Calculo.I – Tema 1 – Límites () lim L es el límite de f(x) cuando x tiende a xp. El límite de una función es el valor que toma la función cuando la x toma valores muy muy cercanos a xp, pero sin llegar a ser xp. Nota.1: El límite de una función, si existe, es único. Existen también los límites laterales, que indican a cuanto tiende la función cuando nos acercamos por la izquierda o por la derecha Li es el límite de f(x) cuando x tiende a xp. por la izq. (valores un poco más pequeños que xp) lim Ld es el límite de f(x) cuando x tiende a xp. por la der. (valores un poco más grandes que xp) lim Para que un límite exista, han de coincidir los límites laterales, entonces ese valor es el límite. Si Li = Ld ⇒ L = Li = Ld Si Li ≠ Ld ⇒ L En “puntos no problemáticos”, el límite coincide con el valor de la función en ese punto. Es decir, si xp no es problemático entonces: lim Un punto es problemático por ejemplo cuando en ese punto la función cambia de trozo. También cuando intentamos evaluar en xp y obtenemos: , , , 1 , 0 1.1.Calculo numérico de límites por aproximación: Larson( Todo indica que lim" será 3 pues es el valor al que se aproxima la función cuando la x toma valores cada vez más cercanos al 1 Observad que aunque la función no está definida en x=1, resulta que sí tiene límite ahí Ejercicio: Calcular directamente si se puede o por aproximación si hay problemas 2 2 1 lim 1 lim 1 lim , ! 2 2 Ejemplos de límites que no existen: Los límites laterales no coinciden 0, $ 0& 1e) # hallar si existe lim 1, % 0 || 1f) hallar si existe lim 2. Calculo analítico de límites • 2.1.Puntos no problemáticos (ver pág. anterior): lim • 2.2.Caso ( ( en el caso de cociente de polinomios. (Larson pag.63) Imaginad que tenemos lim ) * y al evaluar sale Eso es porque al factorizar f(x) resulta que tiene un factor que es (x-xp) y al factorizar g(x) también tiene al factor (x-xp). Por eso al sustituir x por xp sale cero Al estar el mismo factor en numerador y denominador podre simplificar para obtener una expresión “equivalente” que ya no tendrá problemas ) * y su expresión simplif. representan la misma función SALVO EN EL PTO PROBLEMÁTICO Diferencia: ) * no está definida en el punto problemático, pero su expresión simplificada sí Calcular y reflexionar en estos ejercicios: (Utilizar Ruffini) 2 , 1 2.2. lim 2.2. lim " 1 2 • 2.3.Caso ( ( con una raíz cuadrada en una resta, ya sea en numerador o denominador El problema es que esa resta da cero Lo que haremos es multiplicar y dividir por la expresión conjugada (no afecta) Entonces donde la raíz aplicaremos: Suma por diferencia = Diferencia de cuadrados (a+b)·(a-b)=a2-b2 Ejemplos de expresiones conjugadas: → expresión conjugada → √ . 2 . 4 √ . 2 4 → expresión conjugada → √ 1 . 3 √ 1 3 2 √ 5 → expresión conjugada → 2 . √ 5 √ . 5 √ 6 → expresión conjugada → √ . 5 . √ 6 ¿Cómo se simplifica? 3√ . 2 44 5 3√ . 2 . 44 3√ . 24 4 . 2 16 . 2 16 14 3√ . 5 √ 64 5 3√ . 5 . √ 64 3√ . 54 3√ 64 . 5 6 . 5 . 6 11 Consejo mío: Cuidado al cambiar el signo, mejor poned siempre paréntesis. 