Límites de varias variables - Web del Profesor

Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería
Escuela Básica de Ingeniería
Departamento de Cálculo
Límites de varias variables
Prof. Derwis Rivas Olivo
En los l´ımites del 1 al 22, utilice el ´algebra y/o un cambio
valor del l´ımite.
[
(
)
]
(
)
π
3π 2
(1)
lim
sen
x+
y + cos 4x2 − 3y 2 − 1
2
2
(x,y)→(1,1)
[
(
)]
(
)
x
(3)
lim
arcsen
+ ln 5x + e−1 y
y
(x,y)→(0,1)
[
]
( 2
)
2sen x + y 2
x2 − y 2
(5)
lim
−
x2 + y 2
x−y
(x,y)→(0,0)
]
[ 2
y−1
x −1
+ 2
(7)
lim
y −1
(x,y)→(1,1) x − 1
[
]
sen(x4 + 2x2 y 2 + y 4 )
(9)
lim
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
[
]
xy − 2x − y + 2
(11)
lim
(x,y)→(1,2) x2 y − 2x2 − y + 2
[
]
arcsen(x2 + y 2 )
(13)
lim
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
(15)
lim
(x,y)→(0,0)
(17)
lim
etan(x
2
y)
−1
de variable que le permita obtener el
senxsen3y
2xy
(x,y)→(0,0)
3
(x − 1)(y 4 − 1)
(4)
lim
(x,y)→(1,1) (x − 1)(y 2 − 1)
(2)
(6)
exy − 1
x2 − 3xy + 5y 2 − 10
(x,y)→(0,0) x3 − 5x2 y + 9y 2 + 10
lim
6x − 2y
9x2 − y 2
[
]
2
2
1 − ex +y
(10)
lim
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
(8)
lim
(x,y)→(1,3)
(y 2 + 2y − 3)(1 − cos x)
x2 (y − 1)
(x,y)→(0,1)
x2 + y 2
√
(14)
lim
(x,y)→(0,0) 1 −
x2 + y 2 + 1
(12)
(16)
2sen(x2 y)
lim
lim
1 − cos(x2 − y)
√
(x − y)2
(x,y)→(1,1)
lim
(y 2 + 2y − 3)(1 − cos x)
x2 (y − 1)
(x,y)→(0,1)
ln x tan(y − 1)
(20)
lim
(x,y)→(1,1) xy − x − y + 1
√
√
x− y+x−y
√
(22)
lim
√
x− y
(x,y)→(0,0)
(18)
senx ln(1 + y)
(1 − cos 2x)(cos 3y − 1)
(19)
lim
5x2 y
(x,y)→(0,0)
√
xy − 1 + x3 y 3 − 1
√
(21)
lim
(x,y)→(1,1)
x2 y 2 − 1
(x,y)→(0,0)
lim
Del 1 al 14 cada l´ımite no existe, demu´estrelo calculando el l´ımite sobre al menos dos curvas
diferentes que produzca resultados diferentes
y2
(x,y)→(0,0) x + y 2
y + ex − 1
(4)
lim
y+x
(x,y)→(0,0)
x2 y
(7)
lim
3
(x,y)→(0,0) x + y 3
(1)
lim
2x2 y
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
y + senx
(5)
lim
(x,y)→(0,0) y + x
xy 2
(8)
lim
4
(x,y)→(0,0) y + x2
(2)
lim
y3 x
(x,y)→(0,0) y 6 + x2
x2 − y 2
(6)
lim
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
2xy 4
(9)
lim
5
(x,y)→(0,0) x + 5y 5
(3)
lim
x3 y 2
+ y4
xy − x − y + 1
(13)
lim
(x,y)→(1,1) x2 + y 2 − 2x − 2y + 2
xy − 2x − y + 2
(14)
lim
2
(x,y)→(1,2) x + y 2 − 2x − 4y + 5
(10)
x4 y
+ y2
√
2x y
(14)
lim
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
lim
(11)
(x,y)→(0,0) x6
8x3 y 2
(x,y)→(0,0) x9 + y 3
2y 2
(15)
lim
2
(x,y)→(0,0) 2x − y 2
lim
(12)
(x,y)→(0,0) x8
lim
Sugerencia: En el l´ımite 4 utilice el camino y = x2 −x. En el l´ımite 5 utilice el camino y = x3 −x.
Si esta interesado en conocer la forma c´omo se obtienen estos caminos puede consultar la Web del
Profesor Salvador Vera o puede recurrir a mi oficina, con gusto le explicar´e el origen de las mismas.
Cada uno de los l´ımites del 1 al 10 existe. Utilice un camino para inspeccionar el valor que tiene
el l´ımite, luego emplee el T.F.A. para demostrar la existencia.
(1)
(4)
lim
5x2 y
+ y2
(x,y)→(0,0) x2
x4 y
(x,y)→(0,0) x4 + y 4
lim
x3 − xy 2
(x,y)→(0,0) x4 − y 4
[
]
1
1
(10)
lim
xsen
+ xysen
xy
x
(x,y)→(0,0)
(7)
lim
(x2 + y 2 )
1
(x,y)→(0,0)
sen
xy
√
x2 + y 2
(5)
lim
1
(x,y)→(0,0)
sen 2
x + y2
3x2 y 3
(8)
lim
(x,y)→(0,0) x4 + y 4
(2)
lim
(3)
lim
(x,y)→(0,0)
(6)
(9)
xy
√
x2 + y 2
x2 y − xy 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
lim
(x,y)→(0,0)
y|x| + 6x|x + y|
3|x| + 3|y|

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