あもんノート http://amonphys.web.fc2.com/ ユークリッド幾何学、ニュートン力学から、相対論、宇宙論、量子力学、場の量子論、素粒子論、そしてくりこみ理論まで、理論物理学を簡潔にかつ幅広く網羅したノートです。TOP へは上の URL をクリックして行けます。目次 1 2 ゲージ場の量子論 1.1 SU(N) ゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 FP ゴースト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 場の方程式と SU(N) カレント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 BRS 変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 BRS 電荷とそのベキ零性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 不定計量空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 4 重項機構 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 1 ゲージ場の量子論量子色力学 (QCD) や電弱統一理論などの非可換ゲージ理論にその量子論がちゃんと存在することを確かめるのは、実はあまり簡単ではありません。これらは可換ゲージ理論である量子電磁気学 (QED) と同じく、ゲージ対称性のために力学変数が余分にある特異系であり、QED の場合はちょっとした細工でその量子論を構成できたのですが、非可換ゲージ理論においてはきちんと特異系の本質に向き合う必要性が出てきます。ここでは SU (N ) ゲージ理論を例に、特異系の量子論の数理を見てゆくことにしましょう。 1.1 SU(N) ゲージ理論 SU(N) ゲージ理論 (非可換ゲージ理論、ヤン・ミルズ理論) のラグランジアン密度 L は、 1 a aµν L = − Fµν F + Lm , 4 a = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gfabc Abµ Acν Fµν でした。ここで Aaµ = Aaµ (x) は SU (N ) のゲージ場、g は結合定数、fabc は SU (N ) の構造定数です。添字 a, b 等は SU (N ) の次元である (N 2−1) 個の値をとります。また、Lm は物質部のラグランジアン密度です。物質場 ϕi (x) の時空微分 ∂µ がゲージ化により共変微分 : Dµ = ∂µ + igT a Aaµ に置き換わっていれば、L は無限小ゲージ変換 : δϕi = −igθa (T a )ij ϕj , δAaµ = Dµ θa := ∂µ θa − gfabc Abµ θc に対して不変となります。T a は SU (N ) の生成子、θa は変換の無限小パラメータで、時空の座標に依存し、それゆえこの対称性はローカル対称性です (量子電磁気学の章参照)。素朴に正準量子化しようとすれば、 ∂L ∂L aµν =0 = −F ∴ ∂∂µ Aaν ∂∂0 Aa0 であり、Aa0 (x) に対する正準共役変数がないという困難にぶつかるのは QED と同様です。QED では幸運にもゲージ固定項を追加するだけで量子論を構成できたのですが、実はそれは可換ゲージ理論の特殊性で、非可換ゲージ理論においてはこのような処理だけでは済まないのです。 2 指針の鍵はグリーン関数の生成汎関数にあります : Z[I, J] = < 0| T eI·A+J·ϕ |0 > . ここでもちろん、I ·A = d4 x Iµa (x)Aaµ (x), J ·ϕ = d4 x Ji (x)ϕi (x) という略記を用いています。Iµa (x) はゲージ場 Aaµ (x) のソース、Ji (x) は物質場 ϕi (x) のソースを意味しています (経路積分の章参照)。その経路積分表式 : Z[I, J] = DADϕ eiS+I·A+J·ϕ DADϕ eiS , S= d4 x L は SU (N ) ゲージ理論の “正しい量子論” の生成汎関数を与えるはずです。ここには正準共役がないなどという問題は存在せず、例えば数値計算を用いれば、任意のグリーン関数を必要な精度で近似計算できることに注意してください。 1.2 FP ゴースト生成汎関数の経路積分表式からゲージ自由度を抜き出す処理を、次のようにして行うことができます。まず恒等式 : D(∂ ·A) δ[∂ ·A − f ] = 1 δ(∂ ·Aa (x)−f a (x)) は連続無限次元のデに注意します。ここで、δ[∂ ·A − f ] = a,x ルタ関数です。ゲージ変換の (有限) パラメータを θa (x) とすると、 D(∂ ·A) = Dθ Det δ∂ ·A = Dθ Det(∂ ·D). δθ ここで、(∂·D)xy = ∂x ·Dx δ 4 (x−y) であり、Det はこのような時空の行列に関する行列式です。