Caractérisation des séries temporelles

Société congolaise d’économétrie
Mars 2014 – Papier SCE 2 –3
Jean – Paul K. Tsasa Vangu
Chercheur au Lareq
Web : www.lareq.com
Mail : [email protected]
CARACTERISATION DES SERIES TEMPORELLES
Décomposition de Beveridge – Nelson et Théorème de Donsker
Résumé
Dans ce papier nous présentons la méthode de décomposition de Beveridge – Nelson (1981) et
nous l’appliquons au PIB de la RDC. Par ailleurs, nous analysons le lien existant entre marche
aléatoire, chaîne de Markov et mouvement brownien, avant d’énoncer et de prouver le
théorème caractérisant le principe d’invariance de Donsker (1952). A ce titre, ce papier
constitue un cadre d’analyse préliminaire de l’étude sur le test de racine unité. Les différents
théorèmes, propositions et concepts mobilisés dans ce cadre, ont été analytiquement traités
avant de les illustrer à l’aide des exemples intuitifs, notamment sur machine.
Mots–clé : Choc, décomposition de Beveridge – Nelson, racine unité, théorème de Donsker
Préambule
Une lecture préalable de ce papier et des papiers précédents (cf. Papier SCE 1 ; Papier SCE
2 –1 & Papier SCE 2 –2) est recommandée afin de mieux comprendre ce que l’on fera par la
suite tout au long de cette série. En effet, dans les papiers qui suivront :
Papier 1
:
Initiation aux mathématiques des séries temporelles
Papier 2
:
Nous analyserons la dynamique des chroniques [fonction d’autocovariance,
fonction d’autocorrélation et fonction d’autocorrélation partielle] ; nous fournirons
la preuve du théorème de Donsker en recourant notamment à la notion de
mouvement brownien standard [processus de Wiener] et enfin, nous dériverons
la loi asymptotique du test de racine unité tel que suggéré par Dickey et Fuller en
nous basant sur les corollaires du théorème de Donsker.
Caractérisation des séries temporelles
Papier 3
:
57
Nous procéderons aux corrections paramétriques et non paramétriques de test de
racine unité DF.
Papier 4
:
Nous introduirons analytiquement et illustrerons sur machine, la stratégie de
Campbell-Perron dans le processus de stationnarisation des séries temporelles,
afin de corriger le biais causé par le choix automatique du paramètre de
troncature par les logiciels tels que Eviews, stata ou autres.
Papier 5
:
Nous prouverons de façon parcimonieuse, deux théorèmes : [1] le théorème de
décomposition de Wold, en nous basant sur le concept d’espace de Hilbert ; [2] le
théorème de représentation de Granger-Engle.
Nous montrerons que toute étude sur la modélisation VAR et sur la cointégration
repose implicitement sur ces deux théorèmes respectifs.
Papier 6
:
En considérant les résultats des papiers précédents, nous proposerons une
introduction analytique, avec illustration sur logiciel aux :
(i)
modèles AR et MA à changement de régimes markoviens
(ii)
modèles VAR, VAR cointégré, VARMA et VEC
(iii)
modèles VAR structurels bayésiens
(iv)
modèles
VAR
structurel
bayésien
à
changement
de
régimes
markoviens, suivant la stratégie de Sims, Waggoner et Zha.
Il sied de noter que l’objectif de ces différentes présentations est de fournir un cadre d’analyse
techniquement prescriptif, et donc nous ne visons pas l’exhaustivité au sens strict. In fine, nous
vous serons reconnaissant pour toute suggestion, remarque ou critique pouvant contribuer à
l’amélioration du cadre d’analyse en cause.
© Jean–Paul K. Tsasa Vangu
I. Introduction
La méthode de Beveridge–Nelson est une des techniques statistiques de décomposition de
chroniques macroéconomiques en une somme d’une composante permanente et d’une
composante transitoire. Une des spécificités de cette méthode est qu’elle considère la
composante permanente comme un processus stochastique.
