Soluciones. - ingeniería de sistemas y automática

Autómatas y Sistemas de Control
3o Ingeniería Industrial
Soluciones problemas propuestos sobre diseño en el dominio de la frecuencia.
PROBLEMA 1
(Problema 1, apartado a), del examen de Junio de 2004) Dado un sistema continuo cuya
función de transferencia en bucle abierto es:
G(s) =
s+2
(s + 0.8)(s2 + 3s + 5)
Diseñar una red de atraso de fase que permita alcanzar las siguientes especificaciones en
bucle cerrado:
Error de posición < 5 %.
Margen de fase de 35◦ .
Solución:
El sistema en bucle abierto es:
G(s) =
s+2
(s + 0.8)(s2 + 3s + 5)
Una red de atraso de fase tiene la siguiente fdt:
GR (s) =
1+T ·s
1+β·T ·s
con β > 1. Debemos calcular los parámetros T y β, pero previamente habrá que calcular
la ganancia K en bucle abierto para que se cumpla la especificación de error ep < 5 %:
ep =
1
< 0.05
1 + Kp
⇒
Kp > 19
La constante Kp del sistema G(s) en función de su ganancia es:
Kp = l´ım K · G(s) = l´ım K ·
s→0
s→0
K ·2
s+2
=
= 0.5K
2
(s + 0.8)(s + 3s + 5)
0.8 · 5
Forzaremos que Kp sea igual a 19 (su valor límite para cumplir la especificación):
0.5K = 19
⇒
K = 38
La ganancia del sistema deberá ser K = 38, por tanto a partir de ahora trabajaremos con
la función de transferencia K · G(s) = 38 · G(s).
El siguiente paso consiste en calcular el margen de fase γ0 del sistema para comprobar
si cumple la especificación pedida γ = 35◦ . Para ello calculamos previamente la frecuencia
de cruce de ganancia resolviendo la ecuación siguiente:
|38 · G(jωg )| = 1
1
⇒
⇒
jωg + 2
38 ·
=1 ⇒
(jωg + 0.8)((jωg )2 + 3(jωg ) + 5) p
38 · ωg2 + 22
q
=1
⇒ p
ωg2 + 0.82 · (5 − ωg2 )2 + (3ωg )2
Operando sobre esta última ecuación se obtiene:
ωg6 − 0.36ωg4 − 1419.64ωg2 − 5760 = 0
Resolviendo esta ecuación por tanteo o con ayuda de una calculadora, puede obtenerse la
solución:
ωg = 6.3 rad/s
La fase del sistema a esta frecuencia es:
ϕ = ∠ (38G(jωg )) = ∠ 38 ·
jωg + 2
(jωg + 0.8)((jωg )2 + 3(jωg ) + 5)
6.3
3 · 6.3
6.3
◦
− arctan
+ 180 + arctan
=
arctan
2
0.8
5 − 6.32
=
72.38◦ − (82.76◦ + 180◦ − 28.6◦ ) = −161.8◦
Por tanto, el margen de fase es:
γ0 = 180◦ + ϕ = 180◦ − 161.8◦ = 18.2◦
Este margen de fase es menor que el pedido (γ = 35◦ ), por tanto es necesario diseñar el
regulador para aumentarlo.
Calculamos la fase, φ, necesaria para obtener el margen de fase deseado, con un margen
de seguridad de 10◦ :
γ + 10◦ = 180◦ + φ
⇒
φ = γ + 10◦ − 180◦ = −135◦
A continuación calculamos la frecuencia ωgk para la que el sistema tendrá la fase deseada
(−135◦ ):
∠ (38 · G(jωgk )) = −135◦
⇒
38 · (jωgk + 2)
⇒
∠
= −135◦
⇒
2
(jωgk + 0.8)((jωgk ) + 3jωgk + 5)
!
