Clase-15 Razones y Proporciones: Razón: Es un cuociente

Clase-15
Razones y Proporciones:
Razón: Es un cuociente indicado entre dos cantidades. La razón entre "a" y "b" se
a
escribe
o bien a : b ; la que se lee "a" es a "b", donde el primer término "a" se
b
llama antecedente y el segundo término "b" consecuente.
La finalidad de una razón es establecer comparaciones; así por ejemplo si el peso
de dos personas está en la razón 3:5 significa que por cada 3 kilos que pesa la
primera, a la segunda le corresponden 5 kilos.
Ejercicios:
1) La razón entre: (a) 5 y 7 es:
(b) 3 y 8 es:
2) Si la edad de A es de 18 años y la de B es de 45 años; establecer la razón entre:
(a) La edad de A y B:
(b) La edad de B y A:
Valor de una razón:
Es el cuociente entre el antecedente y el consecuente de una razón; es decir:
a
=a:b= k
b
Valor de la razón
Ejercicio: El valor de las siguientes razones es:
(a)
3

5
(b)
9

2
Proporción:
Una proporción es una igualdad entre dos razones que tienen el mismo valor; es
decir si:
a
=k
a c
b
entonces

b d
c
=k
d
o bien a : b = c : d ; es una proporción la que se lee "a" es a "b" como "c" es a "d";
donde "a" y "d" son los términos extremos a diferencia de "b" y "c" que son los
términos medios.
Ejemplos:
El valor de las razones:
3
3 : 4 =
4
6
6 : 8 =
8
La proporción es:
El valor de las razones:
3
3 : 9 =
9
1
1 : 3 =
3
La proporción es:
(1)
Propiedades de las proporciones:
1ª Propiedad: En toda proporción; el producto de los términos extremos es igual al
producto de los términos medios; es decir si:
a c
entonces a  d = b  c
=
b d
Esta propiedad permite calcular términos desconocidos en una proporción.
Ejercicios:
1) Calcular el término desconocido en las proporciones:
x
9
x  2 x 1
a) Si
; luego x = ?
b) Si
; luego x = ?


12 4
4
5
2) Dada la razón entre las dos cantidades señaladas; determine el valor que falta en:
a) Edad del padre y la del hijo;
Padre: 35 años ;
hijo = ?
5:2
b) Hombres y mujeres; 4 : 3
Nº mujeres: 420 ; Nº de hombres = ?
2ª Propiedad: Toda proporción se puede alternar , invertir y
permutar.
a) Alternar una proporción:
Consiste en cambiar el orden de los términos extremos o de los términos medios
entre si.
Alternando extremos:
Si
____
=
____
a c
entonces

b d
Alternando medios:
____
=
____
b) Invertir una proporción:
Consiste en cambiar el orden de los términos en cada razón; es decir, los
antecedentes se colocan como consecuentes y viceversa.
Si
a c

entonces al invertir:
b d
____
=
____
c) Permutar una proporción:
Consiste en cambiar el orden de las razones entre si.
Si
a c
entonces al permutar:

b d
(2)
____
=
____
Observación:
Cuando una proporción se alterna, invierte y permuta, se puede escribir esta de
ocho formas distintas incluyendo la dada.
8 12
(1)

2
3
(5)
(2)
___
=
___
.......................... ( )
(6)
(3)
___
= ___
.......................... ( )
(7)
(4)
___ = ___
.......................... ( )
(8)
___
= ___
.......................... ( )
___ = ___
.......................... ( )
___
=
___
___
=
___
.......................... ( )
.......................... ( )
3ª Propiedad: Toda proporción se puede componer , descomponer o componer y
descomponer a la vez .
a) Componer una proporción:
Consiste en comparar la suma entre el antecedente y consecuente respectivo de
cada razón ya sea con los antecedentes o consecuentes.
Si
a c
= al componer
b d
Comparando con antecedentes:
_______
=
_______
Comparando con consecuentes:
_______
=
_______
Ejemplo:
Si
12 15
al componer

4
5
Comparando con antecedentes:
_______
=
_______
Comparando con consecuentes:
_______
=
_______
b) Descomponer una proporción:
Consiste en comparar la diferencia entre el antecedente y consecuente respectivo de
cada razón ya sea con los antecedentes o consecuentes.
Si
a c

al descomponer
b d
Comparando con antecedentes:
_______
=
_______
Comparando con consecuentes:
_______
=
_______
Ejemplo:
Si
12 15
al descomponer

