Libero tra i pali

Tutoraggio Ingegneria Biomedica
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Francesco Cannas Aghedu
11 Dicembre 2014
Francesco Cannas Aghedu
Tutoraggio Ingegneria Biomedica
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Applicazione Teorema Di Rolle
Applicazione Teorema Di Lagrange
Applicazione Sviluppi di McLaurin
Esercizio 1
Date le seguenti funzioni, verificare se nell’intervallo indicato a
fianco valgono le ipotesi del Teorema di Rolle e in caso
affermativo trovare il punto (o i punti) la cui esistenza è
assicurata dal teorema:
1
2
3
4
5
f (x) = x 4 − 1,
x ∈ [−1; 1];
f (x) =
−x 4
+
f (x) =
4x 2
− 2x,
f (x) =
1
log x ,
f (x) =
√
3
2x 2
+ 3,
x ∈ [−3; 3];
x ∈ [−1; 3];
x ∈ [1/2; 3];
x + 1,
x ∈ [−1; 1].
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Applicazione Teorema Di Rolle
Applicazione Teorema Di Lagrange
Applicazione Sviluppi di McLaurin
Teorema di Rolle
Teorema (Rolle)
Sia f : [a; b] → R una funzione continua in [a; b] e derivabile in
(a; b). Se
f (a) = f (b)
allora esiste almeno un punto x0 ∈ (a; b) tale che
f 0 (x0 ) = 0.
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Applicazione Teorema Di Rolle
Applicazione Teorema Di Lagrange
Applicazione Sviluppi di McLaurin
Esercizio 2
q
Data la funzione f (x) = x 2 − 1 stabilire se è possibile
applicare il Teorema di Rolle nell’intervallo [−2; 2]. In caso
negativo determinare una restrizione di tale intervallo nella
quale è applicabile il teorema.
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Applicazione Teorema Di Lagrange
Applicazione Sviluppi di McLaurin
Esercizio 3
Date le seguenti funzioni, stabilire se nell’intervallo indicato a
fianco valgono le ipotesi del Teorema di Lagrange e in caso
affermativo trovare il punto (o i punti) la cui esistenza è
assicurata dal teorema:
1
2
3
f (x) = |x| − x 2 + 1,
x ∈ [1; 2];
f (x) = |sin x| , x ∈ [−π; π];
2
x − 4x + 5 per x ≤ 2
f (x) =
,
x
per x > 2
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x ∈ [0, 3].
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Applicazione Teorema Di Lagrange
Applicazione Sviluppi di McLaurin
Teorema di Lagrange
Teorema (Lagrange)
Sia f : [a; b] → R una funzione continua in [a; b] e derivabile in
(a; b). Allora esiste almeno un punto x0 ∈ (a; b) tale che
f 0 (x0 ) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Equivalentemente
(b − a)f 0 (x0 ) = f (b) − f (a).
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Applicazione Teorema Di Lagrange
Applicazione Sviluppi di McLaurin
Esercizio 4
Calcolare gli sviluppi di McLaurin, con resto di Peano, delle
seguenti funzioni fino all’ordine n indicato a fianco:
1
f (x) = log(1 + 3x),
cos(x 2 ),
2
f (x) =
3
f (x) = log(1 + sin x),
4
5
f (x) =
ex
f (x) =
esin x ,
sin x,
n = 3;
n = 10;
n = 3;
n = 4;
n = 3.
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Applicazione Sviluppi di McLaurin
Sviluppi notevoli (McLaurin)
xn
n
n! + o(x ), per x → 0
3
5
x 2n+1
x − x3! + x5! +· · ·+(−1)n (2n+1)!
+o(x 2n+2 ), per
ex = 1 + x +
sin x =
x2
2!
2
+
x3
3!
+ ··· +
4
x →0
2n
x
cos x = 1 − x2! + x4! + · · · + (−1)n (2n)!
+ o(x 2n+1 ), per x → 0
2
3
n
log(1+x) = x − x2 + x3 +· · ·+(−1)n+1 xn +o(x n ), per x → 0
2 5
17 7
62
tan x = x + 31 x 3 + 15
x + 315
x + 2835
x 9 + o(x 9 ), per x → 0
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Applicazione Sviluppi di McLaurin
Esercizio 5
Utilizzando gli sviluppi di Taylor, calcolare i seguenti limiti:
1
limx→0
2
limx→0
ex −1+log(1−x)
;
tan x−x
2
3
ex −cos x− 23 x 2
;
x4
3
limx→0+ x sinx 2x−tan x .
e −1
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