2.3.Ejercicio: Calcular lim √6"7" (Larson pag.64, pdf.82) Repaso.Ejercicios fáciles para vosotros: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------8 2.4.Caso ( Asíntotas verticales y huecos Vamos a calcular lim " x 0,1 0,01 0,00001 0,00000001 0’000000001 1/x 10 100 100000 100000000 1000000000 Al acercamos al 0 desde la derecha salen valores cada vez más grandes Es decir, deducimos que = 9:;<( ∞ < No estoy diciendo que exista este límite lateral, el infinito es un símbolo, no es un número No es ningún valor en concreto, es algo inimaginablemente grande e inalcanzable " Ahora hago lo mismo con lim x -0’1 -0’01 -0’00001 -0’00000001 -0’000000001 1/x -10 -100 -100000 -100000000 -1000000000 Al acercamos al 0 desde la izquierda salen valores cada vez más grandes pero negativos Es decir, deducimos que = 9:;<( ∞ < " Como salen distintos los límites laterales concluimos que lim En general puedo concluir que si a es un nº positivo ?@?ABCBCDE: .1 2 2.4. lim NOTA.1: En los puntos en el que sale ∞ 4 , 3 2.4. lim y que ∞ 1 " 1 2.4. lim los límites laterales salen G∞ allí hay una Asínt. Vertic. es decir, si limG G∞ entonces H x=c es una asíntota vertical NOTA.2: Las asíntotas hay que buscarlas en los ptos que hacen cero al denom. • Si sale los limites laterales dan G∞ entonces habrá Asíntota Vertical, • si sale hago el límite. Si el límite da un número no hay asíntota, hay hueco 2 ?@?ABCBCD: 2.4. I. JKLK KM N. O. P QLR M IR STU RT IR K NO 5 . 6 Límites cuando x → ±∞ A veces querremos saber qué pasa con f(x) cuando el valor de x se hace muy muy grande. Esto se ve calculando el siguiente límite: lim Al igual que los otros límites, sustituimos la x por ∞, y observamos⇒ las siguientes reglas: ⇒ a+∞ = ∞ donde a es cualquier nº real a·∞ = ∞ Si a>0 ⇒ a·∞ = -∞ Si a<0 0·∞ = indeterminado puede salir cualquier cosa, ya estudiaremos como saberlo ⇒ V =0 ∞ -----------------------------------⇒ ∞+∞ = ∞ ⇒ ∞-∞ = indeterminado, ⇒ ∞·∞ = ∞ puede salir cualquier cosa, ya estudiaremos como saberlo. ∞ ⇒ ∞ ⇒ = indeterminado, a∞ = ∞, a∞ = 0, puede salir cualquier cosa, ya estudiaremos como saberlo. si a>1 si 0 ≤ a<1 Recordar: 7W 1∞ = indeterminado " X Límite cuando x→ →∞ de un polinomio f(x) = ak·xk + ak-1·xk-1 +…+ a2·x2 + a1·x +a0 Para ver el comportamiento veamos qué ocurre con términos de diferentes grados si x→∞ x3 x2 x 9 6 X=1000 10 10 103 X=10000 1012 108 104 Si x=10000 la contribución de x2 es 10000 veces menor que la de x3 Si en vez de x=10000 tomo x→∞ su contribución es despreciable. Por tanto puedo sustituir un polinomio por su término de mayor grado. ak·xk + ak-1·xk-1 +…+ a2·x2 + a1·x +a0 ≈ ak·xk cuando x→∞ Excepción: Cuando tengo: 1) una resta de polinomios, 2) tienen el mismo grado 3) B y los términos de mayor grado tienen los mismos coeficientes SI SE CUMPLEN LAS 3 A LA VEZ NO PODRÉ SUSTITUIR EL POLINOMIO POR SU TÉRMINO DE MAYOR GRADO lim 3 5 8 = lim 3 = ∞ lim 5 , . 6 . 2 8 = lim 5 , = -∞ Ejemplo: • Caso de ∞ ∞ Sustituiremos cada uno de los polinomios por su término de mayor grado. Luego simplificaremos, y ya podremos hallar el límite Ejemplos: lim , Z 7[7\ ] Z 6^7_ lim 7\ ] Z 6^7_ lim , Z 7[7\ 7" I lim ` a 7[7\ 7] Z 6^7_ Conclusión: 1.