Approximation de la cinétique ponctuelle

Cinétique ponctuelle
Plan du cours
¾ Généralités sur la cinétique
¾ Approximation de la cinétique ponctuelle
¾ Caractéristiques des précurseurs
¾ Approche cinétique de la population neutronique
¾ Equations de la cinétique
¾
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Réserves à apporter à la cinétique ponctuelle
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Enregistrement de la première divergence du réacteur CP1
(Chicago Pile N°1) le mercredi 2 décembre 1942
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1. Généralités sur la cinétique
Le fonctionnement d'un réacteur nucléaire a 3 objectifs
¾ Produire de l'énergie à la demande : puissance, durée de vie
¾ Respecter les critères de sûreté : trois critères
¾ Disposer de contre-réactions efficaces : contrôler
Cela nécessite trois domaines d'études :
¾ Un étude de la réactivité et de ses variations
(approche globale du réacteur)
¾ Une étude de répartition de puissance
(approche spatiale en situation critique)
¾ Une étude temporelle du réacteur
(cinétique ponctuelle)
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Réactivité et puissance
La cinétique a pour objet le suivi dans le temps de la puissance
en fonction des paramètres de fonctionnement du réacteur
la réactivité en particulier
La puissance fournie par le cœur est de deux origines :
¾ la puissance neutronique
liée au taux de fission et donc au flux neutronique
¾ la puissance résiduelle
liée à la décroissance radioactive des produits de fission
et à l’historique de puissance du réacteur
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2. Approximation de la cinétique ponctuelle
Flux fonction de trois paramètres : temps, espace, énergie des neutrons
le libre parcours moyen des neutrons est élevé
la durée de vie des neutrons est relativement faible
donc ces perturbations locales se propageront rapidement
si la perturbation n'est pas trop importante
il y aura un léger réajustement de la forme du flux neutronique
en quelques millisecondes (transitoires)
après quoi le niveau global du flux augmentera ou diminuera
selon la valeur du coefficient de multiplication effectif
on peut étudier l'évolution temporelle de la puissance totale
sans s’intéresser à la répartition spatiale :
C'est l'approximation de la cinétique ponctuelle
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Rappels sur la fission et la réaction en chaîne
Chronologie
t = 0 : absorption d’un neutron par un noyau fissile
t = 10-18s : fission et séparation en deux fragments de fission
10-18 < t < 10-14s : émission de neutrons prompts (énergie de 2 MeV)
par les fragments de fission
10-14 < t < 10-8s : émission des γ prompts par les fragments de fission
10-2 s < t < 1 mn : désintégration β- de certains produits de fission
ces "précurseurs" émettent un neutron retardé
d'énergie un peu plus faible (de 200 à 600 KeV)
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Définitions utiles
¾ Facteur de multiplication effectif Keff
Rapport de multiplication entre deux générations successives de neutrons
¾ Réactivité
Ecart relatif à la criticité
ρ=
Keff − 1
Keff
¾ Durée de vie l d'un neutron
durée moyenne entre la naissance d'un neutron et sa disparition
par capture, par fission ou par fuite
temps que met un neutron à produire les Keff neutrons
de la génération suivante
l est le rapport entre le nombre de neutrons présents n(t)
et le nombre de ceux qui disparaissent
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Approche par calcul de la durée de vie : pilotable
1
Σa
distance parcourue par le neutron à la vitesse v avant absorption
En milieu infini :
En milieu fini :
l=
l=
n(t)
ΣaΦ
=
n(t)
Σavn(t)
n(t)
ΣaΦ(t) + Fuites
Pour le calcul :
1
=
vΣa
=
n(t)
(Σa + DB2g)Φ(t)
l=
=
1
v(Σa + DB2g)
1
v(Σa + DB2g)
Réacteurs à neutrons thermiques :
10-3 > l > 10-5 s
Réacteurs à neutrons rapides :
10-6 > l > 10-7 s
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Temps de génération l*
Temps mis en moyenne par un neutron
pour donner naissance à un premier neutron fils
1
Σ f libre parcours moyen pour la fission
distance moyenne parcourue par un neutron dans le milieu
entre naissance et fission
1
en divisant par la vitesse des neutrons : ν Σ f
temps écoulé entre la naissance du neutron
et la fission qu'il va provoquer
Chaque fission produit ν neutrons
le temps de génération moyen vaut :
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l* =
1
vνΣf
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Relation entre l et l*
Il faut à un neutron la durée l* pour produire un neutron
Il vit la durée l pendant laquelle il produit Keff neutrons,
1
υΣ f
v(Σa + DB2g)
=
=
= Keff
1
l*
(Σa + DB2g)
l
l
l*
= Keff
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vυΣf
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3. Paramètres des précurseurs
Les précurseurs, notés c i (i variant de 1 à p),
sont caractérisés par :
βi nombre de neutrons retardés issus de l’espèce i par neutron de fission
c'est une fraction du nombre total de neutrons émis
probabilité pour qu’un neutron issu de fission
soit un neutron retardé issu du précurseur i
un précuseur disparaît… un neutron apparaît…
λi constante de décroissance radioactive du précurseur i
loi de décroissance du précurseur
donc celle d’apparition des neutrons retardés
de la forme :
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exp(−λ it)
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Exemple du processus associé au brome 87
B r8 7
30%
β−
7 0 % T 1 /2 = 5 5 s
β−
K r8 7
γ
K r8 7
β−
n
R b87
2 ,9 %
K r8 6 stab le
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β−
S r8 7 stable
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Réduction des précurseurs à 6 groupes
Temps de vie
(en s)
Energie
moyenne
(en KeV)
Nombre moyen
βi (en pcm)
87Br
55,7
250
24,5
137I
54,4
15,9
560
142,4
6
4,5
5,9 - 2,7
450
127,4
2
1,6 - 2,4
1,6 - 0,25
1,2
450
256,8
Groupe de
neutrons retardés
Exemples
Groupe 1
Groupe 2
88Br
Groupe 3
138I
89Br
93, 94Rb
Groupe 4
139I
Cs, Sb ou Te
