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Aufgaben und Musterlösungen zur Technischen Mechanik und Strömungslehre
Technische Mechanik III
Aufgabe
3.4:
Ein
in
Aufgabe 3.4
l
gelagerter
A
homogener Stab (mit der Länge l und der
3/4l
A
Masse M) wird aus der horizontalen
M
Ruhelage heraus wie skizziert losgelassen
und stößt rein elastisch nach einer viertel
Umdrehung die ruhende Masse m an. Die
Masse
m
bewegt
sich
daraufhin
reibungsfrei eine Ebene hinauf.
h
m
a) Welche Geschwindigkeit und welche
Bewegungsrichtung hat der Stab nach dem Stoßvorgang?
b) Wie schwer muß der Stab sein, damit die Masse m mindestens die Höhe h erreicht?
Gegeben: g, M, m, h, l
Lösung: a) Die Winkelgeschwindigkeit des Stabes vor dem Stoß folgt aus dem
Energiesatz:
Mg
l
1
= θ Aω 2
4 2
2
mit : θ A
=
2
1  1  1 
1  3  3 
7
Ml 2 .
 M  l  +  M  l  =
3  4  4 
3 4  4 
48
Einsetzen und Umstellen liefert die Winkelgeschwindigkeit vor dem Stoß
ω =
24 g
.
7 l
Für den elastischen Stoß gilt (mit
ω : Winkelgeschwindigkeit des Stabes und u :
Geschwindigkeit der Masse m nach dem Stoß)
3
lω − u
4
e =1= −
3
lω − 0
4
u =
⇒
3
l (ω + ω ) .
4
Des weiteren ist die Drehimpulserhaltung zu berücksichtigen ( Fˆ : Stoßkraft):
mu = −Fˆ
θ A (ω − ω ) =
und
3 ˆ
lF
4
⇒
θ Aω = θ Aω +
3
lmu .
4
Einsetzen der obigen Beziehungen:
ω =
Wenn 7M − 27m > 0 bzw.
weiter vorwärts. Im Fall
M >
M <
( 7M − 27m )
ω.
( 7M + 27m )
27
m ist, dann ist ω positiv und der Stab bewegt sich
7
27
27
m prallt der Stab zurück und für M =
m bleibt der
7
7
Stab stehen.
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Aufgaben und Musterlösungen zur Technischen Mechanik und Strömungslehre
Technische Mechanik III
Aufgabe 3.4
b) Der Energiesatz für die reibungslos bewegte Masse m liefert, wobei direkt nach dem
Stoß (1) die Masse m nur eine kinetische Energie und in der Höhe h (2) nur eine
potentielle Energie aufweist:
Ekin1 + E pot 1 = E kin 2 + E pot 2
1
mu 2 + 0 = 0 + mgh
2
.
Daraus folgt:
u =
2gh =
 3 24 g  ( 7M − 27m )

3
3  ( 7M − 27m )
l (ω + ω ) = l ω 
+ 1 = l
+ 1

4
4  ( 7M + 27m )
7 l  ( 7M + 27m )
 4

und durch weiteres Umformen:
 h 28

− 1 ( 7M + 27m ) = ( 7M − 27m )

 l 27

h 108
l 7
M =
m.

h 28 
2 −

l 27 

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