Exercices 1 Entiers, rationnels et réels

Exercices 1
Entiers, rationnels et réels
Rappels algébriques sur les nombres et initiation à l’Arithmétique des
entiers.
1
Entiers, rationnels et réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Arithmétique des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Plus grand diviseur commun et plus petit commun multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6
Décomposition en produit de facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Sujets de réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Arithmétique des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune, ♪, ♪♪, ♪♪♪et ♪♪♪♪. Certains énoncés
sont tirés des annales des concours (oral et écrit), leur provenance est le plus souvent précisée. Les exercices notés ♪♪♪ et ♪♪♪♪ sont particulièrement délicats.
1. Arithmétique des entiers
1.1. Division euclidienne
1 . [ Une division qui tombe juste ] ( ind )
Montrer que pour tout n ∈ N, n 2 divise (n + 1)n − 1.
2 . [ Calcul d’un reste et d’un quotient ♪ ] ( ind )
Soient a, b deux entiers avec a Ê 3 et b Ê 2. On note q et r le quotient et le reste dans la division euclidienne de a − 1 par b. Pour tout n ∈ N∗ , déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne
de ab n − 1 par b n+1 .
3 . [ Combinaisons linéaires ♪♪ ] ( ind )
Soient x 1 , x 2 , . . . , x 10 dix nombres entiers. Démontrer qu’il existe une combinaison
a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a 10 x 10
avec les a i ∈ {−1, 0, 1} non tous nuls, qui est divisible par 1001.
1.2. Congruences
4 . [ Somme de deux carrés modulo 7 ♪ ] ( ind )
Soient x et y deux entiers. Montrer que x 2 + y 2 est divisible par 7 si et seulement si x et y le sont.
5 . [ Divisibilité par 7 d’une somme de trois cubes ♪ ] ( ind )
Soient des entiers naturels a, b et c. Établir que si 7 divise a 3 + b 3 + c 3 alors 7 divise abc.
6 . [ Chiffre des unités, un grand classique ♪♪ ] ( ind )
7
Déterminer le chiffre des unités de 77 .
7 . [ MP-Mines-Ponts 2010 ♪♪ ] ( ind )
Donner le reste dans la division euclidienne de 20102010 par 13.
8 . [ Congruences remarquables ♪♪ ] ( ind )
a) Montrer que pour tout n ∈ N, 5 divise 23n+5 + 3n+1 .
b) Montrer que, pour tout entier n ∈ N, 30 divise n 5 − n.
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9 . [ Calcul d’une valuation dyadique ♪♪ ] ( ind )
n
Montrer que la plus grande puissance de 2 divisant 52 − 1 est 2n+2 .
1.3. Plus grand diviseur commun et plus petit commun multiple
10 . [ Un vieil exercice de concours, MP-Centrale-1974 ♪ ] ( ind )
On pose u n = 5n + 6n pour tout n ∈ N. Calculer u n+1 ∧ u n .
11 . [ Nombres de Fermat, posé aux Mines en MP ♪♪ ] ( ind )
n
Soit n ∈ N, on pose f (n) = 22 + 1.
a) Trouver une relation entre f (n + 1) et
n
Y
f (k).
k=0
b) Etablir que, pour tous entiers n et m, m 6= n ⇒ f (n) ∧ f (m) = 1.
12 . [ Arithmétique des polynômes ♪♪ ] ( ind )
Soient a, m, n des entiers naturels non nuls avec a Ê 2. On pose d = (a n − 1) ∧ (a m − 1).
a) Soit (q, r ) le couple (quotient,reste) dans la division euclidienne de n par m. Démontrer que l’on a
a n = a r [a m − 1].
b) En déduire que d = (a r − 1) ∧ (a m − 1), puis d = a n ∧ m − 1.
c) À quelle condition a m − 1 divise-t-il a n − 1 ?
