物体内の⼒（=内⼒）の状態 2 〜Cauchyの応⼒原理〜⾯の⾯積をゼロに近づけるとき，すなわち Cuachy （コーシー）の応⼒ベクトル ì ï DF ( n) = ï ï DS  t í ï ï ï î mP  0 DS  0 のとき， ︓点Pにおける表⾯⼒ベクトル（traction vector）[F/L2] ︓点P周りのモーメントはゼロ Remark: ⾯の切り⽅に応じて異なる応⼒ベクトルが現れるので，その⾯を規定する法線ベクトル n への依存を明記するために(n)を付ける 3 物体内の⼒（=内⼒）の表現 4 応⼒の定義（2D） x1 ïìt1( e1 ) ïüï ( e1 ) ý îï 2 ïþï  {t } = íïït t ( e2 ) = (t ( e2 ) e1 ) e1 + (t ( e2 ) e2 ) e2 = t1( e2 ) e1 + t2( e2 ) e2  {t } = íïït t ( e1 ) = (t ( e1 ) e1 ) e1 + (t ( e1 ) e2 ) e2 = t1( e1 ) e1 + t2( e1 ) e2 ( e1 ) ( e2 ) ìït1( e2 ) üï ï ( e2 ) ý ïî 2 ïïþ t (jei ) = sij : i -⾯に働く j ⽅向の⼒応⼒テンソル︓ és s ù [s ] = êê 11 21 úú = éëê{t ( e ) } ës12 s22 û T 1 ét1( e1 ) {t }ùûú = êêt ( e2 ) ë ( e1 ) 2 t1( e2 ) ùú éê t ( e1 ) e1 = t2( e2 ) úû êë t ( e1 ) e2 t ( e2 ) e1 ùú t ( e2 ) e2 úû é s11 [s ] = êê 【注意】座標系に応じて応⼒テンソルの成分は異なる ës21 s12 ù ú s22 úû 任意の⾯上の応⼒ベクトルと応⼒テンソルの成分との関係 5 6 Cauchyの応⼒公式（2D）・⼒のつり合い条件 t (-e1 ) dS1 + t (-e2 ) dS 2 + t ( n ) dS + bdV = 0 t (-e1 ) = -t ( e1 ) , t (-e2 ) = -t ( e2 ) dS1 = n1dS , dS2 = n2 dS -t ( e1 ) (n1dS ) - t ( e2 ) (n2 dS ) + t ( n ) dS + bdV = 0 dS  dV t ( n ) = n1t ( e1 ) + n2 t ( e2 ) = éëê t ( e1 ) ì ï n1 ü ï t ( e2 ) ùûú ï í ï ý ïn2 þ ï ï ï î Cauchyの応⼒公式 ì ït ( n ) ü ï ì ï n1 ü ï t ( e2 ) ùûú ï í ï ý ï ï n t 2 ï þ ï î ï2 þ ï î ét1( e1 ) t1( e2 ) ù ï ì ü é ì n1 ï ü s s21 ù ï n ï T 1 11 ï úï = ê (e ) (e ) ú ï ý = êê í ï ý = [s ] {n} êt 1 t 2 ú í ú ï ï ï ï n s s n 22 û î ï 2þ ï ë 12 ï 2þ ï 2 ë2 ûî {t ( n) } = ïíï 1( n) ïýï = éëê t (e ) q n e2 90 - q q n e1 7 Cauchy応⼒テンソルの成分（2D&3D） 8 1 Cauchy応⼒テンソル é t ( e1 ) [s ] = êê 1( e ) ët1 2 t2( e1 ) ùú é s11 =ê t2( e2 ) úû êës12 ・モーメントのつり合い条件 T [s ] = [s ] （対称性）例︓解析結果のCauchy応⼒をどう⾒るか Cauchyの応⼒公式（2D） ìït ( n ) üï îït2 þï ét ( e1 ) t1( e2 ) ùú ïïì n1 ïïü é s11 í ý= ê t2( e2 ) úû ïîïn2 ïþï êës12 {t ( n) } = íïï 1( n) ýïï = êê 1(e ) é s11 [s ] = êê ës12 1 ët 2 s12 ù és xx ú=ê s22 úû êës xy s21 ù ïìï n1 ïüï ú í ý = [s ]{n} s22 úû ïîïn2 ïþï s xy ù é s