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Exponentialfunktionen im Abitur Bayern
1. Carla: f ( x ) = 2x · e−0,5x
Analysis Q11 Baier
2
2. Sophia: f ( x ) =
Definitionsmenge:
Definitionsmenge:
Df = R
Df = R
Symmetrie: G f punktsymmetrisch zu (0|0)
Symmetrie: keine
Nullstellen:
Nullstellen: keine
x0 = 0
Grenzverhalten:
2 · ex
= 0;
x →−∞ e x + 9
Grenzverhalten:
lim
2x
lim
x →±∞ e0,5x2
=0
2 · ex
=2
x →+∞ e x + 9
lim
1. Ableitung:
1. Ableitung:
f (x) =
f ( x ) = e−0.5x · (2 − 2 · x2 )
2
18e x
(9 + e x )2
2. Ableitung:
2. Ableitung:
f ( x ) = −
f ( x ) = e−0.5x · (−6x + 2 · x3 )
2
Extrema:
2 · ex
ex + 9
Extrema: Fehlanzeige
jeweils global
−2
Min −1 √
;
e
Wendepunkt:
2
Max 1 √
e
18e x (−9 + e x )
(9 + e x )3
W1 (0|0)
√ √ 2· 3
W2 − 3 −
;
3
e2
W1
1
ln 9
2
oder W1
1
2 ln 3
2
Wendepunkte:
W3
√ √ 2 · 3
3 3
e2
Graph:
2
y
waag. Asymptote y = 2
1
W1
Graph:
y
−2
Max
−3
−2 W −1
2
1
2
3
4
5
6
x
W3
1
W1
−1
Gf
Gf
1
2
3
x
−1
Min
−2
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Exponentialfunktionen im Abitur Bayern
Analysis Q11 Baier
3. Timo: f ( x ) = 6 · e−0,5x + x
4. Natascha: f ( x ) = (e x − 2)2
Definitionsmenge:
Definitionsmenge:
Df = R
Df = R
Symmetrie: keine
Symmetrie: keine
Nullstellen: keine
Nullstellen: x0 = ln 2
Grenzverhalten:
Grenzverhalten:
lim 6 · e−0,5x + x = +∞
lim (e x − 2)2 = 4;
x →±∞
lim (e x − 2)2 = +∞
x →−∞
1. Ableitung:
x →+∞
1. Ableitung:
f ( x ) = 1 − 3 · e−0,5x
f ( x ) = 2 · e x · ( e x − 2)
2. Ableitung:
2. Ableitung:
f ( x ) = 1,5 · e−0,5x
f ( x ) = 4 · e x · (e x − 1)
Extrema:
Extrema:
globales Min ln 92 + ln 9
globales Min ln 20
Wendepunkte: keine
Wendepunkt:
Graph:
Graph:
W1 (0|1)
y
6
y
waag. Asymptote y = 4
Gf
4
5
3
4
Gf
Min
2
3
1
WP
2
1
−1
−5
schiefe Asymptote y = x
−4
−3
−2
−1
Min
1
x
2
x
1
2
3
4
5
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Exponentialfunktionen im Abitur Bayern
5. Vanessa: f s ( x ) = e2x− 2 sx
1
Analysis Q11 Baier
2
6. Marcel: f ( x ) = (e x − 2) · ( x3 − 2x )
Definitionsmenge:
Definitionsmenge:
Df = R
D fs = R
Symmetrie: keine
Symmetrie: keine
Nullstellen: keine
Nullstellen: x1 = ln 2; x2 = 0; x3/4 = ± 2
√
Grenzverhalten:
Grenzverhalten:
lim e2x− 2 sx =
1
2
x →+∞
lim e2x− 2 sx =
1
2
x →−∞
lim (e x − 2) · ( x3 − 2x ) = +∞
+∞ falls s ≤ 0
0 falls s > 0
x →±∞
1. Ableitung:
f ( x ) = 4 − 6 · x2 + e x · (−2 − 2x + 3x2 + x3 )
+∞ falls s < 0
0 falls s ≥ 0
2. Ableitung:
f ( x ) = −12x + e x · (−4 + 4x + 6x2 + x3 )
1. Ableitung:
f s ( x ) = e2x− 2 sx · (2 − sx )
1
2
Extrema:
zu schwer
Wendepunkt:
2. Ableitung:
zu schwer
Graph:
f s ( x ) = e
Extrema:
2x − 12 sx2
· (s2 x2 − s(4x + 1) + 4)
4
nur für s = 0
2 2
e s für s < 0
globales Min
s
2 2
globales Max
e s für s > 0
s
Wendepunkte:
W1
und W2
3
Gf
2
1
für s < 0 keine und für s > 0
√ 2 + s ...
s y
−2
√ 2 − s ...