13 . [ Nombres de Fibonacci ♪♪ ] ( ind )
On considère la suite (Fn ) définie par ses premiers termes F0 = 0 et F1 = 1 et par la relation de récurrence
Fn+2 = Fn + Fn+1 pour n ∈ N.
a) Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ , Fn−1 Fn+1 − F2n = (−1)n . Déduisez-en que Fn et Fn+1 sont
premiers entre eux.
b) Montrer que pour tout couple (n, p) ∈ N × N∗ , Fn+p = Fp Fn+1 + Fp−1 Fn .
c) En déduire que Fn ∧ Fp = Fn+p ∧ Fp .
d) Démontrer que pour tout (m, n) ∈ N2 , Fm ∧ Fn = Fm ∧ n .
1.4. Équations
14 . [ Une équation ] ( ind )
Résoudre dans (N∗ )3 l’équation
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1 1 1
+ + = 1.
x y z
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15 . [ Deux systèmes d’équations ♪ ] ( ind )
Résoudre les systèmes
(
a)
x∧y =3
x ∨ y = 135
(
;
b)
x + y = 100
x ∧ y = 10
.
16 . [ Quelques équations en vrac ♪♪ ] ( ind )
Résoudre les équations suivantes :
½
a) 3x + 2y = 5 ;
d)
b) 7x − 11y = 6 ;
x = 2 [3]
;
x = 3 [5]
e) 11(x ∧ y) + (x ∨ y) = 203.
c) 2x + 3y + 5z = 1 ;
17 . [ Un classique de l’oral de l’X en MP ♪♪♪ ] ( ind )
Déterminer les couples d’entiers (a, b) ∈ (N∗ )2 tels que a b = b a .
1.5. Nombres premiers
18 . [ Une propriété des nombres premiers ] ( ind )
a) Soit n un entier impair. Montrer que n 2 = 1 [8].
b) Soit p > 3 un nombre premier. Montrer que p 2 − 1 est multiple de 24.
19 . [ Un intervalle sans nombre premier ] ( ind )
Montrer que l’intervalle n! + 2, n! + n, avec n Ê 2, ne contient aucun nombre premier.
20 . [ Mersenne numbers ♪♪ ] ( ind )
Denote by Mn = 2n − 1 the n-th Mersenne number.
a) Prove that if Mn is a prime number then n is prime too.
b) Show that M11 is not prime.
21 . [ Primalité de a n + 1 ♪♪ ] ( ind )
Soient a > 1 et n > 0 deux entiers naturels. Montrer que a n + 1 est premier ⇒ ∃m ∈ N, n = 2m .
22 . [ X-PC 2010 ♪♪ ] ( ind )
Soient (a, b) ∈ (N∗ )2 et n ∈ N \ {0, 1} tels que a n + b n soit un nombre premier. Montrer que n est une
puissance de 2.
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1.6. Décomposition en produit de facteurs premiers
23 . [ X-PC 2011 ♪♪ ] ( ind )
a) Soit p ∈ N∗ . Déterminer le nombre de diviseurs de 2p .
b) Soit n ∈ N∗ . Déterminer le nombre de diviseurs de n.
c) Déterminer les n ∈ N∗ ayant un nombre impair de diviseurs.
d) Trouver le plus petit entier naturel possédant 15 diviseurs dans N∗ .
24 . [ Valuation p-adique ♪♪♪ ] ( ind )
Soit p un entier premier. Pour tout x ∈ Z, on note νp (x) l’exposant de p dans la décomposition de x en
produit de facteurs premiers. On considère n ∈ N∗ . Attention, cette exercice nécessite la connaissance
de la partie entière bxc d’un réel x.
a) Soit m ∈ N∗ . Déterminer le nombre de multiples de m appartenant à 1, n. On utilisera la partie
entière.
¹ º
X n
.
b) En déduire que νp (n!) =
k
kÊ1 p
c) Application 1 : montrer que l’écriture décimale de 1000! se termine par 249 zéros.
d) Application 2 : soient n et m dans N ; montrer que
(2n)!(2m)!
∈ N.
n!m!(n + m)!