また、ガウス積分により、 Df ekf ·f = N (k). k は複素数で、N (k) は k の何らかの式です。以上 3 つの式から、 Df ekf ·f ∴ Dθ Det(∂ ·D) δ[∂ ·A − f ] = N (k) Dθ Det(∂ ·D) ek(∂·A)·(∂·A) = N (k) ですが、ca (x), ba (x) をそれぞれ実グラスマン数の場とすると、行列式を、 Det(∂ ·D) = DbDc e−b·(∂·D)·c = 3 DbDc e∂b·Dc と表せるので (経路積分の章参照)、 1 N (k) DθDbDc ek(∂·A)·(∂·A)+∂b·Dc = 1 です。これはゲージ場 Aaµ (x) に関する恒等式なので、生成汎関数の経路積分表式の分子と分母の経路積分の中にそれぞれ挿入することができ、そうすると 1/N (k) と Dθ は分子と分母で相殺され、結果、 Z[I, J] = ˜ DADbDcDϕ eiS+I·A+J·ϕ ˜ DADbDcDϕ eiS , 1 L˜ = L − (∂ ·A)2 − i∂ µ ba Dµ ca 2α を得ます。ここで k = −i/2α と置きました。α はゲージパラメータと呼ばれ、これは作用汎関数の実性から実数と仮定されます。 S˜ はゲージ自由度を固定した際の有効作用であり、もはや SU (N ) ゲージ対称性 S˜ = ˜ d4 x L, を持ちません。しかしローレンツ不変性は維持されていて、それゆえこのようなゲージ固定は共変ゲージと呼ばれます。ゲージ固定の際に導入された実グラスマン数の場 ca (x), ba (x) は、1963 年、ユニタリ性を保持するためにファインマンが最初に導入したものですが、1967 年に経路積分から系統的に導出した人の名をとって、ファデエフ・ポポフゴースト (FP ゴースト) と呼ばれます。ゴースト (ghost, 幽霊) と呼ばれるのはこれらの場の粒子が原理的に観測できないからで、それについてはこれから説明します。 (余談) ト・ホーフトによる非可換ゲージ理論のくりこみ可能性の証明は 1971 年です。ト・ホーフトは大学院生当時、ランダウゲージ (α → 0 に相当) でしか知られていなかった FP ゴーストの存在をここで示したような一般的な共変ゲージの上にまで拡張し、くりこみ可能性を証明したわけです。BRS 対称性がまだ知られていなかった時代です。この証明により、発表当時ほとんど無視されていたグラショウ・ワインバーグ・サラムの電弱統一理論 (ヤン・ミルズ版 W 粒子理論) は一躍有名になり、いわゆるゲージ革命が始まったわけです。 1.3 場の方程式と SU(N) カレントゲージ固定された SU (N ) ゲージ理論の有効ラグランジアン密度は、 1 a aµν 1 (∂ ·A)2 − i∂ µ ba Dµ ca + Lm . L˜ = − Fµν F − 4 2α ここで Dµ ca = ∂µ ca − gfabc Abµ cc です。よって、 ∂ L˜ 1 µν aµν g ∂ ·Aa , = −F − a ∂∂µ Aν α ∂ L˜ ∂Lm b cµν ν b c = −gf A F − igf ∂ b c + abc abc µ ∂Aaν ∂Aaν , 4 ∂ L˜ = −i∂ µ ba , ∂∂µ ca ∂ L˜ = −igfabc Abµ ∂ µ bc , ∂ca ∂ L˜ = iDµ ca , ∂∂µ ba ∂ L˜ = 0. ∂ba FP ゴーストによる微分は右微分です。そうすると、ゲージ場および FP ゴーストの場の方程式は、それぞれ、 Dµ F aµν + 1 ν aν ∂ (∂ ·Aa ) = jm + igfabc ∂ ν bb cc , α ∂ ·Dca = D·∂ba = 0 aµ となり、ここで Dµ F aµν = ∂µ F aµν − gfabc Abµ F cµν です。また、jm は物質場の共変 a a 微分が Dµ ϕi = ∂µ ϕi + ig(T )ij Aµ ϕj であることに注意して、 aµ jm =− ∂Lm ∂Lm ∂Dν ϕi ∂Lm ig(T b )ij ϕj δνµ δba = − = − a a ∂Aµ ∂Dν ϕi ∂Aµ ∂Dν ϕi = −ig ∂Lm (T a )ij ϕj ∂∂µ ϕi です。これは物質場の SU(N) カレントと呼ばれ、QED における 4 元電流密度に相当するものです。ゲージ固定された後でも、グローバルの SU (N ) 変換 : δϕi = −igθa (T a )ij ϕj , δAaµ = −gfabc Abµ θc , δca = δba = 0 に対してなら L˜ は不変です。δ((∂ ·A)2 ) = 0 が確かめられることに注意してください。よってネーターの定理から、 j aµ = ∂ L˜ ∂ L˜ aµ + jgaµ (−ig)(T a )ij ϕj + (−g)fbca Acν = jm b ∂∂µ ϕi ∂∂µ Aν が保存カレントになります : ∂µ j aµ = 0. ここで、 jgaµ = gfabc F bµν Acν + 1 ∂ ·Ab Acµ α であり、これはゲージ場の SU (N ) カレントを意味します。