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Landau-Lifshitz-Gilbertの方程式と
磁壁移動検出方式
1
目次
1．フェロ磁性体のLandau-Lifshitz-Gilbertの方程式
3
2．フェリ磁性体のLandau-Lifshitz-Gilbertの方程式
3
3．単磁区構造におけるLandau-Lifshitz-Gilbertの解
7
4．磁壁移動速度(マイクロマグネティックシミュレーション)
10
5．磁壁移動速度(近似解析式)
(1)Walkerの限界以下の場合
(2)Walkerの限界以上の場合
(3)垂直ブロッホラインを考慮した場合
(4)水平ブロッホラインを考慮した場合
11
11
13
16
17
6．パラメーターの数値
18
7．近似解析式によるシミュレーション結果
20
8．実験結果
26
9．まとめ
27
2
1．フェロ磁性体のLandau-Lifshitz-Gilbertの方程式
磁壁移動速度を考えるためには，Landau-Lifshitz-Gilbert(LLG)の方程式を扱わなければならな
い．実際の材料は，フェリ磁性体であるが，まずはじめにフェロ磁性体のLLGの方程式
dM
α
dM
= −γ M × H +
M×
dt
Ms
dt
(1)
を考える．ここで， M は磁化ベクトル， Ms は飽和磁化，γ は磁気回転比(ジャイロ磁気比，ジャイロ
[
]
磁気定数，単位は 1/( Oe sec ) )，α は損失定数(Gilbertの制動定数，Gilbertのダンピング定数，無次
元)である．
γ は，
γ =
gµB
h
(2)
であり，g はg 係数， µB はBohr磁子， h はPlanck定数/ 2π である．DWDDでは温度勾配による磁壁
移動を考えるので，パラメータの温度変化は重要であるが，これより，γ は温度変化がないと考えら
[
]
れる．磁気モーメントがスピンのみから生じる場合，g = 2 となり， γ = 1.76 × 10 7 1/ (Oe sec ) となる．
一方，α は，
α=
λ
γ Ms
(3)
であり，λ はLandau-Lifshitzの損失定数である．フェロ磁性体のλ の実験結果
S. M. Bhagat and P. Lubitz: "Temperature variation for ferromagnetic relaxation in the 3d
transition metals" Phys. Rev. B 10 (1974) 179.
より，低温を除いて，λ に温度変化はあまりない．従って，α の温度変化は， Ms の逆数の温度変化
になる．
γ やα は，強磁性共鳴(FMR)の測定から求めることができる．特に，α は，FMRの共鳴曲線の半値
幅∆H より，
α=
γ ∆H
2ω
(4)
から求めることができる．ここで，ω は共鳴周波数である．
∆H には，一般に，α による寄与のほかに，膜の不均一性による寄与(例えば，異方性の分散，す
なわち，異方性が場所場所でミクロに異なる)が含まれるので注意が必要である．この両者を分離す
るためには，マイクロ波の周波数を変えるとよい．すなわち，α による寄与は，損失が周波数によっ
て変わらなければ，マイクロ波の周波数を倍にすれば∆H も倍になる．一方，膜の不均一性による寄
与は，周波数に関わらず，ほぼ一定になる．
例えば，異方性 K が∆K だけ揺らいでいるとすると，∆H も2∆K / Ms だけ幅が広くなるが，これは
マイクロ波の周波数には無関係である．
2．フェリ磁性体のLandau-Lifshitz-Gilbertの方程式
太田恵造：“磁気工学の基礎II”(共立出版，1979) p.368
R. Giles and M. Mansuripur: "Dynamics of magnetization reversal in amorphous films of rare
3
earth - transition metal alloys" J. Magn. Soc. Jpn. Vol.15 (1991) Suppl.S1, 299.
希土類-鉄族非晶質(RE-TM)合金において，REの副格子磁化をM1 (ベクトル)， Ms1 > 0(大きさ)，
磁気回転比をγ 1 ，損失定数をα1 ，TMの副格子磁化を M2 (ベクトル)，Ms2 > 0 (大きさ)，磁気回転比を
γ 2 ，損失定数をα 2 とする．ここで，γ 1 ，γ 2 は，
γ1 =
g1 µB
h
(5)
γ2 =
g2 µ B
h
(6)
であり，g1 はREのg 係数，g2 はTMの g 係数である．
g1 はLandeのg 係数で，例えば，RE = Gdならばg1 = 2 ，RE = Tbならばg1 = 3/ 2 = 1.5 であるし，g2
はほぼ2 となる．γ 1 ，γ 2 に温度変化はない．
一方，α1 と，α 2 は，
α1 =
λ1
γ 1 Ms1
(7)
α2 =
λ2
γ 2 Ms2
(8)
であり，λ 1 はREのLandau-Lifshitzの損失定数，λ 2 はTMのLandau-Lifshitzの損失定数である．
λ 1 ，λ 2 には温度変化がないと考えるが，α1 ，α 2 には温度変化があり，各副格子磁化に反比例する
ことになる．
論文
R. Giles and M. Mansuripur: "Dynamics of magnetization reversal in amorphous films of rare
earth - transition metal alloys" J. Magn. Soc. Jpn. Vol.15 (1991) Suppl.S1, 299.
では，Tb-Fe-Coを扱っていて，α1 = α 2 = 0.1としている．すなわち，α には温度変化がないとして
いる．
そして，LLGの方程式をM1 ， M2 の両方に対して立てる．
d M1
α
d M1
= −γ 1 M1 × H1 + 1 M1 ×
dt
Ms1
dt
d M2
α
d M2
= − γ 2 M2 × H 2 + 2 M2 ×
dt
Ms2
dt
(9)
(10)
ここで， H1 には， M2 からの分子磁界も含まれているし， H2 には， M1 からの分子磁界が含まれてい
る．
分子磁界は非常に強力なので， M1 と M2 は反平行と考え，ベクトル M1 方向の単位ベクトルをm と
すると，
M1 = Ms1m
M2 = − Ms2 m
(11)
(12)
4
となる．(11)式，(12)式を，それぞれ(9)式，(10)式に代入すると，
Ms1
dm
dm
= − γ 1 Ms1 m × H1 + α 1 Ms1m ×
dt
dt
− Ms2
(13)
dm
dm
= γ 2 Ms2 m × H 2 + α 2 Ms2 m ×
dt
dt
(14)
となる．(13)式，(14)式を，それぞれ γ 1 ， γ 2 で割り，
Ms1 dm
αM
dm
= −Ms1m × H1 + 1 s1 m ×
γ 1 dt
γ1
dt
−
(15)
Ms2 dm
α M
dm
= Ms2m × H2 + 2 s2 m ×
γ 2 dt
γ2
dt
(16)
(15)式，(16)式を加えると，
 Ms1 Ms2  dm
α M
α M 
dm
−
= − m × ( Ms1H1 − Ms2 H2 ) +  1 s1 + 2 s2  m ×