s −1
1
x
−1
−2
Graph: für s = 4
y Max
1.5
1.0
W2
W1
0.5
Gf
−1.5−1.0
−0.5
0.5
−
0.5 1.0 1.5 2.0
x
1.0
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Exponentialfunktionen im Abitur Bayern
Analysis Q11 Baier
1
7. Tobias: f ( x ) = e− 4 x · cos x
8. Steffi: f (t) = 3 · (1 − e−t ) − t
Definitionsmenge:
Definitionsmenge:
Df = R
Df = R
Symmetrie: keine
Symmetrie: keine
Nullstellen: x =
π
+ k · π;
2
Nullstellen: t1 = 0; t2 ≈ 2,82 (Newtonverfahren)
k∈Z
Grenzverhalten:
Grenzverhalten:
lim 3 · (1 − e−t ) − t = −∞
lim e− 4 x · cos x = 0
1
t→±∞
x →+∞
1. Ableitung:
lim e− 4 x · cos x existiert nicht
1
x →−∞
f ( x ) = 3e−t − 1
1. Ableitung:
2. Ableitung:
1 x
f ( x ) = − e− 4 (cos( x ) + 4 sin( x ))
4
f ( x ) = −3e−t
2. Ableitung:
Extrema:
1 −x
e 4 · (8sin( x ) − 15cos( x ))
f ( x ) =
16
Extrema:
globales Max ln 32 − ln 3
lohnt nicht
Wendepunkt: lohnt nicht
Wendepunkt: Fehlanzeige
Graph:
Graph:
6
y
1
y
Max
Gf
4
Gf
−1
2
1
2
3
x
4
−1
−8
−6
−4
−2
2
−2
4
6
8
10
x
−2
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Exponentialfunktionen im Abitur Bayern
9. Melli: f k ( x ) = 1 −
2k
;
+k
k>0
ex
10. Stöpsel: f ( x ) = x · e2− x
Definitionsmenge:
Definitionsmenge:
D f = R;
Analysis Q11 Baier
Df = R
da e x + k = 0 für k > 0
Symmetrie: keine
Symmetrie: keine
Nullstellen: x1 = ln k; ist einzige Nullstelle
Grenzverhalten:
Nullstellen: x1 = 0; ist einzige Nullstelle
Grenzverhalten:
lim x · e2− x = 0
2k
lim 1 − x
=1
x →+∞
e +k
lim 1 −
x →−∞
x →+∞
lim x · e2− x = −∞
x →−∞
2k
= −1
+k
ex
1. Ableitung:
1. Ableitung:
f k ( x ) =
f ( x ) = e 2− x · ( 1 − x )
2ke x
( e x + k )2
2. Ableitung:
f ( x ) = e2− x · ( x − 2)
2. Ableitung:
f k ( x ) =
2ke x · (k − e x )
( e x + k )3
Extrema:
globales Max (1|e)
Extrema: Fehlanzeige
Wendepunkt:
Wendepunkt:
W ln k 0
W (2|2)
Graph:
Graph: für k = e
3
1
y
Max
y
W
2
W
−3
G fe
−2
−1
1
2
1
x
3
−1
Gf
N
−1
1
2
3
4
5
x
6
−1
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Exponentialfunktionen im Abitur Bayern
Analysis Q11 Baier
11. Stefan R. f a ( x ) = a3 · x2 · e− ax ; a ∈ R \ {0}
12. Lukas: f ( x ) = (4x − 2) · e2x
Definitionsmenge:
Definitionsmenge:
D fa = R
Df = R
Symmetrie: keine
Symmetrie: keine
Nullstellen: x1 = 0; ist einzige Nst. (doppelt !!)
Nullstellen: x0 =
Grenzverhalten:
lim a3 · x2 · e−ax =
x →+∞
lim a3 · x2 · e−ax =
x →−∞
1
2
Grenzverhalten:
0 falls a > 0
−∞ falls a < 0
lim (4x − 2) · e2x = 0
x →−∞
lim (4x − 2) · e2x = +∞
x →+∞
+∞ falls a > 0
0 falls a < 0
1. Ableitung:
1. Ableitung:
f ( x ) = 8x · e2x
2. Ableitung:
f a ( x ) = a3 x · e−ax · (2 − ax )
f ( x ) = 8 · e2x · (1 + 2x )
2. Ableitung:
Extrema:
f a ( x ) = a3 · e−ax · (2 − 4ax + a2 x2 )
globales Min(0| − 2)
Extrema:
Wendepunkt:
a > 0:
glob. Min (0|0) ;
2 −2
Max
4a · e
a
a < 0:
glob. Max (0|0) ;
2 −2
4a · e
Min
a
W1/2
Graph:
1
−3
−2
y
Gf
−1
1
x
−1
W
−2
Wendepunkte:
W
1 4
− −
2
e
Min
√ √ 2 ± 2 2± 2
f
a a
Graph: für a = 1
3
y
2
G f1
1
Max
W1
W2
Min
−1
1
2
3
4
5
x
−1
Seite 6
Exponentialfunktionen im Abitur Bayern
Analysis Q11 Baier
13. Henrik: f ( x ) = e1− 2 x
1 2
Definitionsmenge:
Df = R
Symmetrie: G f ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nullstellen: keine
Grenzverhalten:
lim e1− 2 x = 0
1 2
x →−∞
lim e1− 2 x = 0
1 2
x →+∞
1. Ableitung:
f ( x ) = − x · e 1− 2 x
1 2
2. Ableitung:
f ( x ) = ( x2 − 1) · e1− 2 x
1 2
Extrema:
globales Max(0|e)
W1
Wendepunkte:
√
−1 e
W2
√
+1 e
Graph:
3
Max
y
W1
−2
W2
1
Gf
−3
2
−1
1
2
3
x
−1
Seite 7

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