Escuela Industrial Superior Matemática I -A02- Unidades de Medida Muchas veces habrás tenido necesidad de medir alguna cantidad, ya sea la longitud de un trayecto caminado, el largo de una canchita de fútbol, la cantidad de cartulina para forrar un cuaderno, el lugar destinado para un mueble en tu cuarto, etc. ¿Cómo haz procedido en estos casos?. Supongamos que se trata de medir el largo del salón de clases, puedes elegir alguno de los objetos que tienes a tu alcance por ejemplo: el largo del tablero de dibujo, el ancho de un banco o contar los pasos que das para recorrerlo. Si se trata de medir la superficie del piso del aula podrías elegir, el tablero de dibujo, la mesa de tu banco, una tablita del parquet o una cerámica del piso. Es decir, para medir una longitud la comparamos con otra longitud que tomamos como unidad, para medir una superficie la comparamos con otra que tomamos como unidad. En consecuencia medir es comparar una cantidad de magnitud ( longitud, superficie, volumen, capacidad, peso, etc) con otra cantidad de la misma magnitud considerada unidad. La medida es el número que indica la cantidad de veces que está contenida la unidad. Mira el video en el siguiente link: http://www.youtube.com/watch?v=FmsPiQFfKN4 En París en el año 1889 se realizó una Conferencia General de Pesos y Medidas. Su objetivo era buscar un sistema de unidades único para todo el mundo y así facilitar el intercambio científico, cultural y comercial de datos. Hasta entonces cada país, incluso cada región, tenía su propio sistema de unidades, a menudo, una misma denominación representaba un valor distinto en lugares y épocas diferentes (como viste en el video anterior). Para medidas de longitud se acordó el denominado Sistema Métrico Decimal que tiene por base el metro, en él los múltiplos y submúltiplos de cada unidad de medida están relacionados entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. (km, hm, dam, m, dm, cm, mm). Inicialmente esta unidad de longitud (el metro) fue creada por la Academia de las Ciencias francesa en 1791 y definiéndola como la diezmillonésima parte de la distancia que separa el polo de la tierra de la línea del ecuador. En 1889 se materializó dicha medida en un metro patrón de platino e iridio depositados en cofres situados en París. Finalmente en 1960 en la 11ª Conferencia de Pesos y Medidas se adoptó una nueva definición del metro: “1.650.763,73 veces la longitud de onda en el vacío de la radiación naranja del átomo del criptón 86”. La precisión es cincuenta veces superior a la del patrón establecido en 1889. En la mayoría de los problemas y ejercicios que habrás resuelto en las clases de Matemática sobre las mediciones de longitudes, habrás utilizado como unidad de medida el metro o sus múltiplos y Departamento de Matemática Pág. 1 de 8 Escuela Industrial Superior Matemática I -A02- submúltiplos, pero aunque ésta unidad sea la más usada, en la actualidad se siguen utilizando otras unidades según el contexto. Es común cuando alguien nos pregunta dónde vivís en la ciudad de Santa Fe, dar un punto de referencia conocido y luego decir a tantas cuadras. Por ejemplo: “vivo a cuatro cuadras de la Escuela Industrial”. Aquí la unidad de longitud utilizada para establecer la distancia es …………… , que equivale aproximadamente a ………metros. Pero si alguien vive en la zona de Colastiné o Rincón oirás decir “Si venís desde Santa Fe por la ruta 1, en el kilómetro 5, doblá a la derecha y a 1200 metros está mi casa”. ¿Por qué te parece que sucede esto?: ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………. ¿Cómo le dirías a alguien dónde queda aproximadamente la Escuela Industrial? ¿Qué tomarías como punto de referencia?: ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………. La pulgada es una unidad de longitud antropométrica que equivale a la longitud de un pulgar (aunque originalmente se introdujo para representar su ancho- como pudiste apreciar en el video-). Esta medida se sigue utilizando para medir las pantallas de TV o monitores de PC (en ellas se mide la longitud de la diagonal). Observa en el TV de tu casa cuántas pulgadas tiene su pantalla y verifícalo midiéndola con tu pulgar. Luego mídela en centímetros empleando una regla o metro y responde: ¿A cuántos centímetros aproximadamente equivale una pulgada? En nuestro entorno cotidiano también se utiliza la pulgada para medir. ¿Puedes citar algunos ejemplos? ............................................................................................................................................................... ........................................................................................................................... Departamento de Matemática Pág. 2 de 8 Escuela Industrial Superior Matemática I -A02- Actualmente el “pie” se utiliza sólo como unidad de medida popular en los países de Estados Unidos, Canadá y Reino Unido, y