γ 2  dt
γ2 
dt
 γ1
 γ1
となる．(17)式の両辺に，
Ms1 − Ms2
Ms1 Ms2
−
γ1
γ2
(18)
を掛け，正味磁化 M (ベクトル)が，
M = ( Ms1 − Ms2 )m
(19)
であり，正味磁化が Ms = Ms1 − Ms2 であることを考慮すると，
dM
α
dM
= −γ eff M × Heff + eff M ×
dt
Ms
dt
(20)
が得られる．
ここで，
M −M
γ eff = Ms1 Ms2
s1
− s2
γ1
γ2
Ms1H1 − Ms2 H2
Ms1 − Ms2
(22)
α1 Ms1 α 2 Ms2
+
γ1
γ2
= M
M
s1
− s2
γ1
γ2
(23)
Heff =
α eff
(21)
5
(17)
である．
なお，この Heff には，分子磁界 Hm は含まれていない．なぜならば， Hm は M と平行であるので，
M × H m = 0 となるからである．
(21)式より，γ 1 ，γ 2 が温度によって変わらなくても， Ms1 ， Ms2 が温度によって変わるので，γ eff は，
温度によって変わることになる．
ただし，REがGdの場合，g1 = g2 = 2となるので， γ 1 = γ 2 = γ となり，
γ eff = γ
(24)
となって，γ eff の温度変化がなくなる．
一方，(7)，(8)式を(23)式に代入すると，
α eff
λ1
λ2
2 +
2
γ1
γ2
= M
M
s1
− s2
γ1
γ2
(25)
となる．
ただし，REがGdの場合，γ 1 = γ 2 = γ なので，
α eff =
λ1 + λ 2
γ ( Ms1 − Ms2 )
(26)
となり，
λ eff = λ 1 + λ 2
(27)
と置くと，
α eff =
λ eff
γ Ms
(28)
となり，(3)式と比較すると，同じ形になる．
(28)式から，補償温度では Ms = 0 となりα eff が発散するが，Gd-CoのFMRの実験結果
P. Lubitz, J. Schelleng, C. Vittoria and K. Lee: "FMR in some amorphous RE - 3-d transition
metal" AIP Conf. Proc. 29 (1976) 178.
で，∆H が補償温度で広くなることとつじつまが合う．また，
C. Vittoria, P. Lubitz and J. Schelleng: "Magnetic properties of Gd1-xFex films" AIP Conf. Proc.
29 (1976) 196.
でも，∆H の温度変化から，∆H は，
1
Ms
(29)
に比例すると言っているが，これともつじつまが合う．
6
移動層は磁壁抗磁力を小さくする目的でGd-Fe-Coが用いられるので，シミュレーションでは(24)，
(28)式を用いる．
3．単磁区構造におけるLandau-Lifshitz-Gilbertの解
LLGの方程式
dM
α
dM
= −γ M × H +
M×
dt
Ms
dt
(30)
を単磁区構造の磁化に対して解き，磁化の運動について考えてみる．
内山，増田：“磁性体材料”(コロナ社，1980) p.127.
t = 0において，磁界 H を z 方向に印加したとする．磁化の方向を通常の極座標を用いて表わすと，
φ = ω t + φ0
(31)
 θ 
 t 
θ = 2arctan  tan 0  exp −  


