固有値解析から見た地震時の土構造物

Introduction
第７回NIED-NU研究発表会
keyword 固有モード，刺激係数
これからの話に置き換えると・・・
東日本大震災からの教訓と課題…
防災・減災…
巨大自然災害被害予測…
南海トラフ巨大地震…
津波・浸水…
液状化被害…
ハザードマップ…
興味津々！！
固有値解析から見た地震時の
土構造物-地盤系の崩壊について
防災の話をすると，
外力
自身の防災魂がくすぐられる
固有モード
省エネルギー…
窒化ガリウム…
p型結晶…
名古屋大学
野田利弘・山田正太郎
青色発光ダイオード…
n型結晶…
刺激係数大
ノーベル賞…
有機金属化学気相成長法…
興味はあるが・・・
物理学の話をすると，
外力
自身の物理学魂はあまりくすぐられない
固有モード
刺激係数小
2
1. 背景および目的
発表の流れ
土構造物や地盤の耐震性評価
数値解析上では，
1. 対象とする土構造物や地盤をモデル化し，
2. 過去の地震や模擬地震を用いて地震応答解析を行う
1. 背景および目的
2. 固有値解析
問題点
たとえ加速度が小さい別の地震でも，
振動特性の相性次第では，より大きな被害が生じるのでは
3. 地震応答解析
3.1 テーマ1 ： MODE-1に合うもの・合わないもの
3.2 テーマ2 ： MODEの違いによる壊れ方の違い
（だからと言って，あらゆる地震を用意して，個々に解析することは到底不可能）
固有値解析の導入：耐震性を適切に評価するために，
モデルの振動特性を事前に把握する
（ex 固有振動数，固有モードなど）
4. まとめ
5. 本研究の適用「補強工法」
用いる地震は，モデルにとって最も危険なのか?
（・・・時間があれば）
目的
3
固有値解析手法と地震応答解析を組み合わせ，
系の固有振動数および固有モード，地震の卓越振動数を
考慮しながら，土構造物-地盤系の耐震性評価を行う
4
1. 背景および目的
2.0 解析への準備
解析手順
固有値解析
1質点系
m
k
2質点系
② 盛土施工
f
③ 30年間の圧密放置計算
固有値解析
固有周期に合った
波を入力
固有周期とは外した
波を入力
2
変位　u
変位
0
0
-1
-2
0
10
20
30
第1次モード
第1次モードの固有周期と
同じ周期を持つ波を入力
1
-1
④ 固有値解析
固有周期や固有モードがわかる
-2
0
10
20
第2次モード
第2次モードの固有周期と
同じ周期を持つ波を入力
30
5
各モードで揺れる
揺れない
2.0 解析への準備
解析対象
諸条件
対象は圧密放置後の盛土・地盤系
以後，放置後を初期状態と定義する
本研究の固有値解析では，
• 材料および幾何学的非線形性
• 2相系
（間隙水による土骨格の束縛）
• 境界条件（地盤底面の粘性境界など）
• 制約条件（地盤側面の周期境界など）
を考慮している
解析手法
2次元平面ひずみ条件
地盤，盛土ともに2相系弾塑性体，飽和状態
非比例減衰系の振動問題におけるモード解析で用いる刺激係数  s  は，
 s  
地盤底面：水平方向粘性境界，鉛直方向固定
地盤側面：周期境界
底面
周期境界
6m
6m
11m
盛土
周期境界
砂層
y
80m
排水境界(大気圧)
非排水境界
ls  M 1
1
 s T
s  1   s     s  i
l M l
T
すなわち，
刺激係数大
刺激係数小
と評価できる
粘土層
2m
解析結果
・・・(8)
刺激係数とは，元の系の基盤加速度に対する，あるモード振動系の
基盤加速度の倍率である
刺激係数が大きいことは，そのモード振動系が大きな基盤加速度を受けることを
意味する
地盤側面：非排水境界
地表面：排水境界（大気圧）境界
（法面勾配 1.5 : 1）
6
2 固有値解析
メッシュ / 境界条件
境界条件
x
⑤ 地震波入力
時刻　t
時刻
揺れる（共振）
せん断ひずみ分布図
情報のリンク
固有振動数，固有モード，刺激係数など
⑥ 30年間の圧密放置計算
