studi e analisi finanziarie La correzione per convessità Chiariamo un aspetto importante dei tassi forward… Il tasso forward è un tasso implicito nella curva a termine dei tassi di interesse. Il tasso forward a un anno per un anno è quel tasso che, aggiunto al tasso di rendimento ad un anno, mi da lo stesso rendimento del tasso d’interesse a 2 anni. Ragionamento analogo è applicabile al prezzo forward di un titolo. Il tasso di rendimento forward si calcola in base al prezzo forward. In assenza di arbitraggio, il prezzo forward si ricava attraverso le due seguenti strategie. Acquistare un titolo al epoca t° e conservarlo fino alla scadenza tn Prendere in prestito la somma necessaria per l’acquisto di tale titolo al tasso it, restituire alla scadenza t il prestito concesso e ricevere alla scadenza tn il valore nominale del titolo. In un mondo forward risk neutral, può accadere che il prezzo atteso di un bond sia pari al prezzo forward, mentre il tasso di rendimento atteso del prezzo non sia pari al tasso forward. Vediamo ora di spiegare come tutto ciò sia possibile. Il grafico, qui di sotto riportato, descrive la relazione tra il prezzo di un titolo obbligazionario ed il tasso di rendimento. Prezzo bond P1 P2 P3 Y1 Y2 Y3 Tasso di rendimento Supponiamo che all’epoca t siano possibili soltanto i prezzi P1, P2 e P3. Si consideri che tali prezzi abbiano le stesse probabilità di realizzarsi e che siano equispaziati. (es. 1, 1.5, 2) Il prezzo futuro atteso è pari alla media aritmetica degli stessi, in questo caso è evidente che sia P2. studi e analisi finanziarie In un mondo forward risk neutral rispetto al prezzo di bond con scadenza t il valore atteso del prezzo futuro è uguale a P2 Quindi il prezzo atteso è uguale al prezzo forward. Da P2 è possibile ricavare il tasso di rendimento forward del titolo Y2. Ma dal grafico si evince che il valore atteso del tasso di rendimento è maggiore del tasso di rendimento forward. Infatti i prezzi P1, P2 e P3 si traslano in 3 rendimenti attesi equiprobabili ma non equidistanziati. Y2 è il tasso forward poichè si ottiene in base al prezzo forward, il tasso di rendimento atteso è la media di y1 y2 y3 ed è evidente che si maggiore di Y2. Questo avviene poiché la relazione tra il prezzo del bond ed il tasso di rendimento non è lineare. Quindi talvolta è necessario correggere il valore del tasso forward stimato per farlo coincidere con il tasso atteso. Questa correzione si chiama aggiustamento per convessità. In altri termini. Sia Pt il prezzo di un obbligazione al tempo T e yt il tasso di rendimento. La relazione tra Pt e y Pt=G(yt) Sia Ft il prezzo forward dell’obbligazione e yf il tasso di rendimento forward. La relazione tra Ft e yf Ft=g(yf) La funzione G non è lineare. Quindi il prezzo atteso dell’obbligazione è uguale al prezzo forward, ma il tasso di rendimento atteso dell’obbligazione non è uguale al tasso forward. In termini matematici, la convessità si calcola con la seguente formula: 2 2 ψ = −0.5 y σ t G ''( y ) G '( y ) Si rileva che la correzione è sempre positiva, poiché la derivata prima e secondo del prezzo del bond sono rispettivamente negativa e positiva. Inoltre, dalla formula si ricava che il fattore di correzione da apportare al tasso forward è funzione crescente rispetto alla durata dell’operazione ed al livello di volatilità del tasso forward. studi e analisi finanziarie Si riporta, qui di sotto, un grafico rappresentate la sensitività dell’aggiustamento per convessità di Swap Forward Rate 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 Fattore di correzione (%) 0.8 0.3 0.2 0.1 18% 16% 13% 11% 9% 7% 0.0 Ora , resta da chiarire quando si deve utilizzare l’aggiustamento per convessità. Procediamo con degli esempi pratici. Primo caso Si consideri un pagamento effettuato ad un tempo T che dipende dal prezzo di una attività al tempo T. Non essendoci alcun sfasamento temporale tra rilevazione del prezzo dell’attività e pagamento non si ricorre ad alcun aggiustamento. Secondo caso Si consideri un plain swap in cui si paga un tasso fisso in cambio del euribor a 6 mesi. studi e analisi finanziarie Il contratto è strutturato in modo che ci sia un ritardo di 6 mesi tra il momento in cui viene osservato il tasso ed il momento in cui viene effettuato il pagamento. Ragionamento analogo può appiccarsi ad un cap od a un floor. Ogni qualvolta che uno strumento finanziario incorpora un ritardo naturale (natural time lag), in generale non è necessario ricorrere all’aggiustamento per convessità. Terzo Caso Si consideri un arrears swap. A differenza di uno swap, tasso variabile viene pagato nel momento in cui viene rilevato. Quindi, in ciascuna delle date di reset si deve correggere il tasso forward stimato con la relativa convessità. Ragionamento analogo vale per un CMS. Il valore di tale derivato dipende da un tasso swap, ma i relativi pagamenti non corrispondono allo schema di un normale contratto swap. Quindi, il tasso forward stimato deve essere aggiustato per la relativa convessità.