90, 92Br
93Kr
Groupe 5
140I
ou Kr
0,8
420
74,8
Groupe 6
Br, Rb, As
0,2
n. d.
27,3
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Approche élémentaire à un groupe
on peut réduire les précurseurs à un seul groupe de neutrons retardés
6
βi
¾ fraction totale, somme des fractions de chaque groupe : β = ∑
i=1
β
¾ constante de décroissance moyenne λ définie par:
λ
=
6
∑
β
i
i = 1 λi
période de décroissance = moyenne pondérée des périodes des groupes
Noyau fissionné
235U
238U (rapide)
233U
239Pu
240Pu (rapide)
241Pu
232Th (rapide)
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β (pcm)
650
1480
270
210
270
490
2030
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4. Approche cinétique de la population neutronique
Cinétique théorique en l'absence de neutrons retardés
La fraction de retardés est faible et (sans doute) négligeable…
Soit n(t) nombre de neutrons à l'instant t et l la durée de vie des neutrons
dt
dt
Entre t et t+dt, la proportion
va disparaître, soit n(t)
l
l
Chaque neutron disparaissant donne naissance à Keff nouveaux neutrons
dt
Keff n(t)
la production de neutrons pendant l'intervalle dt est :
l
dt
dt
dn(t) = −n(t) + Keff n(t)
l
l
dn(t)
dt
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= (Keff − 1)
n(t)
l
=
Keff n(t)
r
l
=
ρ
l*
n(t)
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Application numérique simple
ρ
pour Keff constant, l'évolution est du type :
n(t)=n 0 e
t
l*
ρ = 100 pcm (quelques pas des absorbants mobiles)
l* = 10-4 s
10 t
n(t) = n 0 e
pour 1 seconde
la population neutronique est multipliée par e10
soit 22000...
les fissions et la puissance dégagée aussi…
Sans les neutrons retardés, le réacteur serait incontrôlable
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Prise en compte des neutrons retardés
Pour les neutrons retardés, il y a un temps de retard dans un précurseur
Le temps au bout duquel un précurseur libère un neutron retardé
est en moyenne égal à 1/λ , soit τ (τ valant environ 13 secondes)
puis déplacement libre dans le cœur comme un neutron prompt
Pour n(t) neutrons, nous avons donc :
¾ (1-β) n(t) neutrons de durée de vie l
¾ β n(t)
neutrons de durée de vie ( l + τ )
soit une durée moyenne l* :
l* =
1
(1 − β)n ⋅l + βn ⋅(l + τ)]
[
n
l* = l + βτ
l = 10-4 s, β = 650 pcm et τ = 13 s l* = 0,085 s
àt=1s
n(1) = 1,01189n0
Les 0,65% neutrons retardés réduisent l'évolution des neutrons
Le contrôle du réacteur est donc possible en réalité
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Grandeurs utilisées en cinétique
Taux de croissance
Evolution exponentielle n(t) = n0 exp(ωt)
Représentation linéaire avec une échelle logarithmique
La pente est appelée dérivée logarithmique de n(t) :
d
1 dn(t)
ln [n(t)]]=
[
n(t)
dt
Taux de croissance défini par :
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ω(t) =
dt
=ω
1 dn(t)
n(t) dt
(unité : seconde-1)
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Période
Si la population neutronique suit une évolution n(t) = n0 exp(ωt)
( )
chaque intervalle de temps T voit la population multipliée par exp ωT
On appelle "période" la durée :
T=
1
ω
.
soit le temps mis pour multiplier la population neutronique par e ≈ 2,7
on trouve deux types d’instrument de « comptage » :
les périodimètres et les octavemètres
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Temps de doublement
La période est une grandeur exploitée parfois en conduite EdF
Il est plus parlant de dire que la population neutronique
double en un certain temps
On choisit le temps TD ou temps de doublement (mesures intégrées)
relié à la période par :
n(Td) = 2n 0 = n 0e
Td = T ⋅ln 2 =
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Td / T
ln 2
ω
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Octave par minute
Le temps de doublement varie à l’inverse du taux de croissance
Un taux de croissance nul
caractéristique d’une population neutronique constante
se traduit par un temps de doublement infini
Sur les chaufferies nucléaires de propulsion navale
on utilise le taux de croissance
unité particulière : l’octave par minute (oct.mn-1)
Un octave par minute correspond à une population
dont le temps de doublement est de soixante secondes
A deux octaves par minutes,
le temps de doublement est de trente secondes, etc
Ω=
60
Td
=
60
T ⋅ln2
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=
60
ln2
ω ≈ 87ω
n(t) = n 0 exp(ωt) = n 0 ⋅ 2Ωθ
(Ω en oct.mn-1 et θ en mn).
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5. Equations de la cinétique
Deux évènements à comptabiliser…
productions de neutrons : fissions, précurseurs et sources
disparitions de neutrons par absorption (durée de vie l)
Deux populations à chiffrer…
neutrons "libres" et sources de neutrons retardés, donc les précurseurs
Bilan des neutrons entre t et t+dt
¾ apparitions :
¾ en neutrons prompts
¾ en neutrons retardés
¾ en neutrons de la source
¾ disparitions :
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n(t)
(1 − ∑iβi)k effn(t)
∑ λ c (t)dt
i
i i
Sdt
dt
l
(désintégration précurseurs)
dt
l
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dn(t) = −n(t)
( )=
dn t
dt
dt
l
+ n(t)keff(1 − ∑iβ i)
dt
( )+
nt
[k (1 − ∑ β )− 1] l
eff
i
i
en fonction de l* supposé constant
( )=
dn t
dt
l
1
l
+ ∑iλ ic i(t)dt + Sdt
∑ λ c (t) + S(t)
i
=
i i
1
k eff l *
et
) ] ( ) + ∑ λ c (t) + S(t)
[ (
k eff 1 − ∑iβ i − 1
1
k eff
= 1− ρ
nt
i i
i
k effl *
( ) = (1 − β )− (1 − ρ) n(t)+ λ c (t) + S(t)
[ ∑
] ∑
dn t
dt
i
i
l*
( ) = ρ − ∑ β n (t)+ λ c
∑
dn t
dt
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i
l*
i i
i
i
i
i
i
()
(t) + S t
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Bilan des précurseurs i entre t et t+dt
Pour les précurseurs du groupe i :
dt
¾ apparitions :
βi k eff n(t)
¾ disparitions :
λ i ci (t)dt
dci (t)
dt
(fissions)
l
= k eff β i
(désintégration)
( )− λ c (t)
n t
i
i
l
On arrive donc à un système de p+1 équations différentielles
Il importe de le simplifier, ou de le résoudre numériquement
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Equations de la cinétique à p groupes de précurseurs
p

