Séminaire : Quaternions et autres nombres
hypercomplexes
Lacoste Cyril
Pierron Théo
ENS Ker Lann
2
Table des matières
I
II
III
Première approche des quaternions . . .
I.1
Découverte . . . . . . . . . . . .
I.2
Définition et premières propriétés
I.3
Le théorème de Frobenius . . . .
Quaternions et rotations . . . . . . . . .
II.1
SO3 ≃ S3 /{±1} . . . . . . . . . .
II.2
SO4 /{±1} ≃ SO3 × SO3 . . . . .
II.3
SU2 /{±1} ≃ SO3 . . . . . . . . .
Applications . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Théorème des 4 carrés . . . . . .
III.2 Infographie . . . . . . . . . . . .
III.3 Fractales . . . . . . . . . . . . . .
III.4 Octonions et sédénions . . . . . .
i
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. 1
. 1
. 1
. 3
. 5
. 5
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. 9
. 9
. 10
. 15
. 17
ii
TABLE DES MATIÈRES
Table des figures
1
2
3
4
5
6
Un réseau de R2 . . . . . . .
Angles d’Euler . . . . . . . .
État normal des cardans . .
Blocage des cardans . . . . .
Ensemble de Mandelbrot
Mandelbulb . . . . . . . . .
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iii
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9
13
14
14
16
17
iv
TABLE DES FIGURES
I. PREMIÈRE APPROCHE DES QUATERNIONS
I
Première approche des quaternions
I.1
Découverte
Les quaternions ont été inventés en 1843 par le mathématicien irlandais
William Hamilton, son but étant de trouver un équivalent des nombres complexes pour représenter les groupes orthogonaux en dimension 3 et 4 et ainsi
faire de la géométrie.
I.2
Définition et premières propriétés
Définition I.1 Il existe une algèbre H de dimension 4 sur R munie d’une
base (1, i, j, k) telle que :
1. 1 est élément neutre pour la multiplication
2. i2 = j 2 = k 2 = −1, jk = −kj = i, ki = −ik = j, ij = −ji = k
On l’appelle algèbre des quaternions. Ses éléments sont de la forme a +
bi + cj + dk avec a, b, c, d ∈ R.
Démonstration. Il y a plusieurs méthodes pour démontrer cela :
1. On prend pour H l’espace R4 muni d’une base (1, i, j, k) et on définit la multiplication sur H par bilinéarité à partir des formules de la
définition. Il faut vérifier que cette loi est associative.
2. On peut définir H comme une sous-algèbre de matrices de M2 (C) :
H=
(
!
a −b
, a, b ∈ C
b a
)
On vérifie alors que cet ensemble vérifie bien les propriétés demandées
dans la définition. Si on appelle ses éléments M(a, b), une base de H est
Id = M(1, 0), I = M(i, 0), J = M(0, 1), K = M(0, i). La matrice!assoa + ib −c + id
ciée au quaternion q = a+bi+cj+dk est M(q) =
.
c + id a − ib
Définition I.2 Soit q ∈ H, q = a + bi + cj + dk, avec a, b, c, d ∈ R. On
définit le conjugué q de q par q = a − bi − cj − dk.
Proposition I.1 L’application q 7→ q est R-linéaire, et vérifie :
∀q1 , q2 ∈ H, q1 q2 = q2 ∗ q1
On dit que c’est un antiautomorphisme.
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I. PREMIÈRE APPROCHE DES QUATERNIONS
Démonstration. La preuve est immédiate avec la définition matricielle, car
t
M(q) = M(q) .
Proposition I.2
1. Pour tout q ∈ H, q = q
2. q ∈ R ⇔ q = q
3. Soit P = {bi + cj + dk, b, c, d ∈ R} l’ensemble des quaternions purs.
q ∈ P ⇔ q = −q. Notons qu’avec la représentation matricielle, P est
l’ensemble des matrices de H de trace nulle.
Définition I.3 Pour q = a + bi + cj + dj ∈ H on définit la norme de q par :
N(q) = qq = qq = a2 + b2 + c2 + d2
On a de plus :
N(q) ∈ R+
Remarque I.1 L’application q 7→ N(q) est une forme quadratique définie
positive sur H, elle induit donc une structure euclidienne avec pour produit
scalaire associé ϕ : (q1 , q2 ) 7→ 12 (q1 q2 + q2 q1 ). La base (1,i,j,k) est orthonormée
pour ce produit scalaire, P = R⊥ et la conjugaison est la symétrie orthogonale
par rapport à R.
Théorème I.1
1. L’algèbre H est un corps non commutatif.
2. Le centre de H est égal à R.
3. La norme est multiplicative : N(q1 q2 ) = N(q1 )N(q2 ), donc N est un
morphisme de groupe de H∗ dans R∗+ , surjectif, et donc le noyau, groupe
des quaternions de norme 1, sera noté G.
Démonstration.
1. La norme étant définie, si q 6= 0, N(q) 6= 0 donc q est inversible,
d’inverse N1(q) q.