 τ

2
(32)
となる．ここで，
ω=
γ H
1 + α2
τ=
1
1 +α2 1
=
αω
α γ H
(33)
(34)
であり，φ0 ，θ 0 は初期値である．
ω は z 軸の周りを歳差運動するときの角周波数を表わし，τ は磁化が磁界方向に倒れていく時間を
表わしている．
α ，すなわち損失が大きくなると歳差運動の周期が長くなる．
α → 0 の場合，τ → ∞ となる．すなわち，損失が無い場合，磁化は磁界の周りを永久に歳差運動し，
磁化が磁界方向に向くことはない．損失が存在すると，最終的に磁化が磁界の方向に向くが，その
早さはτ に比例し，(34)式において，
1(1 + α ) − α 2α
d
α
1 −α2
=
=
2
2
dα 1 + α 2
(1 + α 2 )
(1 + α 2)
2
(35)
より，α = 1のときが最も早くなる．
α が小さいと歳差運動が激しく，磁化が磁界の方向に向くのに時間がかかる．α が大きいと，磁化
がゆっくり磁界の方向に向くので，やはり時間がかかる．
(33)，(34)式を用いて，磁化の運動の様子をMovs.1 - 3 (QuickTime movie)で示す．
条件は， H = 200[Oe ] で，α = 0.1，1，10 であり，磁界は下にかかっている．
3つのファイルで時間軸をそろえてあるので，磁化が磁界の方向に向く早さを比較できる．
τ=
1 +α2 1
1+ α 2
=
* 0.28[ nsec ]
α γ H
α
(36)
7
であるので，
α = 0.1
α =1
α = 10
τ = 2.9[ nsec]
τ = 0.56[ nsec ]
τ = 2.9[ nsec]
となっている．
また，1コマ0.3[ nsec] であるので，全体では，
α = 0.1
α =1
α = 10
18[ nsec ] (61コマ)
3.6[nsec ] (13コマ)
18[ nsec ] (61コマ)
である．
1,677万色(24bit)でレンダリングしてあり，シネパックで圧縮してある．
データ転送速度が遅い周辺機器を用いると，コマ落ちする．
α = 0.1の場合には，歳差運動は激しいが，磁化が倒れていく時間は長い．一方，α = 10の場合に
は，歳差運動はしないが，やはり磁化が倒れていく時間は長い．
α = 1の場合には，わずかに歳差運動をし，速やかに磁化が倒れていく．
Mov.1 単磁区における磁化の運動(α = 0.1)
8
Mov.2 単磁区における磁化の運動(α = 1)
Mov.3 単磁区における磁化の運動(α = 10)
9
Fig.1 単磁区における磁化の運動
磁化の先端の軌跡をFig.1に示す．
4．磁壁移動速度(マイクロマグネティックシミュレーション)
磁壁移動検出(DWDD)媒体をメッシュに切って計算する場合を考える．
Fig.2 メッシュ
各メッシュで温度が異なり，磁化の方向はメッシュ内で一様と考える．
各メッシュで温度が異なるので，異方性は各メッシュで異なるが，さらに，磁壁坑磁力の効果を
取り入れるために，異方性の大きさを正規分布に従いランダムに分布させる．
また，各メッシュは，隣接メッシュから交換力を受けている．例えば，Fig.2で，"22"のメッシュ
は，"12"，"21"，"23"，"32"のメッシュから交換力を受けている．
さらに，外部磁界のほかに，自己のメッシュの磁化が作る反磁界，それ以外のメッシュの磁化が
作る浮遊磁界も考慮する．
そして，各メッシュで，LLGの方程式(20)式を解く．
その際， Heff には，外部磁界，反磁界，浮遊磁界，交換力による磁界，異方性磁界がはいる．
初期条件として，時間t = 0で磁壁を作っておき，時間とともに磁壁が動いていく様子をシミュレー
ションすることになる.
仲谷，鎌田，小林，白鳥：“磁壁エネルギーによる磁壁移動シミュレーション”日本応用磁気学会
学術講演概要集 (1999) 5pD-4．
[ ]
その結果をMovs.4 - 6 (QuickTime movie)に示す．計算セルの大きさは，幅50 Å ，高さ
[ ]
300 Å ，半径方向は無限大で，媒体の移動速度は3[m / sec] である．パラメータは，(28)式より，
α eff = 1/ Ms ，10 / Ms ，100 / Ms としている．
Mov.4 DWDDにおける磁化の運動(α eff = 1/ Ms )
10
α eff = 1/ Ms の場合には，初期段階において，磁化の歳差運動が激しく磁壁がなかなか移動していか
ない．これはMov.1に相当している．
Mov.5 DWDDにおける磁化の運動(α eff = 10 / Ms )
α eff = 10 / Ms の場合には，磁化の歳差運動があまりなく磁壁が速やかに移動している．これは
Mov.2に相当している．
Mov.6 DWDDにおける磁化の運動(α eff = 100 / Ms )
α eff = 100 / Ms の場合には，磁化がゆっくり反転していき，結果磁壁の移動も遅い．これはMov.3に
相当している．これらの結果の意味は“7．DWDDに対するシミュレーション結果”で詳しく説明す
る．
位置と速度の結果をα eff = 10 / Ms についてFig.3に示す．横軸はfront processが始まってからの時
間，縦軸は磁壁の位置と速度である．速度が振動的に変化しているが，これはWalkerの限界を越え
ているためである．
Fig.3 DWDD媒体における磁壁移動速度(α eff = 10 / Ms )
5．磁壁移動速度(近似解析式)
飯田，小林編：“磁気バブル”(丸善，1977) p.59.
駆動磁界が小さい場合，磁壁はその構造を保ったまま移動するが，駆動磁界が大きくなると，磁
壁構造自体が変化しながら移動する．前者では，磁壁移動速度は駆動磁界にほぼ比例するが，後者
では，磁壁移動速度は駆動磁界に対して複雑な挙動を示す．前者と後者の境をWalkerの限界とよぶ．
ここでは，Walkerの限界の前後にわけて考える．
(1)Walkerの限界以下の場合
LLGの方程式(20)式を解くと，磁壁移動速度V は，
11
V=