ρ − ∑ βi
 dn t
p

i =1
=
n t + ∑ λici(t) + S t

i =1
l*
 dt

 dci(t) βi
= n(t)− λici(t)
i ∈ 1;...; p

 dt
l*


()
()
()
{
}
Equations de la cinétique ramenées à un groupe
( )= (ρ−β)n(t) + λc(t)+ S(t)
dn t
dt
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l*
( ) = βn(t)− λc(t)
dc t
dt
l*
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Système d'équations différentielles : bilan en neutrons
( )= (ρ− β)n ( t ) + λc (t)+ S
dn t
τ*
dt
Positif..
ou négatif ?
β = 650 10-5
τ* = 10-4 !
( ) = β n (t)− λc(t)
dc t
dt
τ*
Quel réservoir ?
λ = 0,1 s-1
Importance des neutrons retardés
Dans un réacteur en exploitation, critique
(populations stables)
0 =
β n
τ*
− λ c alors
c
n
=
β
τ* λ
soit environ 650 !!
les neutrons retardés constituent un frein puissant
pour limiter les populations…
à condition que ρ − β reste négatif !!
6. Réserves à apporter à la cinétique ponctuelle
Valable si écarts à la criticité raisonnables
(sinon effets spatiaux importants)
Cinétique accidentelle (étude particulière)
risque de fusion locale de la gaine
β, λ et l * considérés constants pour transitoires (quelques minutes)
usure combustible négligée
Système non linéaire si la réactivité dépend du temps
Approches simplifiées :
(1) saut à une réactivité constante (principe des échelons)
(2) rampe de réactivité (mouvement des absorbants mobiles)
Résolution approchée sinon calculs numériques…
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