時刻　t
時刻
30年経過
盛土施工開始
c
固有周期や固有モードがわかる
1
圧密放置開始
① 地盤作成
固有値解析
2
メッシュ / 境界条件
3
水平方向粘性境界（   2.0(g/cm ) , Vs  1000(m/s) ）
鉛直方向速度境界（固定条件）
揺れやすい固有モード
揺れにくい固有モード
危険な固有モード，固有振動数
以降，固有モードを刺激係数の大きさによって評価する
（＝刺激係数の大きい順に固有モードを整理する）
7
8
2 固有値解析
3.1 テーマ1 ： MODE-1に合うもの・合わないもの
解析手法
入力地震波解析結果①
固有モード（ f ：固有振動数，h ：減衰定数，｜βs｜：刺激係数の絶対値）
複素固有ベクトルの実部
複素固有ベクトルの虚部
MODE-1
WAVE-1′
WAVE-1
WAVE-1″
MODE-1に合致する地震波
MODE-1に合致しない短周期地震波
MODE-2
地盤が変形するモード
加速度　a　(gal)
2
f = 0.826(Hz)，h = 0.710×10-2，｜βs｜= 0.307
MODE-3
300
300
300
200
200
200
100
0
-100
-200
3
-300
0
盛土が変形するモード
f = 1.935(Hz)，h =
0.723×10-2，｜β
s｜=
10
20
30
時刻　t　(sec)
0.193
200
上位3位までをMODE-1~3として抽出
フーリエスペクトル　(gal sec)
4
以上より，刺激係数の導入によって，
f = 1.745(Hz)，h = 0.515×10-2，｜βs｜= 0.163
1. 固有モードを客観的に抽出することが可能かもしれない
2. 5 抽出漏れというリスクをゼロにすることが可能かもしれない
「妥当な固有モードが本当に抽出されているか」を地震応答解析によって検証する
f = 2.027(Hz)，h = 0.216×10-2，｜β ｜= 0.133
s
9
← MODE-1
100
0
0
0.698(Hz)
← MODE-2
0.826(Hz)
← 卓越振動数
0.200(Hz)
1
2
3
4
5
長
周
期
側
へ
ず
ら
す
加速度　a　(gal)
s｜= 0.753
100
0
-100
-200
-300
0
10
20
30
時刻　t　(sec)
200
← MODE-1
0.698(Hz)
← 卓越振動数 0.700(Hz)
100
6
0
0
1
振動数　f　(Hz)
2
3
4
5
6
短
周
期
側
へ
ず
ら
す
100
0
-100
-200
-300
0
10
20
200
← MODE-1
0.698(Hz)
← MODE-2
100
0
0
0.826(Hz)
← 卓越振動数 0.967(Hz)
1
振動数　f　(Hz)
2
3
4
振動数　f　(Hz)
3.1 テーマ1 ： MODE-1に合うもの・合わないもの
3.1 テーマ1 ： MODE-1に合うもの・合わないもの
入力地震波解析結果①
入力地震波解析結果①
②
③
（長周期側）
大きな変化は
見られない
30年後
(2) 粘土層上端
地盤から盛土へ
せん断帯が進行
(3) 砂層上端
18時間後
WAVE-1″
（短周期側）
30年後
③
(1) 天端中央
46時間後
WAVE-1
6
10
代表点として以下に示す節点に着目する
18時間後
30年後
5
基盤面からみた相対水平変位
せん断ひずみ分布
WAVE-1′
②
30
時刻　t　(sec)
フーリエスペクトル　(gal sec)
f = 0.698(Hz)，h =
加速度　a　(gal)
地盤が変形するモード
③
MODE-1に合致しない長周期地震波
1
0.135×10-1，｜β
②
最大加速度は，200(gal)で統一
地震の卓越振動数が，MODE-1に合致するもの，しないものを準備
•
•
フーリエスペクトル　(gal sec)
刺激係数
順位
解析結果
