Lycée Buffon MPSI 2013-14 Exercices sur les structures algébriques

Lycée Buffon
MPSI 2013-14
Exercices sur les structures algébriques
Exercice 1 Pour les lois ci-dessous, dire si la loi est associative, commutative, si elle admet un
élément neutre, et dans ce cas, si tout élément admet un inverse.
1. Pour un ensemble E, on considère la différence entre ensembles sur P (E).
2. On considère ici le produit vectoriel sur les éléments de R3 (appelés ici vecteurs) défini par :

   0  0
yz − zy0
x
x
y ∧ y0  =  zx0 − xz0  .
xy0 − yx0
z0
z
3. On considère ici M2 (R) l’ensemble des matrices 2 × 2 (i.e. tableaux de réels à deux lignes
et deux colonnes) sur lequel on définit une multiplication par :
0 0 0
aa + bc0 ab0 + bd 0
a b
a b
.
=
ca0 + dc0 cb0 + dd 0
c0 d 0
c d
Exercice 2 On considère un ensemble M, muni d’une LCI ·. Montrer que lorsqu’il existe, un
élément neutre est unique. De même pour l’inverse d’un élément le cas échéant. Dans le cas
d’un anneau, montrer que l’élément neutre 0 de l’addition est absorbant pour la multiplication,
i.e. ∀x ∈ M, 0 · x = x · 0 = 0.
Exercice 3 On définit l’addition sur R3 ou sur M2 (R) composante par composante. Le produit
vectoriel (resp. matriciel) est-il distributif par rapport à l’addition ?
Exercice 4 Si × est une LCI sur M et E un ensemble quelconque, on définit une loi sur M E ,
qu’on note encore × par abus de langage, en définissant, pour f et g dans M E , f × g par :
∀x ∈ E, ( f × g)(x) = f (x) × g(x). Montrer que c’est une LCI et dire quelles propriété de la LCI
initiale définie sur M sont conservées.
Exercice 5 Si G est un groupe tel que tout élément x ∈ G vérifie x2 = 1, montrer que G est
commutatif.
Exercice 6 Soit G un groupe et g ∈ G. Montrer que les deux applications définies de G vers G
par x 7−→ xg et x 7−→ gx sont deux bijections.
Exercice 7 Soit G un groupe fini. Montrer que (∀g ∈ G, ∃ n ∈ N? , xn = 1). Indication : chercher
d’abord deux exposants positifs différents n et m tels que xn = xm .
Exercice 8 Soit G un groupe fini. On appelle table de multiplication de G un tableau ayant
les lignes et les colonnes indexées par les éléments de G et mentionnant, à l’intersection de la
ligne g et de la colonne g0 , le résultat du produit gg0 . Montrer à l’aide de l’exercice précédent
que chaque ligne (resp. colonne) contient une fois et une seule chaque élément de G. Comment
voit-on sur ce tableau que le groupe est abélien ?
Exercice 9 Quelles sont les tables de multiplications possibles des groupes de cardinal 1 à 5 ?
Exercice 10 Montrer qu’il existe une unique structure de corps sur un ensemble à deux, trois
ou quatre éléments.

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