En effet, comme vue dans le papier précédent, l’analyse des chroniques macroéconomiques
repose généralement sur une décomposition en tendance et en cycle. Initialement, la démarche
suivie par les économistes pour procéder à la décomposition d’une série temporelle, reposait
essentiellement soit sur des techniques de lissage, soit sur l’estimation d’une tendance
déterministe, dont les développements ont permis de dériver plus tard, les techniques de
filtrage telles que l’approche de décomposition basée sur le filtre de Hodrick – Prescott.
Parallèlement à cette démarche et suite à la mise en évidence de la problématique de racines
unitaires dans les chroniques macroéconomiques, cette vision traditionnelle et simpliste de
décomposition des chroniques a été remise en cause, d’abord par Beveridge et Nelson (1981),
puis par Nelson et Plosser (1982), au profit notamment d’une approche basée sur une définition
stochastique de la composante permanente de la chronique.
A la suite de ces travaux, les économistes ont développé l’argument selon lequel que la prise en
compte de la composante stochastique dans l’extraction de la tendance permet de capter
convenablement les effets de la persistance des chocs aléatoires sur les chroniques pouvant être
approchées par une représentation autorégressive / moyenne mobile et admettant une racine
unitaire. Ainsi nous verrons plus loin, que la méthode développée par Beveridge et Nelson se
fonde essentiellement sur ces considérations.
Pour illustrer cette démarche, dans les linges qui suivent, dans un premier temps nous nous
proposons de dériver analytiquement la méthode de décomposition de Beveridge–Nelson, en
considérant le cas où la composante transitoire est stationnaire. Et dans un deuxième temps,
nous procédons à la même opération, mais cette fois–ci, nous considérons le cas où la
composante cyclique admet une composante non stationnaire.
II. Décomposition de Beveridge – Nelson
L’approche de décomposition d’une série en composante permanente (tendance) et en
composante transitoire (cycle) proposée par Beveridge et Nelson porte essentiellement sur les
chroniques intégrées d’ordre 1, admettant une représentation ARIMA [Autoregressive Integrated
Movieng Average].
58
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
Caractérisation des séries temporelles
Soit
un processus stochastique intégré d’ordre 1 et admettant une représentation
59
tel
que :
où
désigne un opérateur de retard ;
polynômes
et
un bruit blanc. Et par ailleurs, les racines des
sont de module strictement supérieur à 1, c’est-à-dire sont localisées à
l’extérieur du cercle unité.
Le terme
étant l’innovation de la composante
il vient que, par décomposition de
1
Wold , l’expression (24) peut s’écrire comme :
où
désigne le taux de croissance de
avec
et la composante
s’écrit :
Et en conséquence, on a :
Pour :
l’expression (27) devient :
Dès lors, partant de la définition du taux de croissance tel qu’exprimée dans (29), il devient
possible de calculer la valeur de la série
La prévision optimale à l’horizon
en niveau en
:
étant donnée, les observations disponibles à la date
sont générées par l’expression suivante :
où
1
est l’innovation à la date
et :
La preuve du théorème de décomposition de Wold sera fournie dans une publication ultérieure.
Ainsi, il vient que la suite des prévisions d’horizon
passant par le point
où
se trouve localisée sur la droite de pente
défini par :
correspondant à la valeur de la tendance de la chronique à l’instant
décrit le sentier de
croissance de long terme [composante permanente]. Par ailleurs, la composante
apparaît
comme une marche aléatoire. En effet, elle correspond à un processus non stationnaire dont les
différences premières ne sont pas autocorrélées :
L’écart entre la chronique
et sa tendance
noté
et désigné
est obtenu par la formule
que voici :
où
est un bruit blanc par construction. En effet, la composante
est stationnaire et
autocorrélée.
Dès lors, la chronique
peut s’écrire comme une somme d’une marche aléatoire et d’une série
stationnaire autocorrélée :
avec
défini dans (33) et
dans (35).