2. Rationnels et irrationnels
25 . [ Cubique ♪ ] ( ind )
p
On rappelle que, pour tout réel x, la racine cubique de x (notée 3 x) est l’unique réel dont le cube vaut
x, c’es-à-dire l’unique solution y de l’équation y 3 = x. On pose a = α + β où
α=
q
3
p
20 + 14 2, β =
q
3
p
20 − 14 2
a) Prouver que a 3 − 6a − 40 = 0.
b) En déduire que a = 4.
c) Simplifier de même b =
p
p
p
p
3
3
5 2 + 7 − 5 2 − 7.
26 . [ Simplification d’une somme de radicaux ♪ ] ( ind )
p
p
p
p
p
p
Simplifier l’expression suivante a + 2 a − b b + a − 2 a − b b où (a, b) ∈ R2+ et b É a.
27 . [ Sommes de racines ♪ ] ( ind )
p
p p
p
p
p
Montrer que les nombres 6, 2 + 3 et 2 + 3 + 6 sont irrationnels.
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28 . [ Irrationnalité de e ♪♪ ] ( ind )
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On définit les fonctions g n et h sur [0, 1] par
g (x) = e −x
n xk
X
xn
et h(x) = g (x) + e −x
n!
k=0 k!
a) Montrer que g est strictement décroissante sur [0, 1].
b) En déduire que
n 1
X
< e.
k=0 k!
c) Montrer que h est strictement croissante sur [0, 1].
!
Ã
n 1
X
1
+ .
d) En déduire que e <
k!
n!
k=0
e) Prouver par l’absurde que e est irrationnel.
3. Sujets de réflexion
Les difficultés ne sont plus indiquées et il faut affronter le sujet sans indication.
3.1. Arithmétique des entiers
29 . [ Mines-Ponts-MP 1998 ] ( ind )
Montrer que, pour tout entier n Ê 2 et tout entier a impair, a 2
n−1
£ ¤
= 1 2n .
30 . [ Mines-MP 2012 ] ( ind )
Pour n Ê 1, soit p n le n-ième nombre premier. Montrer que p n + p n+1 n’est pas le produit de deux
nombres premiers.
31 . [ Mines-MP 2007 ] ( ind )
Parmi les nombres qui s’écrivent en base 10 sous la forme (aabb)10 , déterminer les carrés parfaits, ie les
carrés d’entiers.
32 . [ Centrale MP 2012 ] ( ind )
Résoudre dans N2 l’équation n(n + 1)(n + 2) = m 2 .
3.2. Rationnels et irrationnels
33 . [ Puissance rationnelle d’irrationnels ] ( ind )
Existe-t-il a et b irrationnels tels que a b soit rationnel ?
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34 . [ Un irrationnel ] ( ind )
1
Soient n ∈ N impair tel que n Ê 3 et ∈ R tel que cos() = p . On va établir que θ := est irrationnel.
π
n
p k
a) Pour k ∈ N, on pose Ak := n cos(k).
i) Déterminer une relation de récurrence liant Ak+1 , Ak et Ak−1 pour k ∈ N∗ . On pourra partir de
la formule cos((k − 1)) + cos((k + 1)) = 2 cos() cos(k).
ii) En déduire que les Ak sont des entiers.
b) Montrer qu’aucun des Ak n’est divisible par n.
p m
c) Soit m ∈ N. Montrer que si n est rationnel, alors il est entier.
d) Conclure.
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4. Indications
1 . [ Une division qui tombe juste ]
Appliquer la formule du binôme.
2 . [ Calcul d’un reste et d’un quotient ♪ ]
Écrire la division euclidienne de a − 1 par b : a − 1 = bq + r avec 0 É r É b − 1. Pour n ∈ N, on a donc
ab n −b n = b n+1 q +r b n . Par conséquent, ab n −1 = b n+1 q +(r +1)b n −1. En déduire après un encadrement
que q et (r + 1)b n − 1 sont respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de ab n − 1
par b n+1 .