todavía se emplea en aeronáutica (incluso fuera de los países anglosajones) para expresar la altitud de aviones y otros vehículos aéreos. Si recuerdas del video el “pie” equivale a la longitud aproximada de un pie del ser humano, ¿no te parece extraño que la altura de un avión se mida a partir de ésta unidad?. El altímetro es el instrumento que muestra la altura a la cual está volando el avión. Para interpretar su información, el piloto debe conocer sus principios de funcionamiento y el efecto de la presión atmosférica y la temperatura sobre este instrumento. El altímetro es simplemente un barómetro aneroide que, a partir de las tomas estáticas, mide la presión atmosférica existente a la altura en que el avión se encuentra y presenta esta medición traducida en altitud, normalmente en pies. Su principio de operación se basa en una propiedad de la atmósfera: la presión disminuye con la altura. Anímate a descubrir otras unidades de medida…. Parado en la esquina de tu casa elige 6 unidades diferentes no convencionales para medir la longitud de la cuadra. Registra los datos en la siguiente tabla: Descripción de la unidad de medida Longitud de la cuadra en la unidad elegida Medida en cm de la unidad elegida Longitud estimada en cm de la cuadra Analicemos ahora las unidades para medir superficies, por ejemplo: de un terreno, del banco donde estudias, de la mesa donde almuerzas, de la cancha de fútbol, de la pista donde patinas, entre otras. En el sistema métrico decimal se toma como unidad de medida de superficie el metro cuadrado (m2), sus múltiplos (km2, hm2, dam2) y submúltiplos (dm2, cm2, mm2). Por ejemplo: Calcula el área aproximada de las siguientes figuras, tomando como unidad el cuadrado coloreado (como no sabemos qué Departamento de Matemática Pág. 3 de 8 Escuela Industrial Superior Matemática I -A02- medidas tiene dicho cuadrado, a su superficie se la denota u2-es decir unidades cuadradas-). 1)…………….; 2)……………; 3)…………..4)……………….. Como habrás visto en la actividad anterior en algunos casos las mediciones son aproximadas ya que debes particionar la unidad para poder cubrir la superficie a medir, por ello en general las unidades de superficie que se escogen son cuadradas. Por ejemplo, una antigua unidad para medir superficies fue el pie cuadrado Pie cuadrado: El pie cuadrado es una unidad de superficie del sistema anglosajón de unidades, equivalente a un cuadrado de un pie de lado. Otra unidad muy conocida fue la: Vara cuadrada: equivale a un cuadrado, cuyo lado tiene la longitud de la unidad de medida llamada vara. Pero también se pueden buscar otras medidas no convencionales para medir superficies aunque en algunos casos sólo te den medidas aproximadas. Por ejemplo: -El palmo de la mano para medir la superficie de una mesa. -Un mesa redonda para medir la superpie de un salón de fiestas. -Un ladrillo para medir la superficie de una pared. 1-Describe una unidad de medida y en qué tipo de superficies sería más conveniente utilizarla:……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………. 2-Elige distintos objetos como unidades de medición y completa el siguiente cuadro Unidad de medida elegida Superficie a medir Área de la superficie medida con tu unidad Área en cm 2 de tu unidad de medida Área en cm 2 de la superficie medida. La tabla de la mesa donde comes en tu casa La superficie delantera de una remera mangas cortas La superficie del asiento de tu banco de Departamento de Matemática Pág. 4 de 8 Escuela Industrial Superior Matemática I -A02- clases 3- Mide la tabla de la mesa donde comes en tu casa con las siguientes unidades: La base de una caja de fósforos, una de las tapas de tu carpeta, una bandeja de cocina rectangular o cuadrada. Registra las medidas en la siguiente tabla: Unidad de medida Base de la caja de Tapa de carpeta fósforos Bandeja de cocina Medida de la tabla de mesa ¿Qué puedes concluir acerca de la relación entre el tamaño de la unidad de medida escogida y la medida del objeto que mediste?. 4- La superficie de un objeto fue medido con distintas unidades y los resultados fueron: xcm2; wm2; zkm2; ymm2 (siendo w, x, y, z números naturales). Ordena w, x, y, z de menor a mayor. Unidades de volumen Como sabes, nos movemos en un mundo tridimensional, en nuestro entorno observamos continuamente objetos de diversas formas: pelotas, cajas, pirámides, embudos; por lo que el concepto de volumen es importante en nuestra vida diaria y en más de una ocasión seguro necesitaste medir el volumen de determinados cuerpos. El volumen de un cuerpo es el espacio que ocupa. La unidad convencional para medir volumen es el metro cúbico (que es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista), sus múltiplos y ( ) submúltiplos km 3 , hm 3 , dam 3 , dm 3 , cm 3 , mm 3 . Por ejemplo, si tomamos como unidad el cubo podemos decir que el cuerpo está compuesto por cinco de estas unidades. Más aún, tal como trabajaste