1 APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Docente: Roque Julio Vargas R. Departamento de Ciencias Básicas. Unidades Tecnológicas de Santander Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 2 GEOMETRÍA ANALÍTICA DISTANCIA A través de la historia de las matemáticas la distancia ha sido un concepto de gran trascendencia por su utilidad, desde la antigüedad se buscaron formas de determinarla, fue EUCLIDES, el gran matemático de la antigüedad y aún vigente por sus grandes aportes, quien dio una solución para hallar la distancia entre dos puntos. Con ayuda del teorema de Pitágoras definió la distancia entre dos puntos de la siguiente manera: Como: Por Pitágoras, donde: Entonces: Para señalar la distancia euclidiana se escribe Es pertinente aclarar que: ) la cual se halla por la fórmula anterior. LA RECTA Definición: una recta, es una línea de puntos colineales. Es decir, puntos ubicados uno tras de otro de tal manera que uno esconde al anterior al mirar la fila de frente. También el concepto de colineal, se puede explicar diciendo que cada punto de la línea recta no se sale de la fila. Características: toda recta tiene una grafica, una ecuación que la distingue, además, de los parámetros de la recta. Los parámetros de la recta se conocen como: Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 3 Pendiente: se simboliza con la letra m, está relacionada con la inclinación que la recta presenta, respecto al eje x. (abscisa). Intercepto: se simboliza por la letra b, está relacionada con el punto donde la recta corta al eje y. (ordenada). El trabajo con la recta se centra en que a partir de la grafica, se obtenga su ecuación o viceversa. Ecuación de la recta: vamos a estudiar las formas de expresar matemáticamente una recta, la primera es la ecuación canónica o llamada también analítica y la ecuación general. Ecuación canónica: Ecuación general: PENDIENTE La teoría Euclidiana nos dice que para graficar o determinar una recta, basta solo con dos puntos, este hecho nos permite determinar la pendiente de la recta. Como una recta presenta desplazamiento en X y desplazamiento en Y, entonces la pendiente está definida, determinando dichos desplazamientos. Pero: y Para hallar la pendiente se puede obtener conociendo dos puntos de la recta: Para y Según el valor de la pendiente, la recta puede presentar cuatro comportamientos. 1. m˃0: la recta presenta inclinación a la derecha: es decir, el ángulo es agudo: . 2. m˂0: la recta presenta inclinación hacia la izquierda, es decir, el ángulo es obtuso: Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 4 . 3. m꞊0: la recta es horizontal, luego el ángulo . 4. m ꞊ indeterminado: la recta es vertical, luego el ángulo . RECTAS PARALELAS Teorema: dos rectas no verticales son paralelas, si solo sí, estas tienen la misma pendiente: es decir: Para: Demostración Sean y , dos rectas con pendientes rectas tendrán como ecuación: y respectivamente, con interceptos y . Las : : Las rectas se cortan en algún punto (x, y), sí y sólo sí: los valores de y para para algún x, luego y serán iguales La última ecuación se puede resolver solo sí: . Por consiguiente, dos rectas se cortan, sí y sólo sí: , luego cuando , las rectas no se cortan. : : Rectas paralelas: RECTA PERPENDICULAR Teorema: dos rectas y perpendiculares, sí y sólo sí: , cuyas pendientes son . y respectivamente, son Para demostrar este teorema, vamos a tomar como hipótesis el famoso teorema de Pitágoras; si un triangulo es rectángulo, entonces: Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 5 Como: Entonces: Las rectas y son perpendiculares, sí y sólo sí, el ángulo que el triángulo OAB es rectángulo, entonces: .es un ángulo recto, es decir, Por el teorema de Pitágoras: Donde: LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el perímetro del círculo, ésta no tiene área, sólo longitud y los parámetros que la caracterizan. Definición: La circunferencia es un conjunto de puntos en el plano cartesiano que equidistan a un punto llamado centro. La distancia fija es llamada radio. En el orden de ideas de la definición, la circunferencia queda descrita por medio de su radio y su centro, además, del conjunto de puntos que la conforman. C=centro R=radio Diámetro: D = 2R Longitud: L=2πR Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 6 Conociendo las características básicas de la circunferencia, ahora busquemos una ecuación matemática que la identifique. Para obtener la ecuación, hacemos que el centro de la circunferencia este en (0,0). Ubicamos cualquier punto (x, y) que satisfaga la ecuación. Por el teorema de Pitágoras: Ecuación canónica Cuando el centro es: (h, k) LA ELIPSE Definición: la elipse se identifica un centro, es un conjunto de puntos en el plano, tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, es constante. Los puntos fijos son llamados focos. En la elipse se identifican un centro, para nuestro caso tomamos el origen de coordenadas (0,0). Cuatro vértices y dos focos. Las coordenadas de cada punto son: Los puntos de la elipse. Se llaman vértices mayores y a se le llaman los vértices menores. De estos se originan los ejes mayor y menor de la elipse. Eje mayor = 2a y Eje menor = 2b Según la grafica 2a ˃ 2b, primer aspecto importante de la elipse. Por definición: Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 7 Teorema: la ecuación canónica de la elipse con centro (0, 0), eje mayor sobre el eje x, es de la forma: De la misma manera para cuando el eje mayor esta sobre la ordenada, la ecuación canónica es de la forma. Para este caso los focos están en el eje y, los vértices mayores en el eje y y los vértices menores en el eje x. LA ELIPSE Eje focal =x Eje focal =y centro (0,0) centro (0,0) Vértices Extremos del eje menor Vértices ) Focos De donde Lado recto Excentricidad Extremos del eje menor Focos De donde Lado recto Excentricidad Eje mayor = 2a Eje mayor = 2a Eje menor = 2b Eje menor = 2b Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 ) 8 Eje focal =h Eje focal =k centro (h,k) centro (h,k) Focos Focos De donde De donde Lado recto Lado recto Excentricidad Excentricidad Eje mayor = 2a Eje mayor = 2ª Eje menor = 2b Eje menor = 2b Ecuación General . Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 9 LA PARABOLA Definición: Una parábola es un conjunto de puntos en el plano p(x, y) que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo F, llamado foco y una recta D llamada directriz. Foco Foco Vértice Vértice Directriz Directriz Eje de la parábola = y Lado recto =4py Foco Eje de la parábola = y Lado recto =-4py Foco Vértice Vértice Directriz Directriz Eje de la parábola = x Lado recto Eje de la parábola = x Lado recto Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 10 Foco Vértice Directriz Eje de la parábola Lado recto Foco Vértice Directriz Eje de la parábola Lado recto Ecuación General Vertical Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 11 Foco Vértice Directriz Eje de la parábola Lado recto Foco Vértice Directriz Eje de la parábola Lado recto Ecuación General Horizontal LA HIPÉRBOLA Con el análisis hecho para la circunferencia, elipse y parábola, podemos inferir como será el comportamiento de una hipérbola, con centro en (h, k) y eje transverso paralelo al eje x y de la forma: Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 12 Solución de a, b, c. Ecuación general: +B +D +Ey+F=0 Centro Centro Eje Focal = x Eje Focal = y Vértices Vértices Focos Focos De donde: Asíntotas De donde: Asíntotas Lado recto Lado recto Excentricidad Excentricidad Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 13 Centro Centro Eje Focal = h Eje Focal = k Vértices Vértices Focos Focos De donde: De donde: Asíntotas Asíntotas Lado recto Lado recto Excentricidad Excentricidad Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015 14 BIBLIOGRAFIA Algebra Décima Edición Rees, Sparks, Rees Trigonometría Segunda Edición Frank Ayres Jr. y Robert E. Moyer Algebra y Trigonometría Segunda Edición Dennis G. Zill y Jacqueline M. Dewar Algebra de Baldor Algebra Superior de Murray Algebra y Geometría Analítica UTN Matemáticas aplicadas a la Administración y a la economía, Lardner Robín W. editorial Prentice Hall. Calculo con Geometría Analítica, Leithold Louis. Cuarta Edición Editorial Harla Algebra Intermedia ,Gustafson David. Séptima Edición. Editorial Thompson. Instituto Profesional Virginio Gómez Algebra y Trigonometría, Universidad de Concepción. INTERNET: www.vitutor.com http://matebrunca.com/ http://matematicasrcpbachillerato.blogspot.com/ http://www.matematicasbachiller.com/ http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim www.lafacu.com www.mitarea.com www.cienciamatematica.com GRAFICAS: Geometría analítica, Calculadora TI nspire cx cas Apuntes UTS UTS Departamento de Ciencias Básicas 2015
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