オイラーの多面体定理 20 - imetrics.co.jp

神が教えてくれた
数の秘密
正多面体に隠された黄金比
2015年5月16日
数の特別展イベント
プラトンの正多面体
Platonic solid
f面
face
BC427-BC347
V 頂点
vertex
正4面体
e辺
edge
Tetrahedron
正6面体
hexahedron
正8面体
Octahedron
正20面体
Regular icosahedron
正12面体
Dodecahedron
正20面体の中に見つけた黄金比
= 1.6180339887499
黄金比
オイラーの多面体定理
正k面体
Tk
P角形
面の数
頂点の数
辺の個数
標数
f
v
e
(V + f) - e
4
3
4
4
6
2
6
4
6
8
12
2
8
3
8
6
12
2
12
空欄を埋めなさい
20
穴の開いている多面体の場合には、種数(穴の数)を g とすると、頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2 - 2g. この値をオイラー標数と呼ぶ
e=v+f-2 "線は帳面に引け" と覚えよう!
オイラーの多面体定理
正k面体
Tk
P角形
面の数
頂点の数
辺の個数
f
v
e
(V + f) - e
4
3
4
4
6
2
6
4
6
8
12
2
8
3
8
6
12
2
12
5
12
20
30
2
20
3
20
12
30
2
穴の開いている多面体の場合には、種数(穴の数)を g とすると、頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2 - 2g. この値をオイラー標数と呼ぶ
e=v+f-2 "線は帳面に引け" と覚えよう!
不変量と対称性
正k面体
Tk
P角形
面の数
頂点の数
辺の個数
f
v
e
In E3
双対の関係 G(Tk)位数
G(Tk)の同型群
4
3
4
4
6
自己双対
12
A4
6
4
6
8
12
互いに双対
24
S4
8
3
8
6
12
互いに双対
24
S4
12
5
12
20
30
互いに双対
60
A5
20
3
20
12
30
互いに双対
60
A5
穴の開いている多面体の場合には、種数(穴の数)を g とすると、頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2 - 2g. この値をオイラー標数と呼ぶ
e=v+f-2
正P角形、頂点の周りにq個
をみたす正の整数の組み (p, q, r)をすべて求めよ.
( m, l - m +1, 1), 1 <= m <= l
(L - w, 2, 2), 4<= l
(3, 3, 2), (4, 3, 2), (5, 3, 2)
pとqを入れ替える →双対多面体
(p, q) =
(p,2), (2,q)
(3,3), (3,4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)
穴の開いていない多面体、すなわち球面に位相同型な多面体については、
頂点v、辺e、面fの数について、頂点の数v - 辺の数 e+ 面の数f = 2
が成り立つ。これをオイラーの多面体定理
(シュレーフリの定理の3次元での特殊ケー)
穴の開いている多面体の場合には、種数（穴の数）を g とすると、
頂点の数 v- 辺の数e + 面の数f = 2 - 2g
この値をオイラー標数と呼ぶ。
種数 g の多面体の面.
(最大の整数)
色で塗り分けることができる g = 0 のときこの式の値は4となり、四色定
理を示す。
置換群 A5
Dodecahedron With 5 Tetrahedra
5つの正4面体から正12面体
AMS Blog
American Math Society
Cube With 2 Tetrahedra
AMS Blog
American Math Society
数学体験教室
問い合わせ: [email protected]
16

Download Report