特に QED の場合は、群の添字がなく、また fabc = 0 とみなせるので、jgµ = 0. これはゲージ場 (光子) が電荷を持たないことに相当します。一方、非可換ゲージ理論においてはゲージ場がゲージ変換に対応した保存量を有するわけです。例えば QCD においては、グルーオンが “色荷” を持ちます。 1.4 BRS 変換いま、グラスマン数の無限小パラメータを λ とし、 δB ϕi = −igλca (T a )ij ϕj , 5 δB Aaµ = λDµ ca というグローバル変換を考えてみましょう。これは SU (N ) ゲージ変換において、 θa (x) → λca (x) と置換した変換です。FP ゴーストの変換を、 δB ca = 1 gλfabc cb cc , 2 δB ba = − iλ ∂ ·Aa α とすれば、有効作用 S˜ はこの変換に対し不変になることが以下のように確かめられ、この変換を BRS 変換といいます (ベッキ・ルエ・ストラ 1975)。 [証明] 元々のラグランジアン密度 L が BRS 変換に対して不変なのは、BRS 変換が置換 : θa (x) → λca (x) により得られていることから明らかです。よって、 1 δB L˜ = δB − (∂ ·A)2 − i∂ µ ba Dµ ca 2α ですが、これは、 δB L˜ = − λ µ ∂ (∂ ·Aa Dµ ca ) − i∂ µ ba δB (Dµ ca ) α となることが簡単に確かめられます。一方、C = ca T a , Aµ = Aaµ T a で場の行列表記を導入すると、[T a , T b ] = ifabc T c に注意して、 Dµ C = ∂µ C + ig[A, C], δB Aµ = λDµ C, δB C = −igλC 2 と書くことができ、そうすると、λ と C がグラスマン奇であることに注意して、 δB (Dµ C) = ∂µ δB C + ig [δB A, C] + ig [A, δB C] = ∂µ (−igλC 2 ) + ig [λDµ C, C] + ig [A, −igλC 2 ] = −igλ {∂µ C, C} + igλ {∂µ C + ig [A, C], C} + g 2 λ [A, C 2 ] = −g 2 λ {[A, C], C} + g 2 λ [A, C 2 ] ですが、{[A, C], C} = [A, C 2 ] が簡単にわかるので、δB (Dµ C) = 0 ∴ δB (Dµ ca ) = 0 です (∗) 。よって、 λ δB L˜ = − ∂µ (∂ ·Aa Dµ ca ) α となり、これは時空の全微分なので、δB S˜ = d4 x δB L˜ = 0 です。[証明終] ゲージ固定により SU (N ) ゲージ不変性は失われてしまったのですが、代わりにグラスマン数を変換パラメータとする BRS 対称性が生まれました。このような事は古典論でローカル対称性を持つ特異系において一般に起こります。 (*注) 行列表記を用いなくてももちろん δB (Dµ ca ) = 0 を証明できますが、その場合ヤコビ恒等式を用いることになり、計算がかなりややこしいことになります。 6 1.5 BRS 電荷とそのベキ零性 BRS 変換のネーターカレントを jBµ とすると、 ∂ L˜ ∂ L˜ ∂ L˜ ∂ L˜ λ µ a i a a δ A + δ ϕ + λjB = δ c + δ b + ∂ ·Aa Dµ ca B B B B ν a a a ∂∂µ Aν ∂∂µ c ∂∂µ b ∂∂µ ϕi α ですが、この式にこれまでに記した各式を代入すると、第 3 項と第 5 項が相殺する aµ こと、第 4 項は λca jm となり場の方程式が適用できることなどに注意し、 1 1 i jBµ = ∂ µ ∂ ·Aa ca − ∂ ·Aa Dµ ca − gfabc ∂ µ ba cb cc − ∂ν (F aµν ca ) α α 2 と整理されるでしょう。よって、ネーターの定理から、 QB = d3 r jB0 = d3 r 1 1 i ∂0 ∂ ·Aa ca − ∂ ·Aa D0 ca − gfabc ∂0 ba cb cc α α 2 は系の保存量となり、BRS 電荷と呼ばれます。 FP ゴーストが実グラスマン数であること、および一般にグラスマン数の積の複素共役が (ξη)∗ = η ∗ ξ ∗ のように与えられることに注意すると、BRS 電荷は実であること (量子論でエルミートであること) がわかるでしょう : Q∗B = QB . また、次式が成り立つことに注意。 δB (Dµ ca ) = 0, δB (fabc cb cc ) = 0, δB (∂ ·Aa ) = 0. [証明] 最初の式はすでに証明済み。2 番目の式は C = ca T a として、 i C 2 = fabc cb cc T a , δB C 2 = {δB C, C} = {−igλC 2 , C} = −igλ [C 2 , C] = 0 2 なので成り立ちます。