4
5
Comparando con antecedentes:
_______
=
_______
Comparando con consecuentes:
_______
=
_______
(3)
c) Componer y descomponer una proporción a la véz:
Consiste en comparar la suma con la diferencia entre el antecedente y el
consecuente en cada razón.
Si
Ejemplo:
Si
a c
entonces al componer y descomponer:

b d
_______
12 15
entonces al componer y descomponer:

4
5
_______
=
=
_______
_______
Ejercicios:
1) Resolver los problemas:
(a) Dos ángulos están en la razón 2 : 7 y (b) Si una cañería se corta en dos partes
suman 180º. ¿Cuánto mide cada uno
que están en la razón 3: 1 y la
de ellos?
diferencia entre ellas es de 60cm.
¿Qué medida tiene cada parte?
(c) Dos
socios
juntan
un
capital
de (d) El peso de dos personas está en la
$36.000 .Si los aportes están en la
razón 7 : 5 existiendo en sus pesos
razón 5 : 7. ¿Cuánto dinero aporta
una diferencia de 18 Kg. ¿Cuánto
cada socio?
pesa cada una de ellas?
En forma práctica: El dato dado para con las incógnitas se repite para con los
valores correspondientes a estas, para luego dividir ambos resultados obteniéndose
un cuociente el que luego multiplica a cada razón, obteniéndose los datos deseados.
Serie de Razones:
Es la igualdad entre tres o más razones que tienen el mismo valor; es decir si:
a
La serie anterior también se denota por:
k
b
a c e
c
a : c : e = b : d : f
k
entonces
 
d
b d f
e
antecedentes
consecuentes
k
f
(4)
Ejemplo: Las razones
3 6
9
,
y
tienen el mismo valor 1,5 ; luego forman la serie:
2 4
6
3
6
9
=
=
2
4
6
o
bien
Para resolver las series aplicaremos el mismo procedimiento práctico de las razones;
donde la misma operatoria que se define para los antecedentes se repite para
con los consecuentes respectivos, para luego dividir ambos resultados
obteniéndose un cuociente el que luego multiplica a cada razón, obteniéndose el
valor de los términos de la serie.
Ejercicios:
(a) Si x : y : z = 3 : 5 : 7 ; calcular el valor de x, y, z si x + y + z = 75.
(b) Si x : y : z = 12 : 6 : 3. Calcular el valor de x, y, z si x – y - z = 2.
(c) Si x : y : z = 8 : 12 : 20. Calcular el valor de x, y, z si se sabe que 2x - 3y + 5z = 60.
Cantidades directa e inversamente proporcionales:
1) Dos cantidades o más son directamente proporcionales cuando varían de igual
forma; es decir, cuando haciéndose mayor o menor una de ellas, la otra también
se hace mayor o menor el mismo número de veces.
Ejemplo:
El tiempo en minutos que está abierta una llave de agua es directamente
proporcional con la cantidad de litros que esta entrega; así:
más minutos  más litros
Ejercicio:
;
menos minutos

menos litros
Si una llave de agua entrega 15 litros por minuto, se tiene que:
minuto
s
litros
1
2
3
4
5
(5)
6
7
8
9
10
Gráficamente la relación entre dos cantidades directamente proporcionales queda
representada por una recta que pasa por el origen del sistema de ejes;
comprobémoslo con los datos de la tabla anterior.
Litros
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Tiempo (min)
Notar que al dividir un tiempo en minutos por la cantidad de litros respectiva, los
cuocientes son iguales; compruébelo con los datos de la tabla anterior:
1
3
6
9
 1 :15=
 3 :45=
 6 :90=
 9 :135=
15
45
90
135
De lo anterior se deduce que si las cantidades x , y , z resultan ser directamente
proporcionales con a , b , c ; se tiene que los cuocientes entre ellas son
constantes; es decir:
x y z
  K
a b c
2) Dos o más cantidades son inversamente proporcionales cuando varían en
forma contraria; es decir, cuando haciéndose mayor o menor una de ellas, la otra se
hace menor o mayor el mismo número de veces.
Ejemplo:
La velocidad con que se recorre una distancia es inversamente proporcional al
tiempo que se demora.
más velocidad

