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Il teorema di Eulero sui punti notevoli di un triangolo.
Di questo teorema il sottoscritto per la prima volta ha avuto notizia in un eserciziario del testo "G.
Castelnuovo: Geometria analitica e proiettiva; Casa Editrice Dante Alighieri". Tale testo era fra i
consigliati dal nostro professore di geometria all'università. In esso il Castelnuovo non da una
dimostrazione, ma la lascia al lettore come esercizio dando qualche suggerimento sul come
procedere. Molto onestamente e tranquillamente ammetto di non aver mai tentato la dimostrazione,
forse anche perché intuivo la non semplicità della medesima. Peraltro a livello didattico mi ha
sempre affascinato la verifica del risultato, enormemente più semplice, e in diversi anni scolastici e
in diverse scuole più volte l'ho proposta ai miei alunni; in alcune occasioni i risultati sono stati
positivi, e questo è proprio uno di quelli.
Con enorme piacere propongo questo semplice lavoro svolto in orario curricolare dagli alunni
della IV B linguistico; in particolare il lavoro che pubblichiamo è dovuto a G. R. Cariello, A. S.
Mascia, A. Pinna e S. Piras, ai quali va un mio particolare ringraziamento.
Ma diamo la parola ai nostri alunni:
Teorema: “in ogni triangolo ortocentro, baricentro e circocentro sono allineati, appartengono alla
stessa retta chiamata, appunto, retta di Eulero. La distanza fra ortocentro e baricentro è doppia
rispetto alla distanza fra baricentro e circocentro.” (L. Eulero).
Per la dimostrazione si rimanda a testi opportuni, sottolineando che essa non è presente neppure nel
Castelnuovo di geometria analitica. Noi abbiamo eseguito una verifica di tale teorema.
Per cominciare si danno tre punti nel piano cartesiano:
Vı (0; -6),
V2 (4; 4),
V3 (-6; 0),
si calcolano le equazioni delle rette contenenti i lati del triangolo:
rı) (x -4) / (-6 -4) = (y -4) / (-4),
-2 (x -4) = -5 (y -4),
2 x -5y + 12 = 0,
rı) 2 x -5y + 12 = 0;
r2) x/-6 = (y +6) / (6),
r3) x/4 = (y+6) / (4 +6),
x + y + 6 = 0,
5x -2y -12 = 0,
r2) x + y + 6 = 0;
r3) 5x -2y -12 = 0.
Si determinano le coordinate dei punti medi dei lati:
M1 (-1; 2),
M2 (-3; -3),
M3 (2; -1).
Utilizzando le coordinate dei vertici e le coordinate dei punti medi determiniamo le equazioni delle
rette contenenti le mediane del triangolo:
Vı (0; -6),
V2 (4; 4),
V3 (-6; 0)
M1 (-1; 2),
M2 (-3; -3),
M3 (2; -1);
m1) x/-1 = (y+6) / (2+6),
8x= -y -6,
8x +y +6=0,
m2) (x-4) / (-3 -4) = (y-4) / (-3 -4),
x-y = 0 ,
m3) (x+6) / (8)= y/-1,
x+8y+6 = 0,
Dunque le equazioni cercate sono:
m1) 8x +y +6=0;
m2) x-y = 0;
m3) x+8y+6 = 0.
Calcolando l'annullarsi del determinante del 3° ordine dei coefficienti verifichiamo che le tre rette
passano per uno stesso punto:
8 1 6
1 -1 0
1 8 6
8 1 6 8 1
= 1 -1 0 1 -1 = -48 +48 +6 -6 = 0
1 8 6 1 8
Tale punto è il baricentro del triangolo; determiniamone le coordinate:
8x+y= -6
8
1
∆=
B
x–y = 0
1
-1
-6
1
∆x=
0
-1
8
-6
∆y=
1
x= - 6/9 ;
x= -2/3;
;
∆ = -9
;
∆x = 6
;
∆y = 6
0
y= - 6/9 ; y= -2/3
B( -2/3 ; -2/3)
Verifichiamo che tale punto appartiene anche alla terza retta:
(-2/3) +8(-2/3) +6 = 0,
moltiplicando tutto per 3:
- 2 - 16 +18 = 0
dunque facilmente
0=0
e la verifica è completata!
