La congettura di Hodge: i pezzi del puzzle.
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show a math dossier on Hodge conjecture as
Millennium‘s Problem.
Riassunto
In questo lavoro essenzialmente divulgativo raccogliamo, come
in un dossier dedicato, equazioni , brani e nostre eventuali
osservazioni concernenti la congettura di Hodge come uno dei
più difficili “Problemi del Millennio”, e che potrebbero essere
utili ad una loro possibile futura soluzione, anche grazie al
possibile “filo rosso” iperdimensionale identificato in tutti e tre
i problemi “fisici” del millennio, e anche nella ex congettura di
Poincarè, come accennato nella premessa.
1
Premessa 1
Sul Web troviamo qualche voce critica (dice che è falsa per
ragioni “triviali”) ma non crediamo a queste voci essendo
convinti che la congettura è vera dal punto di vista topologico,
per via delle sue connessioni con gli infiniti Triangoli (Tk) da
noi ottenuti con l’estensione di quello noto, T1, Rif. 5. Ora
occorrerebbe trovare una connessione tra algebra e topologia
(topologia algebrica) e tra l’algebra e il calcolo combinatorio,
(alla base di T1, con si suoi coefficienti binomiali) e il cerchio
così finalmente si chiuderebbe attorno alla congettura, per
una eventuale soluzione positiva.
Riportiamo comunque il link con questa voce critica, per chi
volesse approfondirla:
]
hodge's general conjecture is false for trivial reasons sul sito
www.math.jussieu.fr/~leila/.../HodgeConj.pdf
di A Grothendieck -
Premessa 2
2
(comune a tutti i sei problemi del millennio)
Premettiamo che tre dei problemi del millennio ( Ipotesi di Riemann,
P = NP limitatamente al problema della fattorizzazione connessa alla
crittografia RSA , e Congettura di Birch e Swinnerton – Dyer
connessa alla crittografia ECC sulle curve ellittiche) hanno in comune
i numeri primi e loro problemi ; mentre gli altri tre (congettura di
Hodge, Teoria di Yang – Mills con il gap di massa e le Equazioni di
Navier - Stokes ) hanno in comune il difficile passaggio matematico ,
nelle rispettive equazioni, a dimensioni superiori, rispettivamente ad
infinite dimensioni, a quattro e a tre, per poterle risolvere. Ne
parleremo più in dettaglio nei rispettivi lavori in programma per il
prossimo anno: “I pezzi del puzzle – Le equazioni di Navier Stokes” e
titoli simili per gli altri due problemi. Non conterranno la soluzione
definitiva, ma soltanto un dossier di formule e argomenti matematici
utili a chi, bravo dilettante o professionista matematico che sia,
italiano o straniero, voglia cimentarsi nell’impresa di dimostrarne
qualcuno, possibilmente e sperabilmente, utilizzando il relativo dossier
tra quelli che prepareremo su ognuno dei problemi, mettendo al loro
3
posto i pezzi del puzzle proposti per risolverli .
Intanto vediamo le possibili connessioni tra di loro:
Connessioni tra tutti e sei i problemi del millennio e le teorie di stringa
Tre di essi sono basati sui numeri primi, gli altre tre su problemi
matematici n - dimensionali, e tutti connessi anche con le stringhe, la
cui matematica è quella più adatta a trattare dimensioni spaziali
superiori alle tre che conosciamo (la dimensione temporale non
sembra infatti coinvolta nei problemi del millennio).
Tre di essi sono basati sui numeri primi, gli altre tre su problemi
matematici n- dimensionali, e tutti connessi anche con le stringhe
Ipotesi di Riemann Ipotesi di Birch e
Problema P = NP
Funzione zeta e
Swinnerton – Dyer
(sottoproblema: fattorizzazione)
Crittografia RSA
↓
Numeri congruenti e
Crittografia ECC
↓
Ipotesi percentuale
e teorema fondamentale
della fattorizzazione veloce
↓
Numeri primi
↓
Equazione della geometria proiettiva e numeri di Lie
Gruppi di Lie e simmetrie in teoria di stringa
Numeri di Fibonacci e teorie di stringa
Infiniti triangoli di Tartaglia e infiniti ipercubi n-dimensionali
Equazioni di Navier - Stokes e 3° dimensione
↓
4
↑
(4° dimensione)
Teorie di stringa
↑
(infinite dimensioni)
(3° dimensione)
Teoria di Yang – Mills Congettura di Hodge Equazioni di Navier -Stokes
Per la congettura di Poincarè, ormai risolta dal matematico russo
Grigory Perelmann, ma che com’è noto ha rifiutato il milione di
dollari in palio, osserviamo brevemente che si trattava anche qui di un
problema n – dimensionale, con passaggio matematico dalla terza alla
quarta, cosa richiesta anche dalla congettura di Yang –Mills per
spiegare matematicamente perché, per esempio, gli elettroni hanno
una massa, mentre l’attuale matematica “tridimensionale” delle
particelle prevede una massa nulla, contrariamente alle osservazioni
sperimentali (elettroni con massa 1836 volte minore di quella del
protone). Da qui il noto problema fisico del “gap di massa”
Da Keith Devlin “I problemi del millennio, Longanesi & C. Editore,
pag. 19:
“ …D’altra parte, se immaginate che lo stesso elastico sia stato teso in modo
appropriato intorno ad una ciambella, allora non c’è modo di ridurlo a un punto
senza rompere l’elastico o la ciambella. Sorprendentemente, nessuno è stato in
grado di rispondere a chi si chiede se la stessa idea dell’elastico che si contrae
5
possa servire a distinguere gli analoghi quadridimensionali di mele e ciambelle –
ed era proprio questo che interessava a Poincarè. La sua congettura afferma
che l’idea dell’elastico effettivamente identifica mele quadridimensionali…”
L’evidenza in rosso è nostra, per sottolineare il filo rosso
iperdimensionale anche in questo ormai ex-problema del
millennio, ma comune anche agli altri tre problemi di tipo
fisico ancora irrisolti. Tenendo in dovuta e competente
considerazione tale filo rosso da noi individuato, si potrebbe
avere qualche lume in una possibile futura dimostrazione di
almeno uno di essi, o di tutti e tre nel migliore dei casi.