Considérons à présent un modèle tel que la composante transitoire
unitaire. Par conséquent, la chronique
admet une racine
peut s’écrire comme une somme de deux composantes
non stationnaires telle que la première composante est intégrée d’ordre 2 et est caractérisée par
des différences secondes non autocorrélées et la deuxième intégré d’ordre 1, avec des
différences premières autocorrélées.
En exécutant la décomposition de Beveridge–Nelson à la composante cyclique
où
est un bruit blanc et avec
Et donc :
où
De ce qui précède, il suit que :
60
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
et
il vient que :
Caractérisation des séries temporelles
D’où
la
décomposition
du
processus
en
somme
d’une
et d’une composante stationnaire
composante
61
tendancielle
telles que :
et
où :
avec
défini par :
Par conséquent, le processus
avec
peut être décomposée comme suit :
où la définition de
a été fournie précédemment,
et :
En exécutant minutieusement les arguments développés précédemment au PIB réel de la RDC,
on obtient les résultats suivants.
Graphique 14 : Décomposition du PIB réel par la méthode de Beveridge – Nelson (1981)
PIB réel de la RDC en logarithme (1959 - 2013)
[En fréquence trimestrielle]
Composante tendantielle du PIB réel de la RDC
(Données logarithmiques, Fréq. Trim 1959 - 2013)
[Décomposition de Beveridge-Nelson, 1981]
Composante cyclique du PIB réel de la RDC
(Données logarithmiques, Fréq. Trim 1959 - 2013)
[Décomposition de Beveridge-Nelson, 1981]
9.2
2.30
.12
9.0
2.25
.08
8.8
2.20
.04
8.6
2.15
.00
8.4
2.10
-.04
8.2
1960Q1 1970Q1 1980Q1 1990Q1 2000Q1 2010Q1
2.05
1960Q1 1970Q1 1980Q1 1990Q1 2000Q1 2010Q1
-.08
1960Q1 1970Q1 1980Q1 1990Q1 2000Q1 2010Q1
Si l’on considérait le PIB par habitant, plutôt que le PIB réel, il est également possible de
procéder à la même décomposition. D’où, le graphique suivant.
Graphique 15 : Décomposition du PIBH par la méthode de Beveridge – Nelson (1981)
PIB par habitant de la RDC en logarithme (1959 - 2013)
[En fréquence trimestrielle]
Composante tendantielle du PIB par habitant de la RDC
(Données logarithmiques, Fréq. Trim 1959 - 2013)
[Décomposition de Beveridge-Nelson, 1981]
6.5
1.8
6.0
Composante cyclique du PIB par habitant de la RDC
(Données logarithmiques, Fréq. Trim 1959 - 2013)
[Décomposition de Beveridge-Nelson, 1981]
.06
.04
1.6
.02
5.5
1.4
.00
5.0
1.2
-.02
4.5
1.0
1960Q1 1970Q1 1980Q1 1990Q1 2000Q1 2010Q1
4.0
1960Q1 1970Q1 1980Q1 1990Q1 2000Q1 2010Q1
-.04
1960Q1 1970Q1 1980Q1 1990Q1 2000Q1 2010Q1
En suivant quasiment le même raisonnement, cette méthode peut être étendue aux cas
multivariés (cf. Arino et Newbold, 1998).
III. Marche aléatoire, Chaîne de Markov et Mouvement brownien
Soit
une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi. On appelle marche
aléatoire, la suite définie par
et
En réalité, il s’agit d’une formalisation
mathématique d'un processus stochastique à caractère markovien. Par définition une chaîne de
Markov est un processus sans mémoire sur un espace discret ou dénombrable, i.e. un processus
qui ne tient compte que de l’état du dernier instant pour déterminer son état futur.
