3. Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones

´diz
Universidad de Ca
Departamento de Matem´aticas
´
MATEMATICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas t´ecnicas
Tema 3
Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones
Elaborado por la Profesora Doctora Mar´ıa Teresa Gonz´alez Montesinos
´Indice
1. Ecuaciones de primer grado
1.1. Ecuaciones e identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Ecuaciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ecuaciones enteras de primer grado con una inc´
ognita . . . . . . . . .
1.4. Ecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Ecuaciones de grado superior reducibles a ecuaciones de primer grado
1.6. Problemas de primer grado con una inc´
ognita . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
2
3
3
4
2. Ecuaciones de segundo grado
2.1. Resoluci´
on de la ecuaci´
on general. Soluciones . . . . .
2.2. Suma y producto de las ra´ıces. Forma can´
onica de una
2.3. Descomposici´
on en factores de un trinomio de segundo
2.4. Ecuaciones trinomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Resoluci´
on de ecuaciones irracionales . . . . . . . . . .
. . . . .
ecuaci´
on
grado .
. . . . .
. . . . .
. .
de
. .
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segundo grado
. . . . . . . . .
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6
6
7
8
9
9
3. Sistemas de ecuaciones de primer grado
3.1. Sistemas de primer grado con dos inc´
ognitas .
3.1.1. M´etodo de sustituci´
on . . . . . . . . .
3.1.2. M´etodo de igualaci´
on . . . . . . . . .
3.1.3. M´etodo de reducci´
on . . . . . . . . . .
3.2. Sistemas de primer grado con tres inc´
ognitas
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11
11
11
12
12
13
4. Sistemas de ecuaciones de grado superior
4.1. Sistemas de segundo grado con dos inc´
ognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Sistemas de dos ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Problemas con dos o m´
as inc´
ognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
15
16
5. Inecuaciones
5.1. Inecuaciones y desigualdades . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Sistemas de inecuaciones en una variable . . . . . . . .
5.4. Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . .
5.5. Inecuaciones polin´
omicas de grado superior al segundo
5.6. Inecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Soluciones reales de una ecuaci´on de segundo grado . .
17
17
19
20
21
23
24
25
6. Ejercicios propuestos
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25
Tema 3
1
1. Ecuaciones de primer grado
1.1. Ecuaciones e identidades
En primer lugar, tenemos que distinguir la identidad de la ecuaci´
on propiamente dicha. Para m´
as
facilidad, consideremos las siguientes igualdades:
6(x − 3) = 6x − 18,
5x − 2 = 3(x + 4).
Estas dos igualdades tienen un comportamiento muy distinto cuando se sustituye la letra x en sus dos
miembros:
6(x − 3) 6x − 18 5x − 2 3(x + 4)
x=1
−12
−12
3
15
x=2
−6
−6
8
18
x=3
0
0
13
21
x=4
6
6
18
24
x=5
12
12
23
27
x=6
18
18
28
30
x=7
24
24
33
33
x=8
30
30
38
36
La primera igualdad se verifica para cualquier valor se d´e a x, mientras que la segunda s´
olo se verifica
para x = 7.
Diremos que la primera igualdad es una identidad, mientras que la segunda es una ecuaci´
on.
Definici´
on 1.1 Una identidad es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de las letras
que la componen.
Una ecuaci´
on es una igualdad literal que se verifica para valores espec´ıficos o determinados de las
letras que la componen.
Resolver una ecuaci´
on consiste en hallar estos valores particulares que, sustituidos en las inc´ognitas,
convierten las ecuaciones en identidades. A estos valores los llamaremos soluciones o ra´ıces de la
ecuaci´
on.
1.2. Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Se tienen los siguientes
principios de equivalencia:
Primer principio de equivalencia.– Si a los dos miembros de una ecuaci´
on se les suma o resta
una misma expresi´
on algebraica, se obtiene una ecuaci´
on equivalente.
De este principio se pueden deducir dos consecuencias importantes:
Si en una ecuaci´
on se pasa un t´ermino de un miembro al otro, cambi´
andole el signo, la
ecuaci´
on que resulta es equivalente a la primera.
Si los dos miembros de una ecuaci´
on tienen dos t´erminos iguales, y con el mismo signo, se
pueden suprimir sin que var´ıen las soluciones.
Segundo principio de equivalencia.– Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuaci´
on
por un n´
umero o una expresi´
on distinta de cero, y que no contenga la inc´
ognita, se obtiene una
ecuaci´
on equivalente.
De este otro tambi´en se pueden deducir consecuencias fundamentales:
2
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
Se puede cambiar el signo a todos los t´erminos de una ecuaci´
on, pues equivale a multiplicar
por −1 sus dos miembros.
Dada una ecuaci´
on con coeficientes racionales, se puede transformar en otra con coeficientes
enteros, reduci´endolos primero al m´ınimo denominador com´
un y, despu´es, multiplicando los
dos miembros por este denominador com´
un.
Una ecuaci´
on es entera cuando las inc´
ognitas no figuran en el denominador; en caso contrario, se
llama fraccionaria.
El grado de una ecuaci´
on entera con una inc´
ognita es el mayor exponente de la misma.
1.3. Ecuaciones enteras de primer grado con una inc´ognita
Para la resoluci´
on de una ecuaci´
on entera de primer grado con una inc´
ognita nos limitaremos a
recordar los pasos fundamentales:
a) Se suprimen los par´entesis.
b) Se suprimen, igualmente, los denominadores, reduciendo previamente los dos miembros a denominador com´
un.
c) Se hace la transposici´
on de t´erminos, pasando a un miembro todos los t´erminos que contengan la
inc´
ognita y al otro miembro, los dem´
as.
d) Se reducen los t´erminos semejantes.
e) Se despeja la inc´
ognita, dividiendo ambos miembros por el coeficiente de la inc´
ognita.
Ejemplo 1.1
x+1
13 − 2x 5x − 2
1)
+
=1−
.
6
4
12
a) No tiene par´entesis.
2(13 − 2x) + 3(5x − 2)
12 − (x + 1)
b) m.c.m.(6, 4, 12) = 12 =⇒
=
.
12
12
Suprimir el 12 en los dos miembros es lo mismo que multiplicarlos por 12; as´ı,
26 − 4x + 15x − 6 = 12 − x − 1.
c) −4x + 15x + x = 12 − 1 − 26 + 6.
d) 12x = −9.
9
3
e) x = − = − .
12
4
7x2 − 9
x − 3 2 (x + 2)2
2)
−2
=
− x.
7
2
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7x2 − 9 x2 − 6x + 9
x2 + 4x + 4
−
=
− x.
7
2
2
2(7x2 − 9) − 7(x2 − 6x + 9)
7(x2 + 4x + 4) − 14x
m.c.d.(7, 2) = 14 =⇒
=
.
14
14
14x2 − 18 − 7x2 + 42x − 63 = 7x2 + 28x + 28 − 14x.
14x2 − 7x2 − 7x2 + 42x − 28x + 14x = 28 + 18 + 63.
28x = 109.
109
x=
.
28
Tema 3
3
1.4. Ecuaciones fraccionarias
El m´etodo para resolver las ecuaciones num´ericas fraccionarias es an´
alogo al que hemos seguido
para las ecuaciones enteras; sin embargo, debemos tener presente que, para librar los t´erminos de
sus denominadores, debemos multiplicar los dos miembros por el m´ınimo denominador com´
un y ´este
contiene la inc´
ognita. En este caso, una vez halladas las soluciones, hemos de desechar las que anulen
este denominador com´
un pues, como sabemos, no se pueden multiplicar los dos miembros de una
ecuaci´
on por una expresi´
on nula.
Ejemplo 1.2
1)
3
4
2(x − 3)
−
= 2
.
x+1 x−1
x −1
El denominador com´
un es x2 − 1, que se anula para x = ±1. As´ı,
3(x − 1) − 4(x + 1)
2(x − 3)
= 2
=⇒ 3x − 3 − 4x − 4 = 2x − 6 =⇒
2
x −1
x −1
1
=⇒ 3x − 4x − 2x = −6 + 3 + 4 =⇒ −3x = 1 =⇒ x = − .
3
2)
2(3x + 4) x + 3
4−x
−
=
.
x2 − 4
x−2
x+2
El denominador com´
un es x2 − 4, el cual se anula para x = ±2. Se tiene que
2(3x + 4) − (x + 2)(x + 3) = (x − 2)(4 − x) =⇒
=⇒ 6x + 8 − x2 − 2x − 3x − 6 = 4x − 8 − x2 + 2x =⇒
=⇒ 6x − 2x − 3x − 4x − 2x = −8 − 8 + 6 =⇒ 5x = 10 =⇒ x = 2.
Como x = 2 es un valor que anula el denominador com´
un, no podemos considerarlo como soluci´
on
de la ecuaci´
on.
1.5. Ecuaciones de grado superior reducibles a ecuaciones de primer grado
Cuando tenemos una ecuaci´
on formada por la igualaci´
on a cero de un polinomio, esto es, P (x) = 0,
y podemos descomponer P (x) en factores bin´
omicos de primer grado, para buscar las soluciones de la
ecuaci´
on, basta igualar a cero cada uno de los factores y hallar las ra´ıces de cada ecuaci´
on as´ı obtenida.
Ejemplo 1.3 Para la resoluci´
on de la ecuaci´
on x4 + 3x3 − x2 − 3x = 0, hacemos

x = 0,



x
−
1 = 0 =⇒ x = 1,
P (x) = x4 + 3x3 − x2 − 3x = x(x − 1)(x + 1)(x + 3) = 0 =⇒
x
+
1 = 0 =⇒ x = −1,



x + 3 = 0 =⇒ x = −3.
En efecto, si P (x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) · · · (an x + bn ), la ecuaci´
on P (x) = 0 se convierte en

a1 x + b1 =0,




a2 x + b2 =0,
(a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) · · · (an x + bn ) = 0 ⇐⇒
..