- Si (grado num.) = (grado den.) entonces el límite es el cociente de los coeficientes del término de mayor grado , Z 7[7\ , Ejemplo: lim Z = ] 6^7_ ] 2.- Si (grado num.) < (grado den.) entonces el límite es cero 7\ Ejemplo: lim Z =0 ] 6^7_ 3.- Si (grado num.) > (grado den.) entonces el límite es ±∞, según los signos de los coeficientes de mayor grado Ejemplos: lim , Z 7[7\ 7" lim =∞ ` a 7[7\ 7] Z 6^7_ lim = -∞ 7, Z 7[7\ 7^7_ =∞ Si aparecen raíces se haría igual, solo hay que tener cuidado que no sea la excepción ,7 7\ Ejemplos: lim lim Z Z a √` 6^7_6√ 6" √] 6^7_ Casos en que aparezcan otras funciones. Vamos a comparar para hacernos una idea: Log10 x x2 2x xx Aún mayor que x=1000 3 1000000 Grandisimo (ni cabe en la calculadora) el anterior Conclusión: (Logaritmos) << (Polinomios) << (Potencias de nº) << (Potencias de polinomio) Ejemplos: • Caso de ∞-∞ ∞ Es indeterminado, Ejemplos: lim b 6", c 6 lim de 7\ fgh lim R 7 • puede salir un número si son ∞’s comparables o • puede que el resultado sea ∞ ó -∞ según quien sea más grande. lim log lim 2 El caso complicado aparece cuando hay una resta y están implicadas raíces, de forma que el grado y los coeficientes del término de mayor grado del minuendo y sustraendo son iguales Ejemplo: lim √ . √ . 1 Aquí multiplicamos y dividimos por el conjugado, lo mismo que ya hicimos el otro día Caso de seno y coseno en el ∞ En el seno y coseno van saliendo valores entre 1 y -1, repitiéndose cada 2π Es decir que cuando x→ ∞ no está convergiendo a ningún valor, sino que sigue oscilando entre -1 y 1. Por tanto: lim MR! lim M Propiedad cuando tengo una función acotada por otra que tiende a cero Si tengo lim [f(x)·g(x)], y resulta que f(x) →0 y g(x) acotada entonces lim [f(x)·g(x)]=0 Ejemplo: " a 6,5 Z 6fl lim 5 MU! k m Propiedades para el cálculo de límites: Sea L1=lim f(x) y L2 lim g(x) • lim [λ·f(x)+µ·g(x)]= λ·L1+µ·L2 (las funciones con límites son un subesp.vectorial). • lim f(x)·g(x)=L1·L2 t u v • lim = w con g(x)≠0 y L2≠0 vZ h u t u vw • lim x =x • lim f xh u =" vZ Caso 1∞: con K>0 con L1>0 " " Recordar que e = lim k1 . m = ∑ |~ |! Si lim * =1∞ entonces L=R f) 7"5* Otras equivalencias • Si x→∞ e KU! U ≈ 1 Infinitésimos equivalentes, (Un infinitésimo es un valor próximo a cero) • Si f(x)→0 ln[1 + f(x)] ≈ f(x) . con x>-1 Z • Si f(x)→0 [1 + f(x)]n ≈ 1+·f(x) a , m m . k m 5 x . k m 5 x, . 2 3 con x>-1 • Si f(x)→0 sin f(x) ≈ tan f(x) ≈ arcsen f(x) ≈ arctg f(x) ≈ f(x) • Si f(x)→0 cos f(x) ≈ 1 – ) Z • Si f(x)→0 ef(x) ≈ 1 + f(x) si hace falta: sen x = x a ,! . c [! …, cos x= 1 – Z ! . ]! Asíntotas horizontales • Son rectas horizontales a las que tiende una función cuando x → ∞ y cuando x → -∞ Si lim " (nº) entonces existe una A.H. por la derecha de ec: y=L1 Si lim7 (nº) entonces existe una A.H. por la izquierda de ec: y=L2 • Cuando hay un cociente de polinomios y en el caso de que haya A.H entonces es la misma por la izquierda que por la derecha. Ej.1: P ,7" 7" Ej.2: P Z 6" + Si es cociente de polinomios sólo habrá A.H. si (grado num) ≤ (grado den.) f(x) • Si hay exponenciales a en caso de que haya A.H. puede que sólo sea por un lado • Si hay raíces en caso de que haya A.H. podría salir diferente la A.H. por la izquierda que la AH por la derecha. Ej.1: P √ Z 6" Asíntotas oblicuas • Son rectas oblicuas y=m·x+b a las que tiende la función y=f(x) en el infinito • Las calcularemos sólo en el caso de cociente de polinomios. + En ese caso, para que existan Asint.Oblicuas: (grado num) = (grado den) + 1 - Podría hacerse como “división larga” en el caso de cociente de polinomios, pero… + Pero técnicamente se hacen así: lim lim 5 pero si m= ó m=∞ entonces no habría Asínt.Oblicua ?n: p<p q< . r o <s Ejercicios adicionales 5|Z 6, Halla lim| k 5|Z 6" ,5|Z m y dibuja la gráfica cerca de las asíntotas verticales Continuidad Una función f(x) es continua en un punto x=c si… limH =f(c) Lo cual implica: • Existe f(c) • Existe limH , es decir, que existen los límites laterales y coinciden • limH = f(c) Una función f(x) es continua en un intervalo si lo es en todos sus puntos. Basta con saber la continuidad de las funciones elementales y estudiar los puntos problemáticos. Podríamos decir que una función f(x) es continua en un intervalo si la puedo dibujar sin levantar el lápiz en ese intervalo Discontinuidad evitable en x=c Discontinuidad con salto f c lim & H lim RT H lim lim H H Puede ser discontinua con salto finito o discontinua con salto infinito Discontinuidad inevitable de segunda especie Algún límite lateral no existe (a un lado la función no existe) Discont. Evitable en x=c Ejercicios de Continuidad. Discont.inevit. con salto finito en x=c Discont. Evitable en x=c Funciones trigonométricas f(x) = sen x Dom[f] = = (-∞,∞) Recorrido=[-1,1] (acotada) lim MR! Periódica con periodo T =2π Impar porque sen(-x) = -sen(x) f(x) = cos x Dom[f] = = (-∞,∞) Recorrido=[-1,1] (acotada) lim M Periódica con periodo T =2π Par porque cos(-x) = cos(x) f(x) = tan x = < < Dom[f] = - # . ! 5 Periódica con periodo T =π Recorrido(-∞,∞) Impar porque tan(-x) = -tan(x) • Si x→0 • Si f(x)→0 sin x ≈ tan x ≈ arcsen x ≈ arctg x ≈ x sin f(x) ≈ tan f(x) ≈ arcsen f(x) ≈ arctg x ≈ f(x) • Si x→0 cos x = 1 - • Si f(x)→0 cos f(x) = 1 – Z ) Z lim ! Comparar una función racional con su equivalente simplificado Z 7` ¿Qué diferencia hay entre f(x) = y la versión simplificada g(x) = x-3? x 6, Es casi lo mismo, sólo que f(x) no está definida en x=-3 x= pero g(x) sí. Por tanto son iguales salvo en x=--3, donde f(x) tiene un huequito, pero g(x) es continua. continua Funciones exponenciales f(x) = ax, Dom[f] = = (-∞,,∞) Si a>1, lim ∞ lim7 0 Recorrido=(0,∞) por tanto ∃ Asínt. Horiz. por la izquierda izq de ecuación y=0 Si a<1, lim 0 lim7 ∞ por tanto ∃ Asínt. Horiz. por la derecha de ecuación y=0 1 P 2 Funciones logarítmicas f(x) = loga x, Dom[f] = (0,∞) Si a>1, lim log V ∞ lim log V ∞ lim log V Recorrido=(-∞,∞) Discontinua inevitable de segunda especie por tanto ∃ Asínt. Vertical de ecuación x=0
© Copyright 2024 ExpyDoc
