número de veces
que ser repite el 7 es 42.
Problema 42. Encontrar el valor de x que
satisfaga cada una de las siguientes
ecuaciones:
Solución (se deja al lector).
Solución:
Problema 38. En un concierto de Luis Miguel
se vendieron 10 000 boletos. Los boletos
fueron enumerados del 1 al 10 000. A cada
persona que tenía un boleto numerado con un
dígito repetido al menos tres veces se le
obsequió un pase gratis para otro concierto.
¿Cuántas personas obtuvieron el pase gratis?
Solución (se deja al lector).
Problema 39. Observa el patrón de los
mosaicos blancos y negros de la figura.
Esto es,
Solución: sen(arcsen (3x) – arccos (2x)) = x
ahora, usando la identidad
Sen (A +B) = sen A cos B + cos A sen B
Se tiene que:
[sen(arcsen(3x))][cos(arccos)2x))]
[cos(arcsen(3x))][sen(arccos(2x))] = x;
a. ¿Cuántos mosaicos blancos debe haber en
la figura décima?
b. Si los mosaicos blancos cuestan $5 cada
uno y los negros a $1, ¿cuánto costará un piso
de 20 mosaicos por lado?
Solución (se deja al lector).
Problema 40. La compañía Mexicana de
aviación tiene 24 aviones con 2, 3 o 4
motores. Se tienen 70 motores. 10 de los
aviones tienen 2 motores cada uno. ¿Cuántos
aviones tienen 4 motores cada uno?
Solución (se deja al lector).
Problema 41. Un libro contiene 222 páginas.
¿Cuántas veces aparece el dígito 7 en la
numeración de las páginas?
Solución: Es importante pensar en una lista
ordenada donde aparezca el dígito 7. Por
ejemplo, se puede empezar con los números
comprendidos entre 7 y 100; es decir, 7, 17,
27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97; después, los
+
Así el problema se reduce a un problema
algebraico.
Problema 43. Muestre que
soluciones reales de la ecuación:
no
existen
Solución: Por contradicción. Suponemos que
existe una solución real, la cual puede ser
positiva, negativa o cero. Ahora, para
cualquier caso, se observa que al sustituir la
solución en la ecuación siempre se obtendrá
un número mayor que cero. Por ejemplo, en el
caso de que la solución sea positiva o
negativa, cada sumando será positivo y por lo
tanto la suma será mayor que cero. Si la
solución fuera cero entonces la suma daría 2,
que es mayor que cero. Así en ambos casos,
no es igual a cero. Por lo tanto esta ecuación
no tiene soluciones reales.
Problema 44. En el siguiente arreglo, calcule
la suma de 60ava y la 121ava filas:
173
Al comparar el número de regiones con los
números del triángulo de Pascal se observa
que existe cierta relación: Por ejemplo, el
número de regiones, al seleccionar 7 puntos,
es la suma de los números subrayados en el
siguiente triángulo de Pascal.
Solución: en el arreglo se observa el que si el
número de la fila es par, hay igual números de
unos positivos que negativos, lo que la hace
que la suma sea cero. Así, en la 60ava fila la
suma será cero. Para el caso de las filas
impares, se observa que la suma resulta uno.
Así, en la 121ava fila la suma será uno.
Problema 45. Si cos A = 1/2, ¿a qué es igual
cos 2A?
Solución: Se puede construir la siguiente
figura.
Nótese que:
cos2A= cos (A + A) = cos A cos A - sen A sen
A= cos ² A - sen² A =
Problema 46. En un círculo se seleccionan
dos o más puntos sobre la circunferencia y se
conectan los pares con segmentos de recta.
Para un número dado de puntos, ¿cuál es el
mayor número de regiones que se forman al
trazar estos segmentos? ¿Existe una conexión
entre este problema y el triángulo de Pascal?
Solución:
especiales.
Consideremos
algunos
casos
Problema 47. Encontrar la suma de los
primeros 100 números naturales. Es decir, 1
+ 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100.
Solución: Existe la anécdota de que Gauss
(1777-1885) calculó esta suma cuando tenía
la edad de 9 años. Gauss entró a la escuela en
1784 y en segundo grado su maestro, J.G.
Büttner, pidió a los estudiantes encontrar la
suma de los números naturales del 1 al 100.
Gauss intuitivamente se dio cuenta de que si
se quiere calcular, por ejemplo, la suma de los
primeros 7 números naturales entonces, al
escribirlos en orden ascendente y descendente
y sumando verticalmente siempre se obtiene
el mismo número.
Nótese que se ha considerado dos veces la
misma suma. Así que sólo hay que multiplicar
8 por 7 y dividir entre 2 para obtener 28.
Observe que esta idea se puede generalizar
para cualquier suma de los primeros números
naturales. Es decir, si se quiere encontrar la
suma S desde 1 hasta n, S = n(n + 1). Esta
fórmula se
2 puede
probar por inducción. Así, la suma de los
primeros 100 números naturales es 100
(101)/2 = 5050.
Usando esta misma idea, trata de encontrar la
suma de los primeros 100 números de las
siguientes sucesiones:
174
(a)
2, 4, 6, 8, …,
(b)
16, 18, 20, 22, …,
(c)
1, 3, 5, 7, …
Problema 48. ¿Cuántos cuadrados existen en
un tablero de ajedrez?
Solución:
particulares.
I.
Considerar
algunos
casos
Si el tablero fuera de 2 x 2 entonces
habría cuatro cuadrados de uno por uno y
un cuadrado de 2 x 2.
(a) ¿Cuántos cuadrados blancos de x se
necesita para encerrar un cuadrado negro de
2 x 2?