大きな変化は
見られない
(4) 基盤面
11
12
3.1 テーマ1 ： MODE-1に合うもの・合わないもの
3.1 テーマ1 ： MODE-1に合うもの・合わないもの
入力地震波解析結果①
入力地震波解析結果①
②
③
10
20
粘土層上端と砂層上端
天端中央
天端中央
400
粘土層上端　10
200
砂層上端
20
ux　(cm)
ux　(cm)
40
20
0
-20
-40
0
40
20
0
-20
-40
0
粘土層上端と天端中央
30
40
20
0
-20
-40
0
40
20
0
-20
-40
0
粘土層上端と天端中央
粘土層上端　10
ux　(cm)
ux　(cm)
（短周期側）
30
粘土層上端　10
砂層上端
20
時刻　t　(sec)
WAVE-1″
天端中央
20
粘土層上端と砂層上端
10
30
砂層上端から粘土層上端にかけて，
（すなわち，粘土層内において）
粘土層上端　天端中央
変位が増幅された
20
粘土層上端と砂層上端
0
0
800
1
2
3
4
5
6
粘土層上端
粘土層上端
400
200
0
0
800
1
2
3
4
5
6
砂層上端
砂層上端
600
400
200
0
0
800
1
2
3
天端中央
天端中央
地震波の卓越振動数と
偶然一致していた
MODE-3で大きく増幅
600
4
5
6
400
砂層上端
20
13
30
時刻　t　(sec)
400
400
200
200
1
2
3
0
0
4
5
6
粘土層上端
粘土層上端
600
400
粘土層内で増幅
200
0
0
800
1
2
3
4
5
6
砂層上端
砂層上端
600
400
200
0
0
800
1
2
3
4
5
6
← MODE-1
0.698(Hz)
400
2
3
4
5
0
0
6
振動数 f (Hz)
1
2
3
4
5
6
粘土層上端
粘土層上端
600
400
200
0
0
800
1
2
3
粘土層内で増幅，
かつ，
MODE-1の振動数に
引き寄せられる
4
5
6
砂層上端
砂層上端
600
400
200
0
0
800
600
← MODE-1
0.698(Hz)
400
200
1
0
0
800
基盤面
基盤面
600
200
10
600
0
0
800
（短周期側）
天端中央
天端中央
600
基盤面
基盤面
600
30
粘土層上端　（長周期側）
600
30
WAVE-1″
800
800
天端中央
時刻　t　(sec)
WAVE-1
WAVE-1
WAVE-1′
800
粘土層上端　応答加速度スペクトル (gal sec)
（長周期側）
粘土層上端と天端中央
応答加速度スペクトル (gal sec)
ux　(cm)
WAVE-1′
40
20
0
-20
-40
0
40
20
0
-20
-40
0
③
応答加速度スペクトル
応答加速度スペクトル (gal sec)
ux　(cm)
基盤面からみた相対水平変位
②
1
2
3
4
5
6
基盤面
基盤面
← MODE-1
0.698(Hz)
200
1
2
3
4
5
振動数 f (Hz)
6
0
0
1
2
3
4
5
6
振動数 f (Hz)
3.2 テーマ2 ： MODEの違いによる壊れ方の違い
3.2 テーマ2 ： MODEの違いによる壊れ方の違い
入力地震波解析結果①
入力地震波解析結果①
•
•
②
③
最大加速度は，200(gal)で統一
地震の卓越振動数が，各MODEに合致するものを準備
MODE-1 / WAVE-1
MODE-2 / WAVE-2
地盤が変形するモード
46時間後
盛土が変形するモード
MODE-1
300
200
200
200
0
-100
-200
加速度　a　(gal)
300
加速度　a　(gal)
100
0
-100
-200
-300
0
10
20
-300
0
30
10
時刻　t　(sec)
← 卓越振動数 0.700(Hz)
100
1
2
3
