5月12日 - 九州大学大学院工学研究院機械工学部門

2015/5/12
ソフトマター工学・第４回 2015年５月12日（火）
レオロジー入門
九州大学大学院工学研究院機械工学部門
准教授
山口哲生
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本日のおはなし
１．前回の復習：ゴム弾性，レポート課題の解答
２．レオロジー入門
• レオロジーとは？
• 粘弾性とは？
• 線形粘弾性と複素弾性率
３．まとめ
※高分子ゲル（平衡状態および動力学）のお話は
レオロジー入門の後にすることにします．
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１．前回の復習：弾性自由エネルギー密度
（単位体積あたりの弾性自由エネルギー）
• 変形勾配テンソル
R ' ( R )  ER
 x '
R'   y ',
 z ' 
 x
R   y 
 z 
• Neo-hookean model
W (E) 

G
  E ij2  3 


2  i , j 1, 2,3

G  nc k BT ：せん断弾性率
nc ：架橋点の数密度
• Gent model
W (E)  
 I 3
GJ m

log e 1  1
2
J m 

Jm
：伸びきりの効果を表す定数
I1 
E
i , j 1, 2 , 3
2
ij
3
応力とひずみ（伸張比）との関係
• 変形勾配テンソル
単純せん断変形
 x'  x  
 y '   y
  
 z '   z
γ
y  1  0  x 
  0 1 0   y 
 
 
 0 0 1  z 
1軸伸張変形 

 x '  x x  
 y '   y   
   y  
 z '   z z  


1

0
0
0
1

0

0
 x
0   y 

   z 


P(x, y, z)
1

P’(x’, y’, z’)
変形勾配テンソル
• 応力の求め方
 ( ) 
W

引張応力
 ( ) 
W

せん断応力
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２．レオロジー入門
レオロジー（rheology）とは？
物質の変形および流動一般に関する学問分野．日本語では
「流動学」とも呼ばれる．レオロジーという用語は，ヘラ
クレイトス（異説もあり）の有名な言葉 “panta rhei ”
「万物は流転する」による造語で，ユージン・ビンガム
（英語版）（1920年）による．
（Wikipedia，レオロジー）
• レオロジーの主要な研究目的は，応力と変形・流動との
関係を理解し，変形・流動のメカニズムを解明すること．
• レオロジーの研究対象は多岐に渡る．
高分子，コロイド，界面活性剤，油，血液，粉体，土，岩
石，断層，マグマ，金属，セラミクス，ガラス，交通流，
群れ，…
粘弾性(viscoelasticity)とは？
復習：Hook弾性とNewton粘性
弾性(elasticity)：一定の力に対して，一定の形状を取るような性質
Hook弾性の場合の，ずり応力（せん断応力）σとずり歪み（せん断歪み）γ
との関係

γ
 G
G ：ずり弾性率
1
(shear modulus)
粘性(viscosity)：一定の力に対して，平衡形状を取らず流動し続ける性質
Newton粘性の場合の，ずり応力とずり歪み速度（せん断速度）との関係
   

：ずり粘性率
(shear viscosity)
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粘弾性とは？（２）
いま，t=0で物体に一定のずり応力を加えたとする．
(i) 粘弾性液体(viscoelastic liquid)：長時間では一定のずり速度で流れる粘性
的挙動を示すが，短時間では弾性的応答を示す．高分子溶液（のりなど）な
どにみられる．力を0にすると試料は元の形に戻ろうとするが，完全には戻ら
ない．
(ii) 粘弾性固体(viscoelastic solid)：力を加えるとゆっくりと（遅れて）変形
し，長時間では一定の平衡値に達する．ゴムなどにみられる．力を除くと元
の形に戻る．
γ
Newton粘性体
粘弾性体は，弾性体と粘性体の
中間的な振る舞いを示す
レオロジーは，主に粘弾性体の
変形・流動を扱う学問
(i) 粘弾性液体
Hook弾性体
(ii) 粘弾性固体
t
線形粘弾性(linear viscoelasticity)
前のスライドでみたように，粘弾性体における応力と歪みの関係は単純で
はない．しかし，応力が小さい場合には，この関係を一意的に表すことが
できる．
いま，t = 0 で試料にステップ歪み γ(t) = γ0 Θ(t) を加えたときのずり応力の
応答を次のように表す．
 (t )   0G (t )
ここで，G(t)は緩和弾性率と呼ばれる．G(t)の
典型的振る舞いは以下のように表される．
G (t )  Ge  G exp(t /  )
Ge ：平衡ずり弾性率．これが0で
ない物質を粘弾性固体と呼ぶ．
G
：ずり弾性率

：緩和時間
G(t)
G+Ge
粘弾性固体
Ge
粘弾性液体
0
τ
t
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重ね合わせの原理（重畳原理）と定常粘度
時間に依存する任意の歪みγ(t)は，時刻t’とt’+ dt’との間に加えた大きさ
 (t ' )dt '
のステップ歪みの重ね合わせと考えることができる．
すると，tにおける応力σ(t)は，次のように表される．
t
 (t )   G (t  t ' ) (t ' ) dt '

複素弾性率(complex elastic modulus)
試料に振動的な歪みを加え，応力の応答を見ることで，複素弾性率を
得ることができる．
 (t )   0 cos(t )
この入力（刺激）に対する応答は，次のように表される．
 (t )   0 G ' ( ) cos(t )  G" ( ) sin(t )
ここで，

G ' ( )    dt sin(t )G (t )
：貯蔵弾性率(storage modulus)
0

G" ( )    dt cos(t )G (t )
：損失弾性率(loss modulus)
0
tan  
G" ( )
G ' ( )
：損失正接（tangent delta）
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複素弾性率
複素弾性率G*(ω)を以下のように定義する．
G * ( )  G ' ( )  iG" ( ) 
 ( )
 ( )
G(t )  Ge  G exp( t /  ) の式に従うとき，G’, G”はそれぞれ
以下のようになる．
( ) 2
G ' ( )  Ge  G
,
1  ( ) 2
G" ( )  G

.
1  ( ) 2
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複素弾性率
粘弾性流体と粘弾性固体のG’, G”, tanδをグラフに描くと次のようになる．
(i) 粘弾性液体
(ii) 粘弾性固体
G’(ω)
G’(ω)
G”(ω)
ω
1/τ
tan δ(ω)
1
1/τ
Ge
G”(ω)
tan δ(ω)
1
ω
ω
1/τ
1/τ
ω
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線形粘弾性の測定
線形粘弾性の測定には，レオメータ，ＴＭＡなどが用いられる．
レオメータ：
円盤状の試料を用いる．
試料にねじりを加え，トルクを
測定することでせん断応力を推定し
線形粘弾性を求める．
ＴＭＡ(Thermal Mechanical Analysis)：
短冊状の試料を用い，試料に正弦波的な
引張ひずみを与え，引張応力から線形粘弾性
を求める．
線形粘弾性の測定例
粘着剤（粘弾性固体）．x1, x10, x30は架橋密度の違いを表す．
T. Yamaguchi, K. Koike, M. Doi, EuroPhys. Lett. 77, 64002 (2007)
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３．本日のまとめと次回の予告
本日のまとめ
本日は，
-レオロジーとは？
-粘弾性とは？
-線形粘弾性と複素弾性率
について学んだ．
次回の予告
次回は以下のような内容のお話をする予定．
-非線形粘弾性
-時間-温度換算則
-連続体力学における記述
-その他のレオロジー現象
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