Page 1 Page 2 Page 3 Page 4 「非平衡系の統計物理」 (そのー) 課する

KURENAI : Kyoto University Research Information Repository
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対称性とコヒーレント近似(「非平衡系の統計物理」研究
会(その1),研究会報告)
鈴木, 増雄
物性研究 (1992), 59(1): 21-29
1992-10-20
http://hdl.handle.net/2433/94974
Right
Type
Textversion
Departmental Bulletin Paper
publisher
Kyoto University
｢
非平衡系の統計物理｣ (
その 1)
対称性とコヒーレント近似
東京大学理学部
鈴木増雄
物理学においては､対称性という
概念はもっとも基本的である1)｡幾何学的具象的対称性か
ら､ゲージ対称性のような抽象的なものまでいろいろあるが､ここでは､相転移における自
発的対称性の破れの理論的な取り扱い方2-64)と､ユニタリ性やシンプレックティツクな性質
を保存する時間発展演算子の系統的な (コヒーレント)近似の作り方65 87)を解説する｡
1
コヒーレント異常法2-64)
相転移では､- ミルトこアンは対称的であるが､状態は低温になると自発的に対称性が破れ
る｡くり込み群や有限サイズ･スケーリング理論では､それぞれ､もとの無限系または有限
系の対称的なハミルトニアンのまま取り扱う｡ところで 1
9
8
6年に筆者の提唱したコヒーレ
ント異常法では､平均場または有効場をかけて初めから対称性を破る取り扱いをする｡クラ
スター平均場近似でそのクラスターサイズを順次 (
コヒ-レントに)大きくして行き､その
Tc
)(
留数) とを求
平均場近似で求めた応答関数の古典的発散の極 (
Tc
)と平均場臨界係数e(
Tc
)は極 Tc
の関数として近似的な相転移点 Tc
が真の相転移点
める.このとき､留数Q(
てに
近づくにつれてコヒーレント異常を示す｡すなわち､
Q(
Tc
)∼
(
Tc-TI)
や
(
1
･
1
)
のような発散 (
異常性)を示す｡ただし､(
1
.
1
)式のコヒーレント異常指数桝ま､系統的な近似
列をいくつか作り､Tc
とQのデータ
(
CAMdataと呼ばれる)を作り､l
o
gQとl
o
g(
Tc-T:)
T)は
の図の傾きから､車が求められる｡この囲 i
精度よく評価されると､もとの応答関数 Q(
T
:の近傍で
Q(
T)∼
(
T-T
I
)
P
(
1
.
2
)
ただし
p-1+車
(
1
.
3
)
のような異常性を示すことがわかっている4
,
5
)
｡多数の例で具体的に実証されつつある6-64).
非常に簡単な上の説明からもわかるように､1
9
0
7年のワイスの平均場近似と 1
9
3
5年の
ベ-テの有効場近似を全く一般的にクラスター平均場近似として拡張して､それから相転移
の本質が臨界指数まで含めて研究できるという点がコヒーレント異常法
ある｡
- 21 -
(
CAM)の真髄で
研究会報告
クラスターを順次大きくしながら､大きなゆらぎをとり入れていくという点では､ CA
M理論はくり込み群の理論に類似しているが､以上に説明した通り､両者は､対称性に対す
る視点が全く異なり､後者では､対称的なハミルトニアンの固定点として相転移を求めるの
に対して､CAM理論では､対称性を破る場に対する応答が発散するという条件のコヒーレ
ントな変化から真の相転移点を評価する｡
くり込み群の理論の出現以来､平均場理論は肩身が狭かったが､CAM理論によって､そ
れは再び復権したと言えるであろう｡実際の計算では､平均場をがナたまま､すなわち､対
称性を破るハミルトニアンで実行するのではなく､予め､久保の線形応答理論88)を用いて､
(
L
J
)に対する平均場近似の表式
例えば､磁化率xo
x
o
(
W)≡
,
i
,
i
i
(
L
J
)
1一節 (
W)
(
1
.
