Exponentialfunktionen im Abitur Bayern 1. Carla: f ( x ) = 2x · e−0,5x Analysis Q11 Baier 2 2. Sophia: f ( x ) = Definitionsmenge: Definitionsmenge: Df = R Df = R Symmetrie: G f punktsymmetrisch zu (0|0) Symmetrie: keine Nullstellen: Nullstellen: keine x0 = 0 Grenzverhalten: 2 · ex = 0; x →−∞ e x + 9 Grenzverhalten: lim 2x lim x →±∞ e0,5x2 =0 2 · ex =2 x →+∞ e x + 9 lim 1. Ableitung: 1. Ableitung: f (x) = f ( x ) = e−0.5x · (2 − 2 · x2 ) 2 18e x (9 + e x )2 2. Ableitung: 2. Ableitung: f ( x ) = − f ( x ) = e−0.5x · (−6x + 2 · x3 ) 2 Extrema: 2 · ex ex + 9 Extrema: Fehlanzeige jeweils global −2 Min −1 √ ; e Wendepunkt: 2 Max 1 √ e 18e x (−9 + e x ) (9 + e x )3 W1 (0|0) √ √ 2· 3 W2 − 3 − ; 3 e2 W1 1 ln 9 2 oder W1 1 2 ln 3 2 Wendepunkte: W3 √ √ 2 · 3 3 3 e2 Graph: 2 y waag. Asymptote y = 2 1 W1 Graph: y −2 Max −3 −2 W −1 2 1 2 3 4 5 6 x W3 1 W1 −1 Gf Gf 1 2 3 x −1 Min −2 Seite 1 Exponentialfunktionen im Abitur Bayern Analysis Q11 Baier 3. Timo: f ( x ) = 6 · e−0,5x + x 4. Natascha: f ( x ) = (e x − 2)2 Definitionsmenge: Definitionsmenge: Df = R Df = R Symmetrie: keine Symmetrie: keine Nullstellen: keine Nullstellen: x0 = ln 2 Grenzverhalten: Grenzverhalten: lim 6 · e−0,5x + x = +∞ lim (e x − 2)2 = 4; x →±∞ lim (e x − 2)2 = +∞ x →−∞ 1. Ableitung: x →+∞ 1. Ableitung: f ( x ) = 1 − 3 · e−0,5x f ( x ) = 2 · e x · ( e x − 2) 2. Ableitung: 2. Ableitung: f ( x ) = 1,5 · e−0,5x f ( x ) = 4 · e x · (e x − 1) Extrema: Extrema: globales Min ln 92 + ln 9 globales Min ln 20 Wendepunkte: keine Wendepunkt: Graph: Graph: W1 (0|1) y 6 y waag. Asymptote y = 4 Gf 4 5 3 4 Gf Min 2 3 1 WP 2 1 −1 −5 schiefe Asymptote y = x −4 −3 −2 −1 Min 1 x 2 x 1 2 3 4 5 Seite 2 Exponentialfunktionen im Abitur Bayern 5. Vanessa: f s ( x ) = e2x− 2 sx 1 Analysis Q11 Baier 2 6. Marcel: f ( x ) = (e x − 2) · ( x3 − 2x ) Definitionsmenge: Definitionsmenge: Df = R D fs = R Symmetrie: keine Symmetrie: keine Nullstellen: keine Nullstellen: x1 = ln 2; x2 = 0; x3/4 = ± 2 √ Grenzverhalten: Grenzverhalten: lim e2x− 2 sx = 1 2 x →+∞ lim e2x− 2 sx = 1 2 x →−∞ lim (e x − 2) · ( x3 − 2x ) = +∞ +∞ falls s ≤ 0 0 falls s > 0 x →±∞ 1. Ableitung: f ( x ) = 4 − 6 · x2 + e x · (−2 − 2x + 3x2 + x3 ) +∞ falls s < 0 0 falls s ≥ 0 2. Ableitung: f ( x ) = −12x + e x · (−4 + 4x + 6x2 + x3 ) 1. Ableitung: f s ( x ) = e2x− 2 sx · (2 − sx ) 1 2 Extrema: zu schwer Wendepunkt: 2. Ableitung: zu schwer Graph: f s ( x ) = e Extrema: 2x − 12 sx2 · (s2 x2 − s(4x + 1) + 4) 4 nur für s = 0 2 2 e s für s < 0 globales Min s 2 2 globales Max e s für s > 0 s Wendepunkte: W1 und W2 3 Gf 2 1 für s < 0 keine und für s > 0 √ 2 + s ... s y −2 √ 2 − s ... s −1 1 x −1 −2 Graph: für s = 4 y Max 1.5 1.0 W2 W1 0.5 Gf −1.5−1.0 −0.5 0.5 − 0.5 1.0 1.5 2.0 x 1.0 Seite 3 Exponentialfunktionen im Abitur Bayern Analysis Q11 Baier 1 7. Tobias: f ( x ) = e− 4 x · cos x 8. Steffi: f (t) = 3 · (1 − e−t ) − t Definitionsmenge: Definitionsmenge: Df = R Df = R Symmetrie: keine Symmetrie: keine Nullstellen: x = π + k · π; 2 Nullstellen: t1 = 0; t2 ≈ 2,82 (Newtonverfahren) k∈Z Grenzverhalten: Grenzverhalten: lim 3 · (1 − e−t ) − t = −∞ lim e− 4 x · cos x = 0 1 t→±∞ x →+∞ 1. Ableitung: lim e− 4 x · cos x existiert nicht 1 x →−∞ f ( x ) = 3e−t − 1 1. Ableitung: 2. Ableitung: 1 x f ( x ) = − e− 4 (cos( x ) + 4 sin( x )) 4 f ( x ) = −3e−t 2. Ableitung: Extrema: 1 −x e 4 · (8sin( x ) − 15cos( x )) f ( x ) = 16 Extrema: globales Max ln 32 − ln 3 lohnt nicht Wendepunkt: lohnt nicht Wendepunkt: Fehlanzeige Graph: Graph: 6 y 1 y Max Gf 4 Gf −1 2 1 2 3 x 4 −1 −8 −6 −4 −2 2 −2 4 6 8 10 x −2 Seite 4 Exponentialfunktionen im Abitur Bayern 9. Melli: f k ( x ) = 1 − 2k ; +k k>0 ex 10. Stöpsel: f ( x ) = x · e2− x Definitionsmenge: Definitionsmenge: D f = R; Analysis Q11 Baier Df = R da e x + k = 0 für k > 0 Symmetrie: keine Symmetrie: keine Nullstellen: x1 = ln k; ist einzige Nullstelle Grenzverhalten: Nullstellen: x1 = 0; ist einzige Nullstelle Grenzverhalten: lim x · e2− x = 0 2k lim 1 − x =1 x →+∞ e +k lim 1 − x →−∞ x →+∞ lim x · e2− x = −∞ x →−∞ 2k = −1 +k ex 1. Ableitung: 1. Ableitung: f k ( x ) = f ( x ) = e 2− x · ( 1 − x ) 2ke x ( e x + k )2 2. Ableitung: f ( x ) = e2− x · ( x − 2) 2. Ableitung: f k ( x ) = 2ke x · (k − e x ) ( e x + k )3 Extrema: globales Max (1|e) Extrema: Fehlanzeige Wendepunkt: Wendepunkt: W ln k 0 W (2|2) Graph: Graph: für k = e 3 1 y Max y W 2 W −3 G fe −2 −1 1 2 1 x 3 −1 Gf N −1 1 2 3 4 5 x 6 −1 Seite 5 Exponentialfunktionen im Abitur Bayern Analysis Q11 Baier 11. Stefan R. f a ( x ) = a3 · x2 · e− ax ; a ∈ R \ {0} 12. Lukas: f ( x ) = (4x − 2) · e2x Definitionsmenge: Definitionsmenge: D fa = R Df = R Symmetrie: keine Symmetrie: keine Nullstellen: x1 = 0; ist einzige Nst. (doppelt !!) Nullstellen: x0 = Grenzverhalten: lim a3 · x2 · e−ax = x →+∞ lim a3 · x2 · e−ax = x →−∞ 1 2 Grenzverhalten: 0 falls a > 0 −∞ falls a < 0 lim (4x − 2) · e2x = 0 x →−∞ lim (4x − 2) · e2x = +∞ x →+∞ +∞ falls a > 0 0 falls a < 0 1. Ableitung: 1. Ableitung: f ( x ) = 8x · e2x 2. Ableitung: f a ( x ) = a3 x · e−ax · (2 − ax ) f ( x ) = 8 · e2x · (1 + 2x ) 2. Ableitung: Extrema: f a ( x ) = a3 · e−ax · (2 − 4ax + a2 x2 ) globales Min(0| − 2) Extrema: Wendepunkt: a > 0: glob. Min (0|0) ; 2 −2 Max 4a · e a a < 0: glob. Max (0|0) ; 2 −2 4a · e Min a W1/2 Graph: 1 −3 −2 y Gf −1 1 x −1 W −2 Wendepunkte: W 1 4 − − 2 e Min √ √ 2 ± 2 2± 2 f a a Graph: für a = 1 3 y 2 G f1 1 Max W1 W2 Min −1 1 2 3 4 5 x −1 Seite 6 Exponentialfunktionen im Abitur Bayern Analysis Q11 Baier 13. Henrik: f ( x ) = e1− 2 x 1 2 Definitionsmenge: Df = R Symmetrie: G f ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Nullstellen: keine Grenzverhalten: lim e1− 2 x = 0 1 2 x →−∞ lim e1− 2 x = 0 1 2 x →+∞ 1. Ableitung: f ( x ) = − x · e 1− 2 x 1 2 2. Ableitung: f ( x ) = ( x2 − 1) · e1− 2 x 1 2 Extrema: globales Max(0|e) W1 Wendepunkte: √ −1 e W2 √ +1 e Graph: 3 Max y W1 −2 W2 1 Gf −3 2 −1 1 2 3 x −1 Seite 7
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