2 
2

  
A  π Ms 
H
H 1+
1− 1−

K 
K 
2π Msα eff   




γ eff
α eff
−1/2
(37)
となるが， H > 2π Msα eff では，複素数になるので使えない．ここで， A は交換スティフネス定数， K
は実効的異方性定数， H は駆動磁界である．
H = 2π Msα eff
(38)
をWalkerの限界とよぶ．REがGdの場合，(28)式を代入することにより，(38)式は，
H = 2π
λ eff
γ
(39)
となり，温度変化はなくなる．
また，
∆0 =
A
K
(40)
と置くと，
V=
γ eff
α eff

2 


  
π Ms 2 
H

∆ 0 H 1+
1 − 1− 

K 
2π Msα eff   




−1/2
(41)
となるが，∆ 0 のことを磁壁幅パラメータとよぶ． A も K も温度変化があるが， A / K の温度変化はあ
まりなく，従って，∆ 0 の温度変化もあまりない．
K >> 2π Ms 2 の場合，(41)式は，
V=
γ eff
∆ H
α eff 0
(42)
と簡単になる．浮遊磁界が磁壁移動に影響するので，移動層の磁化は小さく設定されるので，DWDD
媒体ではK >> 2π Ms 2 が成立すると考えられる．さらに，
µw =
γ eff
∆
α eff 0
(43)
と置くと，
V = µwH
(44)
となるが， µw を磁壁移動度とよぶ．
(42)式において，REがGdの場合，(28)式を代入すると，
γ 2 Ms
V=
∆0 H
λ eff
(45)
12
となる．すなわち，V は Ms に比例するが， Ms が大きくなれば H との相互作用が大きくなり，V が速
くなるのは自然である．
駆動磁界が磁壁エネルギーσ d の温度勾配の場合， H は，
1 ∂ σd
2Ms ∂ x
H=
(46)
となるが，REがGdの場合，(46)式を(45)式に代入すると，
γ2
∂ σd
V=
∆0
2λ eff
∂x
(47)
となり，補償温度で Ms = 0 においても，磁壁移動が起きることがわかる．
最後に，
v=
V
2π Msγ eff ∆ 0
h=
H
2π Msα eff
(48)
(49)
で定義される規格化速度v ，規格化磁界h を導入すると，(38)式のWalkerの限界は，
h=1
(50)
となり，(42)式の磁壁移動速度は，
v =h
(51)
となる．
(2)Walkerの限界以上の場合
次に，Walkerの限界以上
h>1
(52)
のときを考える． K >> 2π Ms 2 の場合，v は，
v=
 2