ωgk
ωgk
3ωgk
− arctan
+ arctan
= −135◦
⇒
arctan
2
2
0.8
5 − ωgk
Resolviendo esta ecuación por tanteo o con ayuda de una calculadora se obtiene:
ωgk = 3.14
La frecuencia de corte
1
T
se situará una década previa a ωgk :
1
= 0.1 · ωgk = 0.1 · 3.14 = 0.314
T
2
⇒
T = 3.18
El parámetro β de la red es el módulo para la frecuencia ωgk :
38 · (3.18j + 2)
=
β = |38 · G(jωgk )| = 2
(3.18j + 0.8)((3.18j) + 3 · 3.18j + 5) 38 · 3.76
= 4.03
3.28 · 10.82
La red de atraso de fase diseñada resulta (incluyendo la ganancia):
=
GR (s) = 38 ·
1+T ·s
1 + 3.18s
= 38 ·
1+β·T ·s
1 + 12.8s
3
PROBLEMA 2
Dado un sistema cuyos datos experimentales de la respuesta en frecuencia se muestran
en la tabla siguiente, diseñar el controlador más sencillo posible que permita alcanzar las
siguientes especificaciones en bucle cerrado:
Error de posición ≤ 5 %.
Margen de fase ≥ 40◦ .
Nota: Puede usarse la plantilla adjunta para el trazado del diagrama de Bode.
Frecuencia (rad/s)
0.01
0.02
0.03
0.06
0.12
0.23
0.43
0.81
1.52
2.85
5.34
10
18.74
35.11
65.79
123.28
231.01
432.88
Magnitud (dB) Fase (grados)
7.6
−1.2
7.6
−2.2
7.6
−4.1
7.6
−8
7.6
−14.6
6.76
−26.1
5.17
−43.4
1.97
−63.1
−2.6
−80.6
−7.98
−96.3
−14.09
−113.3
−21.44
−133.3
−30.42
−152.5
−40.59
−167.3
−51.32
−178.4
−62.34
−189
−73.81
−202.2
−86.3
−219.5
Solución:
En la figura 1 se muestra el diagrama de Bode aproximado, obtenido a partir de la tabla
anterior.
Como especificación de error se desea que ep < 5 %, por tanto deberá cumplirse:
ep =
1
< 0.05
1 + Kp
⇒
Kp > 19
o, expresado en decibelios:
Kp > 25.57 dB
(25.57 = 20 log 19)
La constante de error de posición del sistema puede obtenerse a partir de diagrama de
Bode de magnitud a bajas frecuencias: puede observarse que cuando ω → 0 la curva de
magnitud es una recta de pendiente cero y valor 7.6 dB. Por tanto, la constante Kp del
sistema es
Kp = 7.6 dB
4
Figura 1: Diagrama de Bode del sistema original con ganancia K = 1.
o, en unidades de ganancia,
20 log Kp = 7.6
⇒
7.6
Kp = 10 20 = 2.4
⇒
Kp = 2.4
El sistema necesita, al menos, un valor Kp = 19. Por tanto, el regulador deberá aportar
una ganancia adicional K para que el sistema tenga una constante de error de posición
Kp = 19. Calcularemos esta ganancia K a partir de la expresión:
Kp = l´ım K · G(s) = K · l´ım G(s) = 19
s→0
s→0
5
⇒
⇒
K=
19
19
19
=
=
= 7.9 = 18 dB
l´ıms→0 G(s)
Kp
2.4
Por tanto, la ganancia que debe aportar el regulador es
K = 7.9
o, en decibelios,
K = 18 dB
Con esta nueva ganancia la curva de magnitud del diagrama de Bode de la figura 1 se
desplazará K = 18 dB hacia arriba, mientras que la fase no se modificará (ya que la fase de
una constante positiva es 0◦ ). Por tanto, el margen de fase del sistema se deberá calcular
con la curva de módulos desplazada hacia arriba 18 dB (figura 2). La nueva frecuencia de
cruce de ganancia se situará donde en el sistema original la ganancia era −18 dB.
Sobre esta última figura 2 puede calcularse, de forma aproximada, el margen de fase:
La frecuencia de cruce de ganancia (frecuencia a la que la ganancia es 0 dB) es ωg '
7.5 rad/s.
La fase a esta frecuencia ωg es, aproximadamente, φ = −125◦ .
Por tanto, el margen de fase del sistema es
γ0 = 180◦ + φ = 180◦ − 125◦ = 55◦
Puesto que este margen de fase es superior al pedido (γ = 40◦ ), es suficiente con un
regulador proporcional para cumplir todas las especificaciones:
GR (s) = 7.9
6
Figura 2: Diagrama de Bode con ganancia K = 18 dB.
