Bruchzahl- Konzepte • Größenkonzept • Operatorkonzept • Gleichungskonzept •• Äquivalenzklassenkonzept Äquivalenzklassenkonzept Größenkonzept Man geht aus von konkreten Brüchen, die den Schülern aus dem täglichen Leben vertraut sind: ½ Stunde, ¼ Liter, ... Bruchzahlen als Maßzahlen • Konkrete Brüche sind Bruchteile von Einheitsgrößen: 1 l, 1 m, 3 h, 1 kg 2 2 4 8 • Solche konkreten Brüche sind möglich, weil in einem Größenbereich mit Teilbarkeitseigenschaft zu jeder Größe jeder beliebige Teil gefunden € € € € werden kann. • Die gebrochene Maßzahl wird ähnlich wie eine Anzahl verwendet; man spricht auch von einer Quasianzahl. • Veranschaulichung durch einen Repräsentanten oder ein Bild von einem Repräsentanten. Größenkonzept Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Wichtige Modelle: • Kreismodell • Flächenmodell • Stabmodell • Streckenmodell tr b u a o kti n zu S / r n o ge i i n t r e i e i d ln. ch w d ü h r e A c B en, e d s n n a i o h d v rüc d beh s i n n r d B & on n ite on n u e i e w v Er zen u n g nführ Divis • Kür d n ei n d h r • A n o aulic n u • ansch likatio ltip ren. u M ie • motiv Bruch & Zahlenstrahl Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Bruch & Bruchzahl Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Am Zahlenstrahl lässt sich der Unterschied zwischen Bruch und Bruchzahl erarbeiten. 2 2 Zu der gekennzeichneten Bruchzahl gehören viele Brüche. Die Bruchzahl ist die Klasse der äquivalenten Brüche. 1 ist der Standardname der Bruchzahl, sie kann aber durch jeden 2 anderen Repräsentanten aus der Klasse bezeichnet werden. Bruch & Bruchzahl Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Am Zahlenstrahl lässt sich der Unterschied zwischen Bruch und Bruchzahl erarbeiten. Zu jeder Bruchzahl gehören viele Brüche. Die Bruchzahl ist die Klasse der äquivalenten Brüche. Eine Bruchzahl kann durch jeden Repräsentanten aus der Klasse bezeichnet werden. Stammbruch Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Kürzen von Brüchen Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra . Kürzen & Erweitern Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra • Man geht von einem Repräsentanten einer Bruchzahl auf einen anderen über. • Aufgabe 3 veranschaulicht das Kürzen bzw. das Erweitern. Schulbuchaufgabe(n) Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra . Schulbuchaufgabe(n) Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra . Größenvergleich Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra • Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist der mit dem kleineren Zähler der kleinere. 3 8 < 5 8 • Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist der mit dem kleineren Nenner € €der größere. 3< 3 8 5 Größenvergleich Brüche mit ungleichen Nennern und auch ungleichen Zählern werden durch Erweitern bzw. Kürzen auf den gleichen Nenner gebracht. Vergleiche 5 8 und 3 5. 5 25 = 40 € 8 € € 24 25 < € 40 € 40 € also 3 24 = 5 40 € € € € 3 5< 5 8 Schulbuchaufgabe(n) Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Vergleichen & Ordnen Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Addieren & Subtrahieren Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Addieren & Subtrahieren Padberg, F. (2009). Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum, S. 35–38 Stufung: • Addition gleichnamiger Brüche ohne Einer-Überschreitung • Addition gleichnamiger Brüche mit Einer-Überschreitung • Addition ungleichnamiger Brüche ohne EinerÜberschreitung - nur ein Bruch muss erweitert werden mss. • Addition ungleichnamiger Brüche mit Einer-Überschreitung nur ein Bruch muss erweitert werden. • Addition ungleichnamiger Brüche ohne EinerÜberschreitung - beide Brüche müssen erweitert werden. • Addition ungleichnamiger Brüche mit Einer-Überschreitung beide Brüche müssen erweitert werden. Addieren & Subtrahieren Padberg, F. (2009). Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum, S. 35–38 Stufung: • Subtraktion einer natürlichen Zahl von einer gemischten • Gleicher Nenner ohne „Einer-Übergang“ • Beliebiger Nenner ohne „Einer-Übergang“ • Subtraktion einer gemischten Zahl von einer natürlichen Zahl • Beliebiger Nenner mit Übergang Multiplikation Padberg, F. (2009). Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum, S. 35–38 Stufung: • Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl • Multiplikation zweier Brüche Da im Größenmodell der Bruch als konkreter Bruch, das heißt als eine Größe aufgefasst wird, ist eine Multiplikation zweier Größen aus demselben Größenbereich nicht möglich. 1 kg . 1 kg = 1 kg2 oder 1 l . 1 l = 1 l2 im Alltag ohne Sinn Ausnahme: Eine mögliche Veranschaulichung ist im Größenbereich der Längen gegeben; das Produkt von 1 m . 1 m = 1 m2 ergibt einen Sinn, aber führt aus dem ursprünglichen Größenbereich der Längen heraus und in den Größenbereich der Flächeninhalte hinein. Multiplikation Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Bleibt man konsequent im Größenmodell, so kann man die Multiplikation von Brüchen nur auf Grund einer Permanenzreihe einführen ⇒ Permanenzprinzip Division Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Schwierigkeiten bei der Division • Verteilen • Aufteilen Operatorkonzept Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra • Ausgangspunkt • Bruch als Funktion bzw. Operator • Rückgriff auf die Vervielfachungs- und Teilungs- oder Divisionsoperatoren Operatorkonzept Das Operatorkonzept legt nahe, • zunächst die Multiplikation/Division • dann die Addition/Subtraktion einzuführen, was zu vielen typischen Schülerfehlern bei der Addition führt. • Beim Erweitern/Kürzen bietet das Operatorkonzept keine gute anschauliche Vorstellung und auch die Anordnung der Bruchzahlen ist nur aufwendig herzuleiten. • Vorteile bietet das Operatorkonzept bei der Einführung der Multiplikation/Division. Operatorkonzept Probleme bei der Umsetzung des Operatorkonzepts • Reihenfolge Multiplikation vor Addition, • an die Vorerfahrungen der Schüler über Bruchzahlen wird v. a. am Anfang nicht angeknüpft, • Erweitern und Kürzen vermitteln wenig anschauliche Vorstellung, • die Definition der Kleiner-Relation ist sehr aufwendig, • für die Multiplikation ergibt sich keine anschauliche Vorstellung. Warum heißt das Ergebnis der Hintereinanderausführung von Operatoren Produkt? Bruch & Zahlenstrahl Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Bruch & Bruchzahl Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Bruchzahl ist die Klasse der gleichwirkenden Bruchoperatoren Kürzen & Erweitern Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Addition Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Multiplikation Fraunholz, W. (2009): Folien zur Didaktik der Algebra Die Multiplikation von Brüchen geschieht durch die Verkettung von Operatoren € Gleichungskonzept Die Gleichung b • x = a mit a, b ∈ IN ist nur dann innerhalb IN lösbar, wenn b Teiler von a ist. Als allgemeine Lösung der Gleichung lässt sich die Bruchzahl a definieren, wobei b a = a:b. b € Als Bruch wird die Lösung der Gleichung b • x = a als a Schreibfigur festgelegt. b Bruchzahl ist die Klasse aller äquivalenten Lösungen c ⋅ a c⋅ b € € Gleichungskonzept • Damit ist auch das Erweitern und Kürzen festgelegt. • Die Gleichungen b.x = a und c.b.x = c.a sind äquivalent. • Der Größenvergleich geschieht entsprechend durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner. • Die Addition bzw. die Subtraktion wird festgelegt durch die Addition bzw. die Subtraktion der Gleichungen: • b.x = a • d.y = c • Die Multiplikation bzw. die Division wird entsprechend festgelegt durch die Multiplikation bzw. die Division der Gleichungen: • b.x = a • d.y = c
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