2. Comme H est une R-algèbre, R est inclus dans le centre de H. Réciproquement, si q = a + bi + cj + dk est central on écrit qi = iq ce qui
montre c = d = 0 puis qj = jq nous donne b = 0 donc q est réel.
3. Avec l’écriture matricielle, on remarque que la norme correspond au
déterminant, et on vérifie que M(q1 q2 ) = M(q1 )M(q2 ). On peut donc
conclure directement par multiplicativité du déterminant.
√
De plus, si a est réel, N( a) = a, ce qui montre la surjectivité.
Remarque I.2
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Pierron Théo
I. PREMIÈRE APPROCHE DES QUATERNIONS
1. Si q ∈ G, i.e. N(q) = 1 alors q −1 = q.
2. Si on identifie H à R muni de sa topologie usuelle, alors
n
G = (a, b, c, d) ∈ R4 , a2 + b2 + c2 + d2 = 1
o
donc G est homéomorphe à la sphère S3 , en particulier G est connexe.
3. On a les équivalences suivantes :
q ∈ R ⇔ q 2 ∈ R+
q ∈ P ⇔ q 2 ∈ R−
En effet si q est réel, q 2 est réel positif et si q est un quaternion pur,
N(q) = qq = q(−q) = −q 2 donc q 2 = −N(q) ∈ R− .
Réciproquement si on écrit q = a + p avec a ∈ R et p ∈ P alors
q 2 = a2 + p2 + 2ap donc si q 2 est réel, alors 2ap = 0 donc a = 0 ou
p = 0.
I.3
Le théorème de Frobenius
Une question naturelle qui survient est la généralisation de la construction
du corps des quaternions à des corps qui seraient des R-algèbres de dimension
supérieure. Le théorème de Frobenius apporte la réponse :
Théorème I.2 Tout corps K contenant R dans son centre et de dimension
finie sur R est isomorphe à R, C ou H.
Démonstration.
1. Supposons dans un premier temps K commutatif, et K 6= R. On va
montrer que K est isomorphe à C.
Prenons un élément a ∈ K \ R.
Comme [K : R] < +∞, a est algébrique sur R, et son polynôme minimal
est irréductible sur R, donc il est de degré 2 car a n’est pas réel.
Le discriminant de ce polynôme, qui est strictement négatif (sinon le
polynôme n’aurait que des racines réelles), est donc un carré dans K,
mais alors −1 aussi.
Si on appelle i une racine carrée de −1 dans K, on obtient que K
contient un sous-corps isomorphe à C.
Mais K est de fait algébrique sur ce sous-corps, donc puisque C est
algébriquement clos, K = C.
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I. PREMIÈRE APPROCHE DES QUATERNIONS
2. Supposons maintenant K non commutatif. Reprenons a ∈ K \ R, alors
R[a] est un corps commutatif de dimension finie sur R.
D’après ce qui précède il est isomorphe à C, on les identifie alors et on
note i une racine de −1 dans C.
Notons que d’après le premier point, C est un sous-corps commutatif
maximal de K donc si un élément x de K commute avec i il appartient
à C.
Soit maintenant y ∈ K \C, alors y ne commute pas avec i , on construit
un élément z qui anticommute avec i (on cherche en fait à construire
un j pour reconstituer H).
On pose pour cela z = yi − iy, on a bien z non nul et iz = −zi.
Mais alors iz 2 = (−zi)z = −ziz = z(−iz) = z(zi) = z 2 i, donc z 2
commute avec i donc z 2 ∈ C.
Or R[z] est un corps commutatif, et z n’est pas réel, donc R[z] est une
R-algèbre de dimension 2, différente de C, mais d’intersection non vide
avec C (z 2 y appartient).
Donc R[z] ∩ C = R, donc z 2 ∈ R.
2
On a même z 2 ∈ R− , car si z 2 = a > 0, le polynôme
X√
− a aurait 4
√
racines distinctes dans le corps R[z] : z, −z, a, et − a, ce qui est
interdit car R[z] est commutatif.
√
Donc z 2 = −α, avec α ∈ R+ . Posons j = z/ α, alors on a encore
ij = −ji, et cette fois j 2 = −1.
Il reste à poser k = ij, alors le sous-espace de K engendré par 1, i, j, k
est un sous-corps isomorphe à H, on les identifie et on va montrer que
K = H.
3. Si on suppose K 6= H, on prend un élément u ∈ K \ H.
On réitère le procédé√du 2, on pose v = ui − iu, v anticommute avec i,
v 2 ∈ R− et si l = v/ −v 2 , alors il = −li et l2 = −1.
Mais alors l’élément jl vérifie jli = j(−il) = (−ji)l = (ij)l = ijl donc
jl commute avec i donc appartient à C.
Donc l = (jl)/j ∈ H, donc v aussi.