1
1

2  α eff h +
1 + α eff 
h + h2 − 1 
(53)
となる．浮遊磁界が磁壁移動に影響するので，移動層の磁化は小さく設定されるので，DWDD媒体では
K >> 2π Ms 2 が成立すると考えられる．h = 1のとき，(51)式は，
v =1
(54)
(53)式も，
13
v=
1
2
2 (α eff + 1) = 1
1 + α eff
(55)
となり，h = 1で，(51)式と(53)式は連続となっている．
h >> 1/ α eff では，
v=
α eff 2
h
1 + α eff 2
(56)
となり，再びh に比例する．
結局，h < 1(Walkerの限界以下)で(51)式，h > 1(Walkerの限界以上)で(53)式になるが，これらの
関係をFig.4に示す．h > 1では，v は一旦1より小さくなった後，h とともに増加する．α eff が小さい
と，Walkerの限界を超えた途端，v が急激に減少する．
Fig.4 v = V / 2π Msγ eff ∆ 0 とh = H / 2π Msα eff の関係
(56)式に，(48)式と(49)式を代入すると，
V
α eff 2
H
α eff
H
=
=
2
2
2π Msγ eff ∆ 0 1+ α eff 2π Msα eff 1 + α eff 2π Ms
V=
α eff
γ ∆ H
1 + α eff2 eff 0
(57)
となるが，α eff に関しては，
1(1+ α eff 2 ) − α eff 2α eff
d
α eff
1− α eff 2
=
=
2
2
dα eff 1 + α eff 2
(1 + α eff 2 )
(1 + α eff2 )
(58)
より，α eff = 1のときV が最大になる．
ところで，(57)式から，α eff = α ，γ eff = γ として，磁壁幅パラメータ∆ 0 を移動する時間を計算す
ると，
14
∆0
=
V
∆0
α
γ ∆0 H
1 +α2
=
1 +α2 1
=τ
α γ H
(59)
となり，単磁区構造における(34)式のτ と一致する．
h > 1(Walkerの限界以上)で，h >> 1/ α eff の場合には，磁壁の中の磁化の運動は，磁界が大きいので
単磁区の磁化の運動に近づくと考えられる．
これらの関係をFig.5に示す．h > 1(Walkerの限界以上)でh >> 1/ α eff の場合，V は H に比例し，
α eff = 1のときV が最大になっている．なお，計算に用いたパラメータは，
[
]
[ ]
Ms = 30[ emu/cm3 ] ，γ eff = 1.76 × 107 1/ (Oe sec) ，∆ 0 = 200 Å = 200 × 10 −8 [cm] である．
Fig.5 V と H の関係
さて，α eff が1よりかなり小さいとき，(57)式の
α eff
1 + α eff 2
(60)
は，1 + α eff 2 → 1となるから，
α eff
→ α eff
1 + α eff 2
(61)
となる．(57)式において，REがGdの場合，(61)式，(28)式を代入すると，
V=
λ eff
∆ H
Ms 0
(62)
となり，V は1/ Ms に比例することになる．
一方，α eff が1よりかなり大きいときは，(60)式は，1 + α eff 2 → α eff2 となるから，
α eff
1
2 →
1 + α eff
α eff
(63)
15
となる．REがGdの場合，(57)式に(63)式，(28)式を代入すると，
V=
γ 2 Ms
∆0 H
λ eff
(64)
となって，(45)式と同じ形になる．この場合は， Ms が大きいほうがV が速い．
(60)式，(62)式，(64)式の意味であるが，
内山，増田：“磁性体材料”(コロナ社，1980) p.127.
にあるように，制動(α eff )が小さいと，磁化は磁界の周りをいつまでも歳差運動し，なかなか磁界の
方向に向かない．一方，α eff が大きいと，歳差運動はしないけれども，ゆっくり磁界の方向に向いて
行くので，やはりなかなか磁界の方向に向かない．結局，α eff は小さくても大きくてもなかなか磁界
の方向を向かず，磁化が速やかに磁界の方向に向くためには適当な制動が必要で，それが(60)式で表
わされ，具体的にはα eff = 1のときである．
α eff が小さい場合， Ms が大きいと H との相互作用が大きくなり， H の周りをいつまでも歳差運動
を続け，磁化がなかなか H の方向を向かず，却ってV が遅くなる．一方，α eff が大きい場合， Ms を大
きくして H との相互作用を大きくすると，磁化が速やかに H の方向に向くため，V が速くなると解
釈できる．
ところで，(42)式，(57)式で，∆ 0 は1/ K に比例し， H は K に比例するので，速度に関しては，
K は影響がほとんど無いかもしれない．
ただし，磁壁坑磁力が同じなら， K が大きいほどジッターが少なくなるように思える．
(3)垂直ブロッホラインを考慮した場合
飯田，小林編：“磁気バブル”(丸善，1977) pp.53-69.
(1)Walkerの限界以下の場合や，(2)Walkerの限界以上の場合は，ブロッホラインを考慮していな
かった．ここでは，垂直ブロッホラインを考慮する．ただし，Walkerの限界は考慮しない．
垂直ブロッホラインが周期a で並んでいるとする．磁壁移動速度V は，
−1

π 2 Λ  γ eff
V =  1+
∆0 H
2 
 2α eff a  α eff
(65)
となる．ここで，Λ は，
Λ=
A
2π Ms2
(66)
で定義されるブロッホラインの幅パラメータである．a が，
a=
π 2Λ
2
(67)
の程度になると，(65)式は，
V=
α eff
γ ∆ H
1 + α eff2 eff 0
(68)
16
となり，(57)式と一致する．
a がパラメータであるが，これは不明である．
記録時に記録層に垂直ブロッホラインができれば，移動層にも垂直ブロッホラインが転写される
が，記録時に記録層に垂直ブロッホラインができるかどうか，そして，どのようにできるかが不明
である．
また，たとえ記録時に垂直ブロッホラインがなくても，移動層の磁壁が移動していく途中で垂直
ブロッホラインが現れる可能性もある．やはり，これも詳細は不明である．
磁壁の移動速度をV ，VBLの磁壁接線方向の移動速度をVVBL とすると，
VVBL = −
π Q
V
2α eff
(69)
(Q = K / 2π M ) であるから，
2
s
 erg 
K = 5 × 10 4  3 
 cm 
 emu 
Ms = 30 3 
 cm 
(70)
α eff = 0.33
(71)
(72)
を代入すると，
VVBL = −14 V
(73)
となり，DWDDの場合，VVBL はV より14 倍速度が速いということになる．初期状態で垂直ブロッホ
ラインが存在していたとしても，すぐにトラックの端に到達し，そこに引っかかったまま，あるい
は消滅する．従って，垂直ブロッホラインが次から次へと湧き出さないかぎりは，あまり考慮しな
くてよいように思える．
(4)水平ブロッホラインを考慮した場合
(1)Walkerの限界以下の場合や，(2)Walkerの限界以上の場合は，ブロッホラインを考慮していな
かった．ここでは，水平ブロッホラインを考慮する．ただし，Walkerの限界は考慮しない．
磁壁移動速度V は，
V=
γ eff
∆ H
α eff 0
(74)
であるが，
H = 4 2π cosh2 1
H = 24
A α eff
t
A α eff
t
(75)
(76)
のとき最大になり，ピーク速度は，
17
V = 4 2π cosh 2 1
V = 24
γ eff A
t K
γ eff A
t K
(77)
(78)
となる．ここで，t は膜厚である．DWDDとして，
 erg 
A = 2 × 10 -7  
 cm 
α eff = 0.33
(79)
(80)
[ ]
t = 300 Å = 300 × 10−8 [cm]
(81)
くらいの値を考えると，速度が最大となる磁界は，
H = 1.2[ kOe]
(82)
くらいになる．磁壁駆動磁界は，具体的には，
H=
1 ∂ σd
= 200[Oe]
2Ms ∂ x
(83)
となるので，速度が最大となる磁界には達していない．従って，(74)式が磁壁移動速度の式となる．
DWDDの場合，膜厚が薄いので，(75)，(76)式の磁界が大きく，水平ブロッホラインは考えなく
てよい．
6．パラメーターの数値
まず，Gd-Coバブル用媒体を考える．
 1 
γ = 1.76 × 10 7 