x ú=ê s yy úû êët xy 垂直応⼒成分 t xy ù ú s y úû せん断応⼒成分 Cauchyの応⼒公式（3D） {t ( n) ìt1( n ) ï ü é ( e1 ) ï ï ïï êt1 ï ( n ) } = ïïít2 ïïý = êêt2(e1 ) ï ( n ) ï êt ( e1 ) ïït3 ï ï ëê 3 î þ é s11 s12 ê [s ] = êês12 s22 ês ë 31 s23 t1( e2 ) t t ( e2 ) 2 ( e2 ) 3 t1( e3 ) ùú ïì n1 ïü é s11 ïï ïï ê t2( e3 ) úú ín2 ý = ês12 ï ï ê t3( e3 ) ûúú ïïîïn3 ïïþï ëês13 s31 ù éês xx ú s23 ú = êês xy ú s33 úû êëê s zx s xy s yy s xy s21 s22 s23 s31 ù ïì n1 ïü ú ïï ïï s32 ú ín2 ý = [s ]{n} úï ï ï s33 ûú ïïî ï ïn3 ï þ s zx ùú éê s x s xy úú = êêt xy s zz úûú êëê t zx t xy sy t xy t zx ùú t xy úú s z úûú 垂直応⼒成分せん断応⼒成分メッシュ図（ANSYS PLANE183） s12 ù ú s22 úû 変形図 9 10 例︓解析結果のCauchy応⼒をどう⾒るか Cauchyの応⼒テンソルの不変量 • 変形して平衡状態にある構造物内のある点の応⼒状態が，次のように与えられたとき，その構造物の安全性をどう評価するか︖ 第1不変量︓ I1 = trs = 3 ås pp = s11 + s22 + s33 p=1 = (s x + s y + s z ) = s1 + s2 + s3 第2不変量︓ I = 2 3 1 å 2 éêës p=1 pq 静⽔圧成分 I1 （平均直応⼒）＝ 3 2ù 1 1 2 2 s pq - (s pp ) ú = éê trs 2 - ( trs ) ùú = éês : s - ( trs ) ùú û 2ë û û 2ë 1é 2 2 2 2 2 2 s11 + s22 + s33 + 2s122 + 2s23 + 2s31 - (s11 + s22 + s33 ) ùú û 2 ëê 2 2 2 = s12 + s23 + s31 - s11s22 - s22s33 - s33s11 = = (t xy2 + t yz2 + t zx2 - s x s y - s y s z - s z s x ) 1é 2 2 s1 + s22 + s32 - (s1 + s2 + s3 ) ùú û 2 êë = -(s1s2 + s2s3 + s3s1 ) s = 第3不変量︓ I 3 = 11 12 応⼒テンソルの各種成分（2D&3D） Cauchyの応⼒テンソル︓s ésij ù ëê ûú 偏差応⼒︓ s13 ù é s11 s12 s13 ù é sM 0 0ù ú ê ú ê ú s23 ú = ê s22 s23 ú - ê sM 0 ú ú ê ú ê ú ú ê ú ê s33 û ësym. s33 û ësym. sM úû é 2s11 - s22 - s33 ù 3s12 3s13 ú 1ê ú = ê 2s22 - s33 - s11 3s23 ú 3 êê ú sym. 2 s s s 33 11 22 û ë é 2s x - s y - s z ù é 3t xy 3t zx sxy ú ê sx 1ê ú=ê = êê sy 2s y - s z - s x 3t yz ú ê 3ê ú êsym. sym. 2 s s s z x y ëê ûú ë 3 ås pp = trs = sx + s y + sz = s1 + s2 + s3 = 0 （偏差応⼒の定義から⾃明）第2不変量︓ J 2 = 3 1 1é 2 1 1 2 2 trs - ( trs ) ùú = éê s : s - ( trs ) ùú = s : s = å s pq s pq ê û 2ë û 2 2ë p , q=1 2 1 2 1 2 2 2 2 + s33 + 2 s122 + 2 s23 + 2s31 = ( s12 + s22 + s32 ) s11 + s22 ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 2 = ( sx + s y + s33 + 2 sxy + 2 s yz + 2 szx ) 2 2 2 = -s11s22 - s22 s33 - s33 s11 + s122 + s23 + s31 1 sij = sij - sM dij = sij - s pp dij 3 = ïìí s = s - s I = s - 1 s I ïüý M pp ïîï ïþï 3 é s11 s12 ê ê s22 ê êsym. ë s1i s2 j s3k = det s = s1s2s3 p=1 3 静⽔圧成分と呼び，p と書くこともある ijk i , j , k =1 偏差応⼒テンソルの不変量第1不変量︓ J1 = 1 1 1 1 1 1 平均直応⼒︓ sM = å s pp = trs = I1 = (s11 + s22 + s33 ) = (s x + s y + s z ) = (s1 + s2 + s3 ) 3 3 3 3 3 p =1 3 3 åe 1 2 2 2 2 2 = éê(s11 - s22 ) + (s22 - s33 ) + (s33 - s11 ) ùú + s122 + s23 + s31 û 6ë 1 2 2 2 = éê(s1 - s2 ) + (s2 - s3 ) + (s3 - s1 ) ùú =せん断応⼒のノルム（⼤きさ） û 6ë szx ù ú s yz ú ú sz ûú 偏差応⼒の静⽔圧成分︓ sx + s y + sz 3 =0 第3不変量︓ J 3 = det s = 1 2 2 sij s jk ski = s11s22 s33 + 2s12s23s31 - s11s23 - s22s31 - s33s122 = s1s2 s3 3 13 例︓解析結果のCauchy応⼒をどう⾒るか 14 A. 材料の降伏状態を知りたい例︓解析結果のCauchy応⼒をどう⾒るか A. 材料の降伏状態を知りたい平均応⼒ 1 1 4  m   11   22   33    2  2  0   3 3 3 1     M  I1; I1  4  3   2  2 1 0 1 0 0   3 4    [ s ]  [ ]   M [ I ]  1 2 0   0 1 0    1  3  0 0 0  0 0 1   0  偏差応⼒の不変量偏差応⼒ 2 2 2 3 2 J1  I   s11  s22  s33  ⼀軸応⼒ s s s 2 1 2 （von-Misesの）相当応⼒ 15 f (s ) = seq - sY B. ある⾯の⼒の⼤きさを知りたい 2 x  y  c  2  x  1 y  c t = sn é 2 1ù ú [s ] = ê êë 1 2úû {n} = ì ü 2ï 1 ï ï í ï ý 1 5ï ï ï ï î þ é 2 1ù 1 ìï 2üï 5üï 1 ìï ú íï ýï = íï ýï ú ï ï ï 1 2 1 5 5 ï ë û îï þï îï4þï 16 7  7 3 例︓解析結果のCauchy応⼒をどう⾒るか C. ある点の引張／圧縮の様⼦を知りたい {n}を持つ⾯上での応⼒ベクトル [s ]{n} = {t ( n) } sx （Cauchyの応⼒公式）が法線⽅向を向くような⾯を探せないか︖ すなわち，その⾯の法線ベクトルを {n }としたとき， l ì2ï ü 14 1 1 ï t N = t n = {t } {n} = {5 4} ïí ïý = ï 1 5 5î ï ï ï 5 þ ì2ï ü 14 ï ì ü 2ï 14 1 ï ï  { p} = (t n) {n} = t N {n} = ´ ï í ï ý= í ï ý ï ï 1 1 5 5ï 5 5 ï þ ï ï ï ï î î þ T æ ö ççtT = s = 3 ÷÷ çè 5 ø÷   eq  3J 2  3  単位法線ベクトル応⼒ベクトルの法線⽅向（垂直）成分︓ {s} = {t } - { p} =  “⼒”として直感的に理解しやすい表現は「引張」と「圧縮」の1⽅向 2x  y  c {t } = [s] {n} = êê 2 2 4   0 3 3 3 相当（von-Mises）応⼒ 2 2 F (s ) = 2 J 2 - sY = s - sY 3 3 