振動数　f　(Hz)
MODE-2
-100
（WAVE-2を入力）
10
時刻　t　(sec)
0.698(Hz)
フーリエスペクトル　(gal sec)
フーリエスペクトル　(gal sec)
← MODE-1
0
-300
0
30
4
5
6
20
30年後
地盤から盛土へ
せん断帯が進行
30
200
← MODE-2
0.826(Hz)
← 卓越振動数 0.833(Hz)
100
0
0
地盤から盛土へ
せん断帯が進行
時刻　t　(sec)
200
200
0
0
20
30年後
22時間後
100
-200
フーリエスペクトル　(gal sec)
加速度　a　(gal)
（WAVE-1を入力）
300
100
③
せん断ひずみ分布
MODE-3 / WAVE-3
地盤が変形するモード
②
14
1
2
3
振動数　f　(Hz)
4
5
6
← MODE-3
79時間後
1.935(Hz)
← 卓越振動数 1.933(Hz)
MODE-3
100
（WAVE-3を入力）
0
0
1
2
3
振動数　f　(Hz)
4
5
6
15
30年後
盛土から地盤へ
せん断帯が進行
16
3.2 テーマ2 ： MODEの違いによる壊れ方の違い
3.2 テーマ2 ： MODEの違いによる壊れ方の違い
入力地震波解析結果①
入力地震波解析結果①
②
③
粘土層上端と天端中央
40
20
0
-20
-40
0
40
20
0
-20
-40
0
粘土層上端と天端中央
粘土層上端　800
10
20
粘土層上端と砂層上端
ux　(cm)
ux　(cm)
ux　(cm)
（WAVE-2を入力）
ux　(cm)
MODE-3
（WAVE-3を入力）
4
2
0
-2
-4
0
4
2
0
-2
-4
0
600
30
MODE-2
800
WAVE-1
を入力
天端中央
天端中央
粘土層上端　600
10
20
10
粘土層上端と天端中央
30
砂層上端から粘土層上端にかけて，
（すなわち，粘土層内において）
粘土層上端　天端中央
変位が増幅された
粘土層上端　30
砂層上端
20
30
時刻　t　(sec)
粘土層上端から天端中央にかけて，
（すなわち，盛土内において）
粘土層上端　天端中央
変位が増幅された
10
20
粘土層上端と砂層上端
30
0
0
800
2
3
4
5
6
粘土層上端
粘土層上端
400
粘土層内で増幅
200
0
0
800
1
2
3
4
5
6
砂層上端
砂層上端
600
400
200
0
0
800
1
2
3
4
5
6
基盤面
基盤面
600
20
0
0
800
200
1
2
3
4
粘土層上端
粘土層上端
600
400
200
0
0
800
1
2
3
粘土層内で増幅，
かつ，
MODE-1の振動数に
引き寄せられる
4
5
6
砂層上端
砂層上端
600
砂層内では，
MODE-2の振動数で
卓越している
400
200
0
0
800
1
2
3
4
5
6
基盤面
基盤面
← MODE-2
MODE-1 →
400
0.826(Hz)
0.698(Hz)
← MODE-1
0.698(Hz)
0
0
800
1
2
3
4
5
6
粘土層上端
粘土層上端
600
400
200
0
0
800
1
2
3
4
5
6
砂層上端
砂層上端
600
400
200
0
0
800
1
2
3
4
5
6
基盤面
基盤面
← MODE-3
1.935(Hz)
600
400
200
30
17
0
0
1
2
3
4
5
6
振動数 f (Hz)
0
0
200
1
2
3
5 本研究の適用「補強」
以上で得られた知見を次に示す
補強概要
有限変形場の速度型運動方程式を有する飽和土の初期値・境界値問題
に対して，固有値解析を行い，刺激係数を求める手法を新たに導出した
固有振動数が時々刻々と変化する弾塑性問題であっても，初期時の
固有振動数・固有モードが系の振動特性を把握するうえで重要な値となる
3.