con superficie, como no sabemos cuál es la medida de las aristas del cubo unidad, a su volumen lo denotamos u 3 (unidad cúbica). Entonces, el volumen del cuerpo es………….......... Te proponemos ahora que, nuevamente tomando como unidad el cubo indiques el volumen de los siguientes cuerpos, teniendo en cuenta que en los dos primeros se muestra también la sombra que proyectan (huella) en el plano de la base. Departamento de Matemática Pág. 5 de 8 Escuela Industrial Superior a) ………………………. b) Matemática I -A02- c) ……………………… volumen del prisma…….. Si sabemos ahora que el cubo unidad tiene un centímetro de arista: ¿Cuál es el volumen de la unidad? ………………………………………………………………………………………… ¿Cuál es el volumen de cada cuerpo? ………………………………………………………………………………………… Habrás notado aquí que para medir el volumen de un cuerpo contamos el número de cubos que contiene. Sin embargo, el cálculo de volúmenes en otros cuerpos geométricos, como aquellos con los cuales trabajamos en clase: algunos poliedros y sólidos de revolución (prismas, pirámides, conos, esferas), fue un poco más complicado hasta que un matemático (Cavalieri) demostró un principio que facilitó en gran medida su estudio y permitió desarrollar las fórmulas con las que trabajamos habitualmente. Veamos entonces una de las relaciones existentes entre dos de estas fórmulas. Construye con cartulina un cilindro y un cono de altura y bases iguales, comprobá que la cantidad de arena que puede contener el cilindro es exactamente 3 veces lo que puede contener el cono. De aquí que: Volumen del cono = Vol. cilindro 3 Hasta acá vimos cómo calcular el volumen de algunos cuerpos, ¿cómo te parece que podríamos hacerlo para cuerpos irregulares, como por ejemplo una piedra? Te proponemos que ingreses al siguiente link y lo descubras. http://concurso.cnice.mec.es/cnice2005/93_iniciacion_interactiva_materia/curso/materiales/propied ades/volumen.htm Departamento de Matemática Pág. 6 de 8 Escuela Industrial Superior Matemática I -A02- En la actualidad se siguen utilizando unidades no convencionales para medir volumen, por ejemplo: - Un acoplado pequeño para traslado de animales, por ejemplo se dice que tiene espacio para 5 o 6 animales. La unidad de medida utilizada aquí es……………………………... - Al comprar naranjas al por mayor, se suelen pedir cajones de naranjas que estimativamente contienen 100 naranjas cada uno. La unidad de medida utilizada aquí es……………………………... Te animas a medir el volumen de otros cuerpos, utilizando el procedimiento que creas adecuado al igual que la unidad que consideres conveniente. Completa la tabla: Unidad de Cuerpo a Volumen del medida escogida medir cuerpo en la unidad elegida Caja de zapatos Heladera Caja de fósforos Zanahoria Hielera Huevo ¿Qué procedimiento empleaste en cada caso? ¿Por qué? ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………… Describe brevemente cada uno. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………. Volumen y capacidad Previamente vimos el concepto de volumen, analicemos ahora el de capacidad y establezcamos relaciones entre ambos. Como habrás observado a tu alrededor, en tu casa, en la escuela, Departamento de Matemática Pág. 7 de 8 Escuela Industrial Superior Matemática I -A02- algunos objetos, por su forma, pueden contener sustancias; esos objetos se llaman recipientes y de ellos se puede medir tanto su capacidad como su volumen. La capacidad indica cuánto puede contener o guardar un recipiente. Generalmente se expresa en litros (l). Por ejemplo, una taza vacía tiene un volumen, ocupa un lugar en el espacio y, como es un recipiente, también se puede medir su capacidad y el volumen del líquido que contenga. En cambio, de otros objetos, por ejemplo una piedra, sólo se puede medir su volumen. La piedra no es un recipiente. Para profundizar sobre esta relación realicemos la siguiente experiencia: Construye cubos sin tapa de 5cm, 10cm y 15 cm de arista. Necesitarás también una botella de un litro, que puedes llenar con agua o con arena. Ten en cuenta que si trabajas con agua, debes realizar los cubos de un material adecuado para que no se arruinen, por ejemplo, puedes usar acetato. ¿En cuál de los recipientes que preparaste crees que entra un litro de agua? ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ¿Qué equivalencias puedes establecer entre el volumen del recipiente y su capacidad? ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Por último y después de realizar esta experiencia, te proponemos el siguiente desafío: gradúa, estimando, una botella de un litro y medio (de base plana)con una escala que marque los litros, decilitros y centilitros. Comprueba con una jarra graduada si tu trabajo ha sido correcto. ¿Cuál fue el procedimiento que utilizaste? ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………… ¿Fue lo suficientemente preciso? ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Departamento de Matemática Pág. 8 de 8