衛星ダイモス探査計画山口大輝１．はじめに火星には 2 つの衛星がある．火星に近い軌道を周回しているものをフォボス，遠くを回るものをダイモスと呼ぶ．この 2 つの星がどのように生まれたのかについては，「小惑星が火星の引力圏にとらえられて衛星になった」1)とする説と，「火星の形成とほぼ同じころに火星の近くで生まれた」 1)とする説があり，決着がついていない．もし火星の衛星に探査機を着陸させ，表面や内部の組成を詳しく調べることができれば，火星の組成は NASA の探査機などによって調査が進んでいる 2)ので，火星と衛星の組成を比較できる．組成に大きな違いがあれば，前述の 1 つ目の説，組成が似ていれば，2 つ目の説の可能性が高まる．人類の探査機はまだ火星の衛星に着陸したことがない．今回の実験では，地球から衛星ダイモスを目指す探査機の軌道を考えて，その最適化を行うことを目的とした．探査機が，地球を出発して火星に移動した後，火星周回軌道からダイモスへ移動する場合を考えた．実験 1 では地球-火星間移行軌道を，実験 2 ではダイモスへの移行軌道を扱った．２．実験 1 地球-火星間移行軌道 2.1 方法太陽を一つの焦点とする楕円軌道上を探査機が運動するとする．地球-火星間移行軌道を考える際に前提としたのは，以下の 2 つのことである．・ランベルトの定理：「出発，到着点の中心天体からの距離を，，両点間の距離を c とすると，『2 点を結ぶ軌道の飛行時間は a ，( ) ，c の三つで決 3) 定される』」（ a は半長軸径）・パッチドコニックス法：太陽の重力のみを考え，地球，火星の重力を無視して惑星間の計算を行う.3) 2015 年 1 月 1 日からの 1 年間で，それぞれの日の 0 時（UTC，協定世界時）に地球を出発する探査機の軌道を考え，その長さを比較した．NASA の探査機マーズ・サイエンス・ラボラトリー（キュリオシティ）が約 9 ヶ月間かけて火星に到着した 2)ことを参考に，データのとりやすさなどから，飛行時間を 1 年間に固定した．ただし，2016 年はうるう年であるので，366 日間に統一した．より実用的にするには半長軸径 a や軌道の長さを固定し，最短時間で火星にたどり着く軌道を求めるのが理想であるが， a や軌道の長さが等しい軌道を見つけるのは困難なため，飛行時間を固定することにした．飛行時間が共通なら，長さがより短い軌道では平均の速さが遅くなるので，加速にかける燃料を節約することができる．よって，軌道の長さが最も短くなる地球出発日を求めることにした．地球から見た太陽と火星の位置情報 4)から前述の，，を求めて式(1)のように s をおき，式(2)で a の関数，を定めた．3) (1) , (2) 試行する a の値に対して，半直弦 (4)により離心率 e を求めた．3) の式(3)から，式 (3) (4) 楕円軌道の半短軸径 b と a ， e の関係は式(5)のようになるので，軌道の長さ L は式(6)で表される． (5) (6) ここでは平均近点離角であり，を太陽の重力定数とすると，との関係は式(7)のようになる.3) ( は飛行時間) (7) 2.2 結果 2015 年の各月 1 日と 16 日の 0 時（UTC）に地球を出発する探査機の軌道の長さをプロットしたところ，次の図 1 が得られた．軌道の長さが 6 月 1 日前後に最小値をとると予測して，5 月 1 日から 6 月 16 日まででさらに区間を細かくして軌道の長さを調べたところ，図 2 のようになった． 9.0E+08 9.0 8.5E+08 8.5 8.0E+08 8.0 軌道の長さ（km） 10 班 7.5E+08 7.5 7.0E+08 7.0 6.5E+08 6.5 6.0E+08 6.0 5.5E+08 5.5 5.0E+08 5.0 地球出発日（2015年）図 1. 地球-火星間移行軌道の長さと地球出発日の !!関係（2015 年 1 月 1 日から半月ごと） 3.2 結果 6.70E+08 6.7 軌道の長さ（km）ダイモスの軌道 6.30E+08 6.3 6.10E+08 6.1 5.90E+08 5.9 5.70E+08 5.7 5 月 24 日 5 月 26 日火星の低軌道コース 2 5.50E+08 5.5 5月1日 5月8日 5月15日 5月22日 5月29日 6月5日 6月12日地球出発日（2015年）図 2. 