 Oe sec 
α eff = 0.1
(84)
(85)
[ ]
∆ 0 = 200 Å = 200 × 10 −8 [cm]
(86)
くらいの値を考え，(43)式に代入すると，
 cm 
µw = 350 

 sec Oe 
となる．
(87)
[
]
Gd-Coなどで， µw が500 − 2,000 cm/(sec Oe) と求まっている．
M. H. Kryder and H. L. Hu: "Bubble dynamics in amorphous magnetic materials" AIP Conf.
Proc. 18 (1973) 213.
18
[
]
あるいは，Gd-Co-Cuでは，µw が200 − 300 cm/ (sec Oe) と求まっている．
R. I. Potter, V. J. Minkiewicz, K. Lee and P. A. Albert: "Dynamic properties of magnetic
bubbles in amorphous GdCoCu films" AIP Conf. Proc. 29 (1975) 76.
[
]
これらを比較すると， µw = 350 cm/ (sec Oe) は妥当な値と思われる．
ここでは，バブル用媒体を考えているので，
 emu 
Ms = 100  3 
 cm 
(88)
くらいである． Ms = 100[emu/cm3 ]でα eff = 0.1くらいになるものと考えられる．
すなわち，(28)式において， Ms = 100[emu/cm3 ]でα eff = 0.1となるので，
λ eff
 emu 
= 10  3 
 cm 
γ
(89)
となる．
あるいは，
P. Lubitz, J. Schelleng, C. Vittoria and K. Lee: "FMR in some amorphous RE - 3-d transition
metal" AIP Conf. Proc. 29 (1976) 178.
では，GdFe2 ，GdCo3 ，HoFe 2 のLandau-Lifshitzの損失定数λ eff を，それぞれ1, 2, 3 × 108 [1/sec] と報
告している．この値は，純TM
S. M. Bhagat and P. Lubitz: "Temperature variation for ferromagnetic relaxation in the 3d
transition metals" Phys. Rev. B 10 (1974) 179.
と同程度と報告している．従って，
λ eff
 emu 
= 10  3 
 cm 
γ
(90)
くらいとなり， Ms = 100[emu/cm3 ]におけるα eff = 0.1は，やはり妥当な値と考えられる．
損失をパラメータとして比較を行う場合には，(90)式の値を変化させればよい．
次に，磁壁移動検出(DWDD)媒体を考える．front processにおいて，磁壁が移動を開始する位置
付近では，
 emu 
Ms = 30 3 
 cm 
(91)
くらいになっており，
α eff = 0.33
(92)
くらいである．また，Walkerの限界は，
19
H = 63[Oe]
(93)
くらいの値であり，磁壁駆動磁界は，具体的には，
H=
1 ∂ σd
= 200[Oe]
2Ms ∂ x
(94)
となるので，Walkerの限界を越えている．
7．近似解析式によるシミュレーション結果
まず，Fig.6を用いてDWDD媒体の磁壁駆動磁界とWalkerの限界について考える．
図には，磁壁駆動磁界 H = (1/ 2Ms )∂ σ d / ∂ x ， (1/ 2Ms )∂ σ d / ∂ x から磁壁坑磁力 Hw を引いた磁界，
Walkerの限界 H = 2π Msα eff ，及び Ms を示してある．横軸は，媒体のfront process付近の位置であ
る．
計算刻みは31.25 Å ，半径方向は無限大であり，媒体の移動速度は3[m / sec] である．浮遊磁界は考
慮していない．
0.3625[ µm ]くらいでfront processが始まり，−0.1125[ µm] くらいが最高温度点であるが，温度が高
くなると，補償温度に近づくので， Ms がかなり小さくなる．
Hw よりも (1/ 2Ms )∂ σ d / ∂ x の方がかなり大きいので， (1/ 2Ms )∂ σ d / ∂ x から Hw を引いてもあまり変
わらない．
パラメーターとしては，
[ ]
α eff =
λ eff
1
3 10 30 100
=
,
,
,
,
γ Ms Ms Ms Ms Ms Ms
(95)
と設定した．
Walkerの限界は2π Msα eff であるが，α eff は1/ Ms に比例するので，結局，2π Msα eff には温度依存性
が無くなる．
α eff = 100 / Ms を除いて， (1/ 2Ms )∂ σ d / ∂ x より2π Msα eff の方が小さくなっている．
Fig.6 DWDD媒体における磁壁駆動磁界とWalkerの限界
次に，磁壁移動の計算結果をFigs.7 - 16に示す．
Figs.7, 9, 11, 13, 15の横軸はfront processが始まってからの時間，縦軸は磁壁の位置と速度であ
る．参考のために，磁壁抗磁力 Hw = 0 の結果も示す．
20
Figs.8, 10, 12, 14, 16の横軸は媒体のfront process付近の位置であり，縦軸は規格化磁界
h ，1/ α eff ，α eff である．