Solución (se deja al lector).
Problema 50. El cuadrado ABCD mide 8 cm.
por lado.
I.
Calcula el área de la parte sombreada.
II. Discute qué pasa con el área de la parte
sombreada si el punto E se mueve a lo
largo de DC.
II. Si el cuadrado fuera de 3 x 3 entonces se
tendría lo siguiente:
9 cuadrados de 1 x 1
4 cuadrados de 2 x 2 y
1 cuadrado de 3 x 3.
Es decir, habría 14 cuadrados.
III. Con esta información se puede conjeturar
cuántos cuadrados hay en un tablero de 5
x 5:
Solución:
I.
25 cuadrados de 1 x 1
16 cuadrados de 2 x 2
9 cuadrados de 3 x 3
4 cuadrados de 4 x 4 y
1 cuadrado de 5 x 5.
Esto es, en total serían 55 cuadrados.
Así, para el tablero de ajedrez se tiene que
el número de cuadrados sería:
En general, se puede demostrar por
inducción matemática que para un tablero
de n x n el número de cuadrados es:
Problema 49. Un cuadrado negro de uno por
uno es encerrado por 8 cuadrados blancos
como se muestra en la figura.
Una forma de resolver este problema es
usando simetría. Es decir, reconociendo
que el área de cada triángulo sombreado
es
igual
al
área
del
triángulo
correspondiente que se forma al trazar la
perpendicular de E al lado AB. De aquí
que área (∆ADE) = área (∆AEF) y área
(∆BCE) = área (∆BEF); entonces, el área
sombreada es la misma que el área del
triángulo AEB. Ésta se puede calcular
fácilmente con los datos del problema.
II. (se deja al lector). Pruebe
resultado anterior no se altera.
que
el
Problema 51. Una compañía que fabrica
calculadoras está promoviendo un concurso
bajo las siguientes reglas:
I.
Únicamente una calculadora se puede
usar con las siguientes teclas sólo una
vez:
II. Tú decides en qué orden se deben usar
estas teclas.
III. El premio será la cantidad que muestre la
calculadora al final de la operación. ¿Cuál
es la mayor cantidad de dinero que se
puede ganar en este concurso?
Solución: Considerando el valor posicional de
los factores, se puede concluir que los factores
175
deben iniciar con 6 ó 5. Por lo tanto, se
necesita comparar los siguientes productos:
De aquí que la mayor cantidad que se puede
obtener es 542 x 63 = 34146.
Problema 52: ¿Por qué todos los números de
la forma prima son divisibles entre 13?
Solución: Explorar un caso específico. Es
decir, seleccionar un número aleatoriamente y
ver qué pasa con este número. Por ejemplo
294294,
el
cual
puede
sugerir
la
representación:
eventos (natación, tenis, ciclismo, fútbol,
etc.). Una medalla de oro y tres puntos se le
daba una a cada primer lugar una medalla de
plata y dos puntos a cada segundo lugar y una
medalla de bronce y un punto a cada tercer
lugar, tres equipos, A, B y C, participaron en
la competencia. El equipo C ganó más
medallas que el equipo A o que el equipo B. El
número total de medallas ganadas por el
equipo C es una más que el total de medallas
ganadas por B y es dos más que el total de
medallas ganadas por A. Sin embargo, el
equipo A obtuvo el primer lugar con un punto
más que B y dos puntos más que C.
Determine el número de medallas de cada tipo
ganadas por cada equipo.
Solución: La información dada en el problema
se puede resumir en la siguiente tabla:
294 (1000) + 294 = 294 (1001), siendo 1001
un múltiplo de 13.
Considerar casos simples y buscar algún
patrón. Por ejemplo abc =001, lo cual da el
número abcabc = 001001; el siguiente
número puede ser abc = 002, el cual produce
2002; después 3003, y así sucesivamente.
Con estos casos se puede identificar al 1001
como factor.
Explorar las condiciones del problema. Es
decir, ¿cómo se pueden representar los
números de la forma abcabc?
Resolviendo para x y para y obtenemos la
siguiente tabla
Ahora, por medio de ensayo y error junto con
la información del problema se puede
completar la solución:
De donde se observa que 13 es factor de
1001.
Problema
53.
Probar
que
si
para
cualesquiera números reales a, b, c y d, tales
que a² + b² + c² + d² + = ab + bc + cd + da
entonces a = b = c = d.
Solución: Al multiplicar por 2 la expresión a²
+ b² + c² + d² + = ab + bc + cd + da; lo
cual puede escribirse como:
Problema 55. Inscribir un cuadrado en un
triángulo dado. Dos vértices del cuadrado
deben estar sobre la base del triángulo y los
otros dos vértices del cuadrado, uno en cada
uno de los otros lados del triángulo.
Solución:
[a²+b²]+{b²+c²]+[c²+d²]+[d²+a²]=2ab+2b
c+2cd+2da ó
(a-b)²+(b-c)²+(c-d)²+(d-z)²=0
Como en esta expresión la suma de cuadrados
es cero entonces cada sumando debe ser
cero. Lo que implica que a=b, b=c, c=d, y
d=a.
Problema 54. En una competencia atlética
celebrada en una preparatoria hubo diez
176
En el ∆ABC se tiene que tan A = a/x; de
donde x = a/tan A. De la misma manera, y =
a/tan B. De aquí que b = (a/tan A) + a +
(a/tan B); de donde se puede despejar el
valor de a y así resolver el problema.
Problema 56.
siguiente serie:
Dé
una
fórmula
para
la
Problema 59. ¿Cuáles son los dígitos para las
unidades, decenas y centenas del número
5123456789.
