目次まえがき︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰章多面体とは何なのか？章レオンハルト・オイラーと偉大な友人たち章訳者まえがき序第第つの完全体章ピタゴラス教団とプラトンの原子論章第章ユークリッドと原論第第章ケプラーの多面体宇宙︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰第目次 xv 1 13 37 43 49 59 69 5 第第第第第第第第章オイラーの逸品︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰章プラトンの立体、ゴルフボール、フラーレン、そしてジオデシックドーム︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰章スクープ、デカルトは知っていた⁉ ︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰章ルジャンドル、本質を理解する章ケーニヒスベルクの散策︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰章コーシーの平らにされた多面体︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰章平面的グラフ、ジオボード、そして芽キャベツ章イッツ・カラフル・ワールド付録多面体と曲面を作ろう出典索引 81 95 103 129 113 145 171 155 191 xvi 序章この壮大な本の中には哲学が書かれている。その本とは宇宙のことであり、私たちの眼前に絶えず開かれている。しかし、その言葉を理解し、そこに使われている文字を解釈するすべを学ばないかぎり、それを理解することはできない。それは数学の言葉で書かれており、その文字は、三角形、円などの幾何学的図形である。それなしに、［ガリレオ・ガリレイ］人はその本の単語すら理解することは不可能である。それなしには、暗い迷宮をさまようことになる。誰もが見逃していた。ピタゴラス、テアイテトス、プラトン、ユークリッド、アルキメデスといった古代ギリシャの賢人たちも、多面体に夢中になっていたのに、それを見逃していた。あの偉大な天文学者ヨハネス・ケプラーも、多面体の美しさに畏怖し、それを初期の太陽系のモデルに取り込んでいたのに、見逃していた。数学者であり哲学者でもあるルネ・デカルトも、多面体を研究する中で、発見まであと数手というところまで至っていたが、やはりそれを見逃していた。こうした数学者たちだけでなく、多くの人たちが、小学生にさえ簡単に説明できる内容であるのにもかかわらず、現代数学を構成する基序章 1 1 礎の一つとなるある重要な関係を見逃していた。月日、彼の友人であり、数論の研究者であるクリスティアン・ゴールドバッハしかし、あの偉大なスイスの数学者レオンハルト・オイラーはそれを見逃さなかった。年 11 14 見したことを述べて、］年後にその証明を与えている。その発見は極めて基本的であり重要における一般的な性質に気づいていなかった﹂と述べている。この手紙の中でオイラーは発 2 ・にあるような立体図形である。それは面と呼ばれる平らな多角形で構本の線分に沿ってくっついており、その線分は辺と呼ばつの角でくっついており、その角を頂点という。オイラーは、頂点、辺、つの面はいずれも本の辺は成されている。隣接するれる。隣接する個あることは数えればすぐにわかる。で表すが）常に簡単でエレガントな等式①を満たすことを発見した。本、頂点は本、下の正方形にとなるので、公式どおりに ➡ ゛ ➡ ゛＝本の辺がある。上の正となっている。図にあ五角形が個、六角個（となる。 2 ・個ある。つまり、立方体に対本、側面に＝つの角が立方体の頂点であり、全部で 4 個である。そして、再び、 32 4 、＝つの正方形がある。そういう正方形の境界が辺になっており、おそらく立方体が一番知られている多面体だろう。その面が、 4 つずつ正方形があり、側面に上下に個、）辺は 90 1 本の辺がある。実際、上の正方形に形が 60 0 8 2 、 1 多面体とは図なものなので、今日ではオイラーの多面体公式と呼ばれている。 