地球-火星間移行軌道の長さと地球出発日の $関係（2015 年 5 月 1 日から 6 月 16 日まで） 2.3 考察 0 時（UTC）出発の軌道の長さが最も短いのは，5 月 24 日に地球を出発する場合であった．しかし，図 2 を見ると，24 日の前後では移行軌道の長さが大きく変化している．この時期には，適切な軌道が急激に変わって不安定になっていると考えられる．よって，探査機の軌道としてふさわしいのは，軌道が安定していてかつ最も短い，5 月 26 日出発の軌道である．３．実験 2 ホーマン遷移軌道 3.1 方法フォボスとダイモスの軌道は，軌道傾斜角や離心率が非常に小さい 5)ので，図 3 のように，それぞれ半径 9270 km，23400 km5)の同心円として扱える。図 3 に色で示したような，内側の円軌道から外側の円軌道に遷移する軌道を，ホーマン軌道という．6)フォボスとの衝突を避けつつホーマン軌道を用いてダイモスに到達する道筋は，複数考えられる．図 3 のコース 1 は，火星低軌道から直接ダイモスへ移動する場合であり，コース 2 と 3 は，フォボスに出会わないタイミングで一度フォボスの軌道に入ってからダイモスを目指す場合である．別の形の軌道に移る際には，探査機は加速をする必要がある．今いる軌道を維持しつつ次の軌道に移るためには，境界付近で一気に加速することが求められる．必要な速度増加量が大きいほど，加速しきれずに適切な軌道から外れてしまうリスクが高まるので，一度に増やす速度は小さい方がよい．ゆえに，図 3 の 3 つのコースで速度増分の最大必要量を比べ，その値が最も小さいコースを調べた．円軌道上では，等速円運動をするとして探査機の速さを求めた．楕円軌道上では，焦点が火星になることに注意し，傾斜角，昇交点経度，近点引数は全て 0°で，平均近点離角が軌道の近点，遠点でそれぞれ 0°，180°になるとして，楕円軌道のケプラリアン座標の要素をカルテシアン座標に変換し，探査機の速さを求めた．コース 3 コース 1 フォボスの軌道図 3. 火星の低軌道と各衛星の軌道およびホーマン軌道の関係速度の増加量（km/s） 1.2 6.50E+08 6.5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 A-1 B-2 C-2 A-3 D-3 C-3 加速する点とコースの種類図 4. 各コースにおける加速点と速度の増加量の関係図 4 の横軸は， “図 3 の点の記号-コースの番号” の形式で，各コースにおける軌道の境界となる点を示したものである．速度の増加量の最大値は，コース 1 が最も大きく，コース 3 が最も小さかった． 3.3 考察コース 1，2，3 の順に，加速が必要な点の個数は 1，2，3 となっている．このことと結果を照らし合わせると，加速する回数が多いコースほど，一度に増さなければならない速度は小さくなるということが分かる．コース 3 が，最も加速不足のリスクが小さい軌道である．４．おわりに (1) 2015 年の各日の 0 時（UTC）に出発して 366 日後に火星に到達する探査機の軌道を考えると，5 月 24 日に地球を出発する軌道が最も短い道のりで火星に到達できる． (2) 5 月 24 日前後では地球-火星間移行軌道が不安定なので，探査機の軌道としては 5 月 26 日出発の軌道がふさわしい． (3) ホーマン軌道による移動では，道筋を何種類かの楕円軌道に分けた方が，軌道の境界で一度に必要とされる速度の増加量が小さくて済む．参考文献 1) 小森長生，火星の驚異，平凡社（2001） 2) 的川泰宣他，宇宙博 2014，NHK，NHK プロモーション，朝日新聞社（2014） 3) 木田隆，小松敬治，川口淳一郎，人工衛星と宇宙探査機，コロナ社（2001） 4) 宇宙航空研究開発機構，軌道情報提供サービス 5) 6) http://odweb.tksc.jaxa.jp/odds/main.jsp （2014/12/23 アクセス）清水幹夫訳，金星・地球・火星，朝倉書店（1986）堀源一郎，天体力学講義，東京大学出版会（1988）