Soit
une suite de variables aléatoires définies d’un espace probabilisé
dans l’espace probabilisable
Alors
où
et à valeur
est l’espace des états, supposé fini ou dénombrable.
est une chaîne de Markov de loi initiale
si :

le processus stochastique
vérifie la condition initiale :

le processus stochastique
est sans mémoire ne dépendant que du dernier instant, i.e.
tel que pour tout entier
et tout
le processus stochastique
vérifie la
propriété de Markov :

le processus stochastique
transition de l’état
est indépendant de
62
vérifie la condition d’homogénéité. La probabilité de
à l’état
quels que soient les états
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
et
Caractérisation des séries temporelles
Ainsi, intuitivement, une marche aléatoire
63
est une chaîne de Markov ayant pour loi
initiale la masse de Dirac en zéro et pour matrice de transition :
Et donc, il suit que pour une marche aléatoire, le futur et le passé sont indépendants
conditionnellement au présent (processus de Markov). Soient
tel que
et
Alors :
Preuve
En utilisant le double conditionnement, on établit que :
Par la propriété de Markov :
Réciproquement si le processus
satisfait la condition (50), il vient que :
Par la propriété de Markov :
Par conséquent,
et le processus de Markov
est une marche aléatoire.
Montrons à présent que le mouvement brownien satisfait également la propriété de Markov. Soit
un mouvement brownien issu de zéro [i.e. processus de Wiener standard] tel que pour tous
réels
les variables
distributions gaussienne et que :
et
sont indépendantes et suivent une
Ainsi, un mouvement brownien est standard si
et
De ce fait, il suit que les variables
sont indépendantes et suivent une distribution gaussienne centrée réduite
telle que :
et
Pour simuler un mouvement brownien sur logiciel, il suffit de se donner un pas de temps
et
d’écrire :
Les accroissement de
simuler une loi gaussienne
étant indépendants et gaussiens, il ne reste plus qu’à
et d’exécuter la formule de récurrence telle que :
Ainsi, on dérive les figures suivantes.
Graphique 16 : Illustration d’un mouvement brownien en 2D (linéaire) et en 3D (drap)
Où Un drap brownien est un processus gaussien sur le quart de plan
En dupliquant la même démarche, mais cette fois-ci avec une loi gaussien centrée-réduite, on
parvient à générer le graphique ci-après.
64
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
Caractérisation des séries temporelles
65
Graphique 17 : Illustration de la trajectoire d’un mouvement brownien standard
Précédemment, nous avons énoncé que le mouvement brownien satisfait la condition (50).
Preuve
Pour prouver ce résultat, nous procéderons en deux temps. En un premier temps, nous
montrerons tout d’abord que si
et
sont deux mouvements
un espace probabilisé,
un mouvement brownien réel et
browniens, alors ils sont indépendants.
Proposition (i) : Soit
Alors, les processus
et
sont deux mouvements browniens
indépendants.
Il s’agit donc de vérifier l’indépendance. Notons avant tout qu’un mouvement brownien standard
réel sur l’espace
vérifie les propriétés suivantes :

Symétrie :
est un mouvement brownien standard ;

Invariance par translation : si
alors
est un mouvement brownien
standard ;

Changement d’échelle : si
alors
est un mouvement brownien
standard ;

Retournement du temps : si
alors
est un mouvement brownien
standard.
Soient
Posons :
et
deux fonctions mesurables bornées.
Considérons l’application linéaire suivante :
Il vient
que :
Sachant que les accroissements :
sont indépendants, il suit que :
Proposition (ii) : Soit
espaces mesurables
telle que
et
et
deux variables aléatoires à valeurs respectivement dans les
supposés indépendants. Soit
une fonction borélienne
est positive ou intégrable. Alors :
tel que :
Plus généralement, si
est une tribu telle que
est
on a que :
Soit
un événement de
il suit que :
et
Dès lors, en notant
une copie de
il vient que :
Par la propriété d’indépendance, on a que :
Par la projection des espérances itérées, on établit que :
66
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
et
est indépendante de
Caractérisation des séries temporelles
67
Par transposition, il suit que :
tel que :
Et en conséquence :
c’est-à-dire que le mouvement brownien satisfait la propriété de Markov.