.



an x + bn =0.
Cada una de estas ecuaciones nos proporciona una ra´ız de la ecuaci´
on inicial.
4
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
Ejemplo 1.4 Para resolver la ecuaci´
on 3ax − a + 6x2 − 2x = 0, hacemos
a(3x − 1) + 2x(3x − 1) = 0 ⇐⇒ (3x − 1)(a + 2x) = 0 ⇐⇒

1

 3x − 1 = 0 ⇐⇒
3x = 1
⇐⇒ x = ,
3
⇐⇒

 a + 2x = 0 ⇐⇒ 2x = −a ⇐⇒ x = − a .
2
1.6. Problemas de primer grado con una inc´ognita
Una de las aplicaciones m´
as importantes del estudio de las ecuaciones es la resoluci´
on de problemas.
En cualquier problema podemos distinguir unas cantidades conocidas, llamadas datos, y otras
desconocidas que reciben el nombre de inc´
ognitas, y que representaremos, generalmente, por las
letras x, y, z, ...
Todo problema nos proporciona una serie de relaciones entre los datos y las inc´
ognitas, que se
tratar´
an de expresar mediante ecuaciones. Al resolver estas ecuaciones, obtendremos los valores de las
inc´
ognitas, que constituyen la soluci´
on del problema, con la condici´
on de que cumplan todos los
requisitos de ´este, aun aquellos que no puedan ser traducidos en las ecuaciones.
Un problema se llama de primer grado cuando da lugar a una ecuaci´
on de primer grado; de la
misma forma podr´ıamos hablar de problemas de segundo, tercer, cuarto grado, etc., seg´
un que las
ecuaciones matem´
aticas sean de segundo, tercer, cuarto grado, etc.
Podemos resumir en el siguiente esquema los pasos que se precisan seguir en la resoluci´
on de un
problema con una inc´
ognita:
a) Representar por una letra (en general, por x) la cantidad que ha de considerarse como inc´ognita.
b) Expresar con una ecuaci´
on la relaci´
on entre los datos y la inc´
ognita: traducir en s´ımbolos o expresiones matem´
aticas lo que nos dice el enunciado del problema.
c) Resolver la ecuaci´
on obtenida.
d) Comprobar si el resultado de la ecuaci´
on cumple todas las condiciones expresadas en el enunciado.
Los dos primeros puntos son los m´
as importantes, los m´
as dif´ıciles y los que requieren m´
as ejercicio.
Es esencial tomar como inc´
ognita una cantidad clave, a partir de la cual podamos expresar matem´
aticamente el problema. Para ello, es aconsejable leer con atenci´
on el enunciado del problema hasta que
hayamos captado completamente su significado.
Para comprender el procedimiento que se sigue, veamos algunos ejemplos.
Problema 1 Hallar el n´
umero cuyo qu´ıntuplo, disminuido en los 3/4 del mismo, es igual al triple de
la suma de dicho n´
umero con cinco.
Sea x el n´
umero pedido. Traduzcamos ahora el problema a una expresi´
on matem´
atica:
Enunciado
Hallar un n´
umero
cuyo qu´ıntuplo
disminuido en los 3/4
es igual al triple
de la suma de dicho n´
umero m´
as cinco
Traducci´
on matem´
atica
x
5x
3
5x − x
4
3
5x − x = 3
4
3
5x − x = 3(x + 5)
4
Tema 3
5
As´ı,
3
5x − x = 3(x + 5) ⇐⇒ 5x −
4
⇐⇒ 17x = 4(3x + 15) ⇐⇒
3
20x − 3x
x = 3x + 15 ⇐⇒
= 3x + 15 ⇐⇒
4
4
17x = 12x + 60 ⇐⇒ 17x − 12x = 60 ⇐⇒
⇐⇒ 5x = 60 ⇐⇒ x = 12.
Problema 2 El a´rea de un rect´
angulo aumenta 185 cm2 cuando la base y la altura se ven aumentadas
en 5 cm cada una. Hallar las dimensiones del rect´
angulo sabiendo que la primera es triple de la
segunda.
Si la altura vale x, la base ser´
a 3x.
El a´rea ser´
a 3x · x = 3x2 .
El a´rea aumentada en 185 cm2 ser´
a 3x2 + 185.
El nuevo a´rea se obtiene cuando las nuevas dimensiones son 3x + 5 y x + 5, es decir, dicho
a´rea es igual a (3x + 5)(x + 5).
La ecuaci´
on del problema ser´
a pues
3x2 + 185 = (3x + 5)(x + 5),
cuya soluci´
on es x = 8. Las dimensiones ser´
an entonces base= 3 · 8 = 24 cm y altura= 8 cm.
Problema 3 Hallar dos n´
umeros impares consecutivos tales que la mitad m´
as la cuarta parte del
menor sumen lo mismo que la mitad y la s´eptima parte del mayor.
Sea x el menor. El mayor ser´a entonces x + 2.
x x
+ .
2
4
x+2 x+2
La mitad y la s´eptima parte del mayor es igual a
+
.
2
7
La mitad y la cuarta parte del menor es igual a
La ecuaci´
on correspondiente a este problema viene dada por
x x
x+2 x+2
+ =
+
.
2
4
2
7
La soluci´
on de la ecuaci´
on es x = 12, que no es soluci´
on del problema, ya que su enunciado pide
hallar n´
umeros impares.
Problema 4 Un padre tiene 38 a˜
nos, su hijo, 10, y su hija mayor, 14. ¿Cu´
antos a˜
nos han de pasar
para que la edad del padre sea 3 veces la del hijo? ¿Y cu´
antos para que la edad del padre sea 3
veces la de la hija?
Este problema se considerar´
a como dos problemas distintos, con los mismos datos.
a) Sea x el n´
umero de a˜
nos que han de pasar para que el padre tenga el triple de edad que el
hijo. Entonces, al cabo de x a˜
nos, la edad del padre ser´
a igual a 38 + x mientras que la del
hijo ser´
a 10 + x. La ecuaci´
on del problema viene dada pues por
38 + x = 3(10 + x),
cuya soluci´
on es x = 4 a˜
nos. De este modo, dentro de 4 a˜
nos, la edad del padre ser´
a el triple
de la edad del hijo. En efecto; 38 + 4 = 42, 10 + 4 = 14, 42 = 3 · 14.
6
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
b) Sea y el n´
umero de a˜
nos que deben transcurrir para que el padre tenga triple edad que la
hija. Transcurridos esos y a˜
nos, la edad del padre ser´
a de 38 + y y la de la hija 14 + y. La
ecuaci´
on que se obtiene es entonces
38 + y = 3(14 + y),
cuya soluci´
on es y = −2. Este valor negativo nos dice que hace dos a˜
nos que la edad del
padre fue el triple de la edad de la hija. As´ı es; 38 − 2 = 36, 14 − 2 = 12, 36 = 3 · 12.
2. Ecuaciones de segundo grado
Una ecuaci´
on entera es de segundo grado si el mayor exponente de la inc´
ognita es 2. Su forma
general completa, despu´es de quitar denominadores, par´entesis y reducir t´erminos semejantes es
ax2 + bx + c = 0,
donde a es el coeficiente del t´ermino de segundo grado, llamado tambi´en coeficiente cuadr´
atico o primer
coeficiente; b es el coeficiente del t´ermino de primer grado, tambi´en denominado coeficiente lineal; c
es el t´ermino independiente.
Cuando alg´
un coeficiente de la ecuaci´
on es nulo, diremos que la ecuaci´
on es incompleta. Se pueden
presentar los casos siguientes:
1) Si a = 0 se obtiene la ecuaci´
on de primer grado bx + c = 0, cuya soluci´
on es
c
x=− .
b
´
2) Si b = 0 obtenemos una ecuaci´
on de segundo grado pura: ax2 + c = 0. Esta
se puede resolver del
modo siguiente:
r
c
c
2
2
2
ax + c = 0 ⇐⇒ ax = −c ⇐⇒ x = − ⇐⇒ x = ± − .
a
a
c
> 0, esta ecuaci´
on no tendr´
a soluci´
on real, pues un n´
umero al cuadrado, x2 , no
a
c
puede ser igual a un n´
umero negativo, − .
a
N´
otese que, si
3) Si c = 0 la ecuaci´
on queda en la forma ax2 + bx = 0, de modo que se obtienen dos soluciones:
2
ax + bx = 0 ⇐⇒ x(ax + b) = 0 ⇐⇒
(
x = 0,
ax + b = 0
⇐⇒
b
x=− .
a
4) Si b = 0 y c = 0 la ecuaci´
on se reduce a ax2 = 0, que tiene como soluci´
on doble x = 0.
2.1. Resoluci´on de la ecuaci´on general. Soluciones
Dada la ecuaci´
on completa de segundo grado ax2 + bx + c = 0, sus soluciones vienen dadas por
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
x1 =
, x2 =
.
2a
2a
7
Tema 3
Ejemplo 2.1 Halla las soluciones de la ecuaci´
on 3x2 − 2x − 1 = 0.
(
√
x1 =1,
2 ± 4 + 12
2±4
x=
=
=⇒
1
6
6
x2 =− .
3
A la expresi´
on b2 − 4ac la denominaremos discriminante y se denotar´
a por el s´ımbolo ∆.
N´
otese que, seg´
un los valores del discriminante, se pueden distinguir los casos siguientes:
Si ∆ > 0 se obtienen dos soluciones reales distintas.
Si ∆ = 0 se obtiene una ra´ız doble.
Si ∆ < 0 la ecuaci´
on no tiene soluciones reales, ya que los n´
umeros negativos no tienen ra´ız
cuadrada real.
2.2. Suma y producto de las ra´ıces. Forma can´onica de una ecuaci´on de segundo grado
Dada una ecuaci´
on de segundo grado ax2 + bx + c = 0, se pueden conocer la suma y el producto de
sus ra´ıces y expresarlas en funci´
on de los coeficientes a, b y c sin necesidad de conocer las soluciones.
En efecto, si denotamos por s y p, respectivamente, a la suma y el producto de las ra´ıces de la ecuaci´
on,
x1 y x2 , se tiene que
b
c
s = x1 + x2 = − , p = x1 x2 = .
a
a
Ejemplo 2.2 Para la ecuaci´
on 3x2 + 2x − 4 = 0, tenemos
2
s = x1 + x2 = − ,
3
4
p = x1 x2 = − .
3
on anterior, si dividimos
Dada la ecuaci´
on de segundo grado ax2 +bx+c = 0 y continuando con la notaci´