Nei vari dossier i riferimenti ai nostri piccoli contributi a ciascuno dei
sei problemi.
Per quanto riguarda la congettura di Hodge, essa ha due
aspetti: uno algebrico – geometrico, sinterizzato nelle pagine
seguenti da Keith Devlin nel suo libro “I Problemi del
Millennio “, Longanesi & C. :
6
7
8
Aspetto sul quale però non abbiamo ancora una sufficiente
preparazione matematica per affrontarlo abbastanza bene;
E un aspetto soltanto geometrico, sebbene n – dimensionale,
ma qui avremmo qualcosa di eventualmente utile da dire,
tramite la nostra estensione del Triangolo di Tartaglia, ad
infiniti triangoli successivi Tk, con k numero naturale da 1 a
infinito. Ma, definito T1 il primo e già ben noto Triangolo,
basta soltanto T2 per conoscere gli infiniti ipercubi ndimensionali e le loro componenti dimensionali fino ad n
(vertici, spigoli, cubi normali, ecc. la cui somma finale è 3^n),
oggetti astratti che, potendo essere costruiti con oggetti più
semplici (per esempio un ipercubo può essere costruito con
quadrati normali, e cubi normali, rispettivamente con lati o
spigoli ecc. tutti perpendicolari tra di loro ) potrebbero avere
benissimo qualche connessione interessante (come esempio,
ecc.) con la congettura di Hodge. Per i particolari vedi
9
Rif. 3 e 4. Ma prima riportiamo un brano da Rif. 1
“Struttura di Hodge dell'ipersuperficie cubica di P5(Federica
Galluzzi)
La generica ipersuperficie cubica di P5 è unirazionale e verifica la Congettura di
Hodge. È stato dimostrato inoltre che per queste ipersuperficie vale il Teorema
di Torelli. Si congettura anche che la generica non sia razionale, ma non ci sono
risultati significativi in questo senso. Gli studi svolti e ancora in corso cercano di
utilizzare la struttura di Hodge di queste varietà per trovare componenti
razionali nello spazio dei moduli. In particolare, alle ipersuperfici che
contengono un piano si possono associare un fibrato in quadriche e una
superficie K3 la cui struttura di Hodge è strettamente legata a quella della
ipersuperficie. Attraverso lo studio delle curve su questa superficie K3 si può
risalire a classi di Hodge sulla cubica le cui proprietà di intersezione permettano
di dimostrarne la razionalità.”
Dove si parla espressamente di ipersuperfice cubica, e tale
argomento potrebbe nascondere qualche utile relazione tra
tale ipersuperficie cubica e i cubi iperdimensionali (ipercubi)
di cui al Rif. 4, dal quale riportiamo il seguente brano:
“…Nella voce “I Problemi del millennio”, la congettura viene sintetizzata
così:
…
La congettura di Hodge, problema topologico, in parole semplici: come costruire oggetti
matematici complessi a partire da oggetti più semplici.