地震の卓越周期が異なれば，異なる固有モードが卓越して現れ，
地震中・地震後の変形・破壊挙動に大きな影響を及ぼす
4.
刺激係数の絶対値によって，揺れやすい固有モードを客観的に抽出する
ことができる
5.
刺激係数を用いることで，揺れやすい固有モードの抽出漏れをゼロに
することができる
6.
互いに固有振動数が近い複数の固有モードにおいて，
刺激係数が小さい方の固有モードに合わせた地震波を入力しても，
刺激係数が大きい方の固有モードが卓越する
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
振動数 f (Hz)
18
固有値解析入力地震波地震応答解析
CASE1
CASE2
（MODE-1に対して補強）
（MODE-3に対して補強）
1要素ごとに
距離不変・角度不変
を設定
下端は
砂層中央まで
矢板を想定
19
4
振動数 f (Hz)
4 まとめ
2.
6
砂層上端
時刻　t　(sec)
1.
5
600
200
10
WAVE-3
を入力
400
200
1
600
400
粘土層上端　盛土内で増幅
砂層上端
20
粘土層上端と砂層上端
天端中央
天端中央
600
400
200
10
MODE-3
800
WAVE-2
を入力
天端中央
天端中央
400
時刻　t　(sec)
MODE-2
MODE-1
天端中央
応答加速度スペクトル (gal sec)
40
20
0
-20
-40
0
40
20
0
-20
-40
0
応答加速度スペクトル (gal sec)
（WAVE-1を入力）
③
応答加速度スペクトル
応答加速度スペクトル (gal sec)
MODE-1
ux　(cm)
ux　(cm)
基盤面からみた相対水平変位
②
のり面は1要素ごとに
距離不変・角度不変
を設定
のり面と杭の
角度も不変
杭は両端で
距離不変を設定
のり面補強土工を想定
* 設定は左右対称，地震直前に制約条件を入力，その他条件は無補強時と同様
20
5 本研究の適用「補強」
補強概要
5 本研究の適用「補強」
固有値解析入力地震波地震応答解析
CASE1
MODE-1
CASE1
MODE-1
f = 0.703(Hz)，h = 0.136×10-1，｜βs｜= 0.759
( f = 0.698(Hz)，h =
s｜=
(1)
0.753 )
MODE-1
f = 0.747(Hz)，h = 0.156×10-1，｜βs｜= 0.819
( f = 0.698(Hz)，h =
0.135×10-1，｜β
s｜=
0.753 )
MODE-2
MODE-2
2
(2)
f = 0.830(Hz)，h =
0.671×10-2，｜β
s｜=
0.289
(2)
MODE-3
f = 0.843(Hz)，h = 0.598×10-2，｜βs｜= 0.119
( f = 0.826(Hz)，h =
0.710×10-2，｜β
s｜=
0.307 )
3
(3)
MODE-3
f = 1.989(Hz)，h = 0.493×10-2，｜βs｜= 0.179
( f = 1.935(Hz)，h =
0.723×10-2，｜β
s｜=
(3)
24
0.193 )
f = 2.028(Hz)，h = 0.166×10-2，｜βs｜= 0.052
( f = 1.935(Hz)，h =
0.723×10-2，｜β
s｜=
固有値解析入力地震波地震応答解析
s｜=
f = 0.843(Hz)，h = 0.598×10-2，｜βs｜= 0.119
( f = 0.826(Hz)，h = 0.710×10-2，｜βs｜= 0.307 )
MODE-3
24
0.193 )
(3)
f = 2.028(Hz)，h = 0.166×10-2，｜βs｜= 0.052
( f = 1.935(Hz)，h = 0.723×10-2，｜βs｜= 0.193 )
* ()内は無補強時の値
22
固有値解析入力地震波地震応答解析
