Estimation Modèle RBC

OOO FTL LAREQ Publication
ESTIMATION DES MODELES DSGE SUR DYNARE
ETUDE DE CAS 1 : MODELE REAL BUSINESS CYCLE (RBC)
Auteur(s) : Jean – Paul K. Tsasa Vangu & Michel – Ange Lokota Ilondo
Source : Laboratoire d’analyse – recherche en économie quantitative
Publié par : LAREQ Publication
Volume : Série alpha-II, numéro 1 [pp. 1 – 11]
Web : http://www.lareq.com
Courriel : [email protected]
Soumission : Décembre 21, 2013
Publication : Avril 15, 2014
Le LAREQ Publication collabore avec Makroeconomica Review dans la production et la diffusion de la
série des fiches techniques Lareq (FTL).
MAKROECONOMICA REVIEW
Web : http://www.makroeconomica.org
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économie quantitative et le réseau congolais de recherche en économie quantitative dans l'objectif de
contribuer à la construction d’une plate-forme de recherche commune qui favorise la découverte et
l'utilisation de ces ressources au sein des universités africaines. Pour plus d'informations sur
MAKROECONOMICA, s'il vous plaît, contactez : [email protected].
Préambule1
Cette deuxième série de fiches techniques Laréq (FTL Alpha–II) propose une
vingtaine de programmes Dynare d’implémentation des modèles d’équilibre général
dynamiques stochastiques [DSGE], i.e. un recueil de codes Dynare facilitant les
simulations
et
l’estimation
des
modèles
DSGE
notamment
par
les
méthodes
bayésiennes ou l’approche par le maximum de vraisemblance. Les différentes
publications dans le cadre de cette série, une fois complétées, seront diffusées
dans
un
document
unique
sous
forme
d’un
guide
pratique.
Les
principales
références utilisées pour constituer la collection en cause sont : Adjemian et
al. (2014) ; Ljungqvist et Sargent (2012) ; Barillas et al. (2010) ; Heer et
Maußner (2009) ; Cooley (1995) ; Stokey, Lucas et Prescott (1989).
En guise d’introduction, la présente fiche sera consacrée à la présentation d’une
version simplifiée du modèle RBC,
1
suggéré en 1982 par Prescott et Kydland.
Dynare est un logiciel non commercial, téléchargeable via le site web : www.dynare.org
I. Modèle RBC
Le modèle RBC est une formalisation de la théorie de cycles réels. Ce modèle introduit
par Kydland et Prescott (1982) propose à la fois une théorie spécifique des cycles
économiques et une méthodologie pour tester les théories concurrentes des cycles
économiques.
De manière compacte, deux principes gouvernent la théorie RBC : (i) la monnaie est de
moindre importance dans l’explication des cycles d’affaires ; (ii) les cycles d’affaires
sont créés par les réponses optimales des agents économiques aux chocs réels, et non
aux chocs nominaux.
En parallèle, la méthodologie soutenant la modélisation RBC comprend également deux
principes : (i) un modèle permanent doit toujours modéliser l'économie à l'aide d'une
approche par l’équilibre général dynamique modèles avec anticipations rationnelles ; (ii)
les conséquences quantitatives d'un modèle proposé doivent être prises au sérieux, i.e.
l'aptitude d'un modèle pour décrire la réalité doit être évaluée en utilisant une
technique quantitative appelée étalonnage ou calibration. Ainsi, si le modèle reproduit
les caractéristiques contenues dans les données, alors ses implications politiques
quantitatives doivent être prises au sérieux.
A la suite de son succès dans les années 1980 et 1990, les économistes se sont
proposées de modifier les contenus analytiques des modèles RBC, en introduisant la
monnaie, les imperfections de marchés, les rigidités nominales et plusieurs autres
argument pro-keynésiens, à l’effet d’améliorer leurs performance dans la caractérisation
des cycles économique (e.g. Clarida, Gali et Gertler, 1999, 2000). Ainsi, avec ce
revirement, les économistes se sont proposé de nommer cette nouvelle classe de
modèles, modèles d’équilibre général dynamiques stochastiques (DSGE, Dynamic
Stochastic General Equilibrium). En réalité, les modèles DSGE sont des modèles RBC,
augmentés de rigidités et frictions, et régis par les principes de concurrence imparfaite.