IV. Marche aléatoire, Racine unité et Théorème de Donsker
Dans cette dernière partie, nous nous proposons d’énoncer, puis de prouver le théorème de
Donsker [principe d’invariance de Donsker]. Et par la suite, nous nous servirons des corollaires
de ce théorème pour dériver la loi asymptotique de la statistique du test de racine unité.
Soit
une marche aléatoire symétrique sur l’espace
processus continus
Soit
où
En
comme suit :
tel que :
est un bruit blanc. Par récurrence, on obtient :
:
On définit alors une suite de
Graphique 18 : Illustration d’une marche aléatoire
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
En calculant les moments d’ordre 1 et d’ordre 2 de l’expression (54), il ressort que :
;
;
Il vient que les moments d’ordre 2 ne sont pas temporellement invariants. Donc la marche
aléatoire n’est pas stationnaire. Cependant, en considérant l’accroissement de l’expression (52),
il vient que :
Ainsi, la marche aléatoire sans dérive est à accroissement stationnaire.
Soit :
où
est un bruit blanc.
Test de racine unité :

Hypothèse nulle [H0]
(

est un processus non stationnaire ; un choc sur
est permanent)
Hypothèse alternative [H1] :
(
68
:
est un processus stationnaire ; un choc sur
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
est transitoire)
Caractérisation des séries temporelles
69
Une manipulation mathématique simple sur (56a), nous permet d’écrire :
Dès lors, le test de racine unité devient :

Hypothèse nulle [H0]
:

Hypothèse alternative [H1] :
(processus non stationnaire)
(processus stationnaire)
où
Sous H0,
est une marche aléatoire, c’est-à-dire ne suit pas une loi standard. De ce fait, il
nous faut dériver une loi asymptotique pour l’estimation du paramètre
Nous allons nous
servir du théorème de Donker à l’effet de parvenir à cette fin.
Théorème : Soient
une marche aléatoire et
Alors, la suite de processus
un mouvement brownien.
converge en loi vers
Preuve
Pour démontrer ce résultat, nous procéderons en deux temps. Tout d’abord, nous allons vérifier
si pour tout
:
lorsque
A présent, vérifions que la famille
est relativement compacte dans la topologie
de la convergence étroite. Avant de procéder à cette vérification, prouvons tout d’abord le
résultat suivant.
Proposition (iii) : sur l’espace
une suite
de probabilité est relativement
compacte dans la topologie de la convergence étroite si et seulement si :
(i) Pour tout
on peut trouver
(ii) Pour tout
et
et
on peut trouver
tels que pour tout
et
;
tels que pour tout
Nous allons démontrer cette proposition en considérant les théorèmes de Prokhorov et
d’Ascoli comme prérequis. En effet, le théorème de Prokhorov en étendant le théorème de
Heine-Borel aux suites bornées en probabilité, constitue un des résultats fondamentaux de
la convergence étroite de mesures de probabilités, notamment dans les espaces métriques.
Et par ailleurs, le théorème d’Ascoli permet de caractériser les parties relativement
compactes de l'espace des fonctions continues d'un espace compact dans un espace
métrique.
Supposons que la suite
est relativement compacte dans la topologie de la convergence
étroite, alors d’après le théorème de Prokhorov, cette suite est tendue, c’est-à-dire pour tout
il est possible de trouver un ensemble relativement compact
tout
tel que pour
:
En exprimant
sous la forme fournie par le théorème d’Ascoli, il est assez facile de vérifier que
les propriétés (i) et (ii) sont satisfaites avec
Supposons à présent que les propriétés (i) et (ii) sont satisfaites. En effet, puisqu’une suite finie
est toujours relativement compacte, on peut supporter que les propriétés (i) et (ii) sont
satisfaites avec
De même, d’après le théorème de Prokhorov, pour démontrer la relative
compacité, il suffit de prouver la tension.