Enfin si w = ui + iu, w et i commutent donc w ∈ C ⊂ H, mais alors
, donc ui ∈ H donc u ∈ H, contradiction.
ui = v+w
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II. QUATERNIONS ET ROTATIONS
II
II.1
Quaternions et rotations
SO3 ≃ S3 /{±1}
Dans la suite nous identifierons le groupe G des quaternions de norme 1
et la sphère S3 .
Théorème II.1
1. Pour q ∈ S3 , l’application :
rq :
(
P
u
→
7
→
P
quq −1
est une isométrie de P . Comme P est un R-espace vectoriel euclidien
de dimension 3, en fixant une base orthonormée (par exemple (i, j, k))
on peut considérer rq comme un élément de O3 .
2. De plus :
r:
(
S3
q
est un morphisme de noyau {±1}
→
7
→
O3
rq
3. Son image est SO3 .
Lemme II.1.1 La multiplication à droite (resp. à gauche) par un quaternion
de norme 1 est une isométrie de H dans H et de P dans P .
Démonstration. Comme q est de norme 1, q −1 = q.
N(xq) = hxq, xqi = ℜ(xqxq) = ℜ(xqqx) = N(x)
De plus, pour tout x ∈ P , qx = x · q. Comme la multiplication à droite
par q est une isométrie et que la conjugaison aussi, la multiplication à gauche
par q est une isométrie.
Démonstration du théorème.
1. Par le lemme, rq est une isométrie.
2. Si rq = Id, alors pour tout x ∈ P , qx = xq.
Alors q commute avec tous les éléments de P . Il commute également
avec tous les éléments de R qui est le centre de H, donc q commute
avec tout élément de H donc q ∈ R.
Or q est de norme 1 donc q = ±1.
Donc Ker(r) = {±1}.
3. On adopte ici la vision matricielle des quaternions.
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II. QUATERNIONS ET ROTATIONS
⊂ : Rappelons que P est alors l’ensemble des matrices de trace nulle.
L’image de r est un connexe de O3 , qui a deux composantes connexes :
SO3 et O3− .
Or rId = Id donc, l’image de r est contenue dans la composante
connexe de Id qui est SO3 .
⊃ : Pour montrer que Im(r) = SO3, on va montrer qu’elle est ouverte
et fermée.
Comme r est polynomiale, r est C ∞ . Comme S3 est compacte, Im(r)
est compacte donc fermée.
Si on montre que Dr(Id) est injective (donc bijective car on est en
dimension finie), on saura, par le théorème d’inversion locale, que r
est ouverte au voisinage de Id donc de chaque point par translation.
On aura alors Im(r) ouverte, fermée et non vide. Par connexité de
SO3 , Im(r) = SO3 .
Soit X ∈ Ker(Dr(Id)). Ker(Dr(Id)) est définie sur l’espace tangent
de S3 en Id c’est-à-dire P . Remarquons alors que pour t ∈ R, etX ∈
S3 , en effet det(etX ) = etr(tX) = e0 = 1 car X ∈ P donc est de trace
nulle.
On pose ϕ le morphisme R → SO3 qui à t associe r(etX ).
ϕ est dérivable et :
!
∂ϕ
∂etX
(0) = Dr(Id)
(0) = Dr(Id)(X) = 0
∂t
∂t
Lemme II.1.2 Soit ϕ un morphisme de groupes dérivable R →
GL3 .
Il existe A tel que ϕ = t 7→ etA .
Démonstration. Pour tout t, s, ϕ(t + s) = ϕ(t)ϕ(s).
En dérivant par rapport à t, on a :
ϕ′ (t + s) = ϕ′ (t)ϕ(s)
En t = 0, on a ϕ′ (s) = ϕ(s)ϕ′ (0).
′
′
D’où ϕ(s) = ϕ(0)eϕ (0)s = eϕ (0)s .
Comme ϕ est un morphisme de dérivée nulle en 0, le lemme assure
ϕ = Id.
Donc pour tout t ∈ R, etX = ±Id.
Par connexité de SO3 et continuité de t 7→ etX , pour tout t, etX =
e0X = Id.
Donc X = 0 car exp est localement injective en 0.
D’où l’injectivité de Dr(Id) et le résultat.
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II. QUATERNIONS ET ROTATIONS
II.2
SO4 /{±1} ≃ SO3 × SO3
Proposition II.1 Toute isométrie directe s’écrit sous la forme x 7→ pxq
avec p et q des quaternions de norme 1.
De même, toute isométrie indirecte s’écrit sous la forme x 7→ pxq avec p
et q de norme 1.
Démonstration. On peut écrire toute isométrie indirecte s comme la composée d’un nombre impair de symétries sq1 , · · · , sqr avec q1 , · · · , qr de norme 1
et sqi = x 7→ −qi xqi−1 .
On a alors, avec a = −q1 · · · qr et b−1 = qr · · · q1 , pour tout x ∈ H,
s(x) = axb.
On procède de même dans le cas direct.
Théorème II.2
1. Pour tout p, q ∈ H de norme 1, x 7→ pxq −1 est une isométrie directe de
H.