最後の式は δB (∂·Aa ) = λ∂·Dca ですが、これは場の方程式から 0 です。[証明終] これら定理により、BRS 電荷自身の BRS 変換が 0 になることを容易に確かめられます : δB QB = 0. 一方、一般に正準量子論ではネーターの保存量は対応する変換を生成するため、任意の物理量 Φ について、[iλQB , Φ] = δB Φ ですが (量子論の基礎の章参照)、特に Φ = QB とすると、 [iλQB , QB ] = δB QB ∴ iλ{QB , QB } = 0 ∴ Q2B = 0 を得ます。これを BRS 電荷のベキ零性といいます。古典論では QB はグラスマン奇であることに注意してください。よって古典論的には自明に Q2B = 0 ですが、これが正準量子論においてもちゃんと成立していることがわかったわけです。 7 1.6 不定計量空間散乱系においては無限過去と無限未来で自己相互作用以外の相互作用が切れ、くりこまれた場が自由場に漸近すると考えられます。漸近場を添字 as を付けて表すと、漸近場の運動方程式は、ファインマンゲージ (α = 1) において、 Aaµ as (x) = 0, caas (x) = baas (x) = 0 となります。よって一般解は、平面波展開で、 Aaµ as (x) = caas (x) = baas (x) = d3 k (2π)3 2k 0 εµλ (k)aaλ (k) e−ik·x + c.c. , λ 3 dk γ a (k) e−ik·x + c.c. , 3 0 (2π) 2k d3 k −iβ a (k) e−ik·x + c.c. , 3 0 (2π) 2k k 0 = |k| のように書かれます。c.c. は前の項の複素共役です。添字 λ はゲージ場の偏極モードを意味しますが、横波モード (λ = ±) を、 εµ± (k) = (0, ε± (k))µ , |ε± (k)| = 1, k·ε± (k) = ε+ (k)·ε− (k) = 0 とし、縦波モード (λ = L) とスカラーモード (λ = S) を、 εµL (k) = k µ , εµS (k) = −kµ /(2|k|2 ) で定義します。このとき、 ηλλ εµλ (k)ενλ (k) = −g µν gµν εµλ (k)ενλ (k) = −ηλλ , λ,λ を確かめられるでしょう。ただし ηλλ は行列表記で、  + − L 1  − 0 η= L 0 S 0 0 1 0 0 0 0 0 1 +  0  0  1 0 S です。すなわち εµλ (k) は直交しておらず、特に縦波モードとスカラーモードのセクターが反対角になります。これは一見不便な設定に思えるかもしれませんが、そうした理由はすぐにわかります。一方、場の正準共役が、それぞれ、 1 ∂ L˜ = − ∂ ·Aa , a ∂∂0 A0 α ∂ L˜ = −F a0i , a ∂∂0 Ai 8 ∂ L˜ = −i∂0 ba , a ∂∂0 c ∂ L˜ = iD0 ca a ∂∂0 b であることに注意すると、漸近場の正準 (反) 交換関係は、やはりファインマンゲージで、 a µν 3 ˙ bν [ Aaµ as (x), Aas (x ) ]t=t = −iδb g δ (r−r ), {baas (x), c˙bas (x )}t=t = −{caas (x), b˙ bas (x )}t=t = δba δ 3 (r−r ) となり、他は同時刻可換もしくは反可換になります。これらは、 [ aaλ (k), abλ (k )∗ ] = δba ηλλ (2π)3 2k 0 δ 3 (k−k ), {γ a (k), β b (k )∗ } = {β a (k), γ b (k )∗ } = δba (2π)3 2k 0 δ 3 (k−k ) で、他が可換もしくは反可換であれば満たされるでしょう。 aaL (k), aaS (k) の交換関係、および γ a (k), β a (k) の反交換関係が共に反対角になっていることに注意。このため、QED でそうであったように、これら漸近場が作る状態空間は不定計量空間になります。実際、aaL (k)∗ |0 >, aaS (k)∗ |0 >, γ a (k)∗ |0 >, β a (k)∗ |0 > は零ノルム、(aaL (k)∗ −aaS (k)∗ ) |0 >, (γ a (k)∗ −β a (k)∗ ) |0 > は負ノルムであることがわかるでしょう。一方、横波モードの生成演算子 aa± (k)∗ と物質場 (その漸近場) の生成演算子だけで作られた状態ベクトルが張る部分空間は正定値計量空間になります。この部分空間を Hphys と書き、物理的粒子空間と呼びましょう。漸近場における BRS 電荷は、 QB = d3 r (∂0 ∂ ·Aaas caas − ∂ ·Aaas ∂0 caas ) となるので、真空の BRS 電荷が 0 であることが確かめられます : QB |0 > = 0. よって δB |0 > = iλQB |0 > = 0 ですから、真空は BRS 変換に対して不変であることがわかります。 