Soient
et
Pour tout
on peut trouver
et
tels que :
On pose alors :
Le théorème d’Ascoli implique la relative compacité de
D’où, pour tout
En considérant ce dernier résultat, vérifions que la famille
:
est relativement
compacte dans la topologie de la convergence étroite.
Soit
Le processus
maximale de Doob, pour tout
est une sous-martingale, par conséquent d’après l’inégalité
:
Par stationnarité des accroissement de
70
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
il vient que pour tout :
:
Caractérisation des séries temporelles
Soient
De l’inégalité qui précède, il ressort que l’on peut trouver
tout
71
tel que pour
:
Soient
Par définition de
il suit qu’on peut trouver
tel que pour tout
et
:
Pour
et
:
Ainsi, on peut établir que :
Et donc, pout tout
:
Ce dernier résultat implique par la proposition (iii) que la famille
est
relativement compacte dans la topologie de la convergence étroite.
In fine, il ressort que le théorème de Donsker établit que le mouvement brownien est une limite
de marches aléatoires. Ainsi, si un processus tel que
sur un bruit blanc indépendant de variance
où
est une marche aléatoire fondée
alors :
est un mouvement brownien standard.
Corollaire 1 : Soit
un processus intégré d’ordre un, alors la moyenne empirique est
telle que :
où
où
est la variance de long terme telle que
dans le cas d’une marche aléatoire, i.e. cas
est un bruit blanc.
Corollaire 2 : Soit
un processus intégré d’ordre un, il vient que :
Corollaire 3 : Soit
un processus intégré d’ordre un, il suit que :
En exécutant les moindres carrés à l’expression (56a), on a que :
Sous H0 :
Et donc, considérant le modèle (56a), on établit que :
Après réaménagement, on trouve :
En servant des corollaires 2 et 3 du théorème de Donsker, il vient que :
Pour le cas d’une marche aléatoire, puisque
on trouve :
Dès lors, on peut facilement montrer que la loi asymptotique de la statistique
associée à
est telle que :
Puisque pour une marche aléatoire, le processus
expression sans paramètre de nuisance telle que :
72
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
est un bruit blanc, on obtient ainsi une
Caractérisation des séries temporelles
73
Partant de ces résultats préliminaires, nous serons conduit dans le prochain papier, à introduire
plus rigoureusement l’analyse du test de racine unitaire tel que suggéré par Dickey et Fuller,
puis par la suite à exécuter une correction paramétrique et une correction non paramétrique
audit test.
Mars 2014
Québec, Montréal
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74
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Jean – Paul K. Tsasa
Caractérisation des séries temporelles
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75
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TSASA Jean – Paul, 2013a, « Projection Orthogonale : Décomposition Orthogonale et
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
TSASA Jean – Paul, 2013b, « Théorème de Décomposition de Cholesky », One Pager Laréq
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
TSASA Jean – Paul, 2013c, « Théorème de Décomposition de Wold », One Pager Laréq
(avril), vol. 6, num. 004, 28 – 34.

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
WHITTAKER Edmund T., 1923, “On a New Method of Graduation”, Proceedings of the
Edinburgh Mathematical Association, 41, 63 – 75.