せん断ひずみ分布（地震後30年）
1
f = 0.703(Hz)，h = 0.136×10-1，｜βs｜= 0.759
③ 系に対してMODE-3があまり寄与しない
( f = 0.698(Hz)，h = 0.135×10-1，｜βs｜= 0.753 )
(1)
ひずみが矢板内に抑え込まれている
増加
MODE-2
MODE-2
④ MODE-3の刺激係数の減少と
f = 0.830(Hz)，h = 0.671×10-2，｜βs｜= 0.289
(2)同じ意味を持つ
( f = 0.826(Hz)，h = 0.710×10-2，｜β ｜= 0.307 )
変形の抑制
CASE1
すべり面が
発生せず
（WAVE-1を入力）
5
s
（実際，刺激係数は大幅に減少し，
MODE-3
順位も落ちている）
無補強
f = 0.747(Hz)，h = 0.156×10-1，｜βs｜= 0.819
( f = 0.698(Hz)，h = 0.135×10-1，｜βs｜= 0.753 )
2
(2)
f = 0.843(Hz)，h = 0.598×10-2，｜βs｜= 0.119
盛土が揺れにくくなっている
( f = 0.826(Hz)，h = 0.710×10-2，｜βs｜= 0.307 )
MODE-3
f = 1.989(Hz)，h = 0.493×10-2，｜βs｜= 0.179
⑤ MODE-3で揺れなくなった分，
( f = 1.935(Hz)，h = 0.723×10-2，｜βs｜= 0.193
他のモードで寄与分を受け持つ
0.723×10-2，｜β
(2)
MODE-1
②1 盛土が揺れにくくなっている
(3)
f = 1.989(Hz)，h = 0.493×10-2，｜βs｜= 0.179
補強概要
CASE2
MODE-1
3
( f = 0.698(Hz)，h = 0.135×10-1，｜βs｜= 0.753 )
5 本研究の適用「補強」
① CASE2において，盛土を補強
CASE1
(1)
)
21
5 本研究の適用「補強」
f = 0.747(Hz)，h = 0.156×10-1，｜βs｜= 0.819
5
固有値解析上で
CASE2の補強効果が確認できた
0.193 )
* ()内は無補強時の値
補強概要
(1)
MODE-2
( f = 1.935(Hz)，h =
(3)
MODE-1
1
2
加えて，
f = 0.830(Hz)，h = 0.671×10-2，｜βs｜= 0.289
(2)
MODE-3であるにも関わらず，
( f = 0.826(Hz)，h = 0.710×10-2，｜βs｜= 0.307
盛土での歪みがほとんどない
MODE-3
3
（その他の固有モードも同様）
5
( f = 0.826(Hz)，h = 0.710×10-2，｜βs｜= 0.307 )
CASE2
CASE2では，
1
固有振動数および減衰定数，刺激係数が
f = 0.703(Hz)，h = 0.136×10-1，｜βs｜= 0.759
(1)
大きく変化
( f = 0.698(Hz)，h = 0.135×10-1，｜βs｜= 0.753 )
（例 MODE-2
： MODE-3 1.935Hz → 2.028Hz）
1
0.135×10-1，｜β
固有値解析入力地震波地震応答解析
CASE2
1
(1)
補強概要
無補強
振動の抑制
CASE2
すべり面が
発生せず
24
)
(3)
f = 2.028(Hz)，h = 0.166×10-2，｜βs｜= 0.052
( f = 1.935(Hz)，h = 0.723×10-2，｜βs｜= 0.193 )
⑥ 第1位であり補強されてない部分でもある
地盤モードの刺激係数が増加
（WAVE-4を入力）
大幅減少
* ()内は無補強時の値
23
24

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