Solución: La búsqueda
resulta adecuada.
de
algún
patrón
Donde k toma los valores desde 1 hasta n.
Solución:
I.
1/k(k + 1) = (1/k) – (1/(k + 1)) para
todo k; de aquí que la serie puede
escribirse como:
II. Otra manera es darle valores a k y tratar
de encontrar el patrón. Es decir, para k =
1, 2, 3, 4 y 5, el valor de la serie sería
respectivamente : 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 y
5/6. De donde se puede intuir el patrón
inmediatamente.
Problema 57. En una tienda de útiles
escolares todos los productos tienen un
descuento de 20%. Sin embargo, al comprar
un producto se tiene que pagar 15% de
impuesto (IVA). El cajero pregunta: ¿Qué
prefieres que se te aplique primero a los
productos que compras: el descuento o el
impuesto?
Solución: Se observa que un descuento de
20% es lo mismo que pagar 80% del precio
total, lo cual es lo mismo que multiplicar el
precio por 0.08. Ahora, si el precio total es P,
pedir el descuento primero y luego el
impuesto da (1.15)[(.8)(P)]. Lo que indica que
no importa el orden en que se apliquen el
impuesto y el descuento.
Problema 58. Tres estudiantes asisten a un
club deportivo en diferentes días. El primero
va cada tres días; el segundo, cada cuatro
días y el tercero, cada cinco días. La última
vez que se vieron en el club fue un martes.
¿En cuántos días más se volverán a ver y qué
día de la semana será?
Se observa que las unidades y las decenas
siempre serán 5 y 2, respectivamente, y que
cuando la potencia es par, las centenas son 6
mientras que cuando la potencia es impar, son
1.
Problema 60. En una fiesta, el anfitrión le
dice a uno de los invitados: “tengo tres
hermanas y te diré sus edades en la siguiente
información: El producto de sus edades es 72.
La suma de sus edades coincide con el
número de mi casa”. El invitado corrió a ver el
número de la casa y le dijo al anfitrión que
necesitaba más información. “Oh”, el anfitrión
contestó, “a la mayor le gusta el helado de
fresa”. El invitado le dijo qué edad tenía cada
una de ellas. ¿Cuál es la edad que reportó el
invitado?
Solución: Una tabla puede ayudar a resolver
el problema. En la columna de la izquierda se
enlistan todas las tercias de números cuyo
producto sea 72; en la columna de la derecha
se escribe la suma. La idea es identificar la
solución en base al análisis de la información.
Solución: Al calcular el mínimo común
múltiplo de 3, 4 y 5 se tiene que 3 x 4 x 5 =
60. Ahora, 60/7 = 8 con residuo 4. De aquí
que el día será sábado. Otra forma de resolver
este problema es enlistando las visitas de
cada estudiante y buscando la coincidencia.
177
Se observa que dos tercias de números suman
14 y por esto el invitado no pudo determinar
las edades. Sin embargo, con la información
de que había una mayor, se concluye que las
edades deben de ser 3, 3 y 8 años
respectivamente.
Problema 61. (a). Un pedazo de lámina se
puede enrollar de dos maneras para formar un
recipiente en forma de un cilindro circular
recto: En una tendría una altura de 21 cm.;
mientras que de la otra forma, una altura de
28 cm. ¿Cómo son los volúmenes? Si no son
iguales ¿Cuál contiene el mayor volumen?
Solución: Una representación gráfica nos
ayuda a resolver el problema.
(a) Para el primer cilindro se tiene que 2_r =
28, de donde r = 4.45 y el volumen es igual a
1305; mientras que para el cilindro largo se
tiene que 2_r = 21; de donde r = 3.34 y el
volumen es 981. También se puede trabajar
directamente sin usar la calculadora para
determinar que el volumen del cilindro largo
es solamente tres cuartos del bajo.
(b) En un recipiente que guarda pelotas de
tenis, ¿qué es lo que mide más, la longitud del
recipiente o la longitud de la circunferencia de
uno de los extremos? Justifique.
¿Cómo influyen en el valor de la solución
estos cambios?
Solución: La mayoría de la gente predice que
habrá un cambio pequeño en la solución.
Parece que la experiencia previa sugiere que
un cambio pequeño en lo que entra (variación
de los coeficientes) producirá un cambio
menor en la solución. Es decir, que x y y se
mantendrán próximos a 1. Sin embargo, la
solución del sistema modificado es (x, y) = (24.1, 39.4). Para entender esto, se puede
usar la regla de Cramer, en la cual la solución
se expresa como una razón de dos
determinantes.
Problema 63. Encuentre el área de la región
no sombreada de la siguiente figura donde el
lado del cuadrado es 10 cm.
Solución: El área no sombreada se puede
calcular a partir del área del cuadrado (100
cm.) menos el área de la circunferencia.
Problema 64. En el triángulo ABC, determine
el punto P de tal manera que las áreas de los
tres triángulos que se forman tengan áreas
iguales.
Solución: La longitud del recipiente es el
diámetro de tres bolas, es decir, 6r, mientras
que la longitud de una circunferencia es 2_ r.
Por lo tanto, la longitud de la circunferencia es
mayor que la longitud del recipiente.
Solución: Se observa que cada triángulo
tendrá 1/3 del área del triángulo ABC. Así, el
triángulo APC tendrá como área b(h/3)/2.
Mientras que para el triángulo APB, el área
será c(h1/3)/2 y para el triángulo CPB, será
a(h2/3)/2. Se observa este punto que está a
1/3 de las bases sobre las alturas es el punto
P. Se puede demostrar por argumentos de
congruencia de triángulos. Este punto se llama
baricentro del triángulo.