1.7 4 重項機構任意の物理量 Φ に対して、[iλQB , Φ] = δB Φ だったので、 [iλQB , ϕ(x)] = −igλca (x)T a ϕ(x), [iλQB , Aaµ (x)] = λDµ ca (x), 1 iλ [iλQB , ca (x)] = gλfabc cb (x)cc (x), [iλQB , ba (x)] = − ∂ ·Aa (x) 2 α ですが、漸近場においては相互作用が消え、ファインマンゲージで、 [λQB , ϕas (x)] = 0, µ a [QB , Aaµ as (x)] = −i∂ cas (x), {QB , caas (x)} = 0, {QB , baas (x)} = −∂ ·Aaas (x) 9 となるはずです。ここに漸近場の平面波展開の式を適用すると、 [QB , aa± (k)] = [QB , aaS (k)] = 0, {QB , γ a (k)} = 0, [QB , aaL (k)] = −γ a (k), {QB , β a (k)} = aaS (k) を得るでしょう (この式を簡素にするために縦波・スカラーモードをかように選んだわけです)。無限小 BRS 変換により、 QB QB QB QB aaL (k) −→ γ a (k) −→ 0 β a (k) −→ aaS (k) −→ 0 のように推移する 4 つ組を見て取れますが、これら演算子を 4 重項演算子といいます。一方、ゲージ場の横波モードについては、 QB aa± (k) −→ 0 QB であり、また、X −→ aa± (k) を満たす演算子 X も存在しません。このような演算子を 1 重項演算子といいます。物質場の粒子の生成消滅演算子も 1 重項演算子になるでしょう。そうすると、物理的粒子空間 Hphys は、真空に 1 重項演算子のみを作用して得られる状態ベクトルによって張られる空間ということになり、これは全状態空間 (フォック空間) V の部分空間です。一方、BRS 変換に対して不変な状態ベクトル、すなわち BRS 電荷 QB が 0 の状態ベクトルを物理的状態ベクトルと呼びます。また、これらベクトルが成す部分空間を物理的状態空間と呼び、Vphys と表すことにしましょう : Vphys = { |f > | QB |f > = 0 }. Hphys は明らかに Vphys の部分空間です : V ⊃ Vphys ⊃ Hphys . このとき次の定理がいえます : ∀|f > ∈ Vphys ∃|g > ∈ V |f > = P0 |f > + QB |g > . ここで P0 は Hphys への射影演算子です。 [証明] 4 重項演算子で生成される 4 重項粒子が n 個存在する部分空間への射影演算子を Pn とします。これは 4 重項演算子の反対角性に注意して、 Pn ∝ d3 k a ∗ aS (k) Pn−1 aaL (k) + β a (k)∗ Pn−1 γ a (k) + c.c. 0 k (n ≥ 1) により帰納的に与えられるでしょう。そうすると、n ≥ 1 に対し、 (1) [ QB , Pn−1 ] = 0, (2) Pn ∝ {QB , Rn }, Rn ∝ 10 d3 k a ∗ β (k) Pn−1 aaL (k) + c.c. 0 k という命題を数学的帰納法で示せます。実際、まず n = 1 のときは、P0 が Hphys への射影演算子であることに注意して、QB P0 = 0, P0 QB = 0 なので (1) が成り立ち、また、{QB , R1 } を計算すれば、それは P1 に比例することが簡単に確かめられます。次に n = k で (1), (2) が成立すると仮定すると、[ QB , Pk ] ∝ [ QB , {QB , Rk }] で、これは QB のベキ零性から 0 です。よって n = k + 1 で (1) が成立します : [ QB , Pk ] = 0. これに注意すれば、 {QB , Rk+1 } が Pk+1 に比例することを同様に確かめられ、よって n = k + 1 で (2) が成立します。結果、|f > ∈ Vphys のとき、 ∞ |f > − P0 |f > = ∞ Pn |f > = n=1 ∞ kn {QB , Rn }|f > = QB n=1 kn Rn |f > n=1 (kn は複素数) となり、与題が示されました。[証明終] 物理的状態は QB = 0 の状態で、また QB は保存量なので、もし始状態 (in 側) で系が物理的状態にあれば、それは終状態 (out 側) でも物理的状態にあるはずです。よって 2 つの漸近場における状態空間において、in 側で Vphys にあるベクトルは、全て out 側の Vphys の中に写像されます。特に in 側で Hphys にあるベクトル |f0 > は、out 側の |f > ∈ Vphys に写像され、これは上の定理から、 |f > = |f > + QB |g >, |f > = P0 |f > ∈ Hphys と展開できます。