Tale descrizione si adatta bene al nostro lavoro, basato sulla descrizione di
ipercubi ad n dimensioni partendo dal cubo normale, ma anche da un
semplice quadrato. Il tutto servendoci solo di T2, il Triangolo di Tartaglia
successivo a T1 (il solo Triangolo finora noto), e che già prevede cubi ad n
dimensioni, con n gli infiniti numeri naturali. Gli ipercubi sono oggetti
10
matematici complessi, costruibili da oggetti molto più semplici, come un
quadrato o un cubo a noi familiari nelle tre dimensioni spaziali del nostro
mondo fisico. Quindi, una prima semplice correlazione tra oggetti
geometrici semplici e oggetti geometrici via via più complessi sembra
poterci essere, sebbene considerando ipotetici ed astratti spazi euclidei ad
n dimensioni. Se anche gli ipercubi n-dimensionali del nostro Triangolo di
Tartaglia T2 rientrassero in qualche modo,diretto o indiretto, tra gli oggetti
matematici complessi contemplati dalla congettura di Hodge, allora una
connessione tra i due argomenti ci potrebbe essere e quindi i triangoli
numerici T2 , facilmente costruibili con semplici regole matematiche come
pure tutti gli altri triangoli Tk, potrebbero essere d’aiuto nella possibile
futura dimostrazione della congettura di Hodge.
(Per esempio, nel noto Triangolo di Tartaglia, T1, per ottenere il termine
sottostante a due termini della riga superiore, basta sommare questi ultimi;
in tutti gli altri T2, bisogna invece moltiplicare per 2 il termine a sinistra e
sommarlo a quello di destra, per ottenere il termine sotto i due termini
nella riga successiva; o viceversa poiché ora i due triangoli sono
asimmetrici ma equivalenti, a differenza di T1, simmetrico rispetto all’asse
centrale). E così pure, per i successivi, triangoli Tk, bisogna moltiplicare
tutti i termini per k.
Ma l’idea potrebbe essere valida anche per le sfere n-dimensionali, solo
che queste hanno infinite componenti, essendo considerato il cerchio
(punto di partenza) un poligono con infiniti lati.
Infine, ci potrebbero essere moltissime conseguenze geometriche del
genere negli infiniti Tk triangoli di Tartaglia successivi a T2, e che
potrebbero benissimo avere a che fare con le varietà algebriche coinvolte
in qualche modo con la congettura di Hodge. Qui abbiamo considerato
solo T2, connesso ai cubi n-dimensionali (Rif.1).
Vediamo ora cosa dice Keith Devlin (vedi anche Rif.2) sulla
congettura di Hodge (dal sito:
www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/DEVLIN_problemi.htm 13k):
“ 7) La congettura di Hodge ("Di tutti i problemi del Millennio, per un profano questo è forse il più
difficile da comprendere. Il cammino intellettuale che portò alla congettura di Hodge iniziò nella
prima metà del ventesimo secolo, quando i matematici scoprirono metodi potenti che consentivano
di indagare la forma di oggetti complicati. L’idea fondamentale consisteva nel chiedersi in quale
misura fosse possibile approssimare la forma d’un dato oggetto servendosi di unità
geometriche semplici di dimensioni crescenti. Questa tecnica si rivelò così utile che venne
generalizzata in molti modi diversi, portando infine allo sviluppo di strumenti potenti che permisero
11
ai matematici di catalogare parecchi tipi di oggetti. Purtroppo, tale generalizzazione mascherò le
origini geometriche della procedura, e i matematici dovettero aggiungere unità che non avevano
alcuna interpretazione geometrica. La congettura di Hodge asserisce che, nel caso di
un’importante classe di oggetti (denominati «varietà algebriche proiettive»), le unità
denominate «cicli di Hodge» sono, ciò nondimeno, combinazioni di unità geometriche
(denominate «cicli algebrici»"
In neretto i brani interessanti per la nostra idea.
La prima cosa che i matematici eventualmente interessati
dovrebbero dimostrare è quindi l’eventuale appartenenza
degli ipercubi agli oggetti geometrici n - dimensionali previsti
dalla congettura di Hodge, e solo allora connettere meglio le
due cose ai fini di una successiva dimostrazione della
medesima, sfruttando la facilità di comprensione geometrica
degli ipercubi, emersa dal nostro lavoro (Rif.1), soprattutto
per quanto riguarda il numero delle loro componenti con
dimensioni minori (<n) e la loro somma finale (3^n).
Dalla voce di Wikipedia “Topologia algebrica” rimandiamo
poi alla voce “Topologia in dimensione bassa”, qui riportata
perchè interessante per la congettura di Hodge:
12
Topologia algebrica
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
La topologia algebrica è una branca della matematica che applica gli strumenti dell 'algebra
astratta per studiare gli spazi topologici.
Indice
Il metodo degli invarianti algebrici
L'intento è prendere degli spazi topologici e categorizzarli o classificarli ulteriormente. Un vecchio
nome per questo campo era topologia combinatoria, che comportava un'enfasi su come uno spazio
X era costruito da spazi più semplici. Il metodo fondamentale ora applicato nella topologia algebrica
è l'indagine degli spazi mediante gli invarianti algebrici, mappati ad esempio su gruppi, dotati di
una struttura molto maneggevole ma che rispetta la relazione di omeomorfismo fra spazi.