Problema 62. El sistema de ecuaciones:
2.3x + 1.5y = 3.8
4.3x + 2.8y = 7.1
178
Problema 65. ¿Puedes construir un triángulo,
(usando regla y compás, si se te da la longitud
del lado a, la altura del lado ha, y la longitud
de la mediana?
Solución: La construcción es la siguiente:
Se traza la mediatriz del lado a de extremos A
y B, la cual determina el punto medio P. Sobre
la perpendicular del lado a por P, se toma una
distancia igual a la altura dada, determinando
el punto Q. Por este punto se traza una
paralela al lado a. Ahora, con centro en P se
traza una circunferencia de la longitud de la
mediana, que intersecta a la línea paralela por
Q en el punto A. Así, el triángulo ABC cumplirá
con los datos del problema.
discusión acerca de cada una de las preguntas
planteadas. Para la evaluación se tomará en
cuenta la calidad de los argumentos
matemáticos, la claridad de exposición y los
diversos métodos que se utilicen. Es
importante que en las soluciones se incluyan
algunas representaciones:
(a) En la forma cuadrática f(x) = x² + cx + d,
I.
¿Cuántos puntos críticos
cada selección de c y d?
existen
para
II. ¿Cómo se comporta la función en estos
puntos críticos (máximo, mínimo,…)
III. ¿Cómo seleccionarías c y d para estar
seguro de que todos los puntos críticos
ocurren en valores enteros de x?
(b) En funciones cúbicas de la forma
Problema 66. Sean P1 y P2 dos números
primos consecutivos. Demuestre que si P1 +
P2 = 2Q entonces Q es un número
compuesto.
Solución: Supongamos que Q no es un
número
compuesto
(demostración
por
contradicción). Q se puede expresar como (P1
+ P2)/2, lo que implica que Q está entre P1 y
P2. Pero esto contradice el hecho de que P1 y
P2 son primos consecutivos. Por lo tanto, Q
debe ser compuesto.
Problema 67. Sean C1 y C2 dos regiones
convexas en el plano. Muestre que existe una
línea recta que bisecta el área de ambas
regiones.
I.
¿Cuántos puntos de inflexión existen?
II. Da ejemplos donde todos los puntos de
inflexión y los puntos críticos ocurren en
valores enteros de x, donde g(x) tenga: 0
puntos críticos; 1 punto crítico, o 2 puntos
críticos.
III. ¿Cuáles son las reglas para elegir b, c y d
de tal manera que produzcan familias de
ejemplos para cada uno de los casos de la
pregunta II?
Problema 69. ¿Qué se puede decir acerca del
producto
de
cuatro
números
enteros
consecutivos?
Solución: (se deja al lector).
Problema 70. Prueba que el producto de n
enteros consecutivos es siempre divisible por
n!
Solución: (se deja al lector).
Solución:
(En
algunos
problemas
matemáticos es a veces más sencillo probar la
existencia de determinada propiedad que
construir o señalar tal propiedad). Trace una
línea recta que intersecte a las áreas y mueva
la recta en determinada dirección. Observe
qué pasa con el comportamiento de tales
áreas al mover la recta.
Problema 71. Se seleccionan tres puntos de
la circunferencia de un círculo de radio: trace
el triángulo que pasa por estos tres puntos.
¿Cómo se deben seleccionar los puntos de tal
manera que el triángulo que se construya
tenga la máxima área? Justifique su
respuesta.
Problema 68. Para cada una de las
expresiones dadas, reportar por escrito una
Problema 71. Se seleccionan tres puntos de
la circunferencia de un círculo de radio: trace
Solución: (se deja al lector).
179
el triángulo que pasa por estos tres puntos.
¿Cómo se deben seleccionar los puntos de tal
manera que el triángulo que se construya
tenga la máxima área? Justifique su
respuesta.
Solución: (se deja al lector).
Problema 72. Trisectar el área de un
triángulo dado. Es decir, encuentre un punto X
dentro del triángulo ∆ABC de tal manera que
el ∆XBC, ∆XCA y ∆XAB tengan la misma área.
Solución: (se deja al lector).
Problema 73. En la figura, ABCD es un
cuadrado
con
ECD
=
EDC
=
150. Muestre que el triángulo AEB es
equilátero.
Solución: (se deja al lector).
Esto es, 3/3 5/3 7/3 9/3 11/3 13/3 de donde
se puede deducir que
Finalmente, usar inducción matemática para
probar esta fórmula.
Problema 76. Encontrar la fórmula para
Solución:
Al
calcular
algunos
casos
particulares inmediatamente se observará que
la fórmula es
Problema 77. ¿Existe un triángulo rectángulo
cuyas medidas de sus lados sean números
enteros y cuya hipotenusa sea un entero dado
n?
Problema 74. Dada la siguiente matriz con
25 elementos, seleccione cinco de éstos de tal
manera que no haya dos que provengan de la
misma columna o fila. En esta selección el
mínimo de los cinco elementos debe se el
mayor posible. Pruebe el resultado.
Solución: (se deja al lector).
Problema 75. Encontrar la suma 1 + 4 + 9 +
16 +… + n².
Solución: Un método es buscar cierta
similitud con la suma de los primeros n
naturales. Por ejemplo,
Ahora ¿qué pasa con el cociente de las sumas
de cuadrados entre las sumas naturales?