todos los t´erminos por a, resulta
b
c
b
c
2
2
x + x + = 0 ⇐⇒ x − −
x + = 0,
a
a
a
a
es decir, se obtiene la ecuaci´
on
x2 − sx + p = 0,
llamada forma can´
onica de la ecuaci´
on de segundo grado, y que nos da la ecuaci´
on en funci´on de la
suma y el producto de sus ra´ıces.
3
x
−
= 2.
x+1 x−1
El denominador com´
un es (x + 1)(x − 1) = x2 − 1, de modo que resulta
Ejemplo 2.3 Hallar la forma can´
onica de la ecuaci´
on
3(x − 1) − x(x + 1) = 2(x2 − 1) ⇐⇒ 3x − 3 − x2 − x = 2x2 − 2 ⇐⇒ −3x2 + 2x − 1 = 0.
Dividiendo entre −3, se obtiene la forma can´
onica:
2
1
x2 − x + = 0.
3
3
La forma can´onica nos permite resolver dos problemas importantes:
Conociendo la suma y el producto de dos n´
umeros, hallar dichos n´
umeros.
8
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
a) Planteamos la ecuaci´
on x2 − sx + p = 0.
b) Resolvemos la ecuaci´
on y obtenemos las dos soluciones pedidas, x1 y x2 .
3
2
y cuyo producto sea − .
5
5
3
2
Dichos n´
umeros ser´
an las soluciones de la ecuaci´
on x2 + x − = 0. As´ı,
5
5
Ejemplo 2.4 Halla dos n´
umeros cuya suma sea −
3
2
x2 + x − = 0 ⇐⇒ 5x2 + 3x − 2 = 0 ⇐⇒
5
5
(
√
2
−3 ± 9 + 40
−3 ± 7
x1 = ,
⇐⇒ x =
=
=⇒
5
10
10
x2 =−1.
Conocidas las ra´ıces o soluciones, x1 y x2 , construir la ecuaci´
on de segundo grado. Para ello
basta hacer
s = x1 + x2 , p = x1 x2 =⇒ x2 − sx + p = 0.
Ejemplo 2.5 Formar una ecuaci´
on de segundo grado cuyas ra´ıces sean −
3
y 3.
2
3
3
3
9
3
9
s = − + 3 = , p = − 3 = − =⇒ x2 − x − = 0.
2
2
2
2
2
2
2.3. Descomposici´on en factores de un trinomio de segundo grado
Consid´erese el polinomio P (x) = ax2 +bx+c. Este trinomio de segundo grado se puede descomponer
en factores, resolviendo la ecuaci´
on asociada al trinomio: ax2 + bx + c = 0.
Sabemos que, si x1 y x2 son las dos ra´ıces de esta ecuaci´
on, podemos escribir
b
s = x1 + x2 = − ,
a
p = x1 x2 =
c
.
a
Aplicando estas f´
ormulas a la descomposici´
on de P (x), tendremos que
b
c
b
c
2
=a x − −
x+
=
P (x) = ax + bx + c = a x + x +
a
a
a
a
2
= a x − (x1 + x2 )x + x1 x2 = a(x2 − x1 x − x2 x + x1 x2 ) =
2
2
= a [x(x − x1 ) − x2 (x − x1 )] = a(x − x1 )(x − x2 ),
esto es,
P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ).
Ejemplo 2.6 Para descomponer el trinomio P (x) = 3x2 + 5x − 2, consideramos su ecuaci´
on asociada,
1
2
3x + 5x − 2 = 0, cuyas ra´ıces son x1 = y x2 = −2. Como las dos ra´ıces son reales, podemos escribir
3
1
2
P (x) = 3x + 5x − 2 = 3 x −
(x + 2).
3
9
Tema 3
2.4. Ecuaciones trinomias
Una ecuaci´
on trinomia es aquella que puede reducirse a la forma
ax2m + bxm + c = 0.
(1)
Las ecuaciones trinomias en las que m = 2 se llaman ecuaciones bicuadradas.
Para la resoluci´
on de (1) hacemos y = xm , y obtenemos la ecuaci´
on de segundo grado
ay 2 + by + c = 0.
Una vez conocidas las soluciones de esta ecuaci´
on, y1 e y2 , debemos resolver
xm = y1 ,
xm = y2 .
Ejemplo 2.7
1) Para resolver la ecuaci´
on x4 −5x2 −36 = 0, hacemos y = x2 obteniendo la ecuaci´
on y 2 −5y −36 = 0,
cuyas soluciones son y1 = 9 e y2 = −4. Ahora bien,
y1 = 9 = x2 =⇒ x = ±3 =⇒ x1 = −3, x2 = 3,
y2 = −4 = x2 =⇒ No se obtiene ninguna soluci´
on real.
2) En la resoluci´
on de la ecuaci´
on 8x6 − 63x3 − 8 = 0, realizamos el cambio de variable y = x3 ; la
1
ecuaci´
on resultante es 8y 2 − 63y − 8 = 0, cuyas soluciones son y1 = − e y2 = 8. Entonces
8
r
1
1
1
3
y1 = − = x3 =⇒ x1 = − = − ,
8
8
2
√
3
3
y2 = 8 = x =⇒ x2 = 8 = 2.
2.5. Resoluci´on de ecuaciones irracionales
Se llaman ecuaciones irracionales aquellas en las que alguna de las inc´
ognitas figura bajo el
signo radical.
Estudiaremos aqu´ı s´
olo las ecuaciones irracionales con radicales cuyo ´ındice es 2. As´ı, son ecuaciones
irracionales las siguientes:
√
x − 3 = x,
p
x2 − 1 = 1,
x= √
1
x2 − 5
.
La resoluci´
on de ecuaciones irracionales se basa en el siguiente principio:
Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuaci´
on, se obtiene otra ecuaci´
on que,
adem´
as de tener las soluciones de la primera, contiene las de una segunda, obtenida al
cambiar de signo a uno de los miembros de la ecuaci´
on dada.
Efectivamente; consideremos la ecuaci´
on
A(x) = B(x).
(2)
Elevando al cuadrado los dos miembros resulta la ecuaci´
on
A(x)2 = B(x)2 ⇐⇒ A(x)2 − B(x)2 = 0,
(3)
10
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
que es, en realidad, una diferencia de cuadrados:
[A(x) − B(x)] [A(x) + B(x)] = 0,
cuyas soluciones vendr´
an dadas por
A(x) − B(x) = 0
A(x) + B(x) = 0
⇐⇒
⇐⇒
(4)
A(x) = B(x),
A(x) = −B(x).
De este modo, la ecuaci´
on (4) y, por tanto, la ecuaci´
on (3), contiene, adem´
as de las soluciones de
A(x) = B(x), las de A(x) = −B(x), como se quer´ıa demostrar.
Una consecuencia fundamental que se puede extraer de lo anterior es que siempre que la resoluci´
on
de una ecuaci´
on exija elevar sus dos miembros al cuadrado, es preciso comprobar si las soluciones
halladas satisfacen la ecuaci´
on propuesta.
Ejemplo 2.8
1) Resolver la ecuaci´
on 18 −
√
x + 10 = 2.
Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuaci´
on, el radical no desaparece; para eliminar
el radical, habr´
a que aislarlo en uno de los dos miembros:
√
18 − 2 = x + 10.
Elevando al cuadrado los dos miembros resulta
256 = x + 10 =⇒ x = 246.
Comprobamos que la soluci´
on obtenida es v´
alida:
√
18 − 246 + 10 = 18 − 16 = 2.
2) Para resolver la ecuaci´
on
√
4x + 1 −
√
3x − 2 = 1, aislamos un radical y elevamos al cuadrado:
√
√
2
2
4x + 1 = 1 + 3x − 2 ⇐⇒
√
√
⇐⇒ 4x + 1 = 1 + 2 3x − 2 + 3x − 2 ⇐⇒ 4x + 1 = 2 3x − 2 + 3x − 1.
Aislamos el radical resultante y reducimos los t´erminos semejantes:
√
√
2 3x − 2 = 4x + 1 − 3x + 1 ⇐⇒ 2 3x − 2 = x + 2.
Elevamos entonces al cuadrado:
4(3x − 2) = x2 + 4x + 4 ⇐⇒ 12x − 8 = x2 + 4x + 4 ⇐⇒ x2 − 8x + 12 = 0.
Las soluciones de la ecuaci´
on de segundo grado obtenida son x1 = 2 y x2 = 6. Comprobamos, por
u
´ltimo, si ´estas son soluciones de la ecuaci´
on irracional inicial:
√
√
8 + 1 − 6 − 2 =3 − 2 = 1,
√
√
24 + 1 − 18 − 2 =5 − 4 = 1.
Ambas soluciones son v´
alidas.
Tema 3
11
3. Sistemas de ecuaciones de primer grado
3.1. Sistemas de primer grado con dos inc´ognitas
Un sistema de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas es de primer grado o lineal cuando las dos
ecuaciones que lo forman son de primer grado o lineales, y tendr´
a la forma que sigue:
a1 x + b1 y =c1 ,
a2 x + b2 y =c2 ,
umeros reales. Llamamos soluci´
on del sistema a todo par (x0 , y0 ) que
donde a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 son n´
satisfaga las dos ecuaciones del sistema.
Para su resoluci´
on presentamos aqu´ı los tres m´etodos m´
as conocidos: el de sustituci´
on, el de
igualaci´
on y el de reducci´
on.
3.1.1. M´etodo de sustituci´on
Dado el sistema
a1 x + b1 y =c1 ,
a2 x + b2 y =c2 ,
se despeja una de las inc´
ognitas de una de las ecuaciones, a ser posible, la que tenga como coeficiente
1 o −1; en este caso, despejemos y de la primera ecuaci´
on:
y=
c1 − a1 x
.
b1
A continuaci´
on se sustituye este valor de y en la segunda ecuaci´
on:
a2 x + b2
c1 − a1 x
= c2 .
b1
Obs´ervese que la ecuaci´
on as´ı obtenida s´
olo posee una inc´
ognita y se puede resolver f´
acilmente sin m´
as
que despejar x:
b1 c2 − b2 c1
x=
.
a2 b1 − a1 b2
Una vez conocido el valor de x, lo sustituimos en la expresi´
on de y.
Ejemplo 3.1 Consid´erese el sistema
5x − 2y = 4,
3x + y = 9.
En la segunda ecuaci´
on despejamos y,
y = 9 − 3x,
y lo sustituimos en la primera ecuaci´
on, obteniendo as´ı una ecuaci´
on de primer grado cuya u
´nica
inc´
ognita es x:
5x − 2(9 − 3x) = 4 ⇐⇒ 5x − 18 + 6x = 4 ⇐⇒ 11x = 22 ⇐⇒ x = 2.
Sustituyendo ahora el valor de x en la expresi´
on de y se tiene que
y = 9 − 3 · 2 = 3.
As´ı, la soluci´on del sistema es (2, 3).
12
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
3.1.2. M´etodo de igualaci´on
Dado un sistema en su forma normal
a1 x + b1 y =c1 ,
a2 x + b2 y =c2 ,
podemos despejar la misma inc´
ognita en las dos ecuaciones; por ejemplo, x:
x=
c1 − b1 y
,
a1
x=
c2 − b2 y
.
a2
Entonces debe ser
c2 − b2 y
c1 − b1 y
=
,
a1
a2
esto es, se ha obtenido una ecuaci´
on de primer grado en y. Una vez resuelta ´esta, sustituimos el valor
de y en cualquiera de las expresiones obtenidas para x.