Le due strade principali che si possono seguire sono l'uso dei gruppi fondamentali, o più in generale
della teoria delle omotopie, oppure l'uso dei gruppi di omologia e coomologia. I gruppi
fondamentali forniscono informazioni essenziali sulla struttura di uno spazio topologico, ma sono
spesso non abeliani e può essere difficile lavorare con essi. Il gruppo fondamentale di un complesso
simpliciale (finito) ha una presentazione finita.
I gruppi di omologia e coomologia, d'altra parte , sono abeliani e in molti casi importanti
finitamente generati. I gruppi abeliani finitamente generati sono completamente classificati e
particolarmente semplici da usare.
Voci correlate
•
•
•
Topologia differenziale
Topologia della dimensione bassa
Geometria algebrica
Vediamo ora la:
Topologia in dimensione bassa
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
La topologia in dimensione bassa è una branca della topologia (e quindi della geometria) che
studia gli "spazi di dimensione 1, 2, 3 e 4".
La topologia in dimensione bassa studia soprattutto le varietà, da molteplici punti di vista. A
partire dagli anni sessanta, è emersa sempre più la peculiarità di queste dimensioni, il cui studio
13
necessita di strumenti ad hoc, più specifici delle tecniche generali fornite dalla topologia
algebrica e della topologia differenziale. Da cui la nascita negli anni 60/70 di un settore apposito,
che studiasse tecniche adeguate, soprattutto alle dimensioni 3 e 4.
Un esempio lampante di questo fenomeno è la dimostrazione di Stephen Smale della Congettura di
Poincaré: gli argomenti usati dal matematico statunitense funzionano per tutte le dimensioni
superiori a 4, ma non per le altre. La stessa congettura è stata successivamente dimostrata con
tecniche complesse e molto specifiche in dimensione 4 da Michael Freedman nel 1982 e in
dimensione 3 da Grigori Perelman nel 2003 (i casi 1 e 2 sono molto facili, come notò Henri
Poincaré già alla fine del XIX secolo).
I risultati sorprendenti ottenuti da William Thurston, Simon Donaldson, Michael Freedman,
Vaughan Jones e Edward Witten nell'ambito delle varietà di dimensione 3 e 4, ottenuti tra la fine
degli anni settanta, e tutti gli anni ottanta, hanno valso a tutti questi una medaglia Fields, e hanno
portato il settore alla ribalta della geometria e di tutta la matematica. Grigori Perelman, anch'egli
vincitore di una medaglia Fields, chiude infine nel 2003 la congettura di Poincaré, insoluta per più
di un secolo.
Indice
Dimensione uno
Un nodo è un sottoinsieme dello spazio omeomorfo alla circonferenza.
Esistono solo due varietà di dimensione 1 a meno di omeomorfismo: la retta e la circonferenza. Una
circonferenza dentro lo spazio tridimensionale può però essere annodata, ed è possibile dare un
significato matematico ben preciso a questo concetto: la branca della topologia che si occupa di
questo è la teoria dei nodi.
14
Il toro è una superficie.
Dimensione due
Una varietà di dimensione 2 è una superficie. Le superfici compatte e orientabili sono classificate
dal loro genere, intuitivamente pari al "numeri di buchi". Più in generale, esiste una classificazione
delle superfici per ogni superficie di tipo finito. Dal punto di vista topologico tali superfici sono
quindi completamente classificate. Queste diventano però un importante oggetto di studio se
arricchite di un'ulteriore struttura.
Le superfici di Riemann sono superfici dotate di una struttura di varietà complessa di dimensione
uno: questi oggetti sono stati già abbondantemente studiati nel XIX secolo, ben prima della
definizione di spazio topologico, in quanto luogo di zeri di funzioni polinomiali a coefficienti
complessi. Avendo dimensione complessa 1, questi oggetti sono esempi di curve algebriche. Il loro
studio usa le tecniche dell'analisi complessa e della geometria algebrica.
Per il teorema di uniformizzazione di Riemann, una superficie può anche essere dotata di una
metrica con curvatura gaussiana costante: tale curvatura è necessariamente positiva sulla sfera, nulla
sul toro e negativa per tutte le superfici di genere maggiore. Grazie alla metrica, sono quindi
definite geodetiche, distanza fra punti, angoli, aree. La geometria della superficie è quindi ellittica
sulla sfera, piatta (cioè simile a quella euclidea) sul toro, iperbolica in tutti gli altri casi. Come in
altri contesti, la geometria iperbolica è più ricca e quindi oggetto di uno studio più approfondito.
Dimensione tre
Uno spazio tridimensionale con geometria iperbolica visto dall'interno.
15
Una 3-varietà è intuitivamente un "universo possibile". A differenza di quanto avviene nelle
dimensioni 1 e 2, non esiste ancora nessuna classificazione soddisfacente delle varietà di
dimensione 3. Le varietà tridimensionali vengono costruite con varie tecniche, ad esempio tramite
triangolazioni.