180
Solución: Supongamos que x representa el
número mayor entre los dos catetos, xy. Si n
es la hipotenusa entonces lo que se busca son
enteros x, y que cumplan:
Utilizando la estrategia de casos particulares,
se tiene que para n = 12, 144 = x² + y²;
ahora, ¿cuáles son los posibles candidatos
para x²? 1, 4, 6, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,
121. Como y < x, 144 = x² + y ² < 2x², es
decir, x² > 72. Por lo tanto, los candidatos
que quedan son 121, 100 y 81. Con esto se
muestra que para n = 12 no existen tales
números. De manera similar se puede
explorar para 13, concluyendo que 169 = 144
+ 25. El lector puede explorar con otros
números.
Problema 78. Se desea construir una pista
de atletismo con la forma que se ilustra en el
diagrama y con los siguientes requerimientos:
La distancia entre cada carril es 1 m la
longitud de cada recta de la pista es 25m y la
parte curva tiene forma de semicírculo. Se
requiere además que el primer carril interior
tenga una longitud de 100 m. La distancia se
mide sobre la línea que limita la parte interior
del carril.
Ahora, como la longitud de cada carril es de 1
metro, entonces R2 = R1 + 1. Lo que significa
I.
que π R2 = π R1 + π = 25 + π. Significa que
las dos partes curvas del segundo carril
Calcule la longitud de los carriles 2, 3 y 4.
II. Dibuje un diagrama de la pista, a escala
donde se muestren los cuatro carriles.
III. Suponga que habrá una competencia de
125 m en la que participarán cuatro
corredores. Cada atleta correrá sobre un
carril en dirección contraria a las
manecillas del reloj y la meta final estará
sobre la línea que se ubica al final de la
parte recta (como se muestra en el
diagrama). Encuentre dónde se ubicarán
los puntos de los atletas con respecto a la
meta.
suman 50 + 2 π. Como las dos partes rectas
suman 50 metros, entonces la longitud total
del carril dos es 100 + 2
π.
Para el carril 3 se observa que R3 = R2 + 1.
Lo que significa que
π
R3 =
π
R2 +
π = 25 +
π metros. Se observa que las partes curvas
del carril 3 suman 50 + 4 π. Así, la longitud
total será de 100 + 4 π.
2
Para el carril 4, de la misma manera, se
obtiene que la longitud total es de 100 + 6__.
Resumiendo, se tiene que:
Solución:
Es importante que para cada problema exista
una discusión de algunas posibles soluciones.
Se pretende que el grupo de alumnos junto
con el profesor analicen las cualidades
matemáticas que cada problema puede
mostrar. Además, será útil identificar qué
contenido matemático se asocia a ese
problema. Esta actividad no sólo ayuda a
evaluar el potencial del problema y su relación
con el currículum, sino que también
desempeña un papel importante en la fase de
implantación del problema en la instrucción.
Por ejemplo, el investigador posee un marco
de referencia acerca de qué tipo de
dificultades pueden mostrar los estudiantes o
cómo proporcionar una ayuda adecuada ante
los obstáculos que aparezcan durante los
intentos de solución.
I.
II. Para el diagrama a escala, es conveniente
usar 4 mm = 1 m. Así, R1 = (25/ π) =
7.96 m = 3184 mm. Los otros radios
aumentan en un 1 m, lo que representa 4
mm en el dibujo a escala. Es decir:
Radios de los semicírculos:
III. Localización de los puntos de partida:
Se sabe que la longitud total del carril 1
es de 100 metros. A partir de esta
información se puede calcular la distancia
de los otros carriles. Por ejemplo, de estos
100 metros, 50 representan la distancia
que hay en las dos partes rectas; lo que
deja 50 metros para la parte curva.
Con esta información se observa que cada
semicírculo es de 25 metros. Así, __R1 = 25,
donde R1 es el radio de la parte curva del
primer carril.
Problema 79. Clasificación de cuadriláteros.
Construya, cuando sea posible (justifique el
porqué cuando no exista tal construcción), el
cuadrilátero que cumpla las condiciones
pedidas. (a). Ningún ángulo recto y ningún
181
par de lados paralelos, (b). Ningún ángulo
recto y un par de ángulos paralelos, (c).
Ningún ángulo recto y dos pares de lados
paralelos, (d). Un ángulo recto y un par de
lados paralelos; etcétera…
Solución: Una tabla ayuda a presentar la
solución
Solución: (se deja al lector). Déle una
ponderación a cada uno de los lugares. Por
ejemplo, se le puede asignar 1 punto a cada
voto por el quinto lugar, 2 a los del cuarto
lugar, 3 a los del tercer lugar, 4 a los del
segundo y 5 a los del primer lugar. Al sumar
los puntos se observa que a acumula 127; b,
156; d, 211 y e, 189. Esto indica que d
quedaría en primer lugar.
Problema 82. Una curva es convexa en el
plano si toda línea recta que se trace entre
dos puntos de la curva se encuentra contenida
totalmente dentro de ella. Supongamos que C
es una curva convexa en el plano. Muestre
que existe un triángulo equilátero cuyos
vértices están sobre la curva C.
Problema 80. ¿Qué tanto se “reduce” la
longitud de una cuerda cuando se le hace un
nudo en el centro?
Solución: (se deja al lector).
Problema 81. Cinco candidatos se han
presentado para elegir al representante del
grupo. La elección se ha realizado y los
estudiantes votaron mostrando su nivel de
preferencias. Es decir, su primera opción,
segunda, tercera, etc. Los resultados de los
votos de los 55 estudiantes se muestran en la
tabla siguiente:
¿Quién debe ser el ganador?