II. Cadre d’analyse
Pour
illustrer
la
modélisation
macroéconomique
suivant
l’approche
RBC,
nous
considérons un modèle de croissance économique balancé. Soit une économie
composée d’un continuum de ménages tels que les préférences de tous les ménages
sont identiques et peuvent être représentées comme suit :
avec :
2
Jean-Paul K. Tsasa & Michel-Ange Lokota
Implémentation du modèle RBC sur Dynare
où
désigne le taux d’escompte,
temps ;
;
; le loisir tel que
la consommation pour chaque instant du
étant l’offre de travail ;
;
Par ailleurs, la contrainte de ressources agrégées associées à cette économie est telle
que :
où
désigne le taux de dépréciation,
La fonction de production (néoclassique) agrégée est caractérisée par l’expression
suivante :
où
le stock de capital ;
l’output et
désigne le niveau technologique tel
que :
où
et
un bruit blanc faible.
Ainsi, les firmes maximisent le problème ci – après :
où
En parallèle, le problème de maximisation du ménage représentatif est tel que :
sujet à :
II. Résolution du modèle
La résolution de ce modèle passe par l’exécution des conditions du premier ordre
d’optimisation, à partir du Lagrangien :
Ainsi, pour le ménage représentatif, on obtient l’équation d’Euler :
et par ailleurs, la condition d’optimalité pour l’offre de travail :
Estimation Modèle RBC
Jean-Paul K. Tsasa & Michel-Ange Lokota
3
Par conséquent, l’équilibre dans cette économie sera caractérisé par un système de
quatre équations telles que repris ci-après.
In fine, la solution au problème de la firme implique que :
III. Calibration du modèle
La stratégie d’identification proposée par Kydland (1982) se résume comme suit : (i)
utiliser les études microéconomiques ou la théorie pour déterminer les valeurs de tous
les paramètres ; (ii) résoudre le modèle numériquement et procéder aux simulations ;
(iii) comparer les moments (écarts-types, corrélation, autocorrélation, autocovariance,
etc.) dérivés à partir des données simulées, à ceux calculés à partir des données de la
comptabilité nationale ; (iv) s’il y a appariement entre les deux types de moments,
alors le modèle est bon. Sinon, procéder à l’amélioration du modèle sous-jacent.
Appliquons, à présent, cette stratégie à notre modèle.

Facteur d’escompte ; le paramètre
à l’état stationnaire non-stochastique est tel
que :
où d’après la structure du modèle
Ainsi,
correspond à la
moyenne du taux d’intérêt trimestriel. Ainsi, par exemple, si l’on considérait une
moyenne de
l’an, alors, on aura que :
et donc :
Pour l’exercice sur Dynare, comme dans Cooley et Prescott (1995), nous fixons

4
Fonction d’utilité :
Jean-Paul K. Tsasa & Michel-Ange Lokota
Implémentation du modèle RBC sur Dynare
il s’agit d’une fonction d’utilité CRRA, où
désigne l’élasticité intertemporel de
substitution.
Tableau 1 : Quelques fonctions d’utilité caractéristiques
Valeur de l’inverse de l’élasticité
intertemporelle de substitution
Forme fonctionnelle de l’utilité
0
Linéaire
1
Cobb-Douglas
∞
Leontief
Ainsi, pour
on a que :
Pour l’exercice sur Dynare, nous fixons :

Fonction d’utilité :
où les paramètres
et
désignent respectivement les élasticités – offre par rapport
aux facteurs. Autrement, ils mesurent respectivement les parts du capital et du travail
dans la production. En moyenne, la littérature économique fixe ce paramètre à une
valeur telle que
A l’état régulier, on établit la relation suivante entre consommation, l’offre de travail et
output :
Par exemple, si le paramètre
stochastique,
est défini de sorte qu’à l'état stationnaire non-
du temps disponible soit consacré au travail (
output – consommation à l'état régulier soit d'environ
(
ces valeurs dans les équations ci-dessus et en résolvant pour
les simulations et d’estimation, on fixe
) et que le ratio
). En substituant
on trouve
Pour
comme dans Barillas et al. (2010).