3 . [ Combinaisons linéaires ♪♪ ]
Considérer les combinaisons de la forme b 1 x 1 + · · · + b 10 x 10 avec les b i dans {0, 1}. Remarquer qu’il y a
210 = 1024 choix possibles de (b 1 , . . . , b n ) mais qu’il n’y a que 1001 restes modulo 1001.
4 . [ Somme de deux carrés modulo 7 ♪ ]
Le reste du carré d’un entier modulo 7 ne peut valoir que 0, 1, 2 ou 4. En effet :
. Si x = 0 [7] alors x 2 = 0 [7] ;
. Si x = ±2 [7] alors x 2 = 4 [7] ;
. Si x = ±1 [7] alors x 2 = 1 [7] ;
. Si x = ±3 [7] alors x 2 = 9 = 2 [7].
En déduire que x 2 + y 2 = 0 [7] si et seulement si x = y = 0 [7].
5 . [ Divisibilité par 7 d’une somme de trois cubes ♪ ]
Vérifier que pour tout x ∈ Z, x 3 = 0, −1 ou 1 modulo 7. En déduire que 7 divise a 3 +b 3 +c 3 si et seulement
si a = 0 [7] ou b = 0 [7] ou c = 0 [7].
6 . [ Chiffre des unités, un grand classique ♪♪ ]
Travaillez modulo 10, remarquer que 74 = 1 [10]. On aura donc tout intérêt à poser la division euclidienne
7
de 77 par 4 : 77 = 4q + r avec 0 É r < 4. En effet, 77 ≡ 74q+r ≡ (74 )q 7r ≡ 7r [10] car (74 )q ≡ 1q ≡ 1 [10].
En fait, seule la valeur de r importe. Pour calculer r , calculer les puissances de 7 modulo 4 : 72 ≡ 1 [4] et
7
donc 76 = (72 )3 ≡ 13 ≡ 1 [4], etc. On trouve que le chiffre des unités de 77 est 3.
7 . [ MP-Mines-Ponts 2010 ♪♪ ]
Reprendre la technique mise en œuvre à l’exercice précédent : trouver r ∈ N∗ tel que 2010r = 1 [13]. On
trouve que le reste dans la division euclidienne de 20102010 par 13 est égal à 12.
8 . [ Congruences remarquables ♪♪ ]
a) Calculer modulo 5. On pourra commencer par vérifier que 23n = 3n [5].
b) On a 30 = 2×3×5 et 2, 3 et 5 sont deux à deux premiers entre eux, il est donc équivalent de montrer
que n 5 −n est divisible par 2, 3 et 5. On effectuera des calculs modulaires (modulo 2, 3 puis 5) et on
exploitera l’égalité n 5 − n = n(n − 1)(n + 1)(n 2 + 1.
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9 . [ Calcul d’une valuation dyadique ♪♪ ]
Raisonner par récurrence. Pour l’hérédité, remarquer que
52
n+1
´³ n
´
³ n
³ n ´2
− 1 = 52 − 1 52 + 1
− 1 = 52
n
puis que 52 + 1 = 2 [4].
10 . [ Un vieil exercice de concours, MP-Centrale-1974 ♪ ]
L’examen des premiers termes laisse penser que u n+1 ∧ u n = 1. On peut par exemple s’inspirer de l’algorithme d’Euclide : u n+1 = 6u n − 5n+1 , d’où u n+1 ∧ u n = u n ∧ 5n+1 . On conclut alors facilement.
11 . [ Nombres de Fermat, posé aux Mines en MP ♪♪ ]
L’étude des premiers termes laisse penser que
n
Y
f (k) = 22
n+1
− 1. Prouver la relation par récurrence sur
k=0
n ∈ N. Au (b), quitte à permuter n et m, on peut supposer que m < n. D’après le (a), on a
f (n) =
n−1
Y
f (k) + 2 = 2 [ f (m)]
k=0
En déduire que f (n) ∧ f (m) = 1.
