´ D EPARTAMENTO DE M ATEM ATICAS MATE1203 C´aculo Diferencial Taller- Razones de cambio - Gr´aficas y Optimizacion. ´ — (26/03/2015) Prof: J. Lopez ´ U NIVERSIDAD DE LOS A NDES ´ ´ de 8 pies cubicos ´ 1. En una cisterna conica fluye agua a razon por minuto. Si la altura de la cisterna es de 12 pies y el radio de su base circular es de 6 pies, ¿con qu´e rapidez sube el nivel del agua cuando e´ sta tiene 4 pies de profundidad? 6 r 12 h Figura 1 Respuesta: 2 π 2. Un aeroplano vuela hacia el norte a 640 millas por hora y pasa sobre cierto pueblo al mediod´ıa; un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas por hora est´a directamente encima del mismo pueblo 15 minutos m´as tarde. Si los aeroplanos vuelan a la misma altitud,¿con qu´e rapidez se separan a la 1:15 pm.? y s 160 x Figura 2 Respuesta: 872 millas por hora. 3. Una mujer, de pie en un acantilado, observa un bote de motor con un telescopio, cuando el bote se aproxima a la playa que est´a directamente abajo de ella. Si el telescopio est´a 250 pies arriba del nivel del agua y si el bote se acerca a 20 pies por segundo, ¿con qu´e rapidez cambia el a´ ngulo del telescopio con respecto al bote cuando e´ ste se encuentra a 250 pies de la playa? Telescopio • θ 250 • x Bote Figura 3 Respuesta: −0,04 radianes por segundo. ´ 4. La luz de un faro que est´a retirado 1 kilometro de una playa rectilinea gira a 2 revoluciones por minuto. ¿Con qu´e rapidez se mueve el rayo a lo largo de la playa cuando pasa por un punto ´ que est´a a 1/2 kilometro con respecto a un punto enfrente del faro? Faro• 3 θ 2 1 1 0 Playa -1 -2 -3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Figura 4 Respuesta: 5π kilometros por minuto. ´ 5. Para las funciones siguientes encuentre: a) Dominio b) Asintotas ´ c) M´aximo locales, m´ınimos locales, puntos de inflexion d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento e) Intervalos de concavidad f ) Gr´afica. f ( x ) = x2 e− x g( x ) = x1/3 ( x + 3)2/3 h( x ) = x ln x ´ 6. Obtener las dimensiones del tri´angulo isosceles de a´ rea m´axima que puede ser inscrito en una circunferencia de radio 12 cm. 2 h 12 x Figura 1 7. Se pretende fabricar una lata de conserva cil´ındrica con tapa de un litro de capacidad. ¿Cu´ales deben ser sus dimensiones para que se utilice la menor cantidad de metal posible? 3 2 r 1 0 h -1 -2 -3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Figura 2 8. Un sector circular tiene un per´ımetro de 10 cm. Calcular el radio y la amplitud del sector de mayor a´ rea. r θ Figura 3 9. Un rect´angulo esta acotado por los ejes coordenados y por la gr´afica de 6−x ¿Qu´e longitud debe tener el rect´angulo para que su a´ rea sea m´axima? y= 2 ւ y= 6− x 2 x y Figura 4 10. ¿Qu´e puntos de la gr´afica y = 4 − x2 estan m´as cerca del punto (0, 2)? 3 • ( x, y) • y = 4 − x2 ւ (0,2) Figura 5 11. Dos postes de 12 y 28 mts de altura, distan 30 m. entre si. Hay que conectarlos mediante un cable ´ punto del suelo entre los dos postes.¿En qu´e punto ha de amarrarse al que este atado en algun suelo con el fin de utilizar la menor longitud posible de cable? 28 12 30 Figura 6 12. Una p´agina rectangular ha de contener 24 cm. cuadrados de texto, con margenes superior e inferior de 1.5 cm y laterales de 1 cm.¿Qu´e dimensiones de la p´agina requieren la m´ınima cantidad de papel? y x Figura 7 13. Encontrar de todas las rectas que pasan por el punto (1,2) aquella que forma con las partes positivas de los ejes de coordenadas un tri´angulo de a´ rea m´ınima. 4 • (1, 2) b a Figura 8 14. Inscribir en una esfera de radio 1 m. un cilindro circular recto que tenga: a) Volumen m´aximo. b) Area lateral m´axima. En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base y altura. r h Figura 9 15. El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial v0 y con un a´ ngulo θ respecto de v2 sen 2θ ´ de la gravedad. Calcular el a´ ngulo θ que la horizontal es 0 , donde g es la aceleracion g produce el m`aximo alcance horizontal. ւ y= v20 sen 2θ g θ R Figura 10 ´ f ( x ) = x3 + bx2 + cx + d para que tenga un punto de inflexion ´ en 16. Hallar b, c y d en la funcion ´ x = 3, pase por el punto p(1, 0) y alcance un m´aximo local en x = 1. Grafique dicha funcion. 5 17. Dos pasillos de 9 y 6 pies de ancho est´an unidos en a´ ngulo recto. Encuentre la longitud de la barra m´as larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por la esquina. ˜ de tel´efonos calcula que obtiene una ganancia de 15 pesos por aparato colocado, 18. Una compania ´ si la central tiene 1000 abonados o menos, pero que la ganancia disminuye si el numero de abonados es superior a 1000 (aumentar´a el personal para atender) un centavo por cada abonado ´ que sobrepase ese numero. ¿Cu´antos abonados dar´an la m´axima ganancia? 19. Un terreno tiene la forma de un rect´angulo con dos semic´ırculos en los extremos. Si el per´ımetro del terreno es de 50 mts, encontar las dimensiones del terreno para que tenga el a´ rea m´axima. ——————————————————————————————————— 6