7
PROBLEMA 3
Dado un sistema cuya respuesta en frecuencia obtenida experimentalmente se muestra en
la tabla siguiente, se pide:
(a) Calcular el margen de fase, margen de ganancia, frecuencia de cruce de fase y frecuencia de cruce de ganancia.
(b) Diseñar una red de adelanto de fase de manera que el error de posición sea ep ≤ 10 %
y el margen de fase γ ≥ 50◦ .
Nota: Puede usarse la plantilla adjunta para el trazado del diagrama de Bode.
Frecuencia (rad/s)
0.01
0.14
0.2
0.3
0.35
0.5
0.7
0.9
1.2
1.7
2.3
3.2
4.3
6
8.1
11.1
15.2
20.8
28.5
39
54
73
100
Magnitud (dB) Fase (grados)
20
−6
20
−8
20
−11
20
−16
20
−22
19.9
−30
19.8
−42
19.3
−59
18
−82
15.2
−109
10.8
−132
5.7
−151
0.3
−165
−5.3
−177
−11
−188
−17
−199
−23.2
−210
−30
−221
−37
−231
−44
−240
−52
−247
−60
−253
−68
−258
Solución:
Apartado a)
En la figura 3 se muestra el diagrama de Bode obtenido a partir de los datos de la tabla
anterior. A partir de este diagrama pueden calcularse de forma aproximada los parámetros
pedidos1 :
Frecuencia de cruce de ganancia:
ωg ' 4.5 rad/s
1
Realmente sólo sería necesario dibujar el diagrama de Bode en las proximidades de las frecuencias de
cruce, aunque aquí se ha dibujado completo.
8
Margen de fase:
γ ' 180◦ − 165◦ = 15◦
Frecuencia de cruce de fase:
ωϕ ' 6.5 rad/s
Margen de ganancia:
Kg ' 7 dB
Figura 3: Diagrama de Bode del sistema original.
9
Apartado b)
Una red de adelanto de fase tiene la siguiente función de transferencia:
GR (s) =
1 + Ts
1 + αT s
El primer paso es comprobar si el sistema cumple la especificación de error. Se pide
ep ≤ 10 %, por tanto debe cumplirse:
ep =
1
≤ 0.1
1 + Kp
⇒
Kp ≥ 9
A partir de la magnitud a bajas frecuencias puede obtenerse la constante Kp del sistema.
En el diagrama de Bode de magnitud puede observarse que cuando ω → 0, la magnitud es
20 dB. Por tanto, la constante Kp del sistema es 20 dB o, en unidades de ganancia:
⇒
20 log Kp = 20
Kp = 10
Puesto que este valor es mayor que 9, no es necesario que el regulador añada ganancia
adicional para cumplir la especificación de error (K = 1).
El margen de fase del sistema es γ0 = 15◦ , menor que el deseado (γ ≥ 50◦ ). El adelanto
de fase que debe aportar el regulador es (incluyendo un margen de seguridad del 10 %):
ϕm = 50◦ − 15◦ + 10 % = 35◦ + 10 % = 38.5◦
El parámetro α del regulador se calcula a partir de la expresión:
sen ϕm =
1−α
1+α
⇒
α=
1 − sen ϕm
= 0.23
1 + sen ϕm
α = 0.23
La frecuencia ωm a la que se produce el desfase
máximo en el regulador se calcula como
√
la frecuencia a la que el módulo vale 20 log α dB, es decir,
√
|G(jωm )|dB = 20 log α
⇒
⇒
|G(jωm )|dB = −6.38 dB
Usando el diagrama de Bode puede comprobarse que esta frecuencia es, aproximadamente:
ωm = 6.4 rad/s
A partir de ωm puede calcularse el parámetro T del regulador como:
1
1
√
T =√
=
= 0.33
α · ωm
6.4 · 0.23
Por tanto, la expresión final de la red de adelanto de fase queda:
GR (s) =
1 + Ts
1 + 0.33s
=
1 + αT s
1 + 0.076s
10

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