Fig.7のα eff = 1/ Ms の場合，すなわち制動がかなり小さい場合，最初，速度が遅く，磁壁がなかな
か移動していかないが，磁壁が最高温度点に近づくと，速度が急激に速くなる．磁壁移動の初期段階
の速度が遅いので，結局，平均の磁壁移動速度は遅い．
この理由をFig.8で考える．まず，h > 1であるのでWalkerの限界を越えていて，かつ，h >> 1/ α eff
であるので，
V=
α eff
γ ∆ 0H
1 + α eff2
(96)
で表わされ，α eff = 1のときV が最大になり，α eff < 1でもα eff > 1でもV が遅くなる．磁壁移動の初期段
階では，α eff < 1であり，また H も小さいので，V が遅い．このときの磁壁の中での磁化の運動は，
Mov.1，Fig.1(α = 0.1)のように歳差運動が激しく起きているものと考えられる．磁壁が最高温度点に
近づくと，α eff が1に近づき，さらに H も大きくなるので，V が急激に速くなる．
以上の結果は，マイクロマグネティックシミュレーションの結果，Mov.4とつじつまが合ってい
て，Mov.4の結果は以上のように解釈される．
Fig.7 DWDD媒体における磁壁移動速度(α eff = 1/ Ms )
Fig.8 規格化磁界と損失定数(α eff = 1/ Ms )
21
次に，Fig.9のα eff = 3/ Ms の場合，すなわち制動が少し大きくなった場合を考える．Fig.7に比べ，
平均の磁壁移動速度が速くなっている．
この理由をFig.10で考える．やはり，h > 1であり，かつ，h >> 1/ α eff である．Fig.8に比べてα eff が
大きいので，磁壁移動の初期段階でもV が比較的速い．やはり，磁壁が最高温度点に近づくと，α eff
が1に近づき，さらに H も大きくなるので，V が急激に速くなる．
Fig.9 DWDD媒体における磁壁移動速度(α eff = 3/ Ms )
Fig.10 規格化磁界と損失定数(α eff = 3/ Ms )
Fig.11のα eff = 10 / Ms の場合，すなわち制動がさらに少し大きくなった場合を考える．Fig.9に比べ，
さらに平均の磁壁移動速度が速くなっている．
Fig.12より，やはり，h > 1であり，かつ，h >> 1/ α eff である．Fig.10に比べてα eff が大きいので，
磁壁移動の比較的初期段階でα eff = 1となり，初期段階のV がさらに速くなる．このときには磁壁の中
の磁化は，Mov.2，Fig.1(α = 1)のように速やかに反転しているものと考えられる．ただし，α eff = 1の
ときの H は比較的小さいので，Fig.11の磁壁移動速度のピーク値が小さくなっている．
以上の結果は，マイクロマグネティックシミュレーションの結果，Mov.5とつじつまが合ってい
て，Mov.5の結果は以上のように解釈される．
22
Fig.11 DWDD媒体における磁壁移動速度(α eff = 10 / Ms )
Fig.12 規格化磁界と損失定数(α eff = 10 / Ms )
Fig.13のα eff = 30 / Ms の場合，すなわち制動がさらに少し大きくなった場合を考えると，平均の磁
壁移動速度がやや遅くなっている．
Fig.14より，やはり，h > 1であり，かつ，h >> 1/ α eff である．磁壁移動の初期段階ですでにα eff = 1
となっている．α eff = 1ではあるが H が小さいので，Fig.14では磁壁移動速度はピークをほとんど示
さない．
23
Fig.13 DWDD媒体における磁壁移動速度(α eff = 30 / Ms )
Fig.14 規格化磁界と損失定数(α eff = 30 / Ms )
最後に，Fig.15のα eff = 100 / Ms の場合，すなわち制動がかなり大きい場合を考えると，平均の磁壁
移動速度がかなり遅くなる．
Fig.16より，必ずしもh > 1ではなく，かつα eff >> 1である．この場合には，α eff >> 1なので常にV
が小さく，結局，平均の磁壁移動速度が遅くなる．これは，Mov.3，Fig.1(α = 10)に相当し，歳差運
動をほとんどせず，磁化が緩やかに倒れていくと考えられる．
以上の結果は，マイクロマグネティックシミュレーションの結果，Mov.6とつじつまが合ってい
て，Mov.6の結果は以上のように解釈される．
24
Fig.15 DWDD媒体における磁壁移動速度(α eff = 100 / Ms )
Fig.16 規格化磁界と損失定数(α eff = 100 / Ms )
Fig.7とFig.15はどちらも平均の磁壁移動速度が遅いが，Fig.7では歳差運動が激しく磁化がなかなか
倒れていかないからであり，Fig.15では磁化がゆっくり倒れていくからで，磁壁の中の磁化の運動の振
る舞いは異なっている．
このように，V が1/ α eff でなくα eff / (1 + α eff 2 ) に比例すること，α eff が1/ Ms に比例すること，V が H
に比例すること， H が (1/ 2Ms )∂ σ d / ∂ x で表わされることよって，V が複雑に変化する．
さらに，磁壁移動速度が瞬間的に速くても無意味で，磁壁が最高温度点に到達するまでの時間が
問題になる．V が複雑に変化するので，平均の磁壁移動速度を近似解析式で予測するのは難しく，数
値的に求める方が良い．
この意味において，α eff = 10 / Ms くらいがいいようであるが，α eff = 3/ Ms や，α eff = 30 / Ms でもあま
り変わらない．