1 1 全部で＝ 6 つの角と下の正方形の、 8 方形の＝ F るサッカーボールのような多面体の構成要素を数えるのは少々面倒だが、面は 12 4 12 4 4 面の個数そ（れぞれ 2 0 6 60 12 E 90 32 8 6 12 E 2 1 して［に宛てた手紙の中で、オイラーは﹁驚いたことに、私が知るかぎり、他の誰もこの立体幾何 7 5 0 V 1 F V−E＋F ＝ 2 ① V 20 1 2 このオイラーの発見は物語の始まりでしかない。オイラーは、多面体の研究に加え、今日、位相幾何学＝トポロジーとして知られる分野を創設した。通常の幾何学では、面積、角度、体積、長さといった測定できる量に注目する。トポロジーでは、﹁ゴム膜の幾何学﹂と呼ばれるように、伸び縮みする形を研究する。その研究対象はかちかちに固まった幾何学的図形である必要はなく。その連結性を議論した光景を目にするが、トポロジー的には風船は同じものであり続けるが、幾何学的には別物になってしまう。しかし、子どもが鉛筆を刺して風船を割・に、トポロジーで扱う曲面の例をつってしまうと、ゴム膜に穴が開いてしまうので、トポロジー的にも同じものではなくなってしまう。図 2 3 ・本のには、四角形と三角形の領域に分割された球本の経線と個 7 24 てよいことにした。図こで、彼らは幾何学におけるかちかちな規則を無視して、面も辺も曲がっ面のどこに頂点、辺、面があると思えばよいのかという疑問が生じる。それをトポロジー的な曲面に適用しようと試みた。まず、トポロジー的な曲トポロジーという新しい分野の研究者はオイラーの公式に魅了され、そある。示した。球面、ドーナツの形のようなトーラス、ねじれたメビウスの帯で 0 3 面が示されている。その分割は、北極と南極で交わる個の曲がった四角形の面と 72 12 0 緯線で描かれている。この地球儀には、序章 3 り、穴を探したり、ねじれ方を調べたりする。よくお祭りでピエロが風船を曲げて犬の形を作っている図 0．1 立方体もサッカーボール（切頂二十面体）もオイラーの公式を満たしている．本、頂点は ④ 個の面本の辺をもつ砂時計個なので、多面体のときと同じように、等式②が・個、辺が、＝となっのようにトーラスを四角形本の円周で描か本、頂点が本の円周と、丸く曲がったチューブに沿って並ぶ辺をもつ面がにはならない。個ある。これ 4 0 個の面に分割しようと、オイラーの公式を適用すると、その値はいつも 6 になる。この特別な数は 0 の面に分割しようと、実は、どんなトポロジー的な曲面もそれ固有のオイラーの公式を持つことを証明できる。球面を個り、トーラスに対しては次の新しいオイラーの公式④が成り立つのである。交代和はトーラスの他の分割を作っても、この足す・引くを交互に行った値（）のままである。つま 8 V−E＋F ＝ 0 の曲がった三角形の面があり三（角形の面は北極と南極の周辺にある、）全部でがある。辺は成り立つことがわかる。年ワールドカップサッカーのボールは、＝ 0 同様に、、 14 枚と形の崩れた六角形のパッチのではないかと思いたくなるだろう。しかし、図 4 16 まわりを回るれている。この分割には、 8 ③ にオイラーの公式を当てはめてみると、等式③となり、期待していた 4 V−E＋F ＝ 8−16＋8 ＝ 0 96 枚で作られていて図（・＝ F のような形のパッチ実際、を見よ、）やはりオイラーの公式を満たしている（ている。） 36 86 この時点では、どんなトポロジー的な曲面に対してもオイラーの公式が成り立つ E 8 V 6 4 24 1 8 0 2 0 0 6 2 の面に分割してみると、驚くべき結果に至る。この分割は、トーラスの中央の穴の 0 2 V−E＋F ＝ 86−180＋96 ＝ 2 ② 1 0 0 6 になる。同様に、トーラスのどんな分割に対してもオイラーの公式の値は 2 3 4 図 0．2 トポロジー的な曲面．球面，トーラス，メビウスの帯図 0．4 トーラスの分割図 0．3 球面の 2 つの分割曲面を区別するのに利用することができる。それは車つ、オートバイは両を車輪の個数で区別するようなものだ。自家用車は車輪がつ。