3x + 4y


= x − 2,
2
Ejemplo 3.2 Sea el sistema
x
1 3 Antes de resolverlo, transform´emoslo en su for

=
− .
y
y 2
ma normal:

3x + 4y


= x−2
3x + 4y = 2x − 4
x + 4y = −4
2
⇐⇒
⇐⇒
x
1
3
2x = 2 − 3y
2x + 3y =
2


=
−
y
y 2
Despejando x en las dos ecuaciones obtenemos:
2 − 3y
2 − 3y
⇐⇒ −4 − 4y =
⇐⇒
2
2
⇐⇒ −8 − 8y = 2 − 3y ⇐⇒ −5y = 10 ⇐⇒ y = −2.
x = −4 − 4y,
x=
Sustituyendo en la primera expresi´
on de x se obtiene finalmente
x = −4 − 4(−2) = 4.
3.1.3. M´etodo de reducci´on
Dado el sistema
3x − 2y = 6,
5x + 2y = 10,
podemos sumar las dos ecuaciones que lo forman, obteniendo as´ı una ecuaci´
on en x:
3x − 2y = 6
+ 5x + 2y = 10
8x
= 16
de donde x = 2. Sustituyendo ahora este valor en cualquiera de las ecuaciones, se obtiene el valor de
y; hag´
amoslo, por ejemplo, en la primera:
3 · 2 − 2y = 6 ⇐⇒ −2y = 0 ⇐⇒ y = 0.
La soluci´
on del sistema es pues (2, 0).
13
Tema 3
2x − 3y = 5,
3x + 4y = 7.
Lo que se pretende es eliminar una de las dos inc´
ognitas. Como los coeficientes de y tienen signo
opuesto, basta con multiplicar por 4 la primera ecuaci´
on y por 3 la segunda, sumando despu´es las
ecuaciones resultantes:
×4
2x − 3y = 5 −−→ 8x − 12y = 20
Ejemplo 3.3 Resolver, por el m´etodo de reducci´
on, el sistema
×3
3x + 4y = 7 −−→ 9x + 12y = 21
17x
= 41
41
on por −3 y la segunda por
de donde x = . Para eliminar x, podemos multiplicar la primera ecuaci´
17
2, sumando a continuaci´
on:
×−3
2x − 3y = 5 −−−→ −6x + 9y = −15
×2
3x + 4y = 7
con lo que y = −
−−→
6x + 8y =
17y =
14
−1
1
.
17
3.2. Sistemas de primer grado con tres inc´ognitas
Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres inc´
ognitas es de la forma

 a1 x + b1 y + c1 y =d1 ,
a x + b2 y + c2 y =d2 ,
 2
a3 x + b3 y + c3 y =d3 .
En una de las tres ecuaciones podremos despejar una inc´
ognita y sustituirla en las otras dos, obteniendo
as´ı un sistema de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas, que podemos resolver utilizando cualquiera de
los m´etodos estudiados anteriormente.
Las soluciones obtenidas se sustituyen en la expresi´
on de la primera inc´
ognita despejada, hallando
de este modo su valor.
Ejemplo 3.4 Resolver el sistema

 3x − 4y − 2z = 2,
x + 5y + 3z = 5,

2x + y − z = 11.
En la segunda ecuaci´
on despejamos x:
x = 5 − 5y − 3z,
y sustituimos el valor de esta inc´
ognita en las otras dos ecuaciones:
3(5 − 5y − 3z) − 4y − 2z = 2
−19y − 11z = −13
⇐⇒
2(5 − 5y − 3z) + y − z = 11
−9y − 7z =
1
Resolvemos ahora este sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas:
−9
−19y − 11z = −13 −−→
−9y −
7z =
1
19
−→
171y +
99z = 117
−171y −
133z = 19
−34z = 136
14
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
con lo que z = −4. Por otro lado,
−7
−19y − 11z = −13 −−→
−9y −
7z =
1
11
−→
133y + 77z =
91
−99y − 77z = 11
34y
= 102
de donde y = 3. Sustituyendo los valores de y y z en la expresi´
on de x se obtiene finalmente
x = 5 − 5 · 3 − 3(−4) = 2,
de manera que la soluci´
on del sistema es la terna (2, 3, −4).
4. Sistemas de ecuaciones de grado superior
4.1. Sistemas de segundo grado con dos inc´ognitas
Como el grado de un sistema es el producto de los grados de las ecuaciones que lo componen, para
que un sistema de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas sea de segundo grado, deber´
a estar formado por
una ecuaci´
on de primer grado y otra segundo. Luego su forma normal es
ax + by = c,
mx2 + ny 2 + pxy + qx + ry + s = 0,
donde a, b, c, m, n, p, q, r, s son n´
umeros reales.
Para resolver un sistema de segundo grado, puede emplearse el m´etodo de sustituci´
on, despejando
una inc´
ognita en la ecuaci´
on de primer grado y sustituyendo en la de segundo grado. Resulta as´ı una
ecuaci´
on de segundo grado con una inc´
ognita cuyas ra´ıces, sustituidas en la expresi´
on de la inc´
ognita
despejada, nos proporciona los valores correspondientes a ´esta.
Ejemplo 4.1
3x + y = 5,
x2 − y 2 = 3.
Despejando y en la primera ecuaci´
on y sustituyendo su expresi´
on en la segunda se obtiene:
1) Resolver el sistema
y = 5 − 3x =⇒ x2 − (5 − 3x)2 = 3 =⇒ 4x2 − 15x + 14 = 0.
Resolvemos ahora esta ecuaci´
on de segundo grado:

√
 x1 =2,
15 ± 225 − 224
15 ± 1
x=
=
=⇒
7
 x2 = .
8
8
4
7
7
1
Si x1 = 2 entonces y1 = 5 − 3 · 2 = −1. Si x2 = entonces y2 = 5 − 3 = − . De este modo las
4
4
4
7
1
soluciones del sistema son x1 = 2, y1 = −1, x2 = e y2 = − .
4
4
x + y = 8,
2) Resolver el sistema
xy = 12.
Despejando x de la primera ecuaci´
on y sustituyendo en la segunda se tiene que
x = 8 − y =⇒ (8 − y)y = 12 =⇒ y 2 − 8y + 12 = 0 =⇒
√
8 ± 64 − 48
8±4
y1 =6,
=
=⇒
=⇒ y =
y2 =2.
2
2
Si y1 = 6 se tiene que x1 = 8 − 6 = 2, y si y2 = 2 entonces x2 = 8 − 2 = 6, de modo que las soluciones
del sistema son (2, 6) y (6, 2).
15
Tema 3
4.2. Sistemas de dos ecuaciones de segundo grado
Aplicando el m´etodo de sustituci´
on a un sistema de dos ecuaciones de segundo grado –cuando
sea posible hacerlo sin demasiadas complicaciones–, se llega a ecuaciones de cuarto grado que s´
olo
podemos resolver en casos especiales –por ejemplo, si son bicuadradas–.
2x2 + y 2 = 17,
Ejemplo 4.2 Para resolver el sistema
despejamos x en la segunda ecuaci´
on y susxy = 6,
tituimos en la primera:

6


 x= ,
y
2
6


+ y 2 = 17.
 2
y
Resolviendo la segunda ecuaci´
on:
De este modo,
72
+ y 2 = 17 =⇒ y 4 − 17y 2 + 72 = 0 =⇒
y2

y1

2 = 8
√

y

289
−
288
17
±
17
±
1
y
2
=⇒ y 2 =
=
=⇒
 2
y3
2
2

 y = 9
y4
√
=
2 √2
= −2 2
= −3
=
3
√
√
√
√
6
3 2
6
3 2
√ =−
y1 = 2 2 =⇒ x1 = √ =
, y2 = −2 2 =⇒ x2 =
,
2
2
2 2
−2 2
6
6
y3 = −3 =⇒ x3 =
= −2, y4 = 3 =⇒ x4 = = 2.
−3
3
!
!
√
√
√
3 2 √
3 2
,2 2 , −
, −2 2 , (−2, −3), (2, 3).
De este modo, se han obtenido cuatro soluciones:
2
2
En otros sistemas resulta sencillo eliminar una de las inc´
ognitas empleando el m´etodo de reducci´
on.
2
x + 3y 2 = 49/4
Ejemplo 4.3 Resolver el sistema
8x2 − y 2 = −2
Usando el m´etodo de reducci´
on resulta:
x2 + 3y 2 = 49/4
8x2
−
y2
= −2
×8
−−→
×−1
−−−→
8x2 + 24y 2 =
−8x2
+
98
y2
=
2
25y 2 = 100
de donde se obtienen y1 = −2 e y2 = 2. Ahora bien, sustituyendo estos valores en la primera ecuaci´
on
del sistema se obtiene:
49
1
1
=⇒ x2 = =⇒ x = ± ,
4
4
2
49
1
1
y2 = 2 =⇒ x2 + 12 =
=⇒ x2 = =⇒ x = ± ,
4
4
2
1
1
1
1
con lo que las soluciones del sistema son los pares
, −2 , − , −2 ,
,2 , − ,2 .
2
2
2
2
y1 = −2 =⇒ x2 + 12 =
16
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
4.3. Problemas con dos o m´as inc´ognitas
En ocasiones, en la resoluci´
on de un problema, es bastante complicado encontrar una cantidad
clave a partir de la cual podamos expresar matem´
aticamente las relaciones de un problema. En ese
caso se pueden considerar dos o m´
as inc´
ognitas, indicadas usualmente por x, y, z, . . . y, expresando
las relaciones existentes entre estas inc´ognitas y los datos conocidos, formar tantas ecuaciones como
inc´
ognitas hayamos introducido.
El procedimiento seguido para este tipo de problemas es, sustancialmente, el que se ha establecido
para los problemas con una inc´
ognita. La u
´nica diferencia reside en que, como hemos apuntado antes,
se han de formar tantas ecuaciones como inc´
ognitas se hayan fijado. Consideremos varios ejemplos.
Problema 1.– Las dos cifras de un n´
umero suman 12. Hallar dicho n´
umero, sabiendo que si se invierte
el orden de sus cifras, el n´
umero disminuye en 36.
Recordemos que un n´
umero de tres cifras, por ejemplo, 528, se puede expresar de la siguiente
forma:
528 = 5 · 100 + 2 · 10 + 8.
As´ı, si x e y indican, respectivamente, las decenas y las unidades de un n´
umero de dos cifras,
dicho n´
umero ser´
a
10x + y;
mientras que el n´
umero que se obtiene al invertir las cifras del anterior ser´
a
10y + x.
Teniendo en cuenta los datos del problema, podemos establecer el sistema
x + y = 12,
10x + y − 36 = 10y + x,
que tiene como soluci´
on x = 8 e y = 4, con lo que el n´
umero buscado es el 84.
Problema 2.– Si se aumenta la longitud de un campo rectangular en 5 m y la anchura en 7 m, la
superficie aumenta en 830 m2 ; mientras que si se disminuye la longitud en 8 m y la anchura en
4 m, la superficie disminuye en 700 m2 . Calcular las dimensiones del campo.
y+7
y
y−4
x−8
x
x+5
17
Tema 3
Si x e y representan, en metros, la longitud y la anchura, respectivamente, el a´rea del campo
ser´
a xy m2 . El a´rea aumentada ser´
a xy + 830, mientras que las dimensiones aumentadas del
campo son x + 5 e y + 7, con lo que debe ser (x + 5)(y + 7) = xy + 830. El a´rea disminuida
ser´
a xy − 700, y las nuevas dimensiones son x − 8 e y − 4, de modo que (x − 8)(y − 4) = xy − 700.
De este modo, podemos escribir el sistema
(x + 5)(y + 7) =xy + 830,
(x − 8)(y − 4) =xy − 700,
7x + 5y =795,
que, despu´es de simplificar, resulta
cuya soluci´
on es x = 75 e y = 54. Entonces
4x + 8y =732,
la longitud del campo es de 75 m y su anchura de 54 m.
Problema 3.– Dos trenes salen al mismo tiempo desde dos puntos distantes 576 km. Cuando van al
encuentro, lo hacen en 4 horas. Cuando ambos van en la misma direcci´
on, el m´
as veloz alcanza
al m´
as lento despu´es de 16 horas. Hallar las velocidades de los dos trenes.
A
v2
|
576 km
v2
|
B
v1
|
|
Sea v1 la velocidad del tren m´
as r´
apido y v2 la del m´