2. L’application
ρ:
3
S
× S3
→
SO4 (R)
(p, q)
7→
ρp,q :
(
H
x
→
7
→
H
pxq −1
est surjective.
3. Son noyau est {±(1, 1)}.
Démonstration.
1. Par le lemme II.1.1, on sait que x 7→ pxq −1 est une isométrie.
Si cette application est indirecte, par la proposition II.1, on a deux
quaternions de norme 1, u et v tel que, pour tout x ∈ H, pxq −1 = axb.
Pour x = 1, on trouve u = v −1 et pour x = u−1 , on a v = v donc
u = v −1 ∈ R
Pour tout x ∈ H, on a alors x = x, ce qui est absurde.
Donc ρp,q est une isométrie directe.
2. Par le premier point, Im(ρ) ⊂ SO4(R). De plus, la proposition II.1
assure l’autre inclusion.
3. Supposons que pour tout x ∈ H, pxq −1 = x.
Pour x = 1, on obtient p = q.
Donc, pour tout x ∈ H, px = xp donc p ∈ R. Comme p est de norme
1, p = ±1.
Donc Ker(ρ) = {±(1, 1)}.
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II. QUATERNIONS ET ROTATIONS
On a donc un isomorphisme :
SO4 ≃ S3 × S3 /{±(1, 1)}
On peut alors passer au quotient et on a un isomorphisme de (S3 ×
S )/{(±1, ±1)} → SO4 /{±1}.
D’où
3
SO4 /{±1} ≃ (S3 × S3 )/{(±1, ±1)} ≃ S3 /{±1} × S3 /{±1}
Par le paragraphe précédent, on a donc
SO4 /{±1} ≃ SO3 × SO3
II.3
SU2/{±1} ≃ SO3
Le corps C peut être considéré comme un sous-corps de H, par exemple
Vect{1, i}.
H est alors muni d’une structure de C-espace vectoriel pour la loi extérieure (λ, q) 7→ qλ (attention au sens).
Une base de H comme C-espace vectoriel est alors (1, j) et on peut écrire
un quaternion q = a + bi + cj + dk dans cette base sous la forme q =
1(a + bi) + j(c − di).
On peut alors faire opérer le groupe G des quaternions de norme 1 sur H
par multiplication à gauche : si q ∈ G on définit Tq par Tq (q ′ ) = qq ′, qui se
trouve être C-linéaire et inversible.
On peut l’identifier à une matrice de GL2 (C) (celle qui la représente dans
la base (1, j)) :
!
λ −µ
µ λ
si q = λ + jµ.
t
On remarque que Tq−1 = Tq et det(Tq ) = 1 car q est unitaire, donc
Tq ∈ SU2 . On a donc un morphisme T : G 7→ SU2 , bijectif, et donc :
G ≃ SU2
et en utilisant le premier résultat on obtient :
SU2 /{±1} ≃ SO3
En particulier SU2 /{±1} est simple.
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III. APPLICATIONS
III
III.1
Applications
Théorème des 4 carrés
Définition III.1 Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n, (e1 · · · , en )
une base de E. Un réseau de E est un sous-Z-module de la forme Ze1 + · · · +
Zen .
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Figure 1 – Un réseau de R2
Définition III.2 La dimension d’un réseau est la dimension de l’espace
vectoriel qu’il engendre.
Un domaine fondamental de Λ est une partie D de E telle que (D + x)x∈Λ
soit une partition de E.
Le volume de Λ est le volume du domaine fondamental
D=
(
n
X
i=1
λi ei , (λ1 , · · · , λn ) ∈ [0, 1[
n
)
C’est | detbase canonique de Rn (e1 , · · · , en )|.
Théorème III.1 (Minkowski) Soit Λ un réseau de Rn , D le domaine
fondamental usuel.
Soit X un convexe symétrique (par rapport à 0) borné non vide de Rn .
Si λ(X) > 2n λ(D) alors (X ∩ Λ) \ {0} =
6 ∅.
Théorème III.2 Tout entier naturel est somme de quatre carrés.
Démonstration.
• On a 0 = 02 + 02 + 02 + 02 , 1 = 02 + 02 + 02 + 12 et 2 = 02 + 02 + 12 + 12 .
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III. APPLICATIONS
• Si a et b sont sommes de 4 carrés, a = x20 + x21 + x22 + x23 et b =
y02 + y12 + y22 + y32.
a est la norme du quaternion x0 + ix1 + jx2 + kx3 . b est celle de y0 +
iy1 + jy2 + ky3 .
Le produit d’iceux est z0 + iz1 + jz2 + kz3 qui a pour norme ab.
Il suffit donc de montrer le résultat pour les nombres premiers impairs
(fait pour 2).
• Soit p premier impair.
Lemme III.2.1 Il existe (α, β) tel que α2 + β 2 + 1 ≡ 0 mod p.
Démonstration. Il y a p+1
carrés dans Fp .
2
p+1
2
Donc α + 1 prend 2 valeurs dans Fp et −β 2 aussi.
