ハL note on the dynamicls of
monomiai maps
Kohei Ueno
Toba Na‐ tional Co‖ ege of
MaFitiFne TeChnology
1
§1.Introduction
〓
ノ
χ
／ １ ヽ
／
ｔ
ｅ
ｄ
ｎ
ａ
Ｚ
／ｆ ｌ ヽ
２
ヽ１，ノ
υ
‘
︲← ガ
′′ １ヽ
Ｚ
‘
２ ２
Ｃ
は
Ｃ
∈
粉
ｒｋ χ
Ａ 貞
ン
Ｃ ２
Ｃ
／ｋ
∋ ︱︱ ←
９ ∋
２ タ υ ′
／ヽ χ
＞
声
ノ↓ ↓
An explanation
Ｍ
∈
＼ｌｌノ
ｂ
′
α σ
／′ ヽ＼
︲
〓
′
′
))=9
1(χ
1(/(χ ノ
9
Ａ
ｔ
ｅ
Ｌ
α ε′
(χ ′
ん生
ノ)=(χ ノ χノ)be a rational map on C2.
b′
環 =ゑ “
Idea of pr(oof Since 9 1(χ y)==(l::」 ),
′
ヽｌ Ｊ ノ
ン
／ｆ ｌ ヽ
χ
１
一
９
■
〓
／ｆｌ＼
＼ｌｌノ
χ ”ｙ
ｇ
ｇ
０ ０
１ １
ヽｌｌノ
ｂ
′
α ε
／ｆｌ＼
〓
＼ｌｌノ
ン
ノ
ｂ
′
ｇ
ｇ
０ ０
１ １
＋ 十
χ χ
範暁
α ε
／′ ヽ＼
︲
〓
Eigenvalues of A
From l五 一 λEI=0,the eigenvalues of tt are
′ 〓
λ土 =
α+′ 土ν西
where△ =(α +′ )2_4(α ′一 bC)
レ
__の 2+4bc.
Facts
●dyn deg λof/=max{lλ 十 lλ 一￨},Where
1′
λ=lim でdeg(/4)
η 一 )(Ю
●top deg of/=l detAI
=lα ′一 bε =lλ ttλ 一
l
￨
QueStiOn
VVhen A is diagonalizable to iD,
Can∫A be semicottugate to/D?
3
ヽ１′／
一 一
４
ツ
λ
ヽ１１ノ
一
Ｏ
ヽ ｌ ｌ ノ
一 一
” υ
＋ ＋
“ ワ
／′ ｌ ヽ
︲
〓
隔
√
２
Ｃ
ヽ ｌ ｌ ノ
′
ｂ
α ε
／ １ １ ＼
〓
Ａ
ヽ１ ノ
一
χ
ヽ
4
υ
ノ
＋
υ
一
ソ
”
χ
＋
”
／１ ヽ
一一 ２
劇Ц Ｃ
Ｌ＝ピ
c2
c2
十
キ
Ц ν
ノノ
、
ーヽ
ニ
ｕ
ｅ
十
０
λ
／ １ １ ＼
〓
Ｄ
︲﹁ ２
Ｃ
Ｆ
７
′
αレ
χ
Fソ )
ソ′
(χ
A==
∫
Υ
ｅ
ｈ
Ｗ
ば
パ
一
ｕ
〓
Ｄ
c2
c2
↓9?
2。 Result
§
Lemma■ 。ffAむ dfagο na″zabre ttο D∈
ЛR生 0.
古
わ
en/Aた Cο gate ttο /D ο
M(2′ R)′
n」iυ
峰４ 峰
０ ０
R生 0
lπ
∫A==
Remark
fゑ ￨《
Pyn°
′ b′ Cノ ′
(χ ノ χ )
R生 0
O deSCttbes dyn ofゑ
on C2 wdl.
↓
丁he dyn ofν tt iS Well understood
when tt is diagonalizable over reals.
5
If△ ≧ 0,then λ土 ∈R,Ⅵ 巾ere
α+グ 土ν西
λ圭 =
丁
一
and△ =(α
― グ)2+4bσ
.
丁 hm■ 。
.
(り
わer7 λ+ ≠ λ_ and ttA
∬
f△ >0′ 古
λ
十′
古
O a prodυ c古 /D=(χ λ
ノ―) Of
func古 FOr75 0r7]R生 0.
fliり
ff△ =0′
skew
exceρ
liS COn」
i
r7古
Pο
War
古
力en λ十=λ 一andノ ■ liS COn」 i ttο ∂
λ+′ χ λ十
ρrodυ ctt g(χ ′
ノ)==(χ
ン )Or7 R生 0
古
4== (6 ')・
“
Remark
λ
+).