as lento.
El espacio recorrido por cada tren despu´es de 4 horas es 4v1 y 4v2 , respectivamente, de donde
la ecuaci´
on que se obtiene es 4v1 + 4v2 = 576.
Por otro lado, despu´es de 16 horas, los espacios recorridos son 16v1 y 16v2 , de manera que la
ecuaci´
on es 16v1 = 16v2 + 576.
Tenemos as´ı las dos ecuaciones que resuelven el problema:
4v1 + 4v2 = 576,
6v1 = 16v2 + 576,
cuyas soluciones son v1 = 90 km/h y v2 = 54 km/h.
5. Inecuaciones
5.1. Inecuaciones y desigualdades
Escribir una desigualdad es expresar matem´
aticamente que una expresi´
on A es mayor o menor
que otra B:
A > B o A < B.
A la expresi´
on A la llamaremos primer miembro de la desigualdad, y a la expresi´
on B, segundo
miembro.
Cuando se desea expresar el conjunto de todos los n´
umeros mayores que 8, se hace por medio de
la siguiente inecuaci´
on:
x > 8,
y en la recta real lo representamos por medio del intervalo infinito (8, +∞):
18
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
c
b
R
8
Para indicar el conjunto de todos los n´
umeros reales comprendidos entre 9 y 10, escribimos la inecuaci´
on
doble 9 < x < 10, que geom´etricamente expresa el intervalo (9, 10):
bc
bc
R
9
10
La inecuaci´
on x ≤ a indica el conjunto de todos los n´
umeros reales menores o iguales que a:
b
R
a
Llamamos inecuaci´
on a una desigualdad en la que aparece alguna variable en alguno de sus miembros.
Resolver una inecuaci´
on es determinar el conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
Mientras que una ecuaci´
on se satisface s´
olo para determinados valores de sus inc´
ognitas, las inecuaciones tienen infinitas soluciones, que son todos los n´
umeros pertenecientes a determinados intervalos.
Dos inecuaciones se dicen equivalentes si se satisfacen para los mismos valores.
Los principios que rigen a las desigualdades son los siguientes:
1) Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta la misma expresi´
on, se obtiene una
nueva desigualdad del mismo sentido:
a > b =⇒ a ± c > b ± c.
Ejemplo 5.1
8 > 5 =⇒
8 + 3 > 5 + 3,
8 − 7 > 5 − 7.
2) Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido que las primeras:
a > b
+
c > d
a+c > b+d
Ejemplo 5.2
3 < 5
+ −7 < −2
−4 < 3
3) Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un n´
umero positivo, obtenemos
una nueva desigualdad del mismo sentido. Si el n´
umero es negativo, la desigualdad cambia de
sentido:
a > b =⇒ ac > bc, ∀ c > 0; a > b =⇒ ac < bc, ∀ c < 0.
Ejemplo 5.3
3 > 1 =⇒ 3 · 2 = 6 > 2 = 1 · 2,
3 > 1 =⇒ 3(−2) = −6 < −2 = 1(−2).
19
Tema 3
Consecuencias:
a) Si cambiamos de signo todos los t´erminos de una desigualdad, ´esta cambia de sentido, pues
estamos multiplicando ambos miembros por −1.
b) Podemos eliminar los denominadores de una desigualdad, multiplicando todos los t´erminos por
un m´
ultiplo del denominador com´
un, teniendo siempre en cuenta el signo de ese m´
ultiplo.
4) Si a y b tienen el mismo signo,
a < b =⇒
1
1
> .
a
b
Ejemplo 5.4
1
1
> ,
3
4
3 < 4 =⇒
1
1
−5 > −8 =⇒ − < − .
5
8
5) Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural impar,
resulta una desigualdad del mismo sentido.
Ejemplo 5.5
−3 < −2 =⇒ (−3)3 < (−2)3 .
6) Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural par,
a) el sentido de la desigualdad no cambia si los dos miembros son positivos;
Ejemplo 5.6
3 < 5 =⇒ 32 = 9 < 25 = 52 ;
b) se invierte el sentido de la desigualdad si los dos miembros son negativos;
Ejemplo 5.7
−7 < −2 =⇒ (−7)2 = 49 > 4 = (−2)2 ;
c) no se puede predecir el sentido de la desigualdad si los miembros tienen distinto signo.
Ejemplo 5.8
−5 < 2 =⇒ (−5)2 = 25 > 4 = 22 ,
−2 < 3 =⇒ (−2)2 = 4 < 9 = 32 .
Los principios expuestos para las desigualdades son perfectamente v´
alidos para las inecuaciones. En
efecto, si una vez resuelta la inecuaci´
on, sustituimos en la variable uno de los valores hallados, obtenemos una desigualdad en la que se cumplen todos estos principios; y esto para todo valor que satisfaga
la inecuaci´
on.
5.2. Inecuaciones de primer grado
Una inecuaci´
on es de primer grado si despu´es de realizar las operaciones necesarias para suprimir
par´entesis y denominadores, y reducir t´erminos semejantes, queda en la forma
ax > b.
Si a > 0 entonces x >
b
b
, y si a < 0 entonces x < .
a
a
20
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
Ejemplo 5.9 Para la resoluci´
on de la inecuaci´
on 3(x + 2) > 5 + 5x procedemos como sigue:
1
3x + 6 > 5 + 5x ⇐⇒ 3x − 5x > 5 − 6 ⇐⇒ −2x > −1 ⇐⇒ 2x < 1 ⇐⇒ x < .
2
La representaci´
on geom´etrica de esta soluci´
on viene dada por
bc
R
1
2
5.3. Sistemas de inecuaciones en una variable
Un sistema de inecuaciones en una variable est´
a formado por un conjunto de inecuaciones en
la misma variable.
La soluci´
on de tal sistema estar´
a formada por el conjunto de n´
umeros reales que verifiquen, a
la vez, todas las inecuaciones. Para hallar esta soluci´
on, se resuelven, por separado, cada una de las
inecuaciones y, a continuaci´
on, se toman los valores comunes a todas estas soluciones.
Ejemplo 5.10