車輪の個数が゛のでなければ、それでなければ、その車両はつ、トレーラーは車輪が車輪が自家用車ではない。車輪の個数が ➡ F ゛の値は形に本質的に依存する量であでなければ、トポロジー的にはその曲面はトー E 4 はオートバイではない。それと同様に、値が ➡ ラスではない。この E であるという。特に、この不変量 ➡ ゛ E は強力な F である。面のオイラー数はであり、トーラスのオイラー数はので、曲面のオイラー数と呼ばれている。つまり、球 V る。トポロジーの言葉でいうと、それは曲面の不変量 F 0 V ないと思われるかもしれない。サッカーボールを持っっているという事実は、数学的な興味以上のものではこの時点では、どんな曲面も固有のオイラー数を持 2 たり、ジオデシックドームを見たりしたときに、﹁こ序章 5 V 2 8 2 4 0 図 0．6 地球上に無風状態の場所が存在するか？オイラー数は多面体の研究に欠かせない道具なだけでなく、トポロジーはもとより、幾何学、グラフ理れはすごい！﹂などと考えにふける、という状況にはまずならないだろう。しかし、後で見るように、図 0．5 この 2 つは同じ結び目か？・にあるような、くねくねと絡ませた紐の輪のことである。紐を切っ論、力学系などで利用され、非常にエレガントで思いもよらない応用がなされている。数学で結び目と言えば、図 5 たり、つなぎ合わせたりせずに、一方からもう一方に変形できるとき、つの結び目は同じだと考える。 0 2 ・にあるつの結び目が同じではな 2 は、地球の表面上のある瞬間の風の流れを表している。この例では、チリの海岸から少し離 5 つの曲面を区別するのにオイラー数が使えたように、少し工夫をすると、結び目を区別するのにもオイラー数が使えるようになる。実際、オイラー数を使って、図・いことを証明できる。図 0 0 2 6 6 れたところに風が吹いていない点が存在している。それは時計回りに渦巻くハリケーンの眼にあたる無風状態の点に位置している。実は、地球上のどこかには風の吹かない点がいつでも少なくともつ存在る事実なのである。この無風状態の点の存在は数学者が毛玉の定理と呼んでいる定理から導かれる。風することが証明できるのだ。これは気象学を学んでわかることではなく、トポロジーを学ぶことでわか 1 章では、このすごい主張を証明するを表す矢印を地球の表面に生えた髪の毛だと思うと、必ずつむじのようなところが存在してしまう。この状況を﹁ヤシの実の髪の毛はとかせない﹂と言ったりする。第 19 ・には、単位距離の間隔に点の並んだ格子の中に多角形が描かれている。その多角形の頂点はために、オイラー数がどのように利用されるのかを見ることになる。図 7 図 0．7 格子点の個数を数えて，網掛けの多角形の面積を決定することができるか？と多角形の内部に章では、オイラー数を利 13 を使って、多角形の面積を求めるエレガン用して、多角形の境界に並ぶ格子点の個数ある格子点の個数 B 計算することができるのである。第格子の点になっている。驚いたことに、単に格子点の個数を数えるだけで、その多角形の面積を正確に B −1 ⑤ 2 面積＝ I＋゛ ➡ ＝ 1 I と求められる。トな公式⑤を導く。この公式を使うと、図にある多角形の面積は 10 2 9 には何色が必要だろうか？たとえば、合衆国の白地図を用意の境界線を持つ領域が異なる色になるように地図を色分けする昔から問われていた次のようなおもしろい問題がある。共通 5 して、できるだけ少ないクレヨンを使ってそれを色分けしてみ序章 7 0 年、図 0．8 合衆国の地図を 4 色だけで色分けすることができるか？よう。すると、ほとんどの州が色目のクレヨンが必要になることがす色のクレヨンで色分けできるが、地図全体の色分けを完成させるには 3 。）賢く色分けすれ色が必要になり、ネバダ州自体は図・色目のクレヨンで色分けすることになる（色で十分だと色目のクレヨンを使わなくても、地図の色分けを完成させること 8 3 ができる。つまり、合衆国の地図全体を色分けするにはば、 0 で、その周囲の州を色分けするのにぐにわかるだろう。たとえば、ネバダ州は奇数個の州に囲まれているの 4 ない予想は四色問題として知られるようになった。第色以下で色章では、 14 年に物議を醸した証明とともに終結するその興味深い歴史を振り返る。 