In(i),One can replace/D by/D=(χ λ′ ノ
In(ii),One Can replace g by g=(χ λ+′ χたノλ+)
λ+)fOr any nOnzero integerた
or g==(χ λ十ンた′
ノ
.
§ DiagOnalizable case
3。
Invariant foliations
λ λ
/D=(χ 十′
ノ一)has two invattant foliations
{lχ
==C04Sオ }and
l
{11/1=Cθ 4Sサ }
lxl=た 、
〔
し
ヽ
1
(1り
1=仁
ぅ
ヽキ
い￨↓
ゑ =
{￨ノ 1傷
ibl
θ
α
ノχ
ノ)has
b′
(χ
π
two invattant foliations
一
+}and{￨ノ IZ一 =ε θ
4Sオ ・
lχ
キ 午
{t`1吹 多
み
+ =ε θ
4St・
lχ lυ
lυ
t工 ￨・
ptX4
tλ
‐
-3tχ
ltυ lЦ
θ
lχ
l
t仏
;
7
}・
１
＞
＞
ｔ ｒ ｉ
ヽ ｌ
ノ
ン ノ
１
ｇ ｇ
０ ０
一 一
１
ヽ
′
明 に に
４
は
η ｌ ｌ ｌ ｌ
Ｆノ χ χ
暁 聴 聴
１一
が に に
＜
υ υ
＜
η 一 一
一 一
か 特瓦叫瓦
_max
﹄ ギギ
Gireen function
Examples Let bε ≠0.丁 hen we can deine the
ratios of the entries of e:genvectors of A,
夕土 α グ 土ν△
α土 =死 = 2c
・
Four types
(i)α _<0<α
+
→
Example l
(ii)α _>0>α
+
→
Example 2
(ili)α 土 >0
(iV)α 土 <0
8
α +1
0
1)
ル
== (χ
α
9「
′
ー
`rノ
ヽｌｌノ
χ 一γ′
の
〃
〓
０ ０
′ノ
Щ=↓ ll
〔
α
)
l
ttbヽ =t工
2 ta→
D
α
>1.
／ｆ ｌ ヽ
峰 ｌπ峰
り1
ヽ
α
π嚇
喘←
／ｆｌ＼
Ｎ
丁 hen“ A
か ｄ
ｎ
ａ
んＨヾ、リ ピ
〓
一
一 ０ 一
Ａ ′ ん
Exalmple■ Let
p七 att
t箕
1
１
一２
〓
ノ
χ
／Ｆｌ、
彎
10g lχ ノ
￨
Remark For any A∈
M(2′ N),
the dyn of fA is sirn:lar to above
9
ヽ １ ， ノ
ン
χ
”
ノ 一χ
〓
Q
ノ丁
ル
〓
ノ 一ノ
／ｆｌ＼
０ ０
く ｌπ峰
/D=
／ ｒ ｌ ヽ
π
喘ｌ
嚇
ｌ ｌ ノ
＼
ー ＞
α一
α
／ｆｌ＼
＋ ０
0
丁 hen■ ―
一２
１■
ｇ
Ｏ
И一
日
１
く
′
ｔ
一２
１■
ｇ
Ｏ
同一
回
ｒ
１
)=max
G/(χ ′
ノ
,α >1.
Exaimple 2 Let A=
10
4。 Skew products
§
ｎ
ｅ
ｈ
ヽ １ ノ
丁 “
ロ “
１ ノ
＞ １
一
α ′
■ ４
)=
ゃ
′ノ
Ｌ ｒＩＩくｌｌｋ
G/(χ
and環 =
︵﹁川７ 年メ
ルい
ヽｌｌノ
０′
１
４
／ ｆ ｌ ＼
′占 ＝
Exalmple 3 Let A=
A4∼
l (lχ l<1)
10g+￨ノ ￨(lχ l=1)
+∞
(lχ l>1)
10g lχ
Remark
′
￨=b抽
ガ=鳳 裁両blr4け′
ガ
彎け
11
QueStiOn
Canん4 be semicottugate to/D eVen if△ <o7
References
On OF 2-dlimer75′ Ona′
[1]C.Favre, Crassfflica古 ′
月g
cο ntrac古 ′
」.
rligFd germs ar7d KattO stJrFacesf ム
Math. Pures Appl.,2000.
[2]C.Favre and M.」 onsson,DynamFca′
tem οtt yaノ υ∂古FO月 5ρ aCer note.
sys―
[3]C.Favre and M.」 onsson,Dynamた ar cOm―
ρac古 Fflica古 FOns OF C2,Ann.of Math., 2011.
12
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