2x − 2 5 − 2x


+
< 1,
5
1
1) Resolver el sistema

 x + 2 + 2x − 3 > 3 .
3
4
4
Resolviendo las dos inecuaciones por separado se tiene que
6x − 6 + 25 − 10x < 15
−4x < −4
x>1
=⇒
=⇒
4x + 8 − 6x + 9 > 9
−2x > −8
x<4
1
4
c
b
x>1
bc
x<4
1<x<4
Es f´
acil observar que la soluci´
on viene dada por la doble desigualdad 1 < x < 4.

13x − 2
3x − 2 x + 1

−1<
+
,

12
10
5
2) Resolver el sistema
2
2
(2x + 1) − 8 ≤ (2x − 1) ,


(x + 1)(x − 1) > (x − 2)2 − 3.
Resolviendo separadamente las inecuaciones se tiene que




 65x − 10 − 60 < 18x − 12 + 12x + 12
 35x < 70
 x<2
x≤1
4x2 + 4x + 1 − 8 ≤ 4x2 − 4x + 1
=⇒
8x ≤ 8
=⇒
1
 2


2

x − 1 > x − 4x + 4 − 3
4x > 2
x>
2
21
Tema 3
1
2
1
2
bc
x<2
b
x≤1
c
b
x > 1/2
1
<x≤1
2
La soluci´
on a este sistema es
1
< x ≤ 1.
2
5.4. Inecuaciones de segundo grado
Una inecuaci´
on es de segundo grado si, aplicando los principios de las desigualdades, queda
reducida a la forma
ax2 + bx + c ≶ 0.
Para la resoluci´
on de esta inecuaci´
on, es necesario estudiar el signo del trinomio de segundo grado
2
P (x) = ax + bx + c. Seg´
un sea el valor del discriminante –recu´erdese que ´este era ∆ = b2 − 4ac–, se
pueden presentar tres casos:
Si ∆ > 0, la ecuaci´
on asociada al trinomio tiene dos ra´ıces reales y distintas, x1 y x2 , que
supondremos x1 < x2 . En este caso se tiene que
P (x) = ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
Para conocer el signo del trinomio, nos bastar´
a conocer el signo de los tres factores: a, x − x1 y
x − x2 .
Las ra´ıces x1 y x2 dividen la recta real en tres intervalos, como aparecen en la siguiente figura:
I1
I2
I3
|
|
x1
x2
R
Si x ∈ I1 entonces x < x1 y x < x2 , es decir, x−x1 < 0 y x−x2 < 0, con lo que (x−x1 )(x−x2 ) > 0.
De este modo, el trinomio P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) tendr´
a el mismo signo que su primer
coeficiente.
Si x ∈ I2 , entonces x1 < x < x2 de donde x−x1 > 0 y x−x2 < 0, con lo que (x−x1 )(x−x2 ) < 0.
As´ı, el trinomio P (x) tendr´
a signo contrario al de a.
Cuando x ∈ I3 se tiene que x > x1 y x > x2 , esto es, x − x1 > 0 y x − x2 > 0, de manera que
P (x) tendr´
a el mismo signo que el primer coeficiente.
Si ∆ = 0 entonces la ecuaci´
on asociada al trinomio posee una ra´ız doble y se tiene que
P (x) = a(x − x1 )2 .
Como las dos soluciones coinciden, el intervalo I2 se reduce al punto x1 , quedando u
´nicamente
2
los intervalos I1 e I3 . Como (x − x1 ) siempre es positivo, el signo del trinomio ser´
a siempre igual
al signo de su primer coeficiente, y se anula para el valor x = x1 .
22
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
Si ∆ < 0, las ra´ıces de la ecuaci´
on no son reales, y puede probarse que (x − x1 )(x − x2 ) > 0,
∀ x ∈ R. En este caso el signo del trinomio ser´
a siempre igual al de su primer coeficiente y nunca
se anular´
a.
Ejemplo 5.11
1) Resolver la inecuaci´
on 6x2 + 5x + 1 > 0.
1
1
y x2 = − . Como tiene ra´ıces distintas, el trinomio toma el
2
3
1
1
signo positivo –el de su primer coeficiente– en x < − y x > − , cuya representaci´
on geom´etrica
2
3
viene dada por
Los ceros del trinomio son x1 = −
x<−
1
2
c
b
bc
1
−
2
−
x>−
1
3
1
3
R
3(x2 − 1)
5
> 3x2 + .
4
2
Multiplicando los dos miembros por 4 obtenemos:
2) Resolver la inecuaci´
on
3(x2 − 1) > 12x2 + 10 ⇐⇒ −9x2 − 13 > 0 ⇐⇒ 9x2 + 13 < 0.
La ecuaci´on asociada a esta inecuaci´
on es 9x2 + 13 = 0, la cual no posee ra´ıces reales ya que
2
9x + 13 > 0, ∀ x ∈ R, de modo que la inecuaci´
on no posee soluci´
on alguna.
3) Hallar los valores de x que satisfacen la inecuaci´
on
(3 + 2x)(x − 1)
(x − 1)2 − 1
1+x
≤
+1−
3
4
2
Quitando denominadores y reduciendo t´erminos semejantes se obtiene la inecuaci´
on
5x2 + 16x − 18 ≤ 0.
4
. El trinomio es negativo, esto es, posee
5
4
signo contrario al de su primer coeficiente, en −4 ≤ x ≤ , cuya representaci´
on gr´
afica es la que
5
sigue:
Las ra´ıces de la ecuaci´
on asociada son x1 = −4 y x2 =
b
−4
b
4
5
R
23
Tema 3
5.5. Inecuaciones polin´omicas de grado superior al segundo
Una inecuaci´
on polin´
omica de grado superior al segundo se presenta, en su forma normal, bajo la
expresi´
on
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a1 x + a0 ≶ 0.
Si P (x) se puede descomponer en factores de primer o segundo grado, la resoluci´
on de la inecuaci´
on
se basar´
a en la regla de los signos del producto, y resultar´
a relativamente f´
acil, como puede apreciarse
en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 5.12
1) Resolver la inecuaci´
on x3 − x2 − 6x < 0.
Sacando x factor com´
un se tiene que x(x2 − x − 6) < 0, y descomponiendo el trinomio de segundo
grado que va entre par´entesis, se obtiene
x(x − 3)(x + 2) < 0.
Obs´ervese la figura siguiente:
I
−2
II
|
x
x−3
x+2
0|
III
3|
+
IV
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
+
−
−
bc
+
bc
bc
Aplicando la regla de los signos, se puede apreciar f´
acilmente que la inecuaci´
on propuesta se satisface
en los intervalos x < −2 y 0 < x < 3, ya que en los cuatro intervalos los signos que intervienen son
I
II
III
IV
−·−·−=− −·−·+=+ +·−·+=− +·+·+=+
2) Resolver la inecuaci´
on 4x2 − x3 − 10x + 12 ≥ 0.
Descomponiendo el polinomio en factores resulta
(x − 2)(−x2 + 2x − 6) ≥ 0
El primer factor es positivo para x > 2, mientras que el segundo est´
a formado por trinomio cuyo
discriminante es negativo, por lo que siempre tendr´
a el signo negativo de su primer coeficiente.
Representando los resultados como en el ejemplo anterior, tendremos la figura siguiente:
24
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
I
−x2
+
−
x−2
+ 2x − 6
II
2|
b
−
−
+
−
La inecuaci´
on se verifica para x ≤ 2 ya que
I
II
−·−=+ +·−=−
5.6. Inecuaciones fraccionarias
Una inecuaci´
on es fraccionaria cuando la variable se encuentra en el denominador de una fracci´
on.
En este caso no podemos quitar el denominador, ya que el denominador com´
un, que depende de la
inc´
ognita, puede ser positivo, negativo o nulo, seg´
un el valor de la variable. Lo que suele hacerse es
transponer todos los t´erminos al primer miembro, reducir todo a com´
un denominador y estudiar el
signo de la expresi´
on resultante.
Ejemplo 5.13 Hallar los valores de x para los que se verifica la inecuaci´
on
3x − 2
2x − 1
−1≥
.
x−1
x+1
Tenemos que
3x − 2
2x − 1
3x − 2
2x − 1
−1 ≥
⇐⇒
−1−
≥ 0 ⇐⇒
x−1
x+1
x−1
x+1
4x − 2
2(2x − 1)
⇐⇒
≥ 0 ⇐⇒
≥ 0.
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1)
Para que la fracci´
on sea positiva, no influye el 2 del numerador. Para que el numerador sea positivo,
1
debe ser x > , y para que los factores del denominador sean positivos, tendremos que x > 1 y x > −1.
2
Utilizando la representaci´
on acostumbrada, resulta
I
−1
II
|
2x − 1
x−1
x+1
1
2
III
|
1|
+
IV
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
+
−
−
b
+
bc
bc
Tema 3
La fracci´
on es positiva en los intervalos −1 < x ≤
25
1
y x > 1, ya que
2
I
II
III
IV
−·−·− = − −·−·+ = + +·−·+ =− +·+·+ = +
5.7. Soluciones reales de una ecuaci´on de segundo grado
Para que las soluciones de una ecuaci´
on de segundo grado sean reales, es suficiente con que su
discriminante sea positivo o nulo.
Si entre los coeficientes de la ecuaci´
on se encuentra una variable, es necesario ver para qu´e valores
de esa variable las ra´ıces son reales. Las inecuaciones nos resuelven el problema, como se puede ver en
estos ejemplos:
Ejemplo 5.14
1) Hallar los valores de k para que la ecuaci´
on x2 − 2x + 3k = 0 tenga soluciones reales.
Para esto es necesario que el discriminante sea positivo o nulo:
1
4 − 12k ≥ 0 ⇐⇒ k ≤ .
3
1
Consecuentemente, para cualquier valor de k menor que
la ecuaci´
on tiene dos ra´ıces reales
3
1
distintas; para k igual a el discriminante es nulo y la ecuaci´
on tiene una ra´ız doble.
3
2) Hallar los valores de m para que la ecuaci´
on x2 − 2mx + (3m − 2) = 0 tenga ra´ıces reales.
∆ = 4m2 − 12m + 8 ≥ 0 ⇐⇒ m2 − 3m + 2 ≥ 0 ⇐⇒
√
3± 9−8
m1 = 2
⇐⇒ m =
⇐⇒
m2 = 1
2
Como el trinomio tiene dos ra´ıces reales distintas y su primer coeficiente es positivo, la inecuaci´
on
se verificar´
a para m ≤ 1 y m ≥ 2.
6. Ejercicios propuestos
(1) Resuelve las siguientes ecuaciones enteras:
a)
b)
c)
d)
e)
x−3 x−8
5−x x
−
=
− ;
2
12
3
4
3−x
x−2
x
1
+4 x−2
−3 1−
− x+
= 23;
3
3
6
2
1 2x + 5 x + 3
1 5 10x − 5
−
=
+
− (2x − 3) ;
2
3
2
5 4
3