Annexes I
BASE DES DONNEES
Tableau A1 : PIB réel et PIB par habitant de la RDC (1959 – 2013)
En fréquence annuelle
LPIB
LPIBH
1959
8.90
6.24
1960
8.91
6.22
1961
8.98
6.26
1962
8.68
5.93
1963
8.70
5.93
LPIB
LPIBH
1964
8.73
5.92
1965
8.79
5.96
1966
8.92
6.05
1967
8.86
5.96
1968
8.74
5.81
LPIB
LPIBH
1969
8.82
5.86
1970
8.92
5.93
1971
8.98
5.96
1972
8.98
5.93
1973
9.07
5.98
LPIB
LPIBH
1974
9.09
5.98
1975
9.03
5.88
1976
8.97
5.79
1977
8.92
5.71
1978
8.85
5.61
LPIB
LPIBH
1979
8.85
5.58
1980
8.85
5.55
1981
8.88
5.55
1982
8.87
5.51
1983
8.89
5.49
LPIB
LPIBH
1984
8.94
5.51
1985
8.95
5.49
1986
8.99
5.50
1987
9.02
5.50
1988
9.03
5.47
LPIB
LPIBH
1989
9.01
5.42
1990
8.94
5.32
1991
8.85
5.20
1992
8.74
5.06
1993
8.60
4.88
LPIB
LPIBH
1994
8.56
4.80
1995
8.57
4.78
1996
8.56
4.74
1997
8.50
4.65
1998
8.48
4.60
LPIB
LPIBH
1999
8.44
4.52
2000
8.37
4.41
2001
8.35
4.37
2002
8.38
4.37
2003
8.44
4.40
LPIB
LPIBH
2004
8.50
4.44
2005
8.58
4.49
2006
8.63
4.51
2007
8.69
4.54
2008
8.75
4.57
LPIB
LPIBH
2009
8.78
4.57
2010
8.85
4.61
2011
8.91
4.65
2012
8.99
4.69
2013
9.06
4.73
Note : LPIB = PIB réel ; LPIBH = PIB par habitant
Source : WDI, Banque mondiale 2014
76
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
Caractérisation des séries temporelles
77
Tableau A2 : PIB réel et PIB par habitant de la RDC (1959 – 2013)
En fréquence trimestrielle
Trimestre 1
Trimestre 2
LPIB
LPIBH
2.226442968427778
1.565466993542618
Trimestre 3
1959
2.224293119458893 2.223087802361956
1.561462256287009 1.558402050903349
Trimestre 4
LPIB
LPIBH
2.223510763783927
1.555115235751874
1960
2.225139042302835 2.227711852693692
1.554888625984059 1.555606548088193
2.231229194956497
1.557269002064275
LPIB
LPIBH
2.252655810350557
1.576840729171611
1961
2.251276319853536 2.244055464724742
1.573606350387867 1.564530606972348
2.230993244964173
1.549613498925056
LPIB
LPIBH
2.184706953450194
1.501502238100276
1962
2.170915087274731 2.162234939316147
1.48584351604772 1.475284544621676
2.158666509574443
1.469825323822142
LPIB
LPIBH
2.172989097776566
1.482185315424224
1963
2.174532384577843 2.176075669705222
1.481837811167672 1.481502272827589
2.177618953158702
1.481178700403978
LPIB
LPIBH
2.177597953754664
1.479355071690668
1964
2.179766946333794 2.182561649712473
1.479660239982463 1.480582183073195
2.1859820638907
1.482120900962863
LPIB
LPIBH
2.189209137521211
1.483454622114687
1965
2.194208593837442 2.200161381492129
1.486555598216941 1.490602057732845
2.207067500485271
1.495594000662398
LPIB
LPIBH
2.224480451584266
1.511081474975875
1966
2.22947183294736 2.231595145341951
1.514144365544616 1.514332720338897
2.230850388768037
1.511646539358717
LPIB
LPIBH
2.222552001963064
1.501384775869869
1967
2.217945331957166 2.212344817487787
1.49482994203445 1.487280991118252
2.205750458554926
1.478737923121276
LPIB
LPIBH
2.187541355338516
1.458612655420974
1968
2.183207667406721 2.182128494939471
1.45231658631146 1.449261633170184
2.184303837936768
1.44944779599715
LPIB
LPIBH
2.197614797415248
1.460693957039048
1969
2.20314673093498 2.208780739512603
1.464234798903816 1.467889203838146
2.214516823148118
1.471657171842038
LPIB
LPIBH
2.221865032357924
1.477032436340639
1970
2.227201245902657 2.232035514298721
1.480430037113598 1.483343707586061
2.236367837546114
1.485773447758028
LPIB
LPIBH
2.241224349318604
1.488835465544137
1971
2.244142328799151 2.24614790966152
1.489850861949257 1.489935844888025
2.247241091905713