例︓解析結果のCauchy応⼒をどう⾒るか Cauchyの応⼒公式 0 16 4 20  2  2  4   4 J 3  III   det[ s ]          11        27 3 27  3  3  3   3 von-Misesの降伏関数 3 2 2 2 3 s1  s2  s3  2 J 2  3 J 2   eq 2 2 2 3  0   0    4  3  1 2 1  4 4 16  7 2 2 2 2 2 s11  s22  s33  2 s12  2s23  2s31      2  0  0  2 29 9 9  3 J 2  II   2 2  2        1   1   1   1   3  3   3  3 1 [s ]{nl } = {t ( n l 1 ìïï5üïï 14 ìïï2üïï 1 ìïï-3üïï í ýí ý= í ý ï ï ï ï 5 îï4þï 5 5 îï1þï 5 5 ïîï 6 ïþï ) } = l {nl } ([s ] - l [1]){nl } = 0 となるような，⾮⾃明解の組 l, {nl } を探す数学的には固有値問題 2x  y  c 主応⼒（＝固有値）主応⼒⽅向（＝固有ベクトル） 17 例︓解析結果のCauchy応⼒をどう⾒るか 18 例︓解析結果のCauchy応⼒をどう⾒るか C. ある点の引張／圧縮の様⼦を知りたい [s ]{nl } = l {nl } 特性⽅程式︓ ìnl ï ü æ é 2 1ù é1 0ù ö÷ï 1 ú -l ê ú÷÷ï  ççç ê í lï ý= 0 ê ú ê ú çè ë1 2û ë0 1û ø÷ï ïn2 ï ï ï ï î þ é 2 1ù é 1 0ù ú -l ê ú =0  ê êë 1 2úû êë 0 1úû （⾃明解を求める） x2  l 2 - 4l + 3 = 0  (l -1)(l - 3) = 0 ìl1 = 3 ï  ï í 固有値 ï ï îl2 = 1   I   1   1     1 3  4  ìnl1 ï ü æ öï 1 çç éê 2 1ùú -1 éê1 0ùú÷÷ï í lï ý= 0 ççè ê1 2ú ê 0 1ú ø÷÷ï ë û ë û î ïn21 ï ï ï ï þ æ é 2 1ù é1 0ù ö÷ïìn1l2 ïü çç ê ú -1 ê ú÷ïí ïý = 0 çèç ëê 1 2ûú ëê0 1ûú ø÷÷ïïnl2 ïï îï 2 þï  n1l1 - n1l1 = 0  n1l2 + n1l2 = 0 {n } l1 ìnl1 ï ü ï ì1ï ü 1 ïï ï ï =í 1 ý= íï ý l1 ï ï ï ï 1 2 ïþ ï î ïn2 þ ï ï ï î ( x + y = C1 ) 19 (2 - l )(2 - l ) -1 = 0 ii) l2 = 1 i) l1 = 3  C. ある点の引張／圧縮の様⼦を知りたい固有ベクトル  {n } l2 x1  e1  1 1 1  e1       2 1 1  e2  e2  ïìïnl2 ïüï 1 ïïì 1 ïïü =í 1 ý= í ý ïïnl2 ïï 2 ïîï-1ïþï îï 2 þï ( x - y = C2 ) 固有ベクトル例︓解析結果のCauchy応⼒をどう⾒るか C. ある点の引張／圧縮の様⼦を知りたい（補︓Mohrの応⼒円） [T ]  20 1  1 1   2  1 1 対⾓化 [ ]  [T ]T [ ][T ]  1 1 1  2 1  1  1 1 1 0        2 1 1  1 2  2  1 1 0 3 主応⼒︓内⼒の引張／圧縮による表現例として、点Pにおける⼒の状態がある⽅向①に引張、それと直交する⽅向②に圧縮が作⽤していることを想定する。 Cauchyの応⼒公式を⽤いて、⽅向①と②の単位法線ベクトル n1 と n2 (n ) (n ) と、対応する応⼒ベクトル t 1 , t 2 を求めてみよう。このとき、応⼒ベクトルと⾯の法線ベクトルが同⽅向であることに注意。 [s ]{ni } = {t ( n ) } = li {ni } i t ( n1 ) ①︓n1 t ( n2 ) ②︓n2 [s ]  ([s ]- li {1}){ni } = 0 固有⽅向固有値（主応⼒）（単位ベクトル）（主⽅向）⾏列 [s ] の固有値問題 21 主応⼒︓内⼒の引張／圧縮による表現 x¢ t ( n1 ) s1 n1 s2 y¢ t ( n2 ) n2 ⽅向①の単位法線ベクトル︓ n1 ⽅向②の単位法線ベクトル︓ n2 を基底ベクトルとする座標系で応⼒テンソルの成分を表現 él1 0 ù és1 0 ù ê ú=ê ú ê 0 l2 ú ê 0 s2 ú ë û ë û 固有⽅向を法線ベクトルに持つ⾯上ではせん断応⼒は⽣じないせん断応⼒のみが⽣じる⾯も定められる（主⽅向から45°傾いた⾯） 23 最⼤せん断応⼒（主応⼒差の半分） t max = s1 - s2 2 24 応⼒テンソルとそのマトリックス表記 Cauchyの応⼒公式（2D） ü ét ( e1 ) ïìt ( n ) ï {t ( n) } = ïíï 1( n) ïýï = êê 1(e1 ) ï ët2 îït2 þ 【フォークト表記】 ù ïì n1 ïü é s11 s21 ù ïì n1 ïü ú ïí ïý = ê ú ïí ïý ú t û ïîïn2 ïþï êës12 s22 úû ïîïn2 ïþï ïìs ïü é n1 0 n2 ù ïï 11 ïï T ê ú s = [ m ]{s} = [s ] {n} = ê 0 n2 n1 ú íï 22 ýï ë û ïïs ïï îï 12 þï ( e2 ) 1 ( e2 ) 2 t Cauchyの応⼒公式（3D） ïìt ( n ) ïü ét ( e ) t ( e ) t ( e ) ù ïì n ïü 1 1 ï1 ï ê1 úï 1ï 1 {t (n) ï ï } = ïíït2( n) ïýï = êêt2(e1 ) ïït ( n ) ïï êt ( e1 ) îï 3 þï ëê 3 é n1 ê T = [s ] {n} = ê 0 ê ê0 ë 垂直応⼒成分 3 2 ( e2 ) 2 ( e2 ) 3 t t t t 0 n2 0 ( e3 ) 2 ( e3 ) 3 0 0 n3 é s11 ê ú ïín ï ê = ý ú ï 2 ï ês12 ï úï ê n ï ï ï 3þ ï ës13 ûú î 0 n3 n2 n3 0 n1 s21 s22 s23 é n1 0 ë0 n2 [ m ] = êê n2 ù ú n1 úû ひずみテンソルとそのマトリックス表記 • 本来はひずみもテンソル量︓⾏列で書くと対称⾏列 2D é e11 ïìïs11 ïüï ï ï ïï ïï îïïs12 þïï ê ê e12 ë {s} = ïís22 ïý e21 ù é ex ú=ê e22 úû êëexy exy ù ú e y úû せん断応⼒成分法線“⾏列” ü ïìïs11 ï ïï ï ï ï s22 ï ï n2 ù ïï ï ú ïs33 ï ï = [ m ]{s} n1 ú ïí ï ú ïs23 ý ï ï ï ú 0 û ïï ï ï ïïs31 ï ïï ï ï ï îïs12 ï þ 3D せん断ひずみ成分 é e11 ê ê e12 ê êe ë 13 e21 e22 e23 e31 ù éê ex ú e32 ú = êê exy ú e33 úû êêë ezx exy ey e yz • ひずみもテンソルのベクトル（フォークト）表記応⼒“ベクトル” 垂直ひずみ成分 ìïs11 üï ïï ïï ïïs22 ïï ïï ïï ïs ï {s} = ïí 33 ïý ïïs23 ïï ïïïs ïïï ïï 31 ïï ïîïs12 ïþï ìn ï ü s31 ù ï ú ï 1 ïï s32 ú íïn2 ý úï ï ï s33 úû ï ïî ï ïn3 ï þ 垂直ひずみ成分 2D ì ïï e11 üïï ïìï ex ïüï ïìï ex ïüï ï ï ï ï ï ï í e22 ý = ïí e y ïý = ïí e y ïý ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïîï2e21 ïþï ïîï2exy ïþï ïîïg xy ïþï é n1 ê 0 0 0 [ m ] = êê 0 n2 n3 0 0 ê0 ë n3 0 n3 n2 n1 n2 ù ú n1 ú ú 0 úû 注意︕ 3D “⼯学”せん断ひずみ成分 ìï e11 üï ìï ex üï ìï ex üï ïï ïï ïï ïïï ïï ïï ïï e22 ïïï ïïï e y ïïï ïïï