182
Solución: Lo que se pide en el problema es
probar la existencia de un triángulo equilátero
con vértices sobre la curva. Se eligen dos
puntos distintos sobre la curva convexa C.
tomando la longitud PQ, se traza un triángulo
equilátero cuya base sea PQ. El tercer vértice
puede ser un punto interior de la curva, un
punto sobre la curva, o un punto exterior a
ésta. Si el vértice resulta estar sobre la curva
entonces se tiene el triángulo pedido. Ahora,
si tal vértice resulta estar dentro de la curva,
entonces aumente la longitud del segmento
base y repita la construcción. En caso de que
se ubique en el exterior, disminuya la longitud
de la base y repita el mismo procedimiento.
Con este procedimiento se pasa de un
triángulo equilátero que está dentro (fuera) de
la curva a uno que está fuera (dentro) de la
curva. Ahora, empleando el argumento de la
continuidad,
debe
existir
un
triángulo
equilátero con vértices sobre la curva C.
Observe que la existencia no dice nada acerca
de cómo construir tal triángulo.
Problema 83. Alguien afirma que no existen
triángulos equiláteros en el plano cartesiano
con la propiedad de que todos los vértices
tengan coordenadas enteras. ¿Es esta
afirmación correcta? Da una prueba si éste es
el caso, si no es así entonces da un
contraejemplo.
Solución: (se deja al lector).
Problema 84. Se dan dos puntos arbitrarios
A y B, una línea recta L, y un círculo c como
se muestra en la figura. Explica cómo
construir un círculo S que pase por A y B y
que su cuerda común con C sea paralela a L.
Solución: (se deja al lector). Construya la
mediatriz de AB; trace una cuerda de C que
sea paralela a L. Ahora construya la mediatriz
de esta cuerda. ¿Por qué el punto de
intersección de estas mediatrices es el centro
del círculo requerido?
Problema 85. Supongamos que tenemos dos
triángulos equiláteros. ¿Puede construir un
tercer triángulo equilátero cuya área sea igual
a la suma de las áreas de los dos triángulos
dados?
Solución: Si l y m son los lados de los
triángulos equiláteros dados, entonces se
necesita construir otro triángulo equilátero de
lado p cuya área sea la suma de las áreas de
los triángulos dados. Usando la información,
se obtiene que l² + m² = p²; de donde se
puede determinar la longitud del lado del
tercer triángulo.
Problema 86. Considere el conjunto de
cuadriláteros inscritos en un semicírculo, con
un lado sobre el diámetro. Un ejemplo de tal
cuadrilátero se muestra en la figura. De todos
estos, ¿cuál es el cuadrilátero que tiene la
mayor área? (Demuestre su solución):
Solución: (se deja al lector). El hexágono
inscrito tiene alguna relación con la solución
del problema.
Los cuatro ejemplos que siguen representan
problemas que algunos investigadores los
catalogan como “mal estructurados o mal
definidos”. En general, es común encontrar
este tipo de problemas en situaciones de la
vida real. De hecho, hay una línea de
investigación donde se ha estudiado la
importancia de tener experiencias en el
tratamiento de este tipo de problemas. Por
ejemplo, el entender y estructurar las
condiciones dadas en el problema representa
un primer reto para pensar maneras de
resolverlo.
Problema 87. Después de haber terminado
de construir un hotel, los clientes se quejaron
de que el elevador era demasiado lento. El
dueño del hotel pasó la queja al arquitecto
que
lo
había
construido
y
éste
inmediatamente tomó cartas en el asunto. La
tarea se redujo a “encontrar la forma de
aumentar la velocidad del elevador”. Después
de investigar cómo hacer esto, la respuesta
fue unánime: “no había forma alguna de
incrementar la velocidad dadas las condiciones
de la construcción”. La siguiente idea fue
entonces encontrar un lugar dónde instalar
otro elevador y se empezaron a hacer los
planes pertinentes para esta solución. Sin
embargo, afortunadamente para el dueño,
después de iniciar los arreglos con la
compañía para el nuevo elevador, se
descubrió lo siguiente: El problema se resolvió
al quitarles de la mente a los clientes de que
lo de la lentitud del elevador era una
dificultad. Los clientes ya no volvieron a
quejarse al colocar espejos en cada piso
frente al elevador.
Problema 88. Un estudiante y su profesor
salieron a una exploración a la sierra. De
pronto
cuando
caminaban,
un
animal
desconocido los empezó a perseguir. Los dos
empezaron a correr, pero ven claro que el
animal pronto los alcanzará. El estudiante
empieza a sacar sus zapatos de deportes
(tenis) para así poder correr más rápido.
Entonces su profesor le preguntó: ¿Te has
dado cuenta de que aun con los tenis no le
podrás ganar al animal? A lo que el estudiante
respondió: No necesito ganarle al animal, ¡lo
único que necesito es correr más rápido que
usted, profesor!
Problema 89. Los medidores de fluidos como
los que se utilizan en las bombas de gasolina
para determinar la cantidad de gasolina que
se vende son aparatos muy comunes en la
industria. Hace tiempo se instaló un medidor
en una planta química para medir el flujo de
183
salida de un fluido corrosivo. Después de unos
meses de instalación, el fluido corrosivo
desgastó parte del medidor y el líquido
empezó a gotear sobre el piso. Las
instrucciones que se dieron para resolver el
problema fueron: “Encontrar un material para
construir un medidor que no sea corrosivo”.