1.489090414360443
2.222827017136968
1.556286377391638
Trimestre 1
LPIB
LPIBH
2.2419806879248
1.481888872404647
LPIB
LPIBH
2.260714392551625
1.492466963803504
LPIB
LPIBH
2.273997856515856
1.497665107853111
LPIB
LPIBH
2.263926247190383
1.47954564641683
LPIB
LPIBH
2.248760867835686
1.456399438678682
LPIB
LPIBH
2.234667566215781
1.434803570060858
Trimestre 3
1972
2.243425547975412 2.246134484450619
1.481352894129108 1.482056781571964
1973
2.265067635949895 2.268537033422037
1.494777324325287 1.496214426489207
1974
2.274346289838448 2.273341450863744
1.496003934099579 1.492991001144323
1975
2.260199874856624 2.256458513758399
1.47382312034112 1.468094519548408
1976
2.245042523417208 2.241377173207411
1.450740475788275 1.445163300234181
1977
2.230976354311253 2.227153292294637
1.429252052945329 1.423562619595741
LPIB
LPIBH
2.216166298883186
1.408805729073217
1978
2.21312581414708 2.211131606915665
1.40388825706992 1.400018578881034
2.21018367718894
1.397196694506557
LPIB
LPIBH
2.212856804891611
1.397990205863427
1979
2.212971518204382 2.213102597051961
1.396236868350995 1.394504283886196
2.213250041434347
1.392792452469032
LPIB
LPIBH
2.212630719565817
1.390395628760448
1980
2.213124147732107 2.213947194147495
1.389007601574175 1.387922625571157
2.215099858811981
1.387140700751395
LPIB
LPIBH
2.218528416584277
1.388549216891332
1981
2.21956180780347 2.220146307328275
1.387618438527504 1.386235755436355
2.220281915158693
1.384401167617883
LPIB
LPIBH
2.218103665282993
1.380265239811922
1982
2.218087476129324 2.218368381685957
1.378266616642874 1.376555862850571
2.218946381952893
1.375132978435014
LPIB
LPIBH
2.219001203210951
1.373155851450837
1983
2.220501502386164 2.222627005759353
1.372645550566918
1.37275996383789
2.225377713330518
1.373499091263755
LPIB
LPIBH
2.232231754610033
1.378248424752473
1984
2.234841618772997 2.236685435329787
1.378882783724937 1.378787660089108
2.237763204280402
1.377963053844986
LPIB
LPIBH
2.234553072464777
1.373042809636182
1985
2.235507487467068 2.237104596127211
1.372105700318029
1.37178557053414
2.239344398445207
1.372082420284513
78
Trimestre 2
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
Trimestre 4
2.250107497350421
1.484000534733216
2.271122584968051
1.496778270295263
2.270983339591748
1.488626308987341
2.252702163895708
1.462359844038691
2.237764817206294
1.439667912016399
2.223198380165931
1.417735270012094
Caractérisation des séries temporelles
Trimestre 1
79
Trimestre 2
LPIB
LPIBH
2.244594488122993
1.375299557962117
LPIB
LPIBH
2.253127199992522
1.376035206064445
LPIB
LPIBH
2.256536967874154
1.371191808415344
LPIB
LPIBH
2.2562268192345
1.362424988714273
LPIB
LPIBH
2.242888762207471
1.340863656728713
Trimestre 3
Trimestre 4
1986
2.247172640275916
2.249446448605915
2.25141591311299
1.375909043423829
1.376214185062617
1.376214982878482
1987
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Trimestre 1
Trimestre 2
2000
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2001
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2002
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2004
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Trimestre 3
Trimestre 4
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2008
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1.187379018404745
80
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa

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