e y ïïï ïï e ïï ïï e ïï ïï e ïï ïí 33 ïý = ïí z ïý = ïí z ïý ïï2e12 ïï ïï2e yz ïï ïïg yz ïï ïï ï ï ï ï ï ïï2e31 ïïï ïïï2ezx ïïï ïïïg zx ïïï ïï ï ï ï ï ï ïî2e12 ïïþ ïïî2exy ïïþ ïïîg xy ïïþ ezx ùú e yz úú ez úúû 25 26 ひずみテンソルの各種成分様々な弾性パラメータ • 弾性係数（Elastic modulus）= ヤング係数（Youngʼs modulus）︓E テンソル表記 • ポアソン⽐（Poissonʼs ratio）︓ n • 体積ひずみ︓ eV = e11 + e22 + e33 = ex + e y + ez é e11 ê • 偏差ひずみ︓ êê êsym. ë ⾏列・ベクトル表記 e12 e22 é e e13 ù é e11 e12 e13 ù 0 0 ù é ex exy ú ê ú 1ê V ú ê e23 ú = ê ey e22 e23 ú - ê eV 0 ú = ê ú ê ú 3ê ú ê êsym. e33 úû êësym. e33 úû eV úû êësym. ë é 2e x - e y - e z ù 3exy 3ezx ú 1ê ú = êê 2e y - e z - e x 3e yz ú 3ê ú sym. 2 e e e z x y úû êë • 体積ひずみ︓ ïìï ex ïüï ïï ïï e ïïï y ïïï ïï ez ïï eV = {1 1 1 0 0 0}í ý ïïg yz ïï ïïïg zx ïïï ïï ïï ïîïg xy ïþï • 偏差ひずみ︓ ìï ex üï é 2 -1 -1 0 ex üï 0 0 ù ìï ïï ïï ê úï ï ï ï ïï e y ïï ê-1 2 -1 0 0 0 ú ïï e y ïï ê úï ï ïï ïï ï ez ï ïï ez ïï 1 êê-1 -1 2 ï 0 0 0 úú ï ï í ý= ê í ï ý ú ïïeyz ïï 3 ê 0 g 0 0 32 0 0 úï yz ï ï ï ï ï ê0 ú ïïïezx ïïï ï 0 0 0 3 2 0 ú ïg zx ï ï ê ïï ïï ï ï ï ï ê ú ïîïexy ïþï g 0 0 0 0 3 2úû ï êë 0 xy ï ï ï î þ ezx ù ú eyz ú ú ez úû • せん断弾性係数（Shear modulus）︓ G = E 2 (1 + n ) E • 体積弾性係数（bulk modulus）︓ k = l + 2 m = 3 3(1- 2n ) • ラーメ定数（Lamé constants）︓ ì nE ï ï l= ï ï (1- 2n )(1 + n ) ï í ï E ï =G m= ï ï ï î 2 (1 + n ) 静⽔圧成分 • 静⽔圧成分と偏差成分ごとの構成則︓ s = sM i + s = keV i + 2me (sM = keV ) ì ì ì1ï ü ì ì1ï ü sx ü sx ü ex ü ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï1ï ï ï sy ï ï1ï ï sy ï ey ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï sz ï ï ï ez ï ï ï1ïï ïï sz ïï ï1ï ï ï ï ï ï í ý = sM í ý + í ý = keV í ý + 2m í ýï ïs yz ï ï ï0ï ï ï ïs yz ï ï ï0ï ï ïeyz ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï s zx ï szx ï ezx ï 0ï 0ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïs ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïe ï ï ï ï ï ï ï0þ ï î ï0ï î î þ ï xy þ ï ïsxy þ ï ï xy þ ïï î î 偏差成分