1 9 7 分けができるだろうと予想されていた。この悪名高く、つかみどころのいうことである。実は、ずいぶん昔から、どんな地図でも 4 4 5 4 グラファイトやダイヤモンドは化学組成が炭素原子だけの物質である。その証明の中でもオイラー数が鍵となっている。 6 人の科学者、ロバート・カール・ジュニア、リチャード・スモーリー、ハロルド・クロ 3 ・年度のノーベル化学賞を受賞 1 9 9 6 9 ームに似ているからだ。フラーレンの発見によって、この人は 3 。）彼らがその呼び名を決めたのは、フラーレンの多面体的な巨大分子の構造がジオデシックド図ムの考案者である建築家のバックミンスター・フラーにちなんで、その分子をフラーレンと呼んだ（トーは炭素原子だけからなる新種の分子を発見し科学界に衝撃を与えた。彼らはあのジオデシックドー 1 9 8 5 0 8 している。フラーレンの中では、どの炭素原子もちょうど個の隣の原子と結ばれており、炭素原子が 3 で、彼らはそれをバックミンスターフラーレンと呼個の炭素原子からなるフラーレンで、その後に他のフラーレンも発見された。最も豊富に存在 70 図角形である（・ 0 12 種類 5 つは、その種類が極めて少な 1 種類以外のどんな多面体も、正多面体に期待の正多面体に関して不思議なことのプラーが太陽系の初期のモデルを作るために利用した。この。）ギリシャ人たちがそれを発見し、プラトンがそれを彼の原子論に取り込み、ケ何千年もの間、人類は美しく魅力的な正多面体に魅了されてきた。その多面体の面はすべて同じ正多六角形の環の個数は変化可能である。フラーレンも、大きさにかかわらず、五角形状に炭素原子が並ぶ環をちょうど個含んでいる。一方、することのできない炭素原子の配列が存在することを結論できるということである。たとえば、どんなんだ。注目すべきことは、化学を知らなくてもオイラーの公式を知っていれば、フラーレンとして実現するフラーレンはサッカーボールの形をした分子個と作る環は五角形か六角形になっている。カール、スモーリー、クロトーの人が初めに発見したものは 3 5 オイラーの公式の重要性や美しさにもかかわらず、一般の人たち 1 5 最もエレガントな応用例のつである。正多面体が種類しか存在しないことが簡潔に証明できる。それはされる性質を兼ね備えていない。オイラーの公式を利用することで、いことである。この図 0．9 C60 バックミンスターフラーレンの分子模型にはほとんど知られていない。学校の通常のカリキュラムの中でも序章 9 C60 60 10 図 0．10 5 種類の正多面体教えられていない。高校生の中にもオイラーの公式を知っている者もいるかもしれないが、数学を学ぶ学生のほとんどは大学に進学するまでこの公式と出会うことはない。数学が一般に知れわたるようになるにはいろいろなパターンがある。ピタゴラスの定理、二次方程式の解の公式、微積分の基本定理などのように、高校生の頭に刷年にアンドリュー・ワり込まれていて、有名な定理もある。有名な未解決問題が解かれることで、急に注目を浴びる成果もある。フェルマーの最終定理は、年以上も未解決のままだった。年にケネス・アッペルとヴォルフガイルズがその証明を与えて世界を驚かすまで、年に提起されて、つの重要な問題で、そのつになっていた。ング・ハーケンによってようやく証明された。あの有名なポアンカレ予想は四色問題は 1 9 9 3 3 0 0 1 9 7 6 1 年にポアンカレ予想の証明を与えたグリシつを解決した数学者は百万ドルをもらえること年に提起されて、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題のそれは 1 9 0 1 8 5 3 の素（数の無限性、円周率の無理数性も）ある。自然界におけるフィボナッチ数列やたもの（）歴史的な重要性によって有名になったもャ・ペレルマンに進呈されようとしていた。この他、他分野との関連で有名になっになっている。その賞金は、 1 2 0 0 2 7 4 れには興味深い歴史もあるし、世界中の偉大な数学者がその理論を作るために貢献オイラーの公式もこうしたすぐれた定理と同様に有名になるべきものである。そ㎅ 10