Taux de dépréciation :
l’an et donc,
par trimestre.

Enfin, pour ce qui concerne les paramètres du processus stochastique de la
technologie, étant donné que le modèle RBC suppose que l’économie est en
concurrence parfaite et que les rendements d'échelle constants, il suit que le terme
désigne le résidu de Solow. Ainsi, la valeur moyenne du résidu de Solow,
tel que généralement établie dans la littérature économique, nous nous permet
ainsi d’identifier
et donc environ
productivité totale des facteurs (TFP). Partant
de croissance annuelle de la
de cette moyenne, en
soustrayant, on peut estimer notre processus AR(1), ainsi on trouve
Estimation Modèle RBC
Jean-Paul K. Tsasa & Michel-Ange Lokota
la
et
5
Dès lors, une fois que les paramètres calibrés, il devient dès lors possible de trouver
une solution numérique pour le modèle en cause.
Tableau 2 : Etalonnage des paramètres
Paramètre
Calibration
0.987
Paramètre
Calibration
2
0.64
0.95
0.012
0.007
0.40
1
IV. Simulation et estimation du modèle
Le programme suivant permet d’implémenter le modèle en cause sur la plateforme
Dynare2.
periods 1000;
var c k lab z;
varexo e;
parameters bet the del alp tau rho s;
bet = 0.987;
the = 0.357;
del = 0.012;
alp = 0.4;
tau = 2;
rho = 0.95;
s = 0.007;
model;
(c^the*(1-lab)^(1-the))^(1-tau)/c=bet*((c(+1)^the*(1-lab(+1))^(1-the))^(1tau)/c(+1))*(1+alp*exp(z(-1))*k(-1)^(alp-1)*lab^(1-alp)-del);
c=the/(1-the)*(1-alp)*exp(z(-1))*k(-1)^alp*lab^(-alp)*(1-lab);
k=exp(z(-1))*k(-1)^alp*lab^(1-alp)-c+(1-del)*k(-1);
z=rho*z(-1)+s*e;
end;
initval;
k = 1;
c = 1;
lab = 0.3;
z = 0;
e = 0;
end;
shocks;
var e;
stderr 1;
end;
steady;
stoch_simul(dr_algo=0,periods=1000);
datasaver(’simudata’,[]);
2
Pour les détails et notions préliminaires sur le logiciel Dynare : cf. soit à la première série
des Fiches Techniques Laréq, disponible sur www.lareq.com [rédigées en français], soit au
manuel de référence Dynare, disponible sur www.dynare.org [rédigé en anglais].
6
Jean-Paul K. Tsasa & Michel-Ange Lokota
Implémentation du modèle RBC sur Dynare
Ainsi, on obtient les résultats suivants générés par le logiciel Dynare.
Tableau 3 : Fonctions politique et Fonctions transition
k
z
c
lab
constante
54.615371
0
0.960775
0.543716
k (-1)
0.983153
0
0.011727
-0.001668
z (-1)
1.978406
0.950000
0.317480
0.228716
e
-0.000935
0.007000
0.000454
-0.000162
k (-1),k (-1)
-0.000038
0
-0.000030
0.000011
z (-1),k (-1)
0.011128
0
0.002996
0.000762
z (-1),z (-1)
1.253721
0
0.096224
-0.046394
e,e
-0.000003
0
0.000001
0
k (-1),e
-0.000002
0
0.000002
0.000001
z (-1),e
-0.001076
0
0.000430
-0.000056
Figure1 : Fonctions de réponse impulsionnelle suite à un choc technologique
Estimation Modèle RBC
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Considérons à présent, la série des données simulées pour la consommation à l’effet de
pouvoir estimer certains paramètres inconnus du modèle, notamment les paramètres
de préférence
paramètres
et
et
et le processus stochastique pour la productivité résumée par deux
Le programme Dynare suivant peut être exécuté pour cette fin.