Il quadro generale è fornito dalla congettura di geometrizzazione, enunciata da William Thurston
alla fine degli anni settanta, e dimostrata da Grigori Perelman nel 2003. Questa congettura contiene
la congettura di Poincaré come caso particolare. Secondo questa congettura, ogni 3-varietà si
decompone in "pezzi geometrici", separati da alcune "pareti": ciascuna parete è una sfera o un toro
(entrambi oggetti bidimensionali). Ciascuno di questi "pezzi geometrici" ha una metrica, che non è
a curvatura costante ma quasi: è una delle 8 possibili metriche derivate da spazi omogenei
tridimensionali. Come per le superfici, la metrica più interessante, che è di gran lunga quella
maggiormente oggetto di studio, è quella iperbolica.
Dimensione quattro
Una varietà di dimensione 4 è un oggetto difficile da visualizzare. Esistono moltissime varietà di
dimensione 4: ad esempio, tali varietà possono avere come gruppo fondamentale qualsiasi gruppo.
Per questo motivo, una classificazione completa di tali varietà è impossibile.
La dimensione 4 presenta una quantità straordinaria di fatti peculiari, che la rendono oggetto di
tanto interesse nella comunità dei matematici. Innanzitutto, è la prima dimensione in cui le nozioni
di omeomorfismo e diffeomorfismo divergono radicalmente: esistono 4-varietà omeomorfe ma non
diffeomorfe, e 4-varietà topologiche che non hanno nessuna struttura di varietà differenziabile.
Persino la più semplice delle 4-varietà, lo spazio euclideo
, ammette un'infinità non numerabile
di strutture differenziali differenti (fatto che non si presenta in nessun'altra dimensione).
Lo studio delle 4-varietà topologiche è quindi molto diverso da quello delle 4-varietà differenziabili.
Ad esempio, le varietà compatte e semplicemente connesse topologiche sono classificate grazie ai
lavori di Michael Freedman, mentre le differenziabili formano un insieme molto più ricco, il cui
studio è estremamente difficile e ancora incompleto, richiedente l'uso di strumenti potenti, quali gli
invarianti di Seiberg-Witten.
Poiché questa voce accenna alla teoria dei nodi, connessa alla
teoria delle stringhe, pensiamo che anche questa possa avere a
che fare anche lontanamente,ma non si sa mai, con la
congettura di Hodge, e ricordiamo un nostro lavoro sul modo
in cui crescono i nodi al crescere degli incroci (Rif. 5).
Proseguiamo con la topologia combinatoria, a nostro parere
16
coinvolta nella possibile soluzione del problema:
Dal link:
• topologìa - Sapere.it
www.sapere.it › ... › Geografia › Generale › Terminologia
Topologia combinatoria è il ramo della topologia tradizionalmente dedicato allo studio delle
configurazioni geometriche mediante elementi suscettibili di essere ... :“
“Topologia combinatoria
Per studiare i problemi topologici, è stata efficacemente usata la triangolazione (per le superfici),
che può essere estesa nel metodo della divisione in tetraedri per i solidi, della suddivisione in
simplessi n-dimensionali per le varietà di dimensione n. Questo metodo è il fondamento della
cosiddetta topologia combinatoria. Lo illustreremo nel caso delle superfici, partendo dal classico
teorema di Eulero sulla triangolazione della sfera. Eulero osservò che, comunque si suddivida la
superficie sferica in triangoli (o anche in poligoni), si ha sempre: v-s+f=2, dove v, s, f indicano
rispettivamente il numero dei vertici, spigoli, delle facce dei triangoli (o poligoni) che ricoprono la
sfera. Questa formula vale quindi per i poliedri iscritti in una sfera . Per il tetraedro v=4, s=6, f=4;
per l'esaedro o cubo v=8, s=12, f=6, ecc. Il teorema di Eulero, che può essere opportunamente
esteso alle altre superfici chiuse (teorema di Eulero-Poincaré), fa vedere come taluni invarianti
(numeri fissi), relativi alla superficie in quanto tale, possono essere calcolati facendo ricorso a
triangolazioni comunque scelte. Con questo metodo, si perviene, per esempio, a una completa
classificazione topologica delle superfici chiuse orientabili. Esse sono: la sfera; la sfera con 1
manico (che è poi, dal punto di vista della topologia, il toro); la sfera con p manici . Grande
importanza ha lo studio dei cicli (circuiti chiusi) tracciabili su di una superficie S. Un ciclo C su S
potrà essere il contorno di una regione di S (tale è ogni ciclo su di una sfera), oppure no (sul toro,
sia un parallelo, sia un meridiano sono cicli non contornanti). Si chiamano omologhi due cicli la cui
differenza è un ciclo contornante (sottrarre vuol dire cambiare il verso di percorrenza; sommare,
percorrere successivamente due cicli; moltiplicare per n, intero, percorrere n volte lo stesso ciclo).
