Colisiones: Desarrollo en ondas parciales

Mecánica Cuántica II
Práctica 7
Colisiones: Desarrollo en ondas parciales
Instituto Balseiro
5 de abril de 2015
44 Una partícula con impulso ~ki incide sobre una región del espacio en la cual hay un potencial
oscilatorio de la forma:
U (r, t) = V (r) e−iωt ,
el cual produce dispersión (scattering) de la partícula. Suponiendo que esta perturbación actúa
entre tiempos t=0 y t=T (siendo T un tiempo muy grande), y usando teoría de perturbaciones
de primer orden,
(a) Calcular la probabilidad de transición por unidad de tiempo desde el estado ki a un estado
de mayor energía kf , y obtener la sección eficaz diferencial para dicho proceso.
(b) Probar que incluso si V (r) es un potencial de Coulomb, la sección eficaz diferencial a ángulo
cero no diverge.
(c) Si la oscilación durara sólo un período (T = 2π/ω), ¿qué incerteza habría en la energía
absorbida?
45 Considere el scattering contra una esfera perfectamente rígida
(a) Calcular los desfasajes de onda parcial
(b) Obtener la sección eficaz diferencial y total en el límite de energías muy bajas. Comparar
con el cálculo clásico.
(c) Calcular la corrección que agrega la onda l = 1 a la sección eficaz total cuando k a = 1/2.
46 Para un potencial de corto alcance (nulo para r > a) la función de onda radial en la región
exterior se puede expresar en forma general como:
Rl (r) = Al [cos δl jl (kr) − sin δl ηl (kr)] .
Usando la continuidad de (1/Rl )dRl /dr en r = a, expresar los desfasajes en función de γl , derivada
logarítmica de la función de onda interior en r = a, suponiendo que es un dato conocido.
47 Para un pozo esférico de potencial (tal que V (r) = −V0 para r ≤ a y V (r) = 0 para r > a),
(a) Comprobar que si se supone ka 1 los dos primeros desfasajes se pueden aproximar como
tan δ0 ' −
γ0 ka2
1 + γ0 a
tan δ1 ' −
(ka)3 1 − γ1 a
3 2 + γ1 a
donde γ` es la derivada logarítmica γ` = (1/R` )dR` /dr. Observar que si δ` es tal que
el denominador correspondiente es muy pequeño, la onda l se dice en resonancia con el
potencial y domina el scattering.
(b) Obtener los desfasajes anteriores en aproximación de Born. Discuta las condiciones de validez
de cada uno.
48 En una colisión a una dada energía E se obtuvo experimentalmente que la sección eficaz diferencial es:
dσ
= σ0 1 + A cos θ + B cos2 θ
dΩ
(a) ¿Cuántas ondas parciales contribuyen? Justifique y explique.
(b) ¿Se verifica el teorema óptico?
(c) Si se trata de una colisión de partículas idénticas con espín, ¿puede deducir del comportamiento de la sección eficaz diferencial si el valor del espín de cada partícula es entero o
semientero? Justifique y explique.
Mecánica Cuántica II
Práctica 7
Colisiones: Desarrollo en ondas parciales
Instituto Balseiro
5 de abril de 2015
49 Se tiene un haz de protones que hacen scattering sobre otro protón. Suponga conocer la función de
onda de dispersión exacta en el sistema CM, en el caso en que las partículas fueran distinguibles:
ψ + (r) = eik·r + f + (Ω)
eikr
.
r
Teniendo en cuenta el spin de los protones (s = 1/2), calcule las amplitudes de dispersión y
la sección eficaz diferencial resultante para un haz incidente en un estado mezcla arbitrario.
Considere los siguientes casos particulares
(a) ambos protones con igual polarizacion de spin o spin paralelo
(b) ambos protones con distinta polarizacion o spines antiparalelos
50
RA
Considere la dispersión de partículas con impulso ~k por una esfera de radio a y potencial
V0 > 0. Considerando el límite en que ambos V0 y k son pequeños calcule:
EXT
(a) Calcule la amplitud de scattering f (θ) en aproximación de Born
(b) Calcule los corrimientos de fase de onda ` = 0, 1 en aproximación de Born
(c) Calcule el corrimiento de onda s (` = 0) en forma exacta y compare con los resultados de
los dos puntos anteriores.
51
RA
Se tienen dos fuentes de electrones,la de la izquierda emite electrones con spines polarizados
“UP” |↑i, y la de la derecha emite electrones sin polarizar (mezcla |↑i y |↓i). Se colocan dos
detectores en un mismo ángulo θ: uno mide solo electrones “UP” y el otro electrones “DOWN”.
Si la amplitud de scattering cuando no se considera el espín está dada por:
EXT
f (θ) = A + B cos θ + C cos2 θ
Decir cuál será la seccion eficaz diferencial que medirá cada detector.
¿Qué sección eficaz se mediría si un detector se polariza “UP” en la dirección x?

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