Les priors utilisées dans l'estimation sont repris dans le tableau 4.
periods 1000;
var c k lab z;
varexo e;
parameters bet del alp rho the tau s;
bet
the
del
alp
tau
rho
s =
= 0.987;
= 0.357;
= 0.012;
= 0.4;
= 2;
= 0.95;
0.007;
model;
(c^the*(1-lab)^(1-the))^(1-tau)/c=bet*((c(+1)^the*(1-lab(+1))^(1-the))^(1tau)/c(+1))*(1+alp*exp(z(-1))*k(-1)^(alp-1)*lab^(1-alp)-del);
c=the/(1-the)*(1-alp)*exp(z(-1))*k(-1)^alp*lab^(-alp)*(1-lab);
k=exp(z(-1))*k(-1)^alp*lab*(1-alp)-c+(1-del)*k(-1);
z=rho*z(-1)+s*e;
end;
initval;
k = 1;
c = 1;
lab = 0.3;
z = 0;
e = 0;
end;
shocks;
var e;
stderr 1;
end;
steady;
check;
estimated_params;
stderr e,inv_gamma_pdf, 0.95,inf;
rho,beta_pdf,0.93,0.02;
the,normal_pdf,0.3,0.05;
tau,normal_pdf,2.1,0.3;
end;
varobs c;
estimation(datafile=simudata,mh_replic=10000);
Par ailleurs, le tableau 5 résume l'un des résultats générés par le logiciel Dynare. En
effet, il s'agit des statistiques sommaires se rapportant à la distribution a posteriori.
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Jean-Paul K. Tsasa & Michel-Ange Lokota
Implémentation du modèle RBC sur Dynare
Tableau 4 : Priors
Paramètre
Distribution
Moyenne (Mean)
Ecart-type (Std.Dev.)
Beta
0.93
0.02
Normal
0.3
0.05
Normal
2.1
0.3
Inv. Gamma
0.95
Inf.
Figure 2 : Priors
Tableau 5 : Posterior
prior mean
post mean
conf.
interval
prior dist.
prior std
0.930
0.9480
0.9319
0.9645
beta
0.0200
0.300
0.3589
0.3540
0.3645
norm
0.0500
2.100
2.0046
1.6532
2.3356
norm
0.3000
0.950
1.0227
0.8321
1.2175
invg
Inf.
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Figure 3 : Posterior
En guise de conclusion, il sied de noter qu’au regard de ces résultats et des faits que
l’on retrouve au niveau des données, il y a lieu de noter que le modèle RBC canonique
ne marche pas bien quand il s’agit du chapitre sur le marché de travail. En effet, on
note généralement que dans cette classe de modèles : (i) le travail fluctue à peu près
deux fois plus que dans les données ; (ii) les heures totales de travail fluctuent plus que
la productivité dans les données ; (iii) les heures de travail et la productivité co-varient
dans le même sens, alors que dans elles sont presque décorrélées.
Par ailleurs, les variables dans ce type de modèles sont positivement fortement
corrélées. Par exemple, une valeur positive pour
accroit la productivité, les salaires et
les heures de travail.
En réalité, dans ce modèle, un choc technologique agit comme une translation de la
courbe de demande de travail, sans changement de celle d’offre de travail. En plus,
dans ce cadre d’analyse, les ménages ne sont pas incités à substituer le loisir à travers
le temps, en réponse à un choc donné. A la suite de ces différents problèmes, comme
nous verrons tout au long de cette série, de nouvelles classes de modèles ont été
proposées pour corriger ce faille. Dans le papier qui suivra, nous tenterons d’étendre le
cadre d’analyse du présent modèle, en prenant en compte l’ouverture extérieure.
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Jean-Paul K. Tsasa & Michel-Ange Lokota
Implémentation du modèle RBC sur Dynare
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Estimation Modèle RBC
Jean-Paul K. Tsasa & Michel-Ange Lokota
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