Richiami di teoria della sicurezza strutturale

LEZIONE N° 14
ELEMENTI STRUTTURALI COMPRESSI
Gli elementi strutturali compressi sono presenti in numerosi componenti strutturali, quali le
colonne degli edifici, le travi reticolari, le strutture di controvento, ecc …
Nelle travi reticolari i puntoni sono di regola costituiti da due
profilati paralleli (aste composte), fra i quali vengono interposte
piastre di imbottitura, unite ai profilati mediante bulloni e
saldature a cordone d’angolo.
Le colonne degli edifici per abitazione sono di solito costituite da un unico profilato HE.
Nel caso in cui sia necessario trasmettere carichi assiali rilevanti, le colonne possono anche
essere composte, con elementi di collegamento a calastrello oppure a traliccio.
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Nel caso degli elementi strutturali compressi è essenziale valutare la qualità dell’equilibrio.
Come è noto dai Corsi precedenti l’equilibrio elastico può essere stabile, instabile,
indifferente. Naturalmente l’equilibrio elastico delle strutture deve essere stabile.
Per la valutazione della stabilità dell’equilibrio delle aste semplici sono disponibili due
modelli di calcolo:
1) Il primo (Asta di Eulero) prevede le seguenti ipotesi:
a) l’asta è perfettamente rettilinea;
b) la sezione trasversale è costante;
c) il carico è centrato (M = 0);
d) il materiale è perfettamente ed indefinitamente
elastico.
2) Il secondo modello prevede la presenza di un carico
eccentrico invece di quello centrato. Le altre ipotesi
di base sono le stesse.
Anche se il modello di calcolo della struttura fornisce per l’asta compressa solo la forza
normale, considerando nullo il momento flettente, occorre tener presente che nelle aste reali
(aste industriali) esistono sempre delle imperfezioni, per cui il primo modello di fatto non è
praticamente mai realizzato, mentre il secondo risulta più realistico, anche se non si conosce
esattamente il valore dell’eccentricità e.
Imperfezioni delle aste industriali:
a)
Imperfezioni geometriche: linea d’asse curva;
b) Imperfezioni strutturali:
b1) auto tensioni dovute al raffreddamento non uniforme dopo la laminazione a caldo;
b2) dispersione dei valori della tensione di snervamento fy lungo la sezione trasversale
dell’asta.
Se le imperfezioni geometriche relative alla non rettilineità dell’asse non superano il valore di
1/1000 della luce libera di inflessione e se le imperfezioni strutturali sono quelle derivanti dai
normali processi industriali a produzione controllata, si adotta comunque come modello di
calcolo dell’asta industriale, imperfetta, il modello dell’asta di Eulero (primo modello) e si
tiene conto delle imperfezioni adottando le curve d’instabilità indicate dalle Norme Tecniche.
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L’ASTA DI EULERO
Determiniamo il valore del carico critico N cr che separa la configurazione rettilinea stabile
dalla configurazione rettilinea instabile (carico di biforcazione).
Prendiamo in esame un’asta di lunghezza  0 ,
vincolata come in figura.
Consideriamo, oltre alla configurazione originaria
rettilinea, una configurazione perturbata curvilinea
che si trovi nella condizione di equilibrio indifferente.
Scriviamo la condizione di equilibrio, valida per ogni sezione trasversale dell’asta:
M int = M est
in cui
EJ
d2y
M int =
−
 − EJ 2
r
dx
(considerando l’espressione linearizzata della curvatura)
M est= N ⋅ y
Si ha allora:
− EJ
d2y
=
N⋅y
dx 2
d2y N
+
⋅y=
0
dx 2 EJ
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E’ questa un’equazione differenziale omogenea del 2° ordine, lineare e a coefficienti costanti,,
che richiede, per la sua soluzione, la imposizione di due condizioni al contorno.
Posto, per comodità:
α2 =
N
EJ
Si ottiene:
d2y
+α 2 y =
0
dx 2
Il suo integrale generale è:
=
y C1 sin α x + C2 cos α x
Le condizioni al contorno corrispondono all’annullamento degli spostamenti orizzontali in
corrispondenza dei vincoli e sono:
0=
;y
0
y
=
x 0=
x l0
=
Imponendo la prima condizione si ottiene:
C1 sin α 0 + C2 cos α 0 = 0 → C2 = 0
Tenendo conto del risultato precedente, dalla seconda condizione si ha:
C1 sin α l0 = 0
Affinché non si ottenga una soluzione banale occorre che sia:
sin α l0 = 0 → α l0 = kπ → α =
kπ
l0
Sostituendo il valore di α nella α 2 =
N
, si ha:
EJ
2
 kπ 
N cr
k 2π 2 EJ
N
=
→
=


cr
EJ
l02
 l0 
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che rappresenta una famiglia di carichi critici, crescenti con k.
Il primo carico critico, che si ha per k=1, è il carico critico di Eulero:
N cr =
π 2 EJ
l02
Dividiamo ora l’equazione precedente, membro a membro, per l’area della colonna, A:
N cr π 2 E J
= 2
A
l0 A
Il primo membro rappresenta la tensione critica: σ cr =
N cr
.
A
Ricordiamo poi che il rapporto tra il momento d’inerzia e l’area di una sezione corrisponde al
quadrato del raggio d’inerzia i: i 2 =
J
.
A
Si ottiene quindi:
σ cr =
π 2E
l02
i2
Definiamo ora la snellezza λ come:
l=
l0
i
e si ha:
π 2E
σ cr = 2
λ
che è l’equazione dell’iperbole di Eulero, che lega snellezza e tensione critica.
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Sul piano σ cr -λ la funzione σ cr (λ) è rappresentata dall’iperbole cubica s cr ⋅ λ 2 = π 2 E = cos t ,
anche nota come “iperbole di Eulero”.
Al diminuire di λ aumenta il valore di σ cr , finché viene raggiunto il valore della tensione di
snervamento f y per =
λ λ=
π
y
E
. Tale valore non può, evidentemente, essere superato.
fy
Peraltro l’iperbole di Eulero deve essere raccordata con la linea orizzontale σ cr = f y .
Gli studi su questa parte del diagramma σ cr -λ sono stati numerosi e tra essi si ricordano quelli
dovuti a Tetmajer, Shanley, Von Karman, Engesser, ecc.. , che hanno proposto appropriate
curve di raccordo.
In particolare Tetmajer ha individuato come punto terminale della validità della iperbole di
Eulero il limite di proporzionalità, termine del tratto elastico lineare del legame costitutivo
dell’acciaio. Si ricorda, a questo proposito, che la tensione al limite di proporzionalità σ p è
inferiore alla tensione di snervamento e quindi che la snellezza al limite di proporzionalità
λ p è un poco maggiore di quella alla tensione di snervamento.
D’altra parte è evidente che l’espressione della tensione critica dedotta mediante il modello
dell’asta di Eulero è valida solo in ambito elastico lineare, in quanto la corrispondente teoria è
basata sull’ipotesi che il legame costitutivo sia elastico-lineare.
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