Più cicli si dicono indipendenti se nessuno di essi è combinazione lineare (somma con opportuni
coefficienti interi) dei rimanenti. Può darsi che un ciclo non sia contornante (cioè omologo al ciclo
nullo, allo zero) e che tuttavia un suo multiplo lo sia; è questo il caso della retta proiettiva nel piano
proiettivo, il doppio della quale è contornante. Si dice in questo caso che c'è torsione. Lo studio del
gruppo di omologie di S, cioè delle classi di cicli omologhi rispetto all'addizione, consente di
determinare caratteri topologici essenziali, che sono il numero dei cicli indipendenti in totale,
decomposti nei due numeri che danno rispettivamente quelli con torsione e quelli senza torsione
(numero di Betti). Altro gruppo importante è quello di omotopia (di Poincaré); due cicli si dicono
omotopi se possono essere trasformati topologicamente l'uno nell'altro restando sulla superficie, e in
particolare omotopi a zero (nulli) se possono essere contratti in un punto. Sulla sfera ogni ciclo è
omotopo a zero: non così nel toro, dove un parallelo e un meridiano non sono né omotopi a zero, né
omotopi tra di loro. Per l'uso di gruppi e di altri strumenti algebrici, la topologia combinatoria si
chiama anche topologia algebrica che ha conosciuto grandiosi sviluppi.
Proseguiamo con l’algebra combinatoria, anche questa,
insieme al noto calcolo combinatorio, coinvolta nella possibile
17
soluzione:
Algebra del calcolo combinatorio - Dipartimento di Matematica
www.dm.unito.it/quadernididattici/romagnoli.pdf
D.Romagnoli – Algebra del calcolo combinatorio. Quaderni Didattici del Dipartimento di
Matematica. 1. CAPITOLO 1. I numeri naturali e il principio di induzione ...
al quale rimandiamo i lettori interessanti, trattandosi di un
lavoro di 35 pagine.
Concludiamo con la teoria dei nodi (sempre da Wikipedia),
importante nelle teorie di stringa, connessa alle topologia
delle dimensioni basse, vedi sopra, e quindi anche questa
eventualmente coinvolta nella possibile soluzione finale e
definitiva del problema.
“Teoria dei nodi
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
La teoria dei nodi è una branca della topologia, a sua volta branca della matematica, che si
occupa di nodi, ovvero di curve chiuse intrecciate nello spazio. La teoria ha applicazioni in fisica
subatomica, chimica supramolecolare e biologia.
18
Fregio del cancello del dipartimento di matematica di Cambridge.
Per i suoi stretti legami con lo studio delle varietà di basse dimensioni (1, 2, 3 e 4), la teoria dei
nodi è spesso considerata una branca della topologia della dimensione bassa.
Quindi , riepilogando, le branche della matematica , con le
conoscenze attuali e anche future, possibilmente coinvolte
nella soluzione finale del problema, sono :
a) Teoria delle classi di oggetti denominati “varietà algebriche
proiettive”, dei “cicli di Hodge”, che sono , ciò nondimeno,
combinazioni di unità geometriche denominate “cicli
algebrici” , in breve la geometria algebrica
b) Calcolo combinatorio sui noti coefficienti binomiali (analisi)
c) Topologia combinatoria, in particolare la topologia della
dimensione bassa ed eventualmente anche la collegata teoria
dei nodi, come rami particolari della topologia
19
La soluzione del problema avrebbe infatti grande importanza
matematica, poiché (Rif. 6) pag. 270 , l’ autore Keith Devlin
scrive:
“...Una dimostrazione della congettura di Hodge stabilirebbe un
collegamento fondamentale tra le tre discipline della geometria
algebrica, dell’analisi e della topologia “
e che sono, in buona sostanza, le tre branche matematiche
sopraccennate a), b) e c) che potrebbero quindi portare alla
soluzione del problema e poi da questa averne grandi
possibilità di perfezionamento e un collegamento
fondamentale.
Accenniamo anche alle possibili e principali conseguenze
matematiche e fisiche degli altri problemi del Millennio :
1) Congettura di Riemann: soluzione del problema della
distribuzione dei numeri primi, conseguenze fisico –
matematiche nelle teorie di stringa (connesse alla funzione
zeta), ecc.
2) P = NP : soluzioni di tanti problemi ora noti anche come
20
“problemi dell’ago nel pagliaio”, il più famoso è quello della
fattorizzazione rapida, che potrebbe portare alla violazione
della crittografia RSA; cosa però che potrebbe essere
anticipata dai futuri computer quantistici, già in fase di
sperimentazione.