menos tiempo
;
menos velocidad

más tiempo
Ejercicio:
En base a las velocidades dadas, determine los tiempos en que se recorre una
d
distancia de 120 Km.; recuerde que t = .
v
velocidad 10
tiempo
0
20 30 40
(6)
50 60
80 100 120 Km./
h.
horas
Gráficamente la relación entre dos cantidades inversamente proporcionales queda
representada por una línea curva entre los ejes llamada hipérbola; comprobémoslo
con los datos de la tabla anterior.
horas
s
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Velocidad (Km./h.)
Notar que al multiplicar una velocidad por el tiempo respectivo, los productos son
iguales; compruébelo con los datos de la tabla anterior:
10 · 12 =
40 · 3 =
60 · 2 =
80 · 1,5 =
De lo anterior se deduce que si las cantidades x , y , z resultan ser inversamente
proporcionales con a , b , c ; se tiene que los productos entre ellas son
constantes; es decir:
xa=yb=zc=k
Ejercicio:
1) Determine que relación se da entre las siguientes cantidades:
a) Kilómetros recorridos y gasto de bencina.
b) El número de personas y el tiempo empleado en terminar un trabajo.
c) La longitud de un cerco y el número de postes ocupados en este.
d) El caudal de un grifo y el tiempo en que llena un estanque de agua.
2) Determine los valores de "x" e "y" para 3) Determine los valores de "x" e "y" para
que los siguientes tríos de números sean que los siguientes tríos de números sean
directamente proporcionales:
inversamente proporcionales:
x,3,2
A) x=5 ; y=9
B) x=9 ; y=5
C) x=15 ; y=3
D) x=30 ; y=6
E) Otros valores.
con
15 , y , 6
x,8,6
A) x=1 ; y=2
B) x=2 ; y=3
C) x=2 ; y=4
D) x=12; y=6
E) Otros valores
(7)
con
12 , 3 , y
Ejercicios Complementarios:
1) En un colegio hay 480 mujeres y 720
hombres; entonces la razón entre el
número de hombres y el número total de
alumnos es:
A) 2 : 3
B) 2 : 5
C) 3 : 4
D) 3 : 5
E) 4 : 5
2) La edades de dos personas están en la
razón 5 : 3 teniendo una de ellas 12 años
más que la otra. ¿Cuál es la edad de la
persona mayor?
A) 6 años
B) 12 años
C) 18 años
D) 24 años
E) 30 años
3) Al repartir $ 7.200 entre dos personas
en la razón 5 : 7. ¿Cuánto dinero le
corresponde a la persona que recibe
más?
A) $3.000
B) $3.600
C) $4.200
D) $5.760
E) $6.000
4) Existen $ 1.200 de diferencia entre el
precio de dos objetos. Si sus valores
están en la razón 9 : 5 . ¿Cuál es el valor
de cada uno?
A) $2.700 con $1.500
B) $3.600 con $2.000
C) $4.800 con $3.600
D) $6.000 con $4.800
E) $7.200 con $6.000
5) ¿Cuántos litros de agua debo agregar a
una pasta para preparar una pintura?
(1) Se ocuparán 4 litros de pasta.
(2) La razón entre el agua y la pasta es
de 1 : 4.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
6) Se puede determinar la edad de un
padre y la de su hijo si:
(1) Hay 20 años de diferencia entre
ambas edades.
(2) Tales edades están en la razón 9:4.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
Ejercicios Propuestos:
1) Si A tiene 30 años y la razón entre su
edad y la de B es 6 : 5. ¿Cuál será la
razón de sus edades dentro de diez años?
A) 7 : 6
B) 7 : 8
C) 8 : 7
D) 9 : 7
E) 10 : 8
2) En un mapa hecho con la escala
1:1.000.000; la distancia entre dos
ciudades A y B es de 7,2cm. ¿Cuál es la
distancia real entre estas dos ciudades?
A) 0,72 Km.
B) 7,2 Km.
C) 72 Km.
D) 720 Km.
E) 7.200Km.
3) Dos personas se reparten $20.000 en 4) La diferencia de dos números que
la razón 3 : 7; entonces la parte menor están en la razón 5 : 3 es 14. ¿Cuáles son
es:
estos números?
A) $6.666,6
A) 18 y 4
B) $6.000
B) 21 y 7
C) $4.200
C) 32 y 18
D) $3.000
D) 27 y 13
E) $2.000
E) 35 y 21
(8)