12 . [ Arithmétique des polynômes ♪♪ ]
a) Remarquer b k − 1 est divisible par b − 1 pour tout b ∈ N.
b) Remarquer que
a n − 1 ≡ a r − 1[a m − 1] et 0 É a r − 1 < a m − 1
car r < q et a > 1. Ainsi a r − 1 est le reste de la division euclidienne de a n − 1 par a m − 1. Par
conséquent,
d = (a n − 1) ∧(a m − 1) = (a m − 1) ∧(a r − 1)
Penser alors à l’algorithme d’Euclide.
c) Remarquer que a divise b si et seulement si a ∧ b = a.
13 . [ Nombres de Fibonacci ♪♪ ]
a) Récurrence.
b) Récurrence sur n.
c) Considérer un diviseur d commun à m et n.
d) On effectue la division euclidienne de m par n : m = nq + r . En itérant le résultat de la question
précédente, on a
Fn ∧ Fr = Fn ∧ Fr +n = Fn ∧ Fr +2n = · · · = Fn ∧ Fr +nq = Fn ∧ Fm
On conclut grâce à l’algorithme d’Euclide.
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14 . [ Une équation ]
On rappelle que (N∗ )3 désigne l’ensemble des triplets (x, y, z) tels que x, y et z appartiennent à N∗ .
Posez-vous la question suivante : existe-t-il une solution telle que x > 3, y > 3 et z > 3 ? Les solutions
sont les triplets (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3) et toutes les permutations de ceux-ci.
15 . [ Deux systèmes d’équations ♪ ]
Au (a), poser d = x ∧ y, x = d x 0 , y = d y 0 . En déduire un système équivalent : x = 3x 0 , y = 3y 0 , x 0 ∧ y 0 = 1 et
x 0 y 0 = 45. Les solutions du (a) sont (3, 135), (15, 27), (27, 15) et (135, 3).
Même méthode au (b) : les solutions sont (10, 90), (30, 70), (70, 30) et (90, 10).
16 . [ Quelques équations en vrac ♪♪ ]
Appliquer la méthode classique aux (a) et (b). Résoudre 2x + 5z = 1 − 3y à z fixé au (c) (par exemple, on
peut en fait fixer n’importe quelle inconnue). Se ramener à des équations de la forme ax + b y = c au (d).
Poser d = x ∧ y, x = d x 0 , y = d y 0 au (e). En déduire une équation en (x 0 , y 0 ) équivalente à celle de départ.
On trouve les solutions suivantes :
a) { (1 + 2k, 1 − 3k) ; k ∈ Z } ;
d) { 8 + 15k ; k ∈ Z } ;
b) { (4 + 11k, 2 + 7k) ; k ∈ Z } ;
©
c) (−2 − 4k − 5`, k, 1 + k + 2`) ; (k, `) ∈ Z2 } ;
e) (±1, ±192), (±3, ±64), (±1, ±18), (±2, ±9) et
permutations.
17 . [ Un classique de l’oral de l’X en MP ♪♪♪ ]
En dehors des solutions triviales (a, b) = (n, n) avec n ∈ N∗ , on ne trouve que les solutions (2, 4) et (4, 2).
On peut envisager deux solutions d’esprit radicalement différentes, une preuve purement arithmétique
et une autre analytique.
a) Preuve arithmétique : rechercher les solutions (a, b) avec b > a. Pour une telle solution, montrer
que aνp (b) = bνp (a) pour tout p premier en en déduire que a | b. En notant b = d a, prouver que
a d = d a puis que a d −1 = d . En déduire que (a, d ) = (2, 2) (remarquez que a Ê 2).
b) Preuve analytique :
Utiliser la fonction
f : x > 0 7→
ln(x)
x
e ' 2, 71
a b = b a équivaut à f (a) = f (b).
Méditer la figure ci-contre,
courbe et quadrillage.
18 . [ Une propriété des nombres premiers ]
Au (a), écrire n = 2k + 1 avec k ∈ Z. Au (b), il suffit d’établir que 3 et 8 divisent p 2 − 1.