また，すでに Hw がかなり小さいので，これ以上 Hw を小さくしても，速度はあまり速くならないか
もしれない．
Fig.3のマイクロマグネティックシミュレーションと，この近似解析式との比較をFigs.17, 18に示
す．大まかに言って，両者はよく一致しているので，近似解析式を用いることは可能である．
細かい点では，マイクロマグネティックシミュレーションの速度は振動的であるが，近似解析式
ではそれを表現できない．また，速度が最大になる時間は，近似解析式の方が0.5 − 1[n sec] 位早いよ
うであるが，原因は不明である．
25
近似解析式では，浮遊磁界を考慮していないが， Ms が小さいので，あまり影響しないのかもしれ
ない．
Fig.17 マイクロマグネティックシミュレーションと近似解析式の比較(1)
Fig.18 マイクロマグネティックシミュレーションと近似解析式の比較(2)
8．実験結果
磁壁移動速度を実験的に求める一つの方法として，DWDD再生信号の立ち上がり時間の測定が考
えられる．ただし，この場合，電気系の立ち上がり時間が含まれるので，それを差し引く必要があ
る．オシロスコープで測定した見かけの立ち上がり時間をτ a ，電気系の立ち上がり時間をτ e とする
と，真の立ち上がり時間τ は，
τ = τ a2 − τ e2
(97)
より求めることができる．
M. Kaneko, T. Sakamoto and A. Nakaoki: "Study of Jitter in Domain Wall Displacement
Detection" IEEE Trans. Magn. 35 (1999) 3112.
では，τ a = 16[nsec] ，τ e = 10[nsec ]よりτ = 12.5[nsec ] と求めている．磁壁移動距離を350[nm ] と仮定し
26
ているので，結局，平均の磁壁移動速度は28[ m / sec] となる．なお，このときの媒体の移動速度は
1.5[ m / sec] ，トラックピッチは0.85[ µm ]である．
ちなみに，磁壁移動距離を500[nm ] と仮定すると，平均の磁壁移動速度は40[m / sec] となる．
9．まとめ
RE-TMフェリ磁性体の磁気回転比，損失定数は以下の式で表わされる．
γ 1 ，γ 2 ，λ 1 ，λ 2 には温度変化がないと考えても，γ eff ，α eff は温度によって変化する．ただし，REが
Gdの場合，γ eff は温度によって変わらない．α eff は Ms の逆数の温度変化になる．
K >> 2π Ms 2 の場合，磁壁移動速度は以下のようになる．ここで，h = 1はWalkerの限界である．
h > 1でかつ，h >> 1/ α eff では，V は H に比例し，α eff = 1のときV が最大になる．α eff が小さいと，磁
化が歳差運動を続け，磁壁がなかなか動いていかない．α eff が大きいと，歳差運動はしないが，磁化
が回転しにくく，やはり磁壁がなかなか動いていかない．
h >> 1/ α eff でREがGdの場合，
27
となる．α eff が小さい場合， Ms が大きいと H との相互作用が大きくなり，駆動磁界 H の周りをいつ
までも歳差運動を続け，磁化がなかなか H の方向を向かず，却ってV が遅くなる．一方，α eff が大き
い場合， Ms を大きくして H との相互作用を大きくすると，磁化が速やかに H の方向に向くため，V
が速くなると解釈できる．
過去の文献によると，Gd-TMの場合，
λ eff
 emu 
= 10  3 
 cm 
γ
(98)
程度の値と考えられる．
DWDD方式では温度勾配による磁壁駆動磁界が大きく，磁壁の中の磁化の運動は単磁区構造の磁化の
運動に近いと考えられる．
DWDDのfront processでは，ほぼh > 1でかつ，h >> 1/ α eff が成り立っている．従って，
V=
α eff
γ ∆ 0H
1 + α eff2
(99)
が成り立つ．α eff = 1のとき最大となるので，α eff = 1でかつ， H が大きいほどV が速くなる．
磁壁移動にともない温度が変化するが，γ に温度変化はなく，∆ 0 もほとんど温度変化がない．し
かし，
α eff =
H=
λ eff
γ Ms
1 ∂ σd
2Ms ∂ x
(100)
(101)
であるので，α eff ， H には温度変化がある．従って，α eff = 1でかつ， H を大きいままに維持すること
はできない．
平均の磁壁移動速度は，(99)式をfront processに対して平均化することによって求めることがで
きるが，それを解析的に表現するのは難しく，結局，数値的に求め比較するしかないと考えられる．
平均の移動速度を速くするための指針は，α eff = 1でかつ， H を大きいままに維持することである．
現状のDWDD媒体では，α eff = λ eff / γ Ms = 10 / Ms くらいで磁壁移動速度がもっとも速くなり，媒体
の移動速度3[m / sec] に対して，平均の磁壁移動速度はおよそ50[m / sec ] となる．α eff = 3/ Ms や，
28
α eff = 30 / Ms でもあまり変わらない．実験結果は，媒体の移動速度1.5[ m / sec] に対して，平均の磁壁
移動速度はおよそ28[ m / sec] と報告されている．
また，すでに磁壁抗磁力 Hw がかなり小さいので，これ以上 Hw を小さくしても，速度はあまり速く
ならないかもしれない．
29

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