1
x
+
1−x 
2  = (4x − 3)(3x − 4);
x−
3
3
1−
1−
4
4
2 2
1
2x − 3
2
x−
−
−1
−1
2
2
= 3
.
1 1
2
−
6 2
26
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
(2) Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias:
a)
b)
c)
d)
e)
3x
2x − 1
+
= 2;
3x + 1 2x + 2
(x − 1)2 − (x − 2)2 x + 1
x−1
+
=
;
2
x −1
x−1
x+1
(x − 1)2 − (x + 2)2
= 4;
1 2
x−
− (x + 1)2
2
3
1
7 + 5x
−
+
= 0;
x + 4 1 − x (x + 4)(1 − x)
1
4 x
+
− 1− x
x
3 2
6
+1+
= 0.
3 x
2
−
x−
4 3
3
(3) Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior reducibles a otras de primer grado:
a) (x2 − 6x + 9)(x2 − a2 ) = 0;
b) x4 − 5x2 + 4 = 0;
c) x3 − 2x2 + x = 0.
(4) Descomp´
on el n´
umero 133 en dos partes tales que, al dividir la parte mayor por la menor, nos
d´e 4 de cociente y 8 de resto.
(5) Un hijo tiene 30 a˜
nos menos que su padre y ´este tiene 4 veces la edad del hijo. ¿Qu´e edad tiene
cada uno?
(6) En un corral hay conejos y gallinas. En total suman 53 cabezas y 176 patas. ¿Cu´
antos conejos y
gallinas hay?
(7) Halla un n´
umero de dos cifras cuya suma es 10 y tal que el doble de dicho n´
umero supera en una
unidad al n´
umero obtenido invirtiendo sus cifras.
(8) Busca dos n´
umeros consecutivos tales que, a˜
nadiendo al mayor la mitad del menor, el resultado
excede en 13 a la suma de la quinta parte del menor con la onceava parte del mayor.
(9) Dos coches de l´ınea salen simult´
aneamente desde dos ciudades que distan entre s´ı 600 km. Si uno
lleva una velocidad de 56 km/h, y el otro de 64 km/h, ¿despu´es de cu´
anto tiempo y a qu´e distancia
de las dos ciudades se encontrar´
an?
(10) En un tri´
angulo rect´
angulo, un cateto mide 24 cm y la hipotenusa supera en 18 cm al otro cateto.
Busca el per´ımetro y el a´rea del tri´
angulo.
(11) El per´ımetro de un trapecio is´
osceles mide 196 m y cada lado oblicuo mide 34 m. Halla las bases
3
y el a´rea del trapecio, sabiendo que una base es de la otra.
5
(12) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 4x2 − 32x = 0;
b) 12x2 − 18 = 0;
Tema 3
27
c) 21x − 100 = x2 + 21 − x;
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2x2 − 1 x − 1
1−x
−
=
;
2
3
6
√
√
√
(x − 6)(x + 6) = 3(x + 1) − (x + 6);
6 − x 3(x − 4)
x−2
−
=
;
3
6+x
2
2x − 1 x − 7
3x − 1
−
=4−
;
x+1
x−1
x+2
3−1 (x + 4) − (7 − x)(x − 3)−1 = 9−1 (4x + 7) − 1;
x + 1 x + 12
x+2
−
−1+
= 0.
x−1
x+1
x−2
(13) Escribe la forma can´
onica de las siguientes ecuaciones y halla la suma y el producto de sus ra´ıces:
a) 3x2 + 2x − 5 = 0;
b) x + 2x2 − 5 = 0;
c) 3 = x2 − 2x;
d) (x − a)2 + 2 = x.
(14) Determina las ecuaciones de segundo grado que tienen por suma y producto de ra´ıces los valores
que a continuaci´
on se se˜
nalan:
a) s = 5,
p = 6;
b) s = −5, p = 6;
5
1
c) s = − , p = − ;
6
6
1
1
d) s = , p = − ;
2
9
√
√
e) s = 3 − 1, p = − 3;
√
√
3+1
3
f) s = √ , p =
.
3
3
(15) Forma las ecuaciones cuyas ra´ıces son:
a) x1 = −1,
b) x1 = 3,
x2 = 4;
x2 = 5;
3
x2 = − ;
2
d) x1 = a − b, x2 = a + b;
√
√
e) x1 = 1 − 3, x2 = 1 + 3.
c) x1 = −2,
(16) Descomp´
on en factores los siguientes polinomios:
a) P (x) = x2 − 5x + 6;
b) P (x) = 3x2 − 10x + 3;
c) P (x) = x3 − x2 − 12x;
d) P (x) = (x − 3)2 − 2(x − 4) − 1.
(17) Halla el valor de k para que las dos ra´ıces de la ecuaci´
on 3x2 − 8x − 3k = 0 sean iguales.
28
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
(18) Determina b en la ecuaci´
on x2 + bx + 21 = 0, teniendo en cuenta que la diferencia de sus ra´ıces es
4.
(19) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) x4 − 29x2 + 100 = 0;
5
1
b) x4 − x2 + = 0;
4
4
225
c) 34 − x2 = 2 ;
x
2
9(1 − x)
x (2x − 5)
=
;
d)
x+1
2x + 5
√
√
x− 6
3−x
√ .
e) √
=
2
3+x
2x (x + 6)
(20) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
√
a) 7 − 3x − x = 7;
√
√
b) x + 4 = 3 − x − 1;
√
√
c) 2x − 1 + x + 4 = 6;
d) 2(2x − 1)1/2 = (6x − 5)1/2 + (2x − 9)1/2 ;
e) (2x − 1)1/2 + (2x + 1)1/2 = (2x − 1)−1/2 ;
√
√
21
f) √
− 6x + 1 = 2 3x.
6x + 1
(21) Halla dos n´
umeros consecutivos cuyo producto sea 182.
(22) Halla tres n´
umeros impares consecutivos tales que sus cuadrados sumen 5051.
(23) Dentro de 11 a˜
nos, la edad de Pedro ser´
a la mitad del cuadrado de la edad que ten´ıa hace 13 a˜
nos.
Calcula la edad de Pedro.
(24) Las dos cifras de un n´
umero suman 11 y el producto de dicho n´
umero por el que se obtiene de
invertir sus cifras es 3154. Halla dicho n´
umero.
(25) En un tri´
angulo rect´
angulo, la hipotenusa mide 13 cm. Averigua las longitudes de los catetos,
sabiendo que su diferencia es de 7cm.
(26) El per´ımetro de un tri´
angulo rect´angulo es 90 m y el cateto mayor tiene 3 m menos que la
hipotenusa. Halla los tres lados del tri´
angulo.
(27) Resuelve los siguientes sistemas:
3x − 4y = −9
a)
;
2x + y =
5
x − (y + 1) = 3
b)
;
y + (x + 3) = 4
10(x − 2) + y = 1
;
c)
x + 3(x − y) = 5
Tema 3
29

x−y x−y


+
= 5
2
3
d)
;
x+y


+y = 3
7
(
x − 2(x + y) = 3y − 2
x y
e)
;
+
= 3
3 2

3(x
− y)
2 + y 5x − y


=
−
4
4
6
f)
.
2y
−
7x
x
−
y
x

 1+
=
+
12
2
2
(28) Resuelve los siguientes

 x+y+z =
x − 2y + 3z =
a)

x + 3y + 4z =

 x − 3y = 1
9y − z = 1 .
b)

2x − z = 1
sistemas con tres inc´
ognitas:
4
13 ;
11
(29) Resuelve los siguientes sistemas:
2
x + y 2 = 290
;
a)
x + y = 24
x − 2y 2 = 0
;
b)
y + 5 = 3x
2
x − xy + y 2 = 7
;
c)
x+y =5
2x2 + 3y 2 = 11
d)
;
xy = 2
2x2 − 3y 2 = −6
;
e)
4x2 − y 2 = 8
4xy − 6y = 3
f)
.
3x − 8y = 5
(30) Halla dos n´
umeros cuya suma sea −2 y cuya diferencia sea 44.
(31) Dos motocicletas salen al mismo tiempo de dos lugares que distan 70 km entre s´ı. Halla la velocidad
media de los dos, sabiendo que si van en direcci´
on contraria, se cruzan despu´es de 40 minutos,
mientras que si van en el mismo sentido, el m´
as veloz alcanza al otro despu´es de 4 h 40 m.
(32) Halla dos n´
umeros tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4, la suma de los
cocientes es 15, mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5, la suma de los
productos es 174.
(33) En un corral hay gallinas y conejos; si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cu´
antos
animales hay de cada clase?
(34) El producto de dos n´
umeros es 4, y la suma de sus cuadrados es 17. ¿Cu´
ales son esos n´
umeros?
30
Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas
(35) Cuando se divide un n´
umero de dos cifras por el producto de las mismas, se obtiene un cociente
igual a 2; y al dividir el n´
umero que resulta invirtiendo el orden de las cifras, por la suma de ´estas,
el cociente obtenido es 7. ¿De qu´e n´
umero se trata?
(36) Descomp´
on el n´
umero 365 en dos sumandos, de tal modo que sean los cuadrados de dos n´
umeros
enteros consecutivos.
(37) La suma de un n´
umero con su inverso es
37
. Halla el n´
umero.
6
(38) El per´ımetro de un tri´
angulo is´
osceles es 16 dm y la altura de 4 dm. Halla dos lados de dicho
tri´
angulo.
(39) Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y
20 cm. Calcula la altura del trapecio.
(40) La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 dm. Si a las dos las aumentamos en 2 dm, el
a´rea aumenta en 16 dm2 . Busca las diagonales, el per´ımetro y el a´rea de dicho rombo.
(41) Resuelve las siguientes inecuaciones, representando la soluci´
on en la recta real:
a) 3 − x ≤ 6;
b) 2(x + 3) > 3(x + 2);
3x − 1
x−1 x+2
−
>
− x;
c)
4
3
6
d) (4x − 3)(2 + x) > (3 − 2x)2 ;
x−2
x−3
3−
+x
−x
4
2
e)
≤ (x − 2)(x − 3).
3
2−
2
(42) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado:
2x − 3 > x − 2
a)
;
3x − 7 < x − 1


 x−1 − x+3 ≤x
3
2
;
b)
4x − 2 x − 1


−
≥x
4
3
2
(x − 1) − (x + 3)2 ≤ 0
c)
;
x − 3(x − 1) ≥ 3

2

2 + (x + 2)2 > (2x − 3)

(x
−
1)


2
d)
(2x + 1)2 − (x − 3)2 < 3(x + 2)2 .



 x−1 +1>x
3
(43) Determina el signo de los trinomios siguientes:
a) x2 − 2x − 3;
b) x2 − 4;
c) 1 − x2 ;
Tema 3
d) 2x2 − 3x − 1.
(44) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
a) x2 − x − 6 > 0;
b) x2 + 3x − 4 ≤ 0;
c) x2 − 18 ≤ 0;
d) 10(2x − 1)(1 − 3x) + 5(1 − 3x)(4x − 1) < 3(1 − 4x)(5x − 1);
2 3x + 2
x−1 x
x−1 x
e)
+2 +
−
−
≥ 0;
2
3
2
3
2
f)
(x − 1)(x − 2) + (x2 − 1)
≤ 5(1 − x).
3
1−
4
(45) Resuelve las siguientes inecuaciones polin´
omicas:
a) x3 − 5x2 + 6x ≤ 0;
b) (x2 − 1)(x2 + 1) ≤ 0;
c) x3 − x2 − 4x + 4 < 0;
d) x(x2 + x + 3)(x − 1) ≤ 0.
(46) Resuelve las siguientes inecuaciones fraccionarias:
1
2
>
;
x−3
x+3
4 − x2
b) 2
≤ 0;
x −9
x(x − 1)(x + 3)
c)
≥ 0;
(x2 − 4)(x + 5)
a)
d)
x2 + 4
1
x+3
−
>
.
2
x −4 x−2
x+2
(47) Halla los valores de m para que las siguientes ecuaciones tengan ra´ıces reales:
a) 3x2 − mx + 3 = 0;
b) 2mx2 − mx + 1 = 0;
c) (m − 2)x2 − 2(3 − 2m)x − m + 2 = 0.
(48) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
2
x − 3x > 0
a)
;
x − 3x2 < 0
2
x −x−2>0
b)
;
12 + x − x2 ≥ 0
2
x − 5x > 0
c)
.
x2 − x − 2 ≤ 0
31

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