Or p+1
+ p+1
= p + 1 > p.
2
2
Donc il existe α, β tel que α2 + 1 ≡ −β 2 mod p.
On considère le réseau
Λ = {(x, y, z, t) ∈ Z4 , z ≡ αx + βy
mod p et t = αy − βx mod p}
On vérifie que ((1, 0, α, −β), (0, 1, β, α), (0, 0, p, 0), (0, 0, 0, p)) est une
base de Λ.
Le volume de Λ est donc p2 car le déterminant associé vaut p2 .
Soit r > 0 et B la boule de rayon r centrée en 0.
2
Le volume de cette boule est π2 r 4 .
2
Si π2 r 4 > 24 p2 , alors B vérifie les hypothèses du théorème de Minkowski.
Donc il existe (x, y, z, t) ∈ Λ \ {0} avec x2 + y 2 + z 2 + t2 6 r 2 .
Si (x, y, z, t) ∈ Λ,
x2 + y 2 + z 2 + t2 ≡ x2 + y 2 + (αx + βy)2 + (αy − βx)2
≡ x2 (1 + α2 + β 2 ) + y 2 (1 + α2 + β 2 )
≡ 0 mod p
2
Comme π 2 > 8, π322 < 4 donc il existe r tel que 32p
< r 4 < 4p2 .
π2
2
Pour ce r, on a π2 r 4 > 16p2 et r 2 < 2p.
Par le théorème de Minkowski, 0 < x2 + y 2 + z 2 + t2 6 r 2 < 2p et
p|(x2 + y 2 + z 2 + t2 ) donc x2 + y 2 + z 2 + t2 = p
III.2
Infographie
En infographie, du moins en 3D, on a besoin de gérer les orientations des
objets ainsi que les angles des prises de vue. Nous allons ici comparer deux
méthodes principales :
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III. APPLICATIONS
1. Utiliser des matrices 3 × 3 orthogonales.
2. Utiliser les quaternions de norme 1
Proposition III.1 La rotation d’angle α par rapport à Vect{(ux , uy , uz )}
(avec u unitaire) est représentée par le quaternion :
cos
|
{z
u
}
α
α
+ sin
(ux i + uy j + uz k)
2
2
Ces représentations sont équivalentes et on peut passer de l’une à l’autre
via :
a2 + b2 − c2 − d2
2bc − 2ad
2ac + 2bd
2ad + 2bc
a2 − b2 + c2 − d2
2cd − 2ab
a + bi + cj + dk 7→
2
2
2
2
2bd − 2ac
2ab + 2cd
a −b −c +d
et
M 7→
avec r =
r
M1,2 + M2,1
M1,3 + M3,1
M3,2 − M2,3
+i +j
+k
2r
2
2
2
q
1 + M1,1 − M2,2 − M3,3 .
Occupation mémoire
Pour stocker un quaternion, on stocke 4 coefficients. Ils correspondent à
l’angle (composante réelle) et à un vecteur directeur de l’axe (composante
sur (i, j, k)).
Pour stocker une matrice, on stocke 9 coefficients.
Composition de rotations
Pour composer deux rotations, il suffit de multiplier les quaternions associés. On doit effectuer 16 multiplications et 12 additions soit un total de 28
opérations.
En revanche, avec la notation matricielle, on multiplie deux matrices 3×3,
on effectue donc 27 multiplications et 18 additions, soit 45 opérations.
Rotation d’un vecteur
Pour faire tourner un vecteur (ie appliquer la rotation à ce vecteur), la
représentation matricielle a ici un avantage.
En effet, dans ce cas, il suffit de multiplier la matrice par le vecteur
colonne. On arrive à un total de 15 opérations.
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III. APPLICATIONS
Dans le cas des quaternions, on utilise la fonction v 7→ zvz −1 pour obtenir
le nouveau vecteur, ce qui nous fait atteindre 39 opérations.
Un tableau récapitulatif :
Occupation mémoire
Composition
Rotation d’un vecteur
Quaternions
4
28
39
Matrices orthogonales
9
45
15
Stabilité numérique
La représentation utilisant les quaternions est plus stable numériquement.
En effet, si on perturbe les coordonnées d’un quaternion, le résultat reste un
quaternion.
En revanche, si on perturbe une matrice orthogonale, le résultat n’est
plus forcément orthogonal, et il est coûteux de récupérer l’orthogonalité.
Il est donc préférable d’utiliser les quaternions.
Interpolation
Les quaternions sont aussi utiles pour passer d’une orientation à une
autre (interpolation SLERP). En effet, l’effet obtenu en interpolant via cette
méthode est plus esthétique qu’en utilisant les matrices orthogonales.
Ceci s’explique par le chemin obtenu sur la sphère S3 :
1. Le chemin emprunté par l’interpolation via les quaternions est la géodésique entre les deux points de la sphère.
2. Le chemin emprunté par l’interpolation via les matrices orthogonales
est plus tortueux et donne une animation moins fluide.