Después de una búsqueda exhaustiva se
encontró que no existía tal material. Sin
embargo, el problema se resolvió al tratar de
evitar que el medidor llegara a tal punto de
corrosión. La solución consistió en implantar
un programa de reemplazo del medidor
regularmente antes de que fallara. Este
problema
es
similar
al
sistema
de
mantenimiento de las lámparas que se usan
en algunas instituciones en Estados Unidos.
Se cambian todas las lámparas cada
determinado tiempo y no se sustituye
individualmente cada lámpara cuando deja de
funcionar.
Problema 90. Cuando muchos de los aviones
estadounidenses empezaron a ser derribados
por el enemigo en la segunda guerra mundial,
una primera idea fue analizar los aviones que
se habían salvado y regresaban a la base de
lanzamiento. Inmediatamente se notó que
estos aviones presentaban impactos de bala
en la parte de la cola. En este análisis surgió
la idea de que se blindara parte del avión (por
razones de peso y aerodinámica no era viable
blindar el avión completo). ¿Qué parte del
avión debía ser blindada para aumentar la
seguridad en los campos de batalla?
Solución: La parte delantera. Después de
todo, los aviones que recibieron los impactos
en la parte posterior habían podido regresar
en forma segura a la base. Es decir, el haber
recibido los impactos en la parte posterior no
los había afectado y había que ponerle
atención a la parte delantera.
184
Conclusiones
Al haberse abordado en este trabajo diversos
aspectos sobre la relación entre la resolución
de problemas y el aprendizaje de las
matemáticas es importante presentar una
visión retrospectiva que identifique las
conexiones de las ideas fundamentales que
pueden considerarse en un ambiente que
propicie el aprendizaje matemático de los
estudiantes bajo la perspectiva de la
resolución de problemas.
Así, un punto fundamental es vincular el
estudio de las matemáticas en el salón de
clases con el desarrollo de las matemáticas
mismas. Es decir, las actividades propias del
quehacer matemático que muestran los
expertos al trabajar y desarrollar las ideas
matemáticas (conjeturar, modelar, discutir,
ejemplificar, criticar, comunicar) se debe
estructurar el desarrollo de la clase. En esta
dirección, es importante que los alumnos
acepten
la
necesidad
de
reflexionar
constantemente acerca de las diversas
representaciones y estrategias (cognitivas y
metacognitivas) que aparecen tanto en el
entendimiento de las ideas matemáticas como
en la resolución de diversos tipos de
problemas.
Un aspecto sobresaliente en la resolución de
problemas se relaciona con el manejo de los
recursos matemáticos. Es decir, es importante
que el estudiante no sólo se centre en el
entendimiento de las ideas asociadas a las
definiciones, hechos básicos, notaciones, o
conceptos fundamentales sino que desarrolle
una serie de experiencias donde se refleje un
manejo eficiente de estos recursos. Esto está
íntimamente ligado con el uso de diversas
estrategias.
En el estudio de las matemáticas es necesario
que el alumno represente la información de
algún concepto o problema matemático, que
reformule el problema o que utilice algún
problema similar para avanzar en una
propuesta de resolución, que use tablas o
diagramas, o que descomponga el problema
en casos más simples. Estas estrategias no
son solamente importantes en la fase de
entendimiento del problema, sino también en
el diseño de un plan de solución y su
implantación Schoenfeld (1992) indica que el
uso eficiente de recursos y estrategias al
resolver un problema o entender un concepto
matemático debe estar acompañado de un
monitoreo constante o autorreflexión del
proceso que utiliza el individuo al trabajar en
su
intento
de
metacognitiva).
resolución
(reflexión
En este contexto, es importante que el
estudiante se enfrente a diversos tipos de
problemas, incluyendo los no rutinarios.
Además, el encontrar una manera de resolver
un problema debe acompañarse de una
evaluación de los otros métodos de resolución.
Así, muchas veces al intentar resolver un
problema no solamente es necesario obtener
la solución sino seleccionar el método más
adecuado para encontrar esa solución.
Todos estos componentes ubican a las
matemáticas no como un cuerpo de
conocimientos fijo, pulido y acabado, sino
como una disciplina en donde es posible que
el estudiante desarrolle ideas novedosas y
reformule o diseñe sus propios problemas.
Esta concepción no sólo debe promoverse en
el salón de clases sino también relacionarse
con las actividades que el estudiante
desarrolle fuera de la escuela.
En una perspectiva más amplia, el aprendizaje
de las matemáticas puede verse como una
práctica que se desarrolla dentro de una
comunidad en una interacción constante. Así,
los estudiantes deben tener la oportunidad de
participar como miembros de esa comunidad.
La noción de aprendiz (cognición situada o
aprendizaje situado) describe la idea de que el
estudiante debe estar en un ambiente
matemático donde desarrolle los valores,
métodos, y formas de razonamiento de la
disciplina en un proceso gradual y continuo.
Es decir, el salón de clases debe ser un lugar
donde se promuevan actividades que ayuden
al estudiante en la práctica del quehacer
matemático, además de desarrollar la
disposición de los estudiantes a realizar
actividades que incluyan la formulación y
evaluación
de
preguntas,
problemas,
conjeturas, argumentos y explicaciones como
aspectos de una práctica social de encontrar el
sentido
y
conexiones
de
las
ideas
matemáticas.
Existen varios ejemplos donde este tipo de
práctica puede implantarse en el salón de
clases
(Santos,
1994;
Santos,
1994c,
Schoenfeld, 1994).
La implantación de estas ideas en el salón de
clases conlleva una serie de ajustes, tanto en
la forma de estructurar las actividades de
aprendizaje como en el tipo de problemas y
situaciones para discutir.
