第 1 回 入試解説問題 α コース 初めに赤玉 2 個と白玉 2 個が入った袋がある。その袋に対して以下の試行を繰り返す。 (i) まず同時に 2 個の玉を取り出す。 (ii) その 2 個の玉が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれば赤玉 2 個を袋に入れる。 (iii) 最後に白玉 1 個を袋に追加してかき混ぜ、1 回の試行を終える。 n 回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を Xn とする。 (1) X1 = 3 となる確率を求めよ。 (2) X2 = 3 となる確率を求めよ。 (3) X2 = 3 であったとき、X1 = 3 である条件付き確率を求めよ。 2015 北海道大学 β コース n は自然数、a は a > 3 を満たす実数とし、実数 x の関数 f (x) = 2 ただし、n = 1 のときは、sinn−1 θ = 1 とする。 Z (1) π 2 n+1 sin 0 (2) f 0 ³ π 2 θ dθ = n n+1 Z π 2 Z x (x − θ)(a sinn+1 θ − sinn−1 θ) dθ を考える。 0 sinn−1 θ dθ を示せ。 0 ´ = 0 をみたす n と a の値を求めよ。 ³ (3) (2) で求めた n と a に対して、f π 2 ´ を求めよ。 2015 北海道大学 第 2 回 入試解説問題 α コース 次の問いに答えよ。 (1) n が正の偶数のとき、2n − 1 は 3 の倍数であることを示せ。 (2) n を自然数とする。2n + 1 と 2n − 1 は互いに素であることを示せ。 (3) p、q を異なる素数とする。2p−1 − 1 = pq 2 を満たす p、q の組をすべて求めよ。 2015 九州大学 β コース 次の問いに答えよ。 1 は x > 1 において単調に減少することを示せ。 x(log x)2 Z 1 (2) 不定積分 dx を求めよ。 x(log x)2 (1) 関数 y = (3) n を 3 以上の整数とするとき、不等式 n X k=3 1 < 1 が成り立つことを示せ。 log 2 k(log k)2 2015 九州大学 第 3 回 入試解説問題 α コース 四面体 OABC において、OA = OB = OC = BC = 1、AB = AC = x とする。頂点 O から平面 ABC に垂線を下 ろし、平面 ABC との交点を H とする。頂点 A から平面 OBC に垂線を下ろし、平面 OBC との交点を H’ とする。 −→ − → −→ − → −→ − → −→ − → − → − → −−→ − → − → (1) OA = a 、OB = b 、OC = c とし、OH = p a + q b + r c 、OH’ = s b + t c と表す。このとき、p、q 、r お よび s、t を x の式で表せ。 (2) 四面体 OABC の体積 V を x の式で表せ。また、x が変化するときの V の最大値を求めよ。 2015 東京工業大学 β コース 4an − 9 (n = 1, 2, 3, · · · ) で定める。 an − 2 a + 2a2 + · · · + nan また、数列 {bn } を bn = 1 (n = 1, 2, 3, · · · ) と定める。 1 + 2 + ··· + n 数列 {an } を a1 = 5、an+1 = (1) 数列 {an } の一般項を求めよ。 (2) すべての n に対して、不等式 bn 5 3 + 4 が成り立つことを示せ。 n+1 (3) 極限値 lim bn を求めよ。 n→∞ 2015 東京工業大学 第 4 回 入試解説問題 α コース 実数 a に対し、xy 平面上の放物線 C : y = (x − a)2 − 2a2 + 1 を考える。次の問いに答えよ。 (1) a がすべての実数を動くとき、C が通過する領域を求め、図示せよ。 (2) a が −1 5 a 5 1 の範囲を動くとき、C が通過する領域を求め、図示せよ。 2015 横浜国立大学 β コース 次の問いに答えよ。 Z (1) 定積分 0 log 3 dx を求めよ。 ex + 5e−x − 2 (2) 1 個のさいころを 3 回続けて投げ、出た目を順に a、b、c とする。 Z π 不等式 (cos ax)(cos bx)(cos cx) dx > 0 を満たす確率を求めよ。 0 2015 横浜国立大学 第 5 回 入試解説問題 α コース 実数 x、y が |x| 5 1 と |y| 5 1 を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。 p √ 0 5 x2 + y 2 − 2x2 y 2 + 2xy 1 − x2 1 − y 2 5 1 2015 大阪大学 β コース 自然数 n に対して関数 fn (x) を fn (x) = Z (1) Z n 1 fn (x) dx 5 0 ³ ´ x log 1 + x (x = 0) で定める。以下の問いに答えよ。 n(1 + x) n log(1 + x) dx を示せ。 0 Z (2) 数列 {In } を In = n fn (x) dx で定める。0 5 x 5 1 のとき、log(1 + x) 5 log 2 であることを用いて、数列 0 {In } が収束することを示し、その極限値を求めよ。ただし、 lim n→∞ log x = 0 であることは用いてよい。 x 2015 大阪大学 第 6 回 入試解説問題 α コース 2 つの関数を f0 (x) = x 、f1 (x) = x + 1 とおく。x0 = 1 から始め、各 n = 1, 2, · · · について、それぞれ確率 2 2 2 1 で x = f (x 2 となる確率 P を求めよ。 n 0 n−1 ) または xn = f1 (xn−1 ) と定める。このとき、xn < n 2 3 2015 京都大学 β コース ³ ´ 2 つの関数 y = sin x + π と y = sin 2x のグラフの 0 5 x 5 π の部分で囲まれる領域を、x 軸のまわりに 1 回 8 2 転させてできる立体の体積を求めよ。 2015 京都大学 第 7 回 入試解説問題 α コース m を実数とする。x に関する方程式 x3 − 3x − |x − m| = 0 の実数解の個数を求めよ。 2015 千葉大学 β コース 0 以上の整数 n に対して、整式 Tn (x) を T0 (x) = 1、T1 (x) = x、Tn (x) = 2xTn−1 (x) − Tn−2 (x) (n = 2, 3, 4, · · · ) で定める。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 0 以上の任意の整数 n に対して、cos(nθ) = Tn (cos θ) となることを示せ。 Z 1 (2) 定積分 Tn (x) dx の値を求めよ。 −1 2015 千葉大学 β コース ³ ´ 3 2 + y 2 = 1 があり、点 (−1, 0) で接している。 平面上に 2 つの円 C1 : x2 + y 2 = 1、C2 : x + 2 4 点 P1 は C1 上を反時計回りに一定の速さで動き、点 P2 は C2 上を反時計回りに一定の速さで動く。2 点 P1 、P2 はそれぞれ点 (1, 0) および点 (−1, 0) を時刻 0 に同時に出発する。P1 は C1 を一周して時刻 2π に点 (1, 0) に戻り、 P2 は C2 を二周して時刻 2π に点 (−1, 0) に戻るものとする。P1 と P2 の中点を M とおく。 P1 が C1 を一周するときの点 M の軌跡の概形を図示して、その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ。 2015 千葉大学
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