このとき、Q∗B = QB , Q2B = 0 に注意して、 < f |f > = < f |f > がわかるので、確率解釈において QB |g > は無視してよいことになります。すなわち Hphys への射影をとっても確率が保存し、遷移確率は正定値計量空間である Hphys の中だけで評価できるわけです。このことは、4 重項粒子、すなわちゲージ場の縦波・スカラー粒子および FP ゴースト粒子が、中間状態にしか存在し得ない、非物理的な存在であることを意味しています。4 重項粒子が互いに協調して非物理化してしまうこの仕組みを、4 重項機構といいます (九後・小嶋 1978)。 (余談) ちなみに QED の場合は、FP ゴースト c(x), b(x) が、ゲージ場 Aµ (x) や物質場 ϕi (x) と相互作用せず、完全に decouple しているため、中間状態においてさえ FP ゴースト粒子は現れません。それゆえ話が簡単に済んだと考えることができます。また、量子電磁気学の章で割愛した、縦波・スカラーモードが非物理的になることの証明が、ここでようやく示されたことに注意してください。 11 索引あ 1 重項演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 SU(N) カレント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 SU(N) ゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 FP ゴースト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 か共変ゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ゲージ革命 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ゲージパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 さ 4 重項演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 重項機構 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 スカラーモード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 た縦波モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 特異系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 は BRS 対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 BRS 電荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 BRS 変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 非可換ゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ファインマンゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ファデエフ・ポポフゴースト . . . . . . . . . . . . . . 4 物理的状態空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 物理的状態ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 物理的粒子空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 不定計量空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ベキ零性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 偏極モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 やヤン・ミルズ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 有効作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 横波モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 重項演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 重項機構 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12