4
)
を求めておく.ここで､xn(
W)はクラスター0に対する外場の無い対称的なハミルトニアン
に対する磁イ
牌であり､;
罪 (
W)8
まクラスターの中の秩序パラメータと境界のそれとの動
心
的なフィードバック関数である4)O熟平衡状態での相転移点 Tc
は 1- 罪 (
o
)-Oから求め
られる｡
このように､ゆらぎの統計力学という流れでみると､ CAM理論は､久保のゆらぎの理
論とフィッシャーの有限サイズ･スケーリング理論とを組み合わせて相転移･臨界現象､もっ
と広く協力現象を統一的に扱う一般論であると言えよう｡
今後､｢
複雑系の科学｣特に､非平衡系の (
ダイナミカルな)現象を扱うのに大いに役立
つものと期待される｡
2 時間発展演算子･指数演算子の分解の一般論
兜
享坪衡系の問題では､一般に時間発展演算子 e
xp(
ia )を扱うことになるが､一般のハミ
ルトニアン
に対しては､この指数演算子を厳密に計算することは困難である.今までは､
泥 -詔｡+入# 1
)とおいて､相互
モーメント展開 (
すなわち tでの展開)や摂動展開 (
作用の強さ吊こ関する展開､すなわちファインマン展開)等がよく用いられてきたが､これ
らの展開は､もとの対称性､例えば､ユニタリー性やシンプレックティックな性質 (リュヴィユ定理)を保存しないという大きな欠点を持っている｡
この欠点を補う新しい展開が､ここで説明する｢
指数摂動展開｣ 72-75)､すなわち､指数
演算子の積の展開である｡さて､今
e
i
t
(
A+
B)-f
A(
i
)
f
B(
i
)+0(
i2)
(
2.
1
)
という積の形に分解することを考えてみる｡A, Bをエルミート演算子とすると､左辺はユ
ニタリーであるから､我々の対称性の要請から､右辺の積もユニタリーになるという条件を
- 22-
｢
非平衡系の続計物理｣ (
その 1)
課することにする｡したがって
(
f
A(
i
)
f
B(
i
)
)
t-(
f
A(
i
)
f
B(
i
)
)1
(
2
.
2
)
f
B(
i
)
t
f
A(
i
)
I-f
B(
i
)
-1
f
A(
け1
(
2
.
3
)
f
A(
i
)
t-c
f
A(
i
)
1
,fB(
i
)
I
-C
f
B(
i
)
-1
(
2･
4
)
したがって
でなければならない｡よって､ C2 - 1,
すなわち､C- 土1である｡さらに､A ≡ 0のとき
を考えれば､C- 1であることがわかる.よって､f
A(
i
)もf
B(
i
)ユニタリーでなければなら
A(
i
)
,
f
B(
i
)共にユニタリーならば､その積はユニタリーである.シンプレック
ない.逆に､f
s
ympl
e
c
t
i
c
)な性質に関しても全く同様である｡そこで
ティック (
f
A(
i
)-
(
2･
5
)
ei
gA(
i
)
とおくことが出来る｡さらに､g
A(
i
)を時間 tで展開して
g
A(
i
)-i
9
1
(
A)+i
2
9
2
(
A)+･･･
(
2.
6
)
g
l
(
A)+g
l
(
B)-A+B
(
2･
7
)
g
l
(
A)-A,
g
l
(
B)-B
(
2･
8
)
とおくと (
2･
1
)より
となり､
であることがわかる. tの高次を零とおいて
f
A(
i
)e
i
t
A
,
f
B(
i
)-e
i
t
B
(
2.
9
)
とすると､よく知られたトロツタ-分解
e
i
t
(
A
+
B)-e
舶e
i
t
B+o(
i
2
)
(
2.
1
0
)
が得られる｡実際は tが小さいとは限らないから
e
i
t
(
A･B)-(
e
意(
A･B,
)
n-(
e
%Ae
告B)
n+o(
蛋)
(
2.
ll
)
とするのが､通常の T
i1
0t
t
e
r公式であるOさて､ここではもっと高次の分解を考える｡2次
まで正しい分解は容易に
e
i
t
(
A
'B)-e
li
t
Ae
t
t
Be
匝
+o(
i
3
)
であることがわかる｡これは､よく知られている公式である69,70)0
- 231
(
2.