3) Congettura di Birch e Swinnerton – Dyer, la cui soluzione
ci dirà quale tipo di curve ellittiche contengono infiniti punti
razionali; una importante conseguenza potrebbe essere la
violazione della crittografia ECC, così come la soluzione di
P = NP potrebbe violare la concorrente crittografia RSA.
4) Le equazioni di Navier - Stokes, , la cui soluzione
risolverebbe anche problemi tecnici come i flussi d’aria sulle
ali degli aerei o di liquidi entro tubi ecc. ecc.
5) Teoria di Yang –Mills. Si saprà anche matematicamente il
perché le particelle elementari hanno una massa (Rif. 7)
21
Conclusioni
Più di qui noi non possiamo onestamente arrivare, non avendo
maggiori competenze in materia, soprattutto in algebra
superiore.
Comunque, il suggerimento degli ipercubi n-dimensionali
descritti da T2 e come possibile ed abbastanza facile oggetto di
studio iniziale ai fini della dimostrazione della congettura di
Hodge, ci sembra interessante e speriamo che qualche
matematico volenteroso e ovviamente anche bravo, lo possa
recepire e darvi seguito fino a raggiungere lo scopo finale , con
annesso il milione di dollari. Ricordiamo che questo è il
problema del millennio più difficile di tutti gli altri
A tutti gli interessati, buon lavoro!
Riferimenti
1)” I N F I N I T I T R I A N G O L I (Tk) D I
T A R T A G L I A (possibili applicazioni in geometria (k + 2)
- dimensionale)
22
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Dal Riferimento 1 di cui sopra (= Rif.5 di questo lavoro) :
“… abbiamo però notato che, se moltiplichiamo ogni termine di una riga di T1
per le potenze crescenti di 2 (o, come vedremo, di un qualsiasi numero k), il
secondo Triangolo di Tartaglia, che ora possiamo chiamare T2 ( e quindi T1
quello già noto, e ora solo il primo della nostra serie infinita Tk):
- perde la sua simmetria destra - sinistra, diventando asimmetrico rispetto
alla linea centrale;
- dà, come somma dei termini dell’ k - ma riga, le potenze di 2 (o, in
generale, di k per ogni Tk):
1 * 2^0
1 * 2^0
1 * 2^0
1 * 2^0
…
1 * 2^1
2 * 2^1
3 * 2^1
…
1 * 2^2
3 * 2^2
…
1 * 2^3
…
T2
Scrivendo i relativi risultati, abbiamo (anche per la 4° riga):
23
n-esima riga
somme = potenze di 3
0
1
1
1 = 3^0
1
2
2
1
3
1
3 = 3^1
4
4
6
12
9 = 3^2
8
4
1
8
24
32
…
…
…
….
….
27 = 3^3
16
….
81 = 3^4
….
I valori in blu 1, 8, 24, 32, 16 della quarta fila, se scritti al contrario
(immagine speculare di T2, ma equivalente), sono i numeri di ipercubi,
facce cubiche, facce quadrate, lati e vertici per un cubo a 4 dimensioni o
4 – cubo, analogamente a come i numeri della riga precedente sono quelli
relativi al cubo normale, mentre l’ultimo numero, 81 e 27 rispettivamente
(potenze di 3) sono la somma di tutti i valori di una riga .
Vedi Nota finale sulle possibili applicazione di T2.
Di conseguenza, la 5° riga, qui rappresentata con puntini, darebbe
i numeri relativi ad un cubo a 5 dimensioni, o 5 – cubo, evitando i
complessi calcoli esposti alla pagina riportata nella nota finale, tratta dal
recente libro “La quarta dimensione” , della recente serie editoriale
“Mondo Matematico” (Rif.1)
In T2, infatti, ogni elemento numeri è dato dal doppio del numero
24
superiore a sinistra, più il numero superiore a destra (nel Triangolo di
Tartaglia tradizionale, o T1, ricordiamo, si ha invece come somma dei
due numeri della riga precedente: Ora invece la 5° riga si calcola
facilmente con 2 + 8 =10, 16+ 24 =40, 48+32 = 80, 64+ 16 = 80, 16*2=32
Quindi la 5° riga risulta:
1
10
40
80
80
32 somma 243 =3^5
…
…
…
…
…
… somma 729 =3^6
E così via per tutte le righe successive.
E così via per qualsiasi altro k, per es. k = 3 per T3 , abbiamo come
somma di ogni riga le potenze di k +1 = 3 + 1 = 4
T3
1 * 3^0
1 * 3^0
1 * 3^0
1 * 3^0
1 * 3^0
…
1 * 3^1
2 * 3^1
3 * 3^1
4 * 3^1
…
1 * 3^2
3 * 3^2
6 * 3^2
…
scrivendo direttamente i risultati:
25
1 * 3 ^3
4 * 3^3
…
1 * 3^4
…
1
1 = 4^0
1
3
1
1
6
9
4 = 4^1
9
27
16 = 4^2
27
64 = 4^3
1
12
54
108
81
…
…
…..