Blocage de cardan
Les angles d’Euler sont une représentations de l’orientation des objets par
un triplet d’angles (α, β, γ) :
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III. APPLICATIONS
Z
Z′
Y ′′′
αβ γ
Y ′′
Y′
Y
X ′′
X
X′
Figure 2 – Angles d’Euler
On peut ainsi représenter une rotation de R3 par ces angles : toute rotation
peut s’écrire sous la forme
Rγ,Z Rβ,X Rα,Z
avec α, γ ∈] − π, π[ et β ∈ [0, π] et Rθ,A la matrice de rotation d’angle θ
autour de l’axe A.
(α, β, γ) sont alors les angles d’Euler liés à la rotation.
Un des plus grands avantages des quaternions est qu’ils ne subissent pas
le problème dit « du blocage de cardan ».
Ce problème réside dans la perte d’un degré de liberté quand deux des
axes autour desquels on peut effectuer des rotations se retrouvent confondus
après l’application d’une rotation. Ceci est gênant et peut créer des problèmes assez graves, dans le domaine de la robotique et de l’aéronautique.
En effet, quand ceci se produit dans une articulation d’un robot (ou d’un
moteur), le comportement du système devient très peu prévisible, ce qui a
des conséquences non négligeables sur l’objet en question. En aéronautique,
ce problème peut avoir des conséquences beaucoup plus graves puisqu’il intervient dans le système de navigation embarquée.
Explication schématique du phénomène
Prenons l’exemple d’un avion. Usuellement, les trois cardans sont définis
comme le montre la figure suivante :
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III. APPLICATIONS
Figure 3 – État normal des cardans
Si l’avion se retrouve à la verticale, on obtient la position suivante :
Figure 4 – Blocage des cardans
Et on constate que, à ce moment, on peut tourner autour de l’axe vertical,
de l’axe perpendiculaire à l’image, mais il n’est plus possible de tourner selon
le troisième axe.
Explication plus théorique
Ce problème survient quand on utilise les angles d’Euler. En effet, comme
on l’a vu ci-dessus, ceci revient à composer trois rotations à la suite : notons
(α, β, γ) les angles correspondant à la rotation R. Quand β = 0, la matrice
centrale est l’identité et on a :
R = Rγ,Z Rα,Z = Rα+γ,Z
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III. APPLICATIONS
On voit alors que même si on change α ou γ, l’orientation de la rotation
reste la même et on a alors perdu un degré de liberté.
En fait, pour certaines valeurs de (α, β, γ), l’application (α, β, γ) 7→ Rγ,Z Rβ,X Rγ,Z
est différentiable (sommes et produits de sin et cos) et de différentielle non
surjective, ce qui signifie qu’on ne peut pas atteindre toutes les positions.
Les quaternions ne sont pas concernés par ce problème. En effet, ici,
la différentielle de l’application qui à un quaternion associe la rotation est
surjective.
III.3
Fractales
Ensemble de Mandelbrot dans C
Définition III.3 On définit l’ensemble de Mandelbrot par :
M = {c ∈ C, lim |zn,c | =
6 +∞}
n→+∞
2
avec (zn,c )n la suite définie par z0,c = 0 et ∀n, zn+1,c = zn,c
+ c.
Le code C ci-joint permet de représenter cet ensemble.
Figure 5 – Ensemble de Mandelbrot
Proposition III.2 M est un connexe compact symétrique par rapport à
R.
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III. APPLICATIONS
Sa dimension de Hausdorff est 2.
Remarque III.1 En définissant une exponentiation dans R3 , on peut créer
une construction similaire baptisée Mandelbulb.
On considère la transformation en coordonnées sphériques :
r n cos(nθ) cos(nφ)
r cos(θ) cos(φ)
n
r sin(θ) cos(φ) 7→ r sin(nθ) cos(nφ)
r n sin(nφ)
r sin(φ)
Et on observe les domaines de convergence de (zn,c )n avec z0,c = 0 et
8
zn+1,c = zn,c
+ c.
On obtient alors la figure suivante :
Figure 6 – Mandelbulb
Extension aux quaternions
Comme on peut multiplier deux quaternions, on peut étendre la construction de M dans C à la création d’un ensemble M ′ dans H.
Le deuxième code C ci-joint permet de représenter une animation en deux
dimensions pour imaginer M ′ .
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III. APPLICATIONS
Il suffit d’appliquer une symétrie de révolution autour de l’axe horizontal
pour obtenir une structure en trois dimensions. La quatrième coordonnée est
fournie par la coordonnée temporelle. On peut aussi fixer la composante selon
k du quaternion pour obtenir un objet en trois dimensions et faire varier la
composante sur j pour en obtenir les sections planes.
III.4
Octonions et sédénions
Définitions et première propriétés
On a vu qu’il n’existait pas d’autre corps contenant R en son centre et
de dimension finie sur R que R, C et H à isomorphisme près.
Cependant, il existe une « algèbre » non associative de dimension 8 construite
à partir de H, appelée l’algèbre des octonions (ou octaves de Cayley), et notée
O.