Determiniamo le equazioni delle rette contenenti le altezze del triangolo:
rı) 2 x -5y+12 = 0,
r2) x+y+6 = 0,
r3) 5x -2y -12 = 0,
V2 (4; 4),
V3 (-6; 0),
Vı (0; -6),
procedendo con i calcoli otteniamo:
h1) -5x (x-0) -2 (y+6) = 0,
h2) (x- 4) – (y – 4) = 0,
-5x +2y +12 = 0,
5x +2y +12 = 0,
h3) -2 (x+6) -5y = 0,
x –y = 0,
2x +5y +12 = 0,
Dunque le equazioni cercate sono:
h1) 5x +2y +12 = 0,
h2) x –y = 0,
h3) 2x +5y +12 = 0
Calcolando l'annullarsi del determinante del 3° ordine dei coefficienti verifichiamo che le tre rette
passano per uno stesso punto:
5 2 12
1 -1 0
2 5 12
5 2 12 5 2
= 1 -1 0 1 -1 = -60 +60 +24 -24 = 0
2 5 12 2 5
Tale punto è l'ortocentro del triangolo; determiniamone le coordinate:
5x +2y = -12
5
2
∆=
O
x –y = 0
∆ = -7
;
1
-1
-12
2
∆x =
0
5
x= -12/7,
∆x = 12
;
∆y = 12
-1
-12
∆y =
1
;
0
y= -12/7;
O ( -12/7 ; -12/7).
Verifichiamo che tale punto appartiene anche alla terza retta:
2(-12/7) + 5(-12/7) + 12 = 0
moltiplicando tutto per 7:
-24 - 60 + 84 = 0
dunque facilmente
0=0
e la verifica è completata!
Determiniamo le equazioni delle rette contenenti gli assi dei lati del triangolo:
rı) 2 x -5y+12 = 0
r2) x+y+6 = 0
M1) (-1; 2)
r3) 5x -2y -12 = 0
M2) (-3; -3)
M3) (2; -1)
procedendo con i calcoli otteniamo:
ɑ1) -5 (x+1) -2 (y-2) = 0,
ɑ2) (x+3) – (y+3) = 0,
-5x -5 -2y +4 = 0,
5x +2y +1 = 0,
ɑ3) -2 (x-2) -5 (y+1) = 0,
x –y = 0,
2x +5y +1 = 0,
dunque le equazioni cercate sono:
ɑ1) 5x +2y +1 = 0,
ɑ2) x –y = 0,
ɑ3) 2x +5y +1 = 0
Calcolando l'annullarsi del determinante del 3° ordine dei coefficienti verifichiamo che le tre rette
passano per uno stesso punto:
5 2 1
1 -1 0
2 5 1
5 2 1 5 2
= 1 -1 0 1 -1 = -5 +5 +2 -2 = 0
2 5 1 2 5
Tale punto è il circocentro del triangolo; determiniamone le coordinate:
5x +2y = -1
5
2
∆=
C
2x +5y = -1
2
5
-1
2
∆x =
-1
5
5
-1
∆y =
2
-1
;
∆ = 21
;
∆x = -3
;
∆y = -3
x= -3/21,
x= -1/7;
y= -3/21, y= -1/7
C ( -1/7 ; -1/7).
Verifichiamo che tale punto appartiene anche alla terza retta:
2(-1/7) + 5(-1/7) + 1 = 0
moltiplicando tutto per 7:
-2 - 5 + 7 = 0
dunque facilmente
0=0
e la verifica è completata!
Baricentro, ortocentro e circocentro hanno le seguenti coordinate:
B (-2/3 ; -2/3),
O (-12/7 ; -12/7),
C (-1/7 ; -1/7).
Al solito sviluppando un determinante del terzo ordine opportuno verifichiamo che baricentro,
ortocentro e circoncentro sono allineati:
-2/3 -2/3 1
-2/3 -2/3 1 -2/3 -2/3
-12/7 -12/7 1 = -12/7 -12/7 1 -12/7 -12/7 =
-1/7 -1/7 1
-1/7 -1/7 1 -1/7 -1/7
= 8/7 +2/21 +12/49 -12/49 -2/21 -8/7 = 0.
Abbiamo verificato l'esistenza della retta di Eulero; determiniamocene l'equazione:
rε)
(x + 12/7) / (-1/7 + 12/7) = (y + 12/7) / (-1/7 +12/7),
x +12/7 = y +12/7,
x –y = 0,
rε) x –y = 0.
Banalmente anche il baricentro appartiene alla retta di Eulero!
Utilizzando i quadrati delle distanze invece che le distanze verifichiamo anche la parte finale del
Teorema di Eulero:
d2(OB) = 4d2(BC).
d2(OB) =
=
=
d (BC) =
2
(-2/3 +12/7)2 + (-2/3 +12/7)2 =
(22/21)2 + (22/21)2 =
968/441
(-1/7 +2/3)2 + (-1/7 +2/3)2
=
242/441
968/441 = 4 (242/441)
968/441 =
968/441
Con ciò il teorema di Eulero è verificato!
La costruzione grafica, assieme ai calcoli svolti manualmente e scannerizzati, a una dimostrazione
del teorema di Eulero e ad un articolo molto interessante in proposito, sono allegati e si possono
vedere cliccando il seguente link:

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