1
2
)
研究会報告
3次の分解は､最近 Rut
h77)によって発見され､それは､次のように与えられている :
F,
(
A)
(
i
i
)- e左`tAeiitBe匝
e寸 t
Be一
女 "Ae
i
t
B.
(
2
.
1
3
)
今後､簡単のために､ x-i
iとおき､
e
x
(
^'B)-Fm(
I)+0(
xm'1
)
(
2
.
1
4)
によって､m 次近似式 Fm(
x)を定義する.
4次の近似式としては､いろいろな人72･
78札
82,
84)によって次の形の公式が独立に発見され
ている :
F4(
x)-e舌
3
Ae
S
エ
Be宇
JAe(
1
-23)
3Bei
f∬
Ae
s
C
Bef
S
A
(
2.
1
5
)
ただし､パラメータ βは
S-(
2-2
1
/
3)1- 1
.
3
51
2･..
(
2
.
1
6
)
によって与えられる. これは､初等的に (
2.
1
5
)の両辺を､A,
Bの非可換性に注意しながら､
xの 4次まで展開して確かめることが出来るがたいへん面倒である.
ここでは､著者72 75)によって初めて発見された漸化方式による求め方を紹介する｡この
X
(
A+B)
に限らず､任意の数 qi
こ対するe
xpl
x(
Al
+A｡+ - ･
+Aq)]に関して
方法では､e
e
S
(
Al
+A2
''
'
'
Al) -Fm(
3)+0(
xm'1)
(
2
.
1
7
)
という m 次近似式が全く1投的に求められるので便利であるO
今､(
m-1
)次近似式 Qm_1
(
I)が求まったとすると､m 次近似式 Qm(
I)は､Q,
a
-1
(
I)の
r
個の積の形で
Qm(
x)-Q,
∼
-1
(
pl
c)
Qm_1
(
p2
X)･
-Q,
n_1
(
p,
I)
(
2
･
1
8
)
と与えることができる72 75).ただし､パラメータ t
p
,
･
)は､次の 2つの条件を充たすものな
ら何でもよい :
pl+p2+･･･
+p,-1
(
2.
1
9
)
p
T+p㌻+- ･+pT-0.
(
2.
20
)
したがって､γ
を大きくすると､解は無数に多くなる｡また､m が偶数のときは､明らかに
(
2.
2
0
)の解は複素数になって･
しまうので都合が悪い｡よって､1 の漸化方式は､2
･
m次近似
式がわかっているときに 2m+1次近似式を求めるのに便利である｡幸いなことにパラメー
タt
p
,
･
)杏
p,
-3
r
+1-Pj
(
すなわち､p,-pl
,
P,
-1-P2
,- )
(
2･
21
)
のように対称的にとると､(
2
m-1
)次まで正しい近似式は､自動的に 2
m 次まで正しくなっ
7
27
5)
｡よって､次の漸化公式が成立する :
ている70,
F2
m(
x)-F2
,
n
-2
(
p.
n
i
x)
F2
m12
(
pm2
3)･
-F2
.
n
_2
(
pm,
X)
.
- 24
-
(
2.
22
)
｢
非平衡系の統計物理｣ (
その 1)
ただし I
pm,
寸は,
和が 1で,
t戎㌃1- o
j
=
1
Pm(
T
i
+1
)=P7
n
J
(
2.
23)
である｡
n
, Pm3- 1-4p,
nとおくと,実際に役
特に,r-5, pml-Pm2≡Pm, Pm4-Pm5=P,
に立っ公式が得られる72-75)｡すなわち､
S2
*
m(
I)-【
S,
'
m_｡
]
2
S2
+
,
n
_2
(
(
1-4
p.
n)
I)
[
S2
'
,
n
_2
(
pmx
)
]
2
,
(
2.