….. .
….
256= 4^4
….
In questi nuovi triangoli, un termine è dato da quello superiore a
sinistra moltiplicato per k, in questo caso per 3, sommato al termine
superiore a destra, per es.
54 = 9 * 3 + 27 = 27 + 27 = 54
(vedi elementi sottolineati)
Quindi abbiamo infiniti Triangoli di Tartaglia, che chiameremo
T1, T2, T3, …. Tk dove la somma di tutti gli elementi di ogni
k-esima riga è una potenza di (k+1), e quindi (k+1)^n.
Per il Triangolo di Tartaglia noto, esso coincide con T1, con k =1, e
infatti la somma dei termini di una riga è sempre una potenza di
k + 1 = 1 + 1 = 2, e quindi (1 + 1)^n = 2^n.
Ora, poiché T1 è collegato notoriamente alle combinazioni
dei coefficienti binomiali, gli altri Tk sembrano collegati alle
disposizioni con ripetizione di n elementi, poiché la loro formula è
(k+1)^n = k’ ^ n, cosi come n! è la formula delle permutazioni di
n elementi (n! entra nella formula dei singoli elementi di T1 ).
26
Ecco così come da T1, legato alle combinazioni binomiali
di (a + b)^n, si passa con Tk alle disposizioni con ripetizione.
Ma i numeri binomiali sono coinvolti ovviamente anche nelle formule
della nota finale, seconda pagina. …”
2) Struttura di Hodge dell'ipersuperficie cubica di P5(Federica
Galluzzi).
La generica ipersuperficie cubica di P5 è unirazionale e verifica la
Congettura di Hodge.
calvino.polito.it/geometryactivities/abstracts.htm - 12k Struttura di Hodge dell'ipersuperficie cubica di P5(Federica Galluzzi)
“La generica ipersuperficie cubica di P5 è unirazionale e verifica la
Congettura di Hodge. È stato dimostrato inoltre che per queste
ipersuperficie vale il Teorema di Torelli. Si congettura anche che la
generica non sia razionale, ma non ci sono risultati significativi in questo
senso. Gli studi svolti e ancora in corso cercano di utilizzare la struttura di
Hodge di queste varietà per trovare componenti razionali nello spazio dei
moduli. In particolare, alle ipersuperficie che contengono un piano si
possono associare un fibrato in quadriche e una superficie K3 la cui
struttura di Hodge è strettamente legata a quella della ipersuperficie.
Attraverso lo studio delle curve su questa superficie K3 si può risalire a
classi di Hodge sulla cubica le cui proprietà di intersezione permettano di
dimostrarne la razionalità”
3) Il teorema di Torelli per curve stabili
Filippo Viviani (Università di Roma Tre)
27
Il teorema di Torelli asserice che una curva liscia e proiettiva è
univocamente determinata dalla sua Jacobiana insieme alla polarizzazione
principale indotta dal divisore theta. In termini modulari, ciò equivale
all'iniettività sui punti geometrici della mappa di Torelli dallo spazio dei
moduli delle curve lisce e proiettive di genere g alle varietà abeliane
principalmente polarizzate di dimensione g. Recentemente, Alexeev ha
esteso la mappa di Torelli a delle compattificazioni modulari dei sopra
citati spazi dei moduli, più precisamente lo spazio dei moduli delle curve
Deligne-Mumford stabili e lo spazio dei moduli delle coppie semi-abeliche
stabili.
Presenterò un lavoro in collaborazione con Lucia Caporaso, in cui
studiamo le fibre geometriche della mappa di Torelli compattificata. In
particolare, dimostriamo che il teorema di Torelli si estende a curve stabili
che non hanno nodi separanti né coppie di nodi separanti.
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4) “I TEOREMI DI LEFSCHETZ PER LA CONGETTURA
E LA TEORIA DI HODGE”
DANIELE ANGELLA
www.dm.unipi.it/~angella/lib/exe/fetch.php?media=05-varie:hodge...
5) “Teoria matematica dei nodi, fisica quantistica, teoria di
stringa (connessioni con i numeri di Fibonacci, di Lie e i
numeri di partizione) Parte Prima
“Gruppo B. Riemann”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto , già su questo nostro sito
6) Libro di Keith Devlin “ I problemi del Millennio”,
Longanesi & C., Capitolo 7 “ Geometria senza figure – La
28
congettura di Hodge
7) Marcus du Sautoy, “L’equazione da un milione di dollari”,
Rizzoli, dedicato ad alcuni problemi del Millennio e ad altri
enigmi matematici.
8)“Possibili connessioni tra gli infiniti Tk triangoli Tk di
Tartaglia e la congettura di Hodge”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
9) “INFINITI TRIANGOLI (Tk) DI TARTAGLIA (possibili
applicazioni in geometria (k + 2) - dimensionale) “
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
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