Définition III.4 (Construction de Cayley) : On construit O à partir de
l’ensemble H × H muni de sa structure naturelle de R-espace vectoriel et on
définit la multiplication par :
(q1 , q2 )(q1′ , q2′ ) = (q1 q1′ − q2′ q2 , q2 q1′ + q2′ q1 )
Proposition III.3 Cette multiplication n’est ni commutative, ni même
associative, cependant elle vérifie une propriété plus faible, appelée alternativité, c’est-à-dire que toute sous-algèbre engendrée par deux éléments (a, b)
est associative, autrement dit :
a(bb) = (ab)b et (aa)b = a(ab)
Remarque III.2 Une telle sous-algèbre est alors d’après le théorème de Frobenius isomorphe à R, C ou H.
Définition III.5 On peut toujours définir le conjugué r d’un élément r =
(q1 , q2 ) de O, par r = (q1 , −q2 ), et la norme de r par N(r) = rr = rr =
N(q1 ) + N(q2 ) ∈ R+ .
Proposition III.4 La norme vérifie toujours la propriété de multiplicativité : N(q1 q2 ) = N(q1 )N(q2 ) ainsi que la propriété N(r) = 0 ⇔ r = 0. Ainsi
chaque octonion r non nul admet un inverse N1(r) r.
Unicité
Tout comme pour H on peut se poser la question de l’unicité de l’algèbre des octonions, en particulier en ce qui concerne la norme multiplicative, existe-t-il d’autres algèbres non associatives possédant toutefois cette
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III. APPLICATIONS
propriété ? Le théorème de Hurwitz nous apporte la réponse. Nous nous placerons dans un cadre plus général, celui des algèbres à division de composition.
Définition III.6 Une algèbre A unitaire (mais non nécessairement associative) est dite algèbre à division si pour tous a ∈ A et b ∈ A non nul il existe
un et un seul élément x ∈ A et un et un seul élément y ∈ A tels que a = bx
et a = yb.
Elle est dite algèbre de composition s’il existe une forme quadratique N
non dégénérée vérifiant N(xy) = N(x)N(y) pour tous (x, y).
Théorème III.3 Hurwitz Les seules algèbres à division de composition
sur le corps des réels sont à isomorphisme près R, C, H et O.
Démonstration. Soit A une telle algèbre, nous noterons N la forme quadratique multiplicative sur A et B la forme bilinéaire symétrique associée. Nous
allons commencer par énoncer quelques résultats intermédiaires qui découlent
de la multiplicativité de N :
1. ∀a, c, d ∈ A, B(ac, ad) = N(a)B(c, d) et B(ac, dc) = B(a, d)N(c) (en
développant N(a(c + d)) de 2 manières différentes et en utilisant la
multiplicativité de N).
2. ∀a, b, c, d ∈ A, B(ac, bd) = 2B(a, b)B(c, d) − B(ad, bc) (en développant
B((a + b)c, (a + b)d) de 2 manières différentes et en utilisant le point
précédant).
3. On définit le conjugué de c par c = 2B(c, 1) − c. Alors :
(a) ∀a, b, c ∈ A, B(ac, b) = B(a, bc) et B(ca, b) = B(a, cb) (faire d = 1
dans le point 2).
(b) ∀a, b ∈ A, a + b = a + b.
(c) ∀c ∈ A, c ∈ R ⇔ c = c.
(d) ∀a, b ∈ A, B(a, b) = B(a, b) (en utilisant le point (a)).
(e) ∀c ∈ A, c = c (en utilisant (a) et le fait que B est non dégénérée).
(f) ∀b, c ∈ A, bc = cb.
(g) ∀a, b, c ∈ A, b.(ac) = 2B(a, b)c − a(bc) (en utilisant les points 2 et
3(a)).
(h) ∀a, b ∈ A, a(ab) = (ba)a = N(a)b (utiliser le point précédant en
remplaçant b par a et c par b). En particulier, aa = aa = N(a).
Nous pouvons à présent démontrer un lemme :
Lemme III.3.1 A est une algèbre alternative
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III. APPLICATIONS
Démonstration. Soient a, b ∈ A. Alors : N(a) = aa = 2B(a, 1)a − a2 donc
a2 = 2B(a, 1)a − N(a). Maintenant, pour tout t ∈ A :
B(a(ab), t) = B(ab, ab)
= B(ab, (2B(a, 1) − a)t)
= 2B(a, 1)B(ab, t) − B(ab, at)
= 2B(a, 1)B(ab, t) − N(a))B(b, t)
= B([2B(a, 1)a − N(a)]b, t)(par bilinéarité de B)
= B(a2 b, t)
Comme N est non dégénérée, cela implique a(ab) = a2 b. De même (ba)a =
ba2 .
Prenons maintenant H une sous-algèbre de composition de A, c’est-à-dire
une sous-algèbre sur laquelle la forme quadratique N est régulière : N|H est
non dégénérée, ie H ∩ H ⊥ = {0}, et supposons H 6= A. On peut donc choisir
i ∈ H ⊥ avec N(i) = α 6= 0, et on peut supposer α = 1.