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19 . [ Un intervalle sans nombre premier ]
Pour k ∈ 2, n, n! + k admet un diviseur strict plutôt évident.
20 . [ Mersenne numbers ♪♪ ]
Prove the contraposition : let n = km be a natural number which is not prime, 1 < k < n. Mark that
³ ´2
³ ´m−1 2km − 1
1 + 2k + 2k + · · · + 2k
= k
2 −1
and than conclude. M11 = 2047 = 23 × 89.
21 . [ Primalité de a n + 1 ♪♪ ]
Raisonner par contraposition : si n n’est pas une puissance de deux, il existe des entiers α Ê 1 et β Ê 3
impair tel que n = αβ. Procéder comme à l’exercice précédent : factoriser a n + 1 = 1 − (−a α )β par la
formule u n − v n = (u − v) × · · · .
22 . [ X-PC 2010 ♪♪ ]
Adapter les deux exercices précédents : raisonner par contraposition ; se ramener à une expression du
type Ak + Bk avec k impair et factoriser ce nombre.
23 . [ X-PC 2011 ♪♪ ]
Décomposer n en produit de facteurs premiers au (b) : le nombre de diviseurs dans N de n est égal au
produit des 1 + νp (n) pour p premier. Ce nombre est impair si et seulement si n est un carré. En déduire
que la réponse au (d) est à rechercher parmi les nombres 22 34 , 24 32 et 214 .
24 . [ Valuation p-adique ♪♪♪ ]
On rappelle que la partie entière d’un réel x, notée bxc, est le plus grand des entiers inférieurs ou égaux
à x. Autrement dit, pour k ∈ Z, bxc = k si et seulement si k É x < k + 1. On trouve bn/mc au 1).
25 . [ Cubique ♪ ]
a) Élever a au cube : a 3 = 40 + 3(α2 β + αβ2 ) = 40 + 3αβa. Remarquer que αβ =
p
3
202 − 2 × 142 = 2.
b) Montrer que l’équation x 3 − 6x − 40 = 0 admet une seule solution évidente 4. Prouver que c’est sa
seule solution réelle en étudiant les variations de x 7→ x 3 −6x −40 ou en factorisant x 3 −6x −40 par
x − 4.
c) Procéder comme aux (a) et (b) : b 3 = 14 − 3b et en déduire que b = 2.
26 . [ Simplification d’une somme de radicaux ♪ ]
En notant α l’expression, prouver que l’on a α2 = 2a + 2|a − 2b|. Discuter ensuite sur a et b.
27 . [ Sommes de racines ♪ ]
p
p
. Procéder comme pour 2 (cf. le cours) pour 6.
p
p
p
p
. Raisonner par l’absurde : si r = 2 + 3 était un rationnel, on aurait 5 + 2 6 = r 2 et donc 6 serait
rationnel, ce qui n’est absurde.
p p p
p p
p
. Par l’absurde : poser s = 2 + 3 + 6, élerver au carré dans l’égalité 2 + 3 = s − 6 pour conclure.
LLG \ PCSI2
Exercices 1 \ 11
PCSI2 \ 2014-2015
Laurent Kaczmarek
28 . [ Irrationnalité de e ♪♪ ]
a) Étudier classiquement les variations de g . Pour tout x ∈ [0, 1],
g 0 (x) = −e −x
xn
n!
b) Que valent g (0) et g (1) ?.
c) Étudier classiquement les variations de h. Pour tout x ∈ ]0, 1],
h 0 (x) = e −x
x n−1
(n − 2x)
n!
d) Que valent h(0) et h(1) ?.
e) Écrire e = p/q avec (p, q) ∈ N2 . Pour tout n Ê 2, on a a n < n!e < a n + 1 avec
an =
n n!
X
k=0 k!
et a n est un entier puisque k! divise n! pour tout k ∈ 0, n. Choisir alors n tel que q É n pour
conclure à une absurdité.
LLG \ PCSI2
Exercices 1 \ 12

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