2015入試問題セレクト1～7

第 1 回入試解説問題
α コース
初めに赤玉 2 個と白玉 2 個が入った袋がある。その袋に対して以下の試行を繰り返す。
(i) まず同時に 2 個の玉を取り出す。
(ii) その 2 個の玉が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれば赤玉 2 個を袋に入れる。
(iii) 最後に白玉 1 個を袋に追加してかき混ぜ、1 回の試行を終える。
n 回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を Xn とする。
(1) X1 = 3 となる確率を求めよ。
(2) X2 = 3 となる確率を求めよ。
(3) X2 = 3 であったとき、X1 = 3 である条件付き確率を求めよ。
2015 北海道大学
β コース
n は自然数、a は a > 3 を満たす実数とし、実数 x の関数 f (x) =
2
ただし、n = 1 のときは、sinn−1 θ = 1 とする。
Z
(1)
π
2
n+1
sin
0
(2) f 0
³
π
2
θ dθ = n
n+1
Z
π
2
Z
x
(x − θ)(a sinn+1 θ − sinn−1 θ) dθ を考える。
0
sinn−1 θ dθ を示せ。
0
´
= 0 をみたす n と a の値を求めよ。
³
(3) (2) で求めた n と a に対して、f
π
2
´
を求めよ。
2015 北海道大学
第 2 回入試解説問題
α コース
次の問いに答えよ。
(1) n が正の偶数のとき、2n − 1 は 3 の倍数であることを示せ。
(2) n を自然数とする。2n + 1 と 2n − 1 は互いに素であることを示せ。
(3) p、q を異なる素数とする。2p−1 − 1 = pq 2 を満たす p、q の組をすべて求めよ。
2015 九州大学
β コース
次の問いに答えよ。
1
は x > 1 において単調に減少することを示せ。
x(log x)2
Z
1
(2) 不定積分
dx を求めよ。
x(log x)2
(1) 関数 y =
(3) n を 3 以上の整数とするとき、不等式
n
X
k=3
1
< 1 が成り立つことを示せ。
log 2
k(log k)2
2015 九州大学
第 3 回入試解説問題
α コース
四面体 OABC において、OA = OB = OC = BC = 1、AB = AC = x とする。頂点 O から平面 ABC に垂線を下
ろし、平面 ABC との交点を H とする。頂点 A から平面 OBC に垂線を下ろし、平面 OBC との交点を H’ とする。
−→ −
→ −→ −
→ −→ −
→
−→
−
→
−
→
−
→ −−→
−
→
−
→
(1) OA = a 、OB = b 、OC = c とし、OH = p a + q b + r c 、OH’ = s b + t c と表す。このとき、p、q 、r お
よび s、t を x の式で表せ。
(2) 四面体 OABC の体積 V を x の式で表せ。また、x が変化するときの V の最大値を求めよ。
2015 東京工業大学
β コース
4an − 9
(n = 1, 2, 3, · · · ) で定める。
an − 2
a + 2a2 + · · · + nan
また、数列 {bn } を bn = 1
(n = 1, 2, 3, · · · ) と定める。
1 + 2 + ··· + n
数列 {an } を a1 = 5、an+1 =
(1) 数列 {an } の一般項を求めよ。
(2) すべての n に対して、不等式 bn 5 3 +
4 が成り立つことを示せ。
n+1
(3) 極限値 lim bn を求めよ。
n→∞
2015 東京工業大学
第 4 回入試解説問題
α コース
実数 a に対し、xy 平面上の放物線 C : y = (x − a)2 − 2a2 + 1 を考える。次の問いに答えよ。
(1) a がすべての実数を動くとき、C が通過する領域を求め、図示せよ。
(2) a が −1 5 a 5 1 の範囲を動くとき、C が通過する領域を求め、図示せよ。
2015 横浜国立大学
β コース
次の問いに答えよ。
Z
(1) 定積分
0
log 3
dx
を求めよ。
ex + 5e−x − 2
(2) 1 個のさいころを 3 回続けて投げ、出た目を順に a、b、c とする。
Z π
不等式
(cos ax)(cos bx)(cos cx) dx > 0 を満たす確率を求めよ。
0
2015 横浜国立大学
第 5 回入試解説問題
α コース
実数 x、y が |x| 5 1 と |y| 5 1 を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
p
√
0 5 x2 + y 2 − 2x2 y 2 + 2xy 1 − x2 1 − y 2 5 1
2015 大阪大学
β コース
自然数 n に対して関数 fn (x) を fn (x) =
Z
(1)
Z
n
1
fn (x) dx 5
0
³
´
x
log 1 + x
(x = 0) で定める。以下の問いに答えよ。
n(1 + x)
n
log(1 + x) dx を示せ。
0
Z
(2) 数列 {In } を In =
n
fn (x) dx で定める。0 5 x 5 1 のとき、log(1 + x) 5 log 2 であることを用いて、数列
0
{In } が収束することを示し、その極限値を求めよ。ただし、 lim
n→∞
log x
= 0 であることは用いてよい。
x
2015 大阪大学
第 6 回入試解説問題
α コース
2 つの関数を f0 (x) = x 、f1 (x) = x + 1 とおく。x0 = 1 から始め、各 n = 1, 2, · · · について、それぞれ確率
2
2
2
1 で x = f (x
2 となる確率 P を求めよ。
n
0 n−1 ) または xn = f1 (xn−1 ) と定める。このとき、xn <
n
2
3
2015 京都大学
β コース
³
´
2 つの関数 y = sin x + π と y = sin 2x のグラフの 0 5 x 5 π の部分で囲まれる領域を、x 軸のまわりに 1 回
8
2
転させてできる立体の体積を求めよ。
2015 京都大学
第 7 回入試解説問題
α コース
m を実数とする。x に関する方程式 x3 − 3x − |x − m| = 0 の実数解の個数を求めよ。
2015 千葉大学
β コース
0 以上の整数 n に対して、整式 Tn (x) を T0 (x) = 1、T1 (x) = x、Tn (x) = 2xTn−1 (x) − Tn−2 (x) (n = 2, 3, 4, · · · )
で定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 0 以上の任意の整数 n に対して、cos(nθ) = Tn (cos θ) となることを示せ。
Z
1
(2) 定積分
Tn (x) dx の値を求めよ。
−1
2015 千葉大学
β コース
³
´
3 2 + y 2 = 1 があり、点 (−1, 0) で接している。
平面上に 2 つの円 C1 : x2 + y 2 = 1、C2 : x +
2
4
点 P1 は C1 上を反時計回りに一定の速さで動き、点 P2 は C2 上を反時計回りに一定の速さで動く。2 点 P1 、P2
はそれぞれ点 (1, 0) および点 (−1, 0) を時刻 0 に同時に出発する。P1 は C1 を一周して時刻 2π に点 (1, 0) に戻り、
P2 は C2 を二周して時刻 2π に点 (−1, 0) に戻るものとする。P1 と P2 の中点を M とおく。
P1 が C1 を一周するときの点 M の軌跡の概形を図示して、その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ。
2015 千葉大学

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