Lemme III.3.2 H et Hi sont orthogonaux, H ′ = H + Hi est un sousespace sur lequel N est régulière, et dim(H ′) = 2 dim(H). De plus, pour
a, b, c, d ∈ H :
(a + bi)(c + di) = (ac − db) + (da + bc)i
Par conséquent H ′ est une sous-algèbre de composition de A.
Cela impose de fortes restrictions sur la structure de l’algèbre A et de ses
sous-algèbres :
Lemme III.3.3 Si H est une sous-algèbre de composition de A, H 6= A et
H ′ construite comme précédemment, alors :
1. H est associative
2. H ′ est associative ⇔ H est commutative et associative
3. H ′ est commutative et associative ⇔ H = R.
Démonstration.
1. On sait que H ′ = H ⊕ Hi est une sous-algèbre de composition.
Alors N((a + bi)(c + di)) = N(a + bi)N(c + di).
Or le premier membre vaut :
N((ac − db) + (da + bc)i) = N(ac − db) + N(da + bc)
= N(ac) + N(db) − 2B(ac, db)
+ N(da) + N(bc) + 2B(da, bc)
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Et le deuxième :
(N(a) + N(b))(N(c) + N(d)) = N(ac) + N(ad) + N(bc) + N(bd)
D’où :
B(da, bc) = B(ac, db)
donc B(da · c, b) = B(d · ac, b) pour tout a, b, c, d.
Donc H est associative.
2. Si H ′ est associative,
bc · i = bi · c = b · ic = b · ci = cb · i
Donc cb = bc pour tout b, c ∈ H donc H est commutative.
Réciproquement, si H est commutative, on a :
((a + bi)(c + di))(e + f i) = ((ac − db) + (da + bc)i)(e + f i)
= (ac − db)e − f(da + bc) + (f (ac − db) + (da + bc)e)i
= ace − dbe − f da − f bc + (f ac − f db + dae + bc · e)i
et :
(a + bi)((c + di)(e + f i)) = (a + bi)(ce − fd + (f c + de)i)
= a(ce − f d) − (cf + ed)b + ((f c + de)a + b(ec − df ))i
= ace − af d − cf b − edb + (f ca + dea + bec − bdf )i
D’où le résultat.
3. Si H ′ est commutative, ai = ia = ai donc a = a et a ∈ R. Donc H = R.
Réciproquement, si H = R, on a :
(a + bi)(c + di) = ac − db + (da + bc)i = ac − db + (da + bc)i
(c + di)(a + bi) = ca − bd + (bc + da)i = ca − bd + (bc + da)i
Donc H ′ est commutative.
Nous pouvons à présent démontrer le théorème : si A 6= R, nous pouvons
trouver i ∈ R⊥ et construire A1 = R + Ri, alors A1 est associative et commutative, de dimension 2 sur R donc isomorphe à C (on peut l’identifier à
C).
Si A 6= C on réitère le procédé (notons que N est régulière sur C par le
lemme III.3.2 donc C∩C⊥ = {0}) : on trouve j ∈ C⊥ , et on pose A2 = C+Cj.
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Alors A2 est associative mais pas commutative, de dimension 4, donc A2 est
isomorphe à H.
Si A2 6= A, on prend l ∈ H⊥ et on construit A3 = H + Hl, qui est une
sous-algèbre de composition ni associative, ni commutative, de dimension 8,
donc isomorphe à O.
Enfin, on ne peut avoir A3 6= A car sinon A3 serait associative ce qui n’est
pas le cas, et ceci achève la preuve.
Extension
On peut de même construire une algèbre de dimension 2n , pour tout
n ∈ N en suivant la construction de Cayley.
En particulier, celle de dimension 16, dite des sédénions, notée S, est
construite à partir de l’espace vectoriel O × O.
On perd cette fois la propriété d’alternativité, et même si les sédénions
non nuls sont inversibles (puisque la norme reste définie) certains sont des
diviseurs de zéro (cela vient de la perte de l’associativité et de l’alternativité).
On perd ainsi également la propriété importante de multiplicativité de la
norme (ce qui est une conséquence du théorème de Hurwitz).
Toutefois, les octonions et sédénions trouvent des applications en physique et en informatique. Les octonions notamment sont utilisés en mécanique
quantique, et induisent une structure sur la sphère S7 via les octonions de
norme 1 (tout comme les complexes et les quaternions induisaient des structures de groupe multiplicatif sur le cercle S1 et la sphère S3 ). Cependant cette
structure est plus faible puisqu’on perd l’associativité.
Webographie
–
–
–
–
http://www.wikipedia.fr
http://www.ibiblio.org/e-notes/MSet/Quater.htm
http://www.syti.net/MandelBulb.html
http://eurserveur.insa-lyon.fr/approphys/9Math&Phys/quaternions/
Approphys3/applications.html
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