Ecuaciones diferenciales UdeM March 19, 2015

1
Parcial de Ecuaciones Diferenciales
1. Para cada uno de los siguientes enunciados determinar si es falso o verdadero y dar la justificaci´
on
correspondiente.
ax+by
cx+ey ,
(a)
La ecuaci´
on y ′ =
b + c = 0.
(b)
La ecuaci´
on diferencial
diferencial lineal.
con a, b, c, e constantes y ae − bc 6= 0, es exacta si y s´
olo si
df (y) dy
dy dx
+ p (x) f (y) = q (x) , se puede convertir en una ecuaci´
on
Si el conjunto
(c)
2x
e cos 3x, e2x sin 3x, e2x
son las raices de una ecuaci´
on diferencial, entonces la ecuaci´
on es de orden 2
2. Resolver la ecuaci´
on diferencial
2y 2 − 6xy dx + 3xy − 4x2 dy = 0
3. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
yy ′′ = y 2 y ′ + y ′
2
4. Determinar una soluci´
on continua del siguiente problema de valor inicial
201
5
dy
+ 2xy = f (x) , y (0) = 0
dx
donde
x si 0 ≤ x < 1
−x si
x≥1
rch
f (x) =
19,
1 + x2
deM
Ma
5. El Pb-209, is´
otopo radiactivo del plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad
presente en cualquier tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio hab´ıa un gramo
de plomo, ¿cu´anto tiempo debe transcurrir para que se desintegre 90%?
Ecu
dife
acio
nes
7. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
ren
cial
es U
6. La ley log´ıstica para crecimiento de poblaciones limitada por espacio y recursos naturales propuesta
por Verhulst es:
dQ
= k1 Q − k2 Q2
dt
Para la poblaci´
on humana se ha determinado que k1 = .029. Si en el 2002 la poblaci´
on era de
9
5.5 × 10 personas y la tasa de crecimiento anual es del 1.8%, encuentre k2 y prediga un valor
limite para la poblaci´
on de la tierra.
y ′′ + 6y ′ + 8y = 0
2
Parcial
1. Resolver el problema con condici´
on inicial
x
p
dy
= y + x2 − y 2 ;
dx
2. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
y (x0 ) = 0
dy
= 3x4 + e2y
dx
2xe2y
Ayuda: Hacer u = e2y
3. Solucionar un literal
1
(a) Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1000
de la cantidad original de C14 . Determinar la edad del f´osil, sabiendo que el tiempo de vida media del C14 es de 5600 a˜
nos.
(b) A un circuito RC en serie, en el que la resistencia es de 200Ω y la capacitancia es de 10−4 F,
se le aplica una tensi´
on de 100V . Calcular la carga q(t) en el capacitor si q(0) = 0 y obtener
la corriente i(t).
201
5
4. Verificar que la ecuaci´
on diferencial es exacta y solucionarla
y
dx + y 2 + ln x dy = 0
x3 +
x
5. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
19,
ydx + x2 y − x dy = 0
rch
6. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
Ma
xy ′′ − y ′ = 3x2
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
7. Solucionar la ecuaci´
on diferencial y ′′ − 2y ′ + 2y = 0
3
Parcial
1. Dada la ecuaci´
on diferencial
y y 2 + 1 dx + x y 2 − 1 ln xdy = 0
hallar un factor integrante de la forma xm y n y solucionar la ecuaci´
on.
2. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
xy
3. Dada la ecuaci´
on diferencial
dy
dx
dy
= − x2 + y 2
dx
= 2x2 + x1 y − 2y 2 y la funci´on yp = x
(a) Probar que yp es una soluci´
on particular de la ecuaci´
on diferencial dada
(b) Mostrar que al hacer la sustituci´on y = yp + u−1 la ecuaci´
on diferencial se transforma en
1
du
+
−
4x
u
=
2
dx
x
(c) Resolver la ecuaci´
on diferencial obtenida en el literal anterior
(d) Escribir la soluci´
on general de la ecuaci´
on diferencial original.
4. Obtener las trayectorias ortogonales a la familia y + x ln y = x ln x + cx
2
d3 y
2d y
+
x
=x
dx3
dx2
5
x3
201
5. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
19,
6. La vida media de uranio 238 es aproximadamente de 4.5 × 109 a˜
nos. ¿Que cantidad de un bloque
de 10 kilogramos de U − 238 estar´
a presente dentro de 1000 millones de a˜
nos?
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
7. Solucionar la ecuaci´
on diferencial y ′′ − 3y ′ + 2y = 0
4
Parcial
1. Solucionar un literal
(a) Cuando y = 0 hab´ıa 100 miligramos de una sustancia radiactiva, al cabo de 6 horas esa cantidad disminuy´o el 3%. Si la raz´
on de desintegraci´
on, en cualquier momento, es proporcional
a la cantidad de la sustancia presente, calcular la cantidad que queda despu´es de dos horas.
(b) A un circuito RC en serie, en el que la resistencia es de 200Ω y la capacitancia es de 10−4 F,
se le aplica una tensi´
on de 100V . Calcular la carga q(t) en el capacitor si q(0) = 0 y obtener
la corriente i(t).
2. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
(z +
√
wz)dw − wdz = 0
3. Dada la ecuaci´
on diferencial
y y 2 + 1 dx + x y 2 − 1 ln xdy = 0
hallar un factor integrante y solucionar la ecuaci´
on.
4. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
dy
dx
2
5
201
dy
+
y = 5x + 5x
dx
2
Ma
rch
19,
5. Hallar el valor de M para que la ecuaci´
on diferencial sea exacta
1
xy
M (x, y) dx + xe + 2xy +
dy = 0
x
6. Encontrar las trayectorias ortogonales para la familia
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
4y + x2 + 1 + c
e2y = 0
5
Parcial
1. Encontrar un factor de la forma µ = xm y n y solucionar la ecuaci´
on diferencial
(3xy 3 + 4y)dx + (3x2 y 2 + 2x)dy = 0
soluci´
on:
2. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
dy − (y 2 cos x − y 2 sin x − y)dx = 0
soluci´
on:
3. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
yy ′′ = y 2 y ′ + (y ′ )2
4. Encontrar la familia de trayectorias ortogonales a la familia
y = x − 1 + ce−x
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
19,
201
5
5. Si la poblaci´
on de una comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas
que tiene en cualquier momento t y si la poblaci´
on se duplica en un a˜
no, ¿en cuanto tiempo de
triplicar´a?
6
Parcial
1. Solucionar la ecuaci´
on diferencial y 4 ln y − 2x3 y dy + 3x2 y 2 dx = 0
−2
d2 y
dy
1 dy
2. Solucionar la ecuaci´
on diferencial dx
=0
2 − x dx +
dx
3. Solucionar la ecuaci´
on diferencial (x + 2y + 4) dx − (2x + 4y + 1) dy = 0 con condici´
on inicial
y (0) = 1
4. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia y = cex + x
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
19,
201
5
5. Cuando t = 0, hab´ıa 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas, esa cantidad
disminuy´o el 3%. Si la raz´
on de desintegraci´
on, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad
de la sustancia presente, calcular la cantidad que queda despu´es de 2 horas
6. Solucionar la ecuaci´
on diferencial y ′′ − 2y ′ + 2y = 0 con condiciones y π2 = 0 y y (π) = 1
7
Parcial
1. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
dy
dx
3
+ 2x
dy
dx
2
= 3x
2
dy
dx
2. Resolver la ecuaci´
on diferencial
dα
+
dφ
2
α = −φ9 α5
φ
α (−1) = 2
3. Hallar la familia ortogonal a la familia
y 2 = cx3
4. Hallar el valor de M para que la ecuaci´
on diferencial sea exacta
1
xy
M (x, y) dx + xe + 2xy +
dy = 0
x
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
19,
201
5
5. La poblaci´
on de una comunidad crece con una tasa proporcional en cualquier momento. su
poblaci´
on inicial es de 500 y aumenta el 15% en 10 a˜
nos ¿Cu´al ser´
a la poblaci´
on pasados 30
a˜
nos?
8
Parcial
1. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
x2 + y 2 − 5 dx = (y + xy) dy
2. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
yy ′′ − y ′
2
y (0) = 1
=0
3. Muestre que bajo la sustituci´on u = x + y la ecuaci´
on diferencial
dy
+ x + y + 1 = (x + y)2 e3x
dx
se transforma en una ecuaci´
on diferencial de Bernoulli. Solucionar la ecuaci´
on diferencial.
4. Encontrar las trayectorias ortogonales para la familia
y=
1
x+k
6. Dada la ecuaci´
on
201
y ′′ − 3y ′ + 2y = 0
5
1
de la cantidad original de C14 . Determinar
5. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1000
nos.
la edad del f´osil, sabiendo que el tiempo de vida media del C14 es 5600 a˜
19,
(a) Hallar los valores de m para que y = emx sea soluci´
on de la ecuaci´
on diferencial
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
(b) Hallar la soluci´
on particular con y (0) = −1 y y ′ (0) = 1
9
Parcial
1. Solucionar la ecuaci´
on diferencial
3 + 4xy −1 dx − 2xy −1 − 3x2 y −2 dy = 0
2. Solucionar la ecuaci´
on diferencial (α + β + 4) dα − (1 + 2α + 4β) dβ = 0
3. Solucionar uno y solo uno de los literales
−2
dy
dy
d2 y
(a) x1 dx
= (2x + 1) dx
− dx
2
2
dy
dy
(b) y = 5x2 + 5x
+
dx
dx
4. Resolver la ecuaci´
on diferencial
h
i
y
y
x + y e( x ) dx − x e( x ) dy = 0
5. Solucionar uno solo de los siguientes literales
5
(a) Se aplica una fuerza electromotriz de 10V a un circuito en serie LR, con una resistencia
de 10kΩ y una inductancia de 10µH. Si i (0) = 0, determinar la corriente i (t) . Hallar la
corriente cuando t → ∞
201
(b) Un is´
otopo radiactivo tiene una vida media de 15 d´ıas. Se desea tener 30 gramos al final de
los 30 d´ıas. ¿qu´e cantidad de radiois´otopo se debe tener al inicio?
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
19,
6. Encontrar la familia ortogonal a la familia c1 x2 + y 2 = 1

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