La discusión por parte de los estudiantes es
fundamental para motivar su participación en
el desarrollo de las ideas matemáticas. Se han
185
identificado cuatro actividades instruccionales
que han mostrado ser importantes en la
implantación de las ideas asociadas a la
resolución de problemas (Santos, 1996).
Cada una contribuye a que el estudiante
desarrolle una disposición matemática y una
forma de pensar consistente con el quehacer
matemático:
(I) Exposición por parte del instructor.
Un aspecto fundamental es que el maestro
ilustre los “movimientos reales” que emplea
cuando interactúa con o resuelve problemas
matemáticos. Así, en lugar de presentar un
conocimiento acabado, y pulido; el maestro
debe mostrar a los estudiantes las ideas y
estrategias que intervienen durante todo el
proceso de resolución.
Al resolver los problemas, los alumnos deben
tener en todo momento la oportunidad de
observar y construir modelos conceptuales de
los elementos que intervienen en la solución.
Por supuesto, es importante que se incluyan
las “falsas movidas” y las técnicas de
recuperación
que
generalmente
ocurren
durante la solución.
Es común, por ejemplo, que el instructor al
preparar el tema o los problemas de clase
proponga varias formas de solución antes de
tomar un camino determinado. Este proceso,
que el maestro realiza antes de llegar a la
clase, generalmente no lo observan los
estudiantes; sin embargo, puede jugar un
papel importante en el desarrollo de un
pensamiento matemático en los estudiantes.
También, de vez en cuando, el maestro puede
intentar resolver problemas que sean nuevos
para él frente a sus alumnos, así podría
ilustrar de manera más realista tales
procesos; algunos de estos problemas pueden
ser sugeridos por los propios estudiantes.
(II) Discusión en grupos pequeños. Otra
variante instruccional que resulta muy efectiva
en la resolución de problemas es que los
estudiantes trabajen en grupos pequeños
durante la clase. Cuando esto ocurra,
participan
activamente
sugiriendo
y
explorando conjeturas y pueden evaluar
constantemente sus ideas.
En esta actividad, es común que los
estudiantes logren construir o desarrollar por
si mismos las matemáticas necesarias para
trabajar los problemas particulares.
186
El papel del maestro durante esta actividad es
observar el trabajo de sus alumnos, ofrecer
alguna ayuda cuando se necesite, y presentar
algunas
preguntas
que
favorezcan
la
articulación de las ideas.
Como Schoenfeld (1994) lo indica: Los
estudiantes durante la interacción grupal
desarrollan un sentido particular de lo que es
la empresa matemática. Este sentido se basa
en que la gente desarrolla sus valores y
creencias como resultado de una interacción
social. Reynolds et al. (1995) afirman que el
trabajar cooperativamente implica que los
miembros
del
grupo
comparten
una
responsabilidad por el desarrollo de cada uno
de sus integrantes.
(III) Presentaciones
individuales
por
parte de los estudiantes. En esta actividad
los estudiantes presentan sus ideas a todo el
grupo. Un aspecto importante en este renglón
es que aprendan a comunicar sus ideas y
desarrollarlas alrededor de un argumento. En
esta fase es común que el estudiante tenga
que
recurrir
a
diversos
ejemplos,
a
contraejemplos, o a utilizar diferentes
representaciones para convencer que lo que
está
presentado
posee
estructura
o
consistencia. Convencer, de hecho, debe ser
una prioridad en la presentación de los
estudiantes.
(IV) Participación grupal. Esta variante
instruccional aparece cuando la clase en su
conjunto intenta resolver algún problema. El
maestro, en cierta manera, coordina y evalúa
las ideas sugeridas por los estudiantes.
En algunos casos el maestro también debe
saber cuestionar y promover la participación
de sus estudiantes.
En el proceso de la instrucción, es necesario
que exista una retroalimentación constante
durante el desarrollo de todas estas
actividades. Por ejemplo, durante la discusión
en grupos pequeños, las ideas que emergen
durante la interacción entre ellos son
evaluadas por los integrantes del grupo.
Posteriormente,
cuando
los
estudiantes
presentan sus ideas a todo el grupo, tanto el
grupo en su conjunto como el maestro
interactúan y evalúan las ideas y pueden
sugerir alternativas de solución.
La retroalimentación de las ideas, aparece
entonces como un aspecto esencial en todas
las fases de la instrucción.
Como se ha mencionado antes, en general, los
problemas que se discuten durante la clase
deben ser considerados como puntos de
partida para una exploración más global de las
ideas matemáticas.
El aprendizaje en la resolución de problemas
posee diferentes objetivos:
I.
Los estudiantes llegan a entender los
propósitos y usos de conocimiento que
están aprendiendo;
II. Aprenden activamente utilizando un
conocimiento y no pasivamente sólo
recibiéndolo.
III. Aprenden las diferentes condiciones bajo
las cuales sus conocimientos pueden ser
aplicados, aprender cuando utilizar cierta
estrategia y cuando no utilizarla;
IV. Aprender en contextos múltiples induce
una abstracción de los conocimientos
ligada a sus usos, esto ayuda a que los
estudiantes enfoquen su atención a la
estructura profunda de la situación o
problema (Shoenfeld, 1994).
187

problemas de optimización 1º bach

File

Ejercicios. Lenguaje algebraico

Examen de Diagnóstico Quinta Sesión (ED5) Cuadernillo de

tarea 18 de abril - ONMAPS GUANAJUATO

analisis del lenguaje en los problemas matematicos

prueba

Departamento de Matemáticas. IES Ana María Matute

sinfonia del infinito: destrezas e ingenio matemáticas

Examen de ecuaciones