2
4)
pm-(
4-41
/
(
2
r
n-1
)
)
-1
(
2･
25
)
ただしpmは
によって与えられる｡この分解では､
L
pm卜
<1, l1-4pm 卜<1
(
2･
26
)
となるため､S2
'
m(
x)は安定な収束のよい分解であることがわかる. これは実際に応用する
ときに便利な分解である85)0
'
m(
x)は､フラクタルな特徴を持っておりそのフラクタ
また､m - ∞ では､上の分解 S2
ル次元 DL
ま､
D-憲
-
(
2･
27)
1 ･4 6 -
で与えられる72,73)0
もっと一般に､任意の高次分解公式が時間順序演算 P と久保89)の対称化演算 Sを用いて
容易に求められる74,75)｡すなわち､適当に､例えば､ a,
･
次まで正しい近似式 Gj
(
x)を用いて
m 次近似式を
Fm(
T)-Gl
(
pl
c)
G2
(
p2
3)･
-G,
(
p,
a
:
)
(
2
.
2
8
)
という積の形で求めることができる｡ここで､パラメータ t
pj
)の充たすべき方程式は､次
Z
拷-Al+A2+- .A tして､G,.(x)を次のように表し
のようにして求められる･ま弘
ておく :
q
-e
XP(
x滞 +x2
R,
2+33
R,
･
3+･
･
･
)
･
Gj
(
I)
(
2･
29)
ここで､ (R,
･
mHま補正項であり､G3
･
(
I)カie
33
6 を S,
次まで正しく表していることにより､
R,1
2 - Rj
3-- -R,
･
s
j-0,
Rj
(
,
,
'1
)≠0,
(
2･
30)
である.さて､上に述べた 2つの演算 PとSの性質をうまく利用すると､m 次近似式 Fm(
x)は
n
l
+2
n
2
+3
n
3
+･
･
･
PS(
Yl
n
l
Y
2
n
2
･
･
･
)
n
i
x,
･
.
. nl!
n2!
n3!･･･
J
F
m(x
)-e
X好 + ∑
x
一
25 -
(
2.
31
)
研究会報告
と表される7ト 76,86,87)｡ただし､∑′
は n2- n3-- -0の場合を除いた nl,
n2
,
n3
,･
･
･
に関す
る和を表し､t
YD は
r
r
p
,
l
g
B)
, yn ≡
∑(
p
,
Rj
n
)
y
l≡∑ (
3
'
=1
3
'
=
1
(
2.
3
2
)
拷)
を表すための必要充分条件
である｡さて､Fm(x
)が m 次まで正しく指数演算子｡
Xp(
x
,n2,
-･
は､(
2.
31
)の基礎的な表式からわかるように､nl+2n2十･･･≦ m となるすべての nl
に対して
PS(
Yl
n
l
Y2
n2
Y3
n3 -･
)-0
(
2.
3
3
)
･
･-0の場合は除く｡
)
となることである｡(
ただし､n2-n3-･
p,
I
)に関する方程式に変換するのは､PSの性質をうまく利用
上の条件 (
2.
3
3
)を顕わに (
すれば簡単である｡実際､m -1
2までは具体的な方程式が与えられている74)｡最近m -1
0
0では､すべての p
j
がl
p
,
･
[
<1
までは実際の解が求められている90).それによると､m -1
となる実数解が 10個以上も存在することがわかった90)｡これは大変都合のよい安定な解で
ある｡
上に述べた高次分解公式は非線型非平衡系の問題を近似的に解析する際に極めて有功で
あると期待される｡またそれは量子力学､分子動力学､イ招き
反応 81)､天体物理学80)､加速詳
物理77-79)等いろいろな分野で今後大いに役立っことであろう｡将来､それは量子カオスの
問題にも有効に利用できるものと思われる｡
Ref
erences
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1
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N.Ya
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l
n.
相転移の超有効場理論とコヒーレント異常法｣､物理学最前線 29(
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9
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.Suppl
-
26 -
｢
非平衡系の統計物理｣ (
その 1)
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