5) ¿Qué número debe sumarse a 7 y sustraerse de 3, para obtener dos números
cuya razón sea 3 : 1?
A) 2
B) 1
C) 1/2
D) –1/2
E) -2
6) Al dividir 120 en dos partes que están
en la razón 8 : 7 ; estas son.
A) 64 y 56
B) 70 y 50
C) 77 y 43
D) 70 y 80
E) 80 y 40
7) Las edades de dos personas están en
la razón 4 : 5 y una de ellas tiene 6 años
más que la otra. ¿Cuál es la edad de cada
una de estas personas?
A) 23 y 29 años
B) 24 y 30 años
C) 32 y 38 años
D) 21 y 17 años
E) Otras edades.
8) Las edades de dos personas están en
la razón 7 : 4. Si hay 15 años de
diferencia entre la persona mayor y la
menor. ¿Qué edad tienen estas personas?
A) 25 y 10 años
B) 30 y 15 años
C) 35 y 20 años
D) 40 y 25 años
E) Otras edades.
9) La razón entre el contenido de un
estanque y su capacidad es de 2 : 3.
Si para llenarlo se necesitan 15 litros.
¿Cuál es la capacidad del estanque?
A) 15 litros
B) 20 litros
C) 25 litros
D) 30 litros
E) 45 litros
10) Las edades de dos personas son 22 y
31 años. ¿En cuántos años más sus
edades estarán en la razón 3 : 4?
A) 5 años
B) 7 años
C) 9 años
D) 10 años
E) 18 años
11) La diferencia entre dos ángulos que 12) Las edades de dos hermanos son
están en la razón 5 : 3 es de 50°; entre si como 5:4 y hace 9 años la edad
del mayor era el doble de la menor.
entonces cada uno de ellos mide:
¿Cuáles son sus edades?
A) 100° y 50°
A) 12 y 15
B) 125° y 75°
B) 13 y 17
C) 150° y 100°
C) 14 y 19
D) 175° y 125°
D) 15 y 12
E) 200° y 150º
E) 16 y 23
13) Si el perímetro de un triángulo es de 14)Un segmento mide 44cm y se le divide
70cm y sus lados están en la razón 1:2:4. en tres partes que están en la razón
¿Cuánto mide cada uno de ellos?
6 : 7 : 9. ¿Cuánto mide cada parte?
A) 5 , 10 y 55 cm
A) 6 , 16 y 22
B) 8 , 16 y 46 cm
B) 8 , 12 y 24
C) 10 , 20 y 40 cm
C) 8 , 14 y 22
D) 12 , 24 y 36 cm
D) 10 , 12 y 22
E) 15 , 25 y 30 cm
E) 12 , 14 y 18
(9)
15) Si x : y : z = 3 : 4 : 5 con 5x – 2y + z = 16) Los pesos de tres personas están en
la razón 4 : 5 : 7. Si el peso mayor es de
24; luego el valor de x + y + z = ?
84 kilos; los otros dos pesos son:
A) 12
A) 40 y 50 kilos
B) 18
B) 44 y 55 kilos
C) 24
C) 48 y 60 kilos
D) 36
D) 52 y 65 kilos
E) 42
E) 56 y 70 kilos
17) Si x es directamente proporcional al 18) Si x es inversamente proporcional al
doble de y. Cuando x = 6, y = 1 ; luego si triple de y. Cuando x = 2 , y = 1 ; luego si
x = 30 ; se tiene que y = ?
x = 6 ; se tiene que y = ?
A) 1/5
A) 1/6
B) 1/2
B) 1/3
C) 2
D) 3
E) 5
C)
D)
E)
19) ¿Cuál es la edad de un niño?
20) Para hacer una mezcla, por 1 pala de
cemento se agregan 3 de arena. ¿Cuántas palas de cemento debo agregar?
(1) Entre arena y cemento se mezclaron
20 paladas.
(2) Las palas de arena fueron 10 más
que las de cemento.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
(1) La edad de su madre es de 36 años.
(2) La razón entre la edad del niño y la
madre es 1:4.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
1
3
6
Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-13
1) R1 = {(3,2),(4,2),(4,3)}
R3={(1,3),(2,2),(2,12),(3,3),(4,2),(4,12)}
R2={(1,2),(1,3),(1,12),(2,3),(2,12),(3,12),(4,12)} R4={(1,3),(3,3)}
Siendo todas estas relaciones subconjunto del producto cartesiano A x B .
2) E
3) C
4)a) Continua
b) Discreta
c) Continua d) Discreta
5) a) V. Indep: Nº de días trabajados
d) Nº de días trabajados
0
1
2
3
4
5
6
6) D
Sueldo
$ 3.000
$ 4.500
$ 6.000
$ 7.500
$ 9.000
$10.500
$12.000
b) V. Dep :
c) S = 3.000 +
Sueldo
1.500·n
Sueldo
($)
12.00
010.00
08.000
6.000
4.